О Колмогоровских поперечных кривых в гильбертовом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.98

О КОЛМОГОРОВСКИХ ПОПЕРЕЧНЫХ КРИВЫХ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

© Р. С. Исмагилов

Ключевые слова: гильбертовы пространства; метрические пространства; приближения; поперечники.

Аннотация: Рассматривается асимптотика последовательности колмогоровских n-поперечников компакта в комплексном гильбертовом пространстве, в частности, винеровой спирали.

Начнём с определения колмогоровского поперечника. Пусть H - гильбертово пространство (вещественное либо комплексное). Для любых множеств K С H и M С H введём величину d(K,M) = sup{d(x, M),x Е K}, где d(x,M) = inf d(x,y),y E M. Эту величину называют отклонением множества K от M. Колмогоровский ^поперечник множества K определяется равенством dn(K) = inf d(K, Ln) где Ln пробегает совокупность всех n-мерных плоскостей (т.е. всех множеств вида x + Ln, где Ln есть n-мерное линейное подпространство). Это понятие введено А. Н. Колмогоровым в [1]. Наиболее интересен случай, когда K - компакт; в этом случае dn(K) — 0 n — то, и асимптотика последовательности {dn(K)} есть важная характеристика компакта K. Работа [1] положила начало обширной области исследований в теории приближений.

Рассмотрим следующий конкретный пример компакта. В вещественном гильбертовом пространстве L2(0,1) рассмотрим множество W = {ft, 0 ^ t ^ 1}, где ft есть индикатор отрезка [0,t\. Его называют винеровой спиралью. У. Рудин и С. Б. Стечкин доказали [2], что An-1/2 ^ ^ dn(W) ^ Bn-1/2, где 0 < A < B < то. В работе [3] автор получил асимптотическое соотношение dn(W) ~ n-ln-l/2.

Пусть K - метрическое пространство, допускающее изометрическое вложение f : K ^ S в евклидово (т.е. вещественное гильбертово) пространство S. Ясно, что величины dn(f(K)) не зависят от вложения f. Расмотрим теперь изометрическое вложение f : K ^ H в комплексное

H

dn(f(K)) могут зависеть от f. В следующей теореме указан пример, показывающий, что эта

H

W

Теорема. Для любого числа c Е [^/1/2,1\ существует такое изометрическое вложение f : W H, что dn(f (W)) ~ cn-ln-l/2.

Описанное явление заслуживает дальнейшего изучения (в частности, рассмотрения других

K

жимых в евклидово пространство, величина dn(f (K)) (здесь f : K — H есть изометрическое

Hf

ЛИТЕРАТУРА

1. Kolmoqorov A.N. Uber die beste Annaherune von Funktionen einer gegebenen Funktionenklasse // Ann. of Math., 1936. V. 37. P. 107-110.

2. Rudin W. L2-approximation by partial sums of orthogonal developments // Duke Math. Journal, 1952. V. 19. №1. P. 1-4.

3. Исмагилов P.С. Об n-мерных поперечниках компактов в гильбертовом пространстве // Функц. анализ и его прил., 1968. Т. 2. Вып. 4. С. 32-39.

Abstract: we consider asymtotic behaviour of Kolmogorov n-widths for a compact in a complex Hilbert space, in particular, for the Wiener spiral.

Keywords: hilbert spaces; metric spaces; approximations; widths.

Исмагилов Раис Сальманович д. ф.-м. и., профессор МГТУ им. Н. Э. Баумана Россия, Москва

e-mail: [email protected]

Rais Ismagilov

doctor of phys.-math. sciences, professor MSTU named after N. Bauman Russia, Moscow

e-mail: [email protected]

УДК 517.929.4, 519.21

УСТОЙЧИВОРСТЬ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

© Р. И. Кадиев

Ключевые слова: устойчивость решений; стохастические дифференциальные уравнения; метод вспомогательных уравнений.

Аннотация: Исследуются вопросы р-устойчивости тривиального решения нелинейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений; получены достаточные условия устойчивости с помощью метода вспомогательных уравнений.

Пусть (О, Т, (Л)^0, Р) — полное вероятностное пространство с фильтрацией; Z := ео1(г1,гт) — т-мерный семимартингал на нем; 1 ^ р < го; Е — символ математического ожидания; ||.|| — норма п х п-матрицы, согласованная с нормой |.| вектора в Кп.

В дальнейшем используются следующие линейные пространства случайных процессов:

— Ln(Z) состоит из п х т-матричных предсказуемых случайных процессов, заданных на [0, +го), чьи строки являются локально интегрируемыми по семимартингалу Ъ\

— кп состоит из п-мерных То-пзмерпмых случайных величин;

— Оп состоит из п-мерных случайных процессов на [0, +го), которые могут быть представлены

г

в виде: х(г) = х(0) + /Н(s)dZ(s)(^ ^ 0) где х(0) € кп, Н Е Ln(Z).

0

Пусть 7 : [0, +го) ^ К1 — положительная функция. Введем следующие обозначения линейных нормированных пространств:

М^ = {х : X Е пп, ЦхЦкп 8ир(Е|х(г)|р)1/р < го};

р г^о

к'п = {а : а Е кп, ЦаЦк^ = Е^ < го}.

Главным объектом исследования является уравнение вида

dx(t) = (Nx)(t)dZ(г) (г ^ 0), (1)