CC BY
57
УДК 539.3
ТЕРМОНАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ НАГРЕВЕ НА ТОРЦЕ
Р.И. Холмуродов, Ф.А. Амиркулова
Кафедра теоретической и прикладной механики Самаркандского государственного университета (Узбекистан)
703004, Самарканд, Университетский бульвар, 15.
В работе решена задача о продольно-радиальных колебаниях цилиндрической оболочки, возбужденных температурным воздействием, приложенным на торце.
В цилиндрической системе координат (г, в, г) рассмотрим круговую термоупругую цилиндрическую оболочку с внутренним г, и внешним г2 радиусом. Ставится задача определения напряженно-деформированного состояния такой оболочки при её продольнорадиальных колебаниях, возбуждённых температурным воздействием на торце и исчезающим на бесконечности. При этом считается, что поверхности оболочки свободны от внешних как механических, так и температурных нагрузок В качестве основных разрешающих уравнений приняты уточненные уравнения осесимметричных колебаний круговой термоупругой оболочки, которые в случае отсутствия внешних нагрузок и температурных воздействий на поверхности оболочки в безразмерных переменных, отнесённых к радиусу промежуточной поверхности оболочки имеют вид
4у-1 д2
2v dt2
+ fln(0 +
— 4-
dzl
3v-ld2 6v-4 д
dt2
1 - 2v dz2
dUz 0 2(1 + v) 9%
dz
1
l-2v d2 l-2v d'
+-
2v dt2 v
1 1-2 vd2Ur
dz2
2 ~ Hr,)
(l-2v)(l-4v)
4v2
ln(r,)
,, ч (Sv7-1)(1 + у) d2T{ =0
2v dt2 6v2 dt2
Ф - Ъу) o + r, 1 +y d% 1 - 2v дгЦ^ _ 1 - 2v d2Uz l
2v dt2dz 2 3v dt2 2vr( dt2dz 2vr( dt2
+ ln(r,)
(1 - 2v)(l + v) d%
l _
6v
dt2
0;
l-2v dz2 dt I 2) dt V 7
(l)
где v -const- коэффвдиент Пуассона; Ur0, U x- главные части радиального Ur и Uz 0, Uz, - главные части продольного Uz перемещения; Т0, 7j -главные части
температуры Г; «0 - коэффициент теплового расширения тела.
Перемещения и напряжения через искомые функции выражаются формулами
и,=и^ +
3-2у
Зу
ґ#\~' чаг2у
т=т0-
1п(г)+-
т-
■*1»
(2)
^ = 4^,0"
1 г ґЛ~2у
—і— 1п(р)-------
2 4 2у
г 1+у г 1— 4у дії, ит, ~-1п(г)—з; --1п(г) - - ;
4 Зу 1 4 2у &
K*ІJ
К1-ЗУ) «Чо + К1+^ 3^ _1В% _ 1 г 1*уд%\,
1-2у дґ2дг 6у ді2 г д?дг г &2 2 Зу ді2
+
1 д2и„
г дГ
4у-\д2Цг0
1-2у а*2 1п(г) +
+
2(Зу -1) д2 2у(6у + 4) д:
1-2V Э?2 (1 - 2у) Зг'
ас/
г,0
12 Л
дг
- 2
дг'
1п(г)
У
1 - 4у Э2 2у аг
дг ™гл
+
дг
8у дги,я (5^-1)(1 + и) Э^+ 4(1 +и) д2Т0
1 - IV дг2 Зу(1-2и) Э(2 3(1 - 2у) дг2 ]’
Граничные условия задачи на торце оболочки как трехмерного тела имеют вид: а) для
механических параметров при 2 = 0
при 2 —> оо
и,=о, £/,=0, ^ = 0,
02
иг= о, £/,=0,
ас/.
= о,
дг
при 2 —> 00
(3)
Г(г,/) = 0.
б)для температуры Т при 2 = 0 Т(г,0 = /(/),
Начальные условия нулевые.
При этом граничные и начальные условия для функций С/г 0, С/г,, С/г 0, С/г, формулируются исходя из (3), с учётом выражений (2) при 2 = 0 и 2 —> оо
^г,0 +
3-2у
Ґ Vі
Зу
-7 1 -Ч1п(г) + -аг2 & I 2
с/.,=а,
4
а
’і г,,л-2иГа2 а24
-+-1п(г)----
2 4 2у
ді2 дг2
ґ і+V т і—4у ас/.
иг>-~Ш—Тх--т--------¿± = 0; (4)
4 Зу 4 2у дг
и, 0 +
3-2у
(а2 У а2?;
& -
Зу
ча*,
—У -(1п(г)+-)— С/,, = О,
&2 I 2,&
Для решения задачи (1)-(4) применено преобразование Лапласа по времени. Получена система уравнений относительно изображений искомых функций. В дальнейшем для решения преобразованной системы уравнений применены методы характеристик и вариации постоянных с использованием метода исключения с учетом затухания возмущений на бесконечности получено общее решение
U(r°A =
СО,
6v-l
2v
«1 + 2 «I
f
A3e~a,z +
6v -1 2v
2 з
c-
Г
«2 + “3 a2
= У,/(Р) -- + В3Л3е-"'г + ;
a
т;,о = 0; г;.о =/('); u«> = A,e“'! + л,е‘" ■,
-A Г1 4 Г A a-P*
^-Zn+Ap) C,A,e ■ ~’"3
С A e~a,z С A e~^
7 ’ «F^ * ' W з“/^) ~ a,K-/)+ 2^^)
c4y»
a^7-7i]+2^(a2-i«)’
(5)
где
« =
*3 =
II-2v 4v r6v-l 2v
■P’ «1.2= A
(6v-l)p ±д/(6у-1) /? +32v a>xp
V
«1+ -T«1
Yi-
Уг .
54 =
8v 6к-1 2v
«2+ 2«2
r2
Zjl
a.
4v -1 2 Уi л 2(1 + v) 2
Q = — ~ P — 4yta + —a ; <y,
2v a 3v
42 1П
/
+
ln(r,)
6v-l
+1
V
4v-l
2vr,<y1
l-2v 2 ——p a,; 4v
6v-l
Tv
vri У
«i+ y«i
+ ■
l-2v
ln(r,) +
af +
C, - -4Д в| + ^2-pJ
2v 2vr1£»I
6v-l 2 l-2v ( П
a. + ^«2 + lnCr,) + -
I 2v p ) V l 2)
0^2 +
/
+
Info)
6v-l
+1
V' У
l-2v 2
“2;
/4, (i = 3,5) - постоянные интегрирования, = const, зависящие от v и rj.
Для определения Аi (/ = 3,5) имеются граничные условия на торце z=0.
Подстановка решений (5) в преобразованные граничные условия даёт систему трех алгебраических уравнений, решение которой не представляет труда. Подставив найденные значения постоянных A, (i = 3,5) в (5) и обратив полученные выражения по Лапласу для
волновых процессов, происходящих за очень короткий промежуток времени (быстропротекающих) получено решение задачи в замкнутом виде
t
T0(z,t) = f(t-y0z); Tx(z,t) = 0; Ur0(z,t) = -^~ \f{t-x)dx\
rL
Uzj(z,t) = r73e~ro22e'rnl jf(T)eru‘dT; Url(z,t) = y75e~we~rn‘ ¡/(т)еы'ёт;
roiz У(ц z
U,.tM = -rulr„ )"\№d4dT+l + ^ )f(l-T)dT +
Ли1 У°1 Yo* 0 roZ
t -Ym2 Jj#r t
+ У67 /Уо f (.* ~ T)dT ~ --------------'V4y^n e dr + —9'K'L Гр2 (t - r)dr,
* V V v V "
yaz /02 /68 / 71/ 0 y0z
где
ЗД) = //(£)<*£; F2{t) =
о 0
Полученные выше аналитические выражения позволяют полностью определить напряженно-деформированное состояние произвольного сечения оболочки посредством формул (2).
ЛИТЕРАТУРА
1. Коваленко А.Д. Термоупругость пластин и оболочек.- Киев: КГУ, 1971.
2. Новацский В. Динамические задачи термоупругости.-М.: Мир, 1970.
3. Мотовиловец И.А. К нагреву полого цилиндра // Тепловые напряжения в элементах конструкций.-1975.- Вып. 15.-С.143-146.
4. Козлов В.И. Термоупругие колебания прямоугольной пластины // Прикл. механика.-1972.-8, №4,- с.123-127.
5. Худойназаров X. X. Теория (несвязная) продольно-радиальных колебаний круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки с учетом температуры // Узбекский журнал Проблемы механики.- 1993.-№ 6.-С. 8-15.
TERMOSTRESSING CONDITION OF THE CYLINDRICAL SHELLS WITH THE NONSTATIONARY HEATING ON THE BOUNDARY
R.I. Holmurodov, F.A. Amirkulova
Department of a theoretical and applied mechanics Samarkand state University (Uzbekistan)
703004, Samarkand, Universitetski .bulvar, 15
In the paper desided the problem about the longitudial-radial motions of the circular cylindrical thermoelastic shells excited temperature action.
Рустам Ибрагимович Холмуродов родился в 1949 г., окончил 1971 г. Самаркандкий (Узбекистан) государственный архитектура-строительный институт. Доктор технических наук, профессор, ректор СамГУ имени Алишера Навои. Автор 51 научных работ в области механики строительных конструкций и строительной механики.
R.I. Holmurodov (b. 1949) graduated from Samarkand State institut of the archotecture and civil engineering in 1971. DSc (Eng), professor, author of 51 publications.
Феруза Абдукадировна Амиркулова родилась в 1973 г., окончила в 1995 г. Самаркандский государственный университет. Кандидат технических наук, докторант. Автор 12 научных статей.
F.A. Amirkulova (b. 1973) graduated from Samarkand (Uzbekistan) State University, author of 12 publications.
