CC BY
38
УДК 539.3
ПРОДОЛЬНО-РАДИАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОЙ ОБОЛОЧКИ
Х.Х. Худойназаров, Ф.А. Амиркулова
Кафедра теоретической и прикладной механики Самаркандского государственного университета (Узбекистан) 703004, Самарканд, Университетский бульвар, 15.
В работе выведены приближенные уравнения продольно- радиальных колебаний круговой цилиндрической термовязкоупругой оболочки при действии внешних динамических нагрузок на внешней и внутренней поверхностях. Наряду с уравнениями предложен алгоритм, позволяющий по полю искомых функций однозначно определить поля напряжений, деформаций и температуры.
Влияние температурных напряжений оказывается существенным во многих прикладных задачах по расчету колебаний оболочек. Поэтому следует учитывать зависимость напряженно-деформированного состояния оболочки от температуры.
Рассматривается круговая цилиндрическая термовязкоупругая оболочка с внутренним
гх и внешним г2 радиусами. Предполагается, что материал оболочки однороден и изотропен. Кроме того, изменения температуры, появляющееся при деформировании оболочки, пренебрегаются, то есть постановка задачи осуществляется в рамках несвязной теории. Для вязкоупругого и термически изотропного материала при повышении температуры на АТ = Т — Т0 изменения длин по всем направлениям равны, т.е.
появляются только удлинения, сдвиги отсутствуют. Поэтому связь между компонентами тензоров напряжений и деформаций, а также температурой принимаются в виде [1] аг,, = Ь(е) + 2М(ен)-а0Ы(ТУ, а& = М(е0), (/ Ф /) (нет суммирован ия), (1)
где £ -объемная деформация; Ь, М - вязкоупругие операторы
Я, (X - коэффициенты Ламэ; СХ0 - коэффициент теплового расширения. Предполагается,
что операторы Ь, М -обратимы, а ядра АТ, (/) и К2(0 -произвольные.
Движения точек оболочки, как трехмерного термовязкоупругого тела, в цилиндрической системе координат (г, в, г), при малых деформациях описывается уравнением [2]
где и - вектор перемещения.
Температура Т в случае несвязной теории термоупругости и конечности скорости распространения тепла удовлетворяет уравнению
где с- скорость распространения температуры; Ср -теплоемкость при постоянном
давлении; г0 -время релаксации тепловых потоков; с0 - коэффициент
температуропроводности.
Считаем, что продольно-радиальные колебания цилиндрической оболочки возбуждаются внешними усилиями, заданными на ее поверхностях г = г1 (г = 1,2):
(Ь,М)д = (Л,м) <Г(0 - Д*,(' - г) 1 К2(1 - т) д(т)(іт; N = Ь + ^М',
л Э
0
{Ь + 2M)grad(¿//ум) -М[Ш(Шй)\ - рй + а0Ы(^ас1Т),
(2)
АТ-\Т-\Т = 0; Сд =
с
(3)
Со с
Р°р
СТГГ = /Г(,)0М); =/£°(2Г,/), (4)
а условия для температурного режима на поверхностях оболочки имеют вид
Т = С(,)(2Г,0 при Г = г, (/ = 1,2) (5)
Начальные условия предполагаются нулевыми, в том числе и для температуры Т.
Представив вектор перемещения и через потенциалы продольных и поперечных волн по известной формуле [3] и решая совместно уравнения (2) и (3) легко получить
Т = — ЛГ1 [ц (аф)- рф] М(А% )=р%;
ап
¿,(д2ф)-
Ід 1 д2 — +
с0 5/ с ді
+ Р
дґ
АФ + р
1 Э3 1 д4
с20 <?/3
с2 8Ґ
(6)
Ф = 0,
где Ц = Ь + 2М; А^'1 - оператор обратный оператору ТУ; А -оператор Лапласа в цилиндрической системе координат.
Для решения задачи потенциалы Фи^и температура Т представлены в виде [4]
[Ф, г]= ] 51П Ма ¡У, Т,)е-Лр', % =)С03 а |Ч\e-dp .
0-COSfeJ „ ЯШ Ь ] ^
Подставляя (7) в уравнения (6) получены обыкновенные дифференциальные уравнения, общие решения которых с учетом теоремы Т. Во^ю [1] и их ограниченности при г —> 00 и г = О имеют вид
'¥хй(г) = Вх10(рг) + В2Кйт,
Ф(г) = А110{а]г)+ А2К0(а/)+ Аъ10(а2г)+ А,К0{а2г), (8)
Т = [д/0(а,г)+ АгК0(а1г)]+а»2[Аъ10(а2г)+ ААКй{а2гЪ
где
со
р1 =к2 + РР2М~'; м0 = р[1 - £20Ср)1 £2оО) = |^2(Ое'р'ф;
о
а? = А2 +а?; (/ = 1,2);©, = -а2} а2 = к2 + рр21(/ = 1, 2);
а,2 + «22 = р
; а2 -а] =рр2Щ
Ґ Р_ ±_ 2Л 2 2 Р
К0* С J
Постоянные интегрирования А, (/ = 1, 4), Вх и В2 выражаются через главные части перемещений и температуры. Для этого перемещения IIг, II2 и температура Т представляются в виде (7) и вместо <р и Т10 подставляются их выражения (8). В
дальнейшем, функции Бесселя в полученных выражениях разлагаются в ряды по степеням радиальной координаты г и рассматриваются первые их слагаемые при
г = В, (£ — радиус «промежуточной» поверхности ), которые и будут главными частями преобразованных перемещений и температуры. При этом радиус промежуточной поверхности оболочки определяется по формуле [5]
X —
2 + — < ^ < 2— + — .
(9)
'2 У
Полагая
¡7™ = а]Ат + а]Ах-крВ^ ¡У»1 = -(А, + А,-кВ,),
£/« = к(Аю +Ах)-/1!В2,; = ±(*(Л, +А,)-Р%\
1
Т00 — о)хАхо +й)2Л30,
[До 5 ^20 ] = [Д ’ Ц ] — [Д+1 > -®2 ]
Го., ~ „ (щЛ2 + й)2А4),
4
где
1п(«Р«2^)|._ (1)_1
2 2
/ = 1, 3;
^(1) - логарифмическая производная гамма функции.
Преобразовав граничные условия (4), (5) подставив в них решения (8) получены шесть уравнений относительно постоянных Д и В] .Используя в дальнейшем стандартные
разложения Бесселевых функций в степенные ряды по степеням радиусов гх и г2 в полученных уравнениях и последующей подстановкой в разложения значения постоянных по формулам (10) выведена система шести алгебраических уравнений относительно
введенных шести функций и <°0>, и *7,11^1, и^1, Т0 о, Т01. Осуществляя обратный
переход по Фурье и Лапласу, а также ограничиваясь первым приближением выведена следующая система интегродифференциальных уравнений продольно- радиальных колебаний оболочки
- 2 а0рЫЦ
-4
дг2 ( д% л
^ а2 ’
1 ( > иг0 +
; а*'] г,и
дг1
дг2
дг
и
2,0
Г , \(
1 г/ 1
1п — + -
£ 2
ч
_£
2
а2 Л
2 Л
2 _ а2 + — рЦ г,
К +
дг2
-\п^Ц1М(Я]-Я2)
4
КдГ;
иг,>~
дг
( д2/^ К ^ ,
О
52 N
Я2 + 2ЯХ +
дг1
д Т1 ■ г> — сУ-о + —
дг г'°
Г д2 Л
2 Я2
Г- 1п — Ц{ М 2 £
2 4 1
' ч
32 \
2ЯХ — Я2 л---------—
Эг2
Я2 + -1?
2Л,
Г,
52 \
Лхи^0-^а0ЫЦ
Г д2 1] диг,
Кдг
-I
32 Л
Я-, + ■
дг1
дг
— Я^ + Я-,
дг1
дг2
К.
а/2
, (г = 1,2);
д2Т0
дг2
, г1 1 1п — + -
V 4 2
рЦ
д2Т, Ыг
= рЦ
д2с(0,}
д12
(/ = 1,2).
(П)
Выведены формулы для перемещений, напряжений и температуры через введенные главные части перемещений промежуточной поверхности оболочки
5
- + -\а-Ц'МАг г 4 £ 1 2
игХ --4\п-{^М-\)—игХ -г' 4 Г1 гД
-Г-ПпГ-Ц'{айМ)Гх, 4 ^
Т = Тп
1 г 1
1п —I—
. £ 2
Л
(12)
и2 =и,'о -
I г 1
1п —I— . й 2
фгЛ+2Ц'(аМ Я,+
2 \
дг2
дг
Т0,
Аналогичные формулы имеют место и для компонент напряжений.
В качестве примера решена задача о продольно-радиальных колебаниях круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки, возбужденных внезапно включенной нагрузкой на торце, на которую одето жесткое недеформируемое кольцо малой ширины. Граничные условия задачи следующие
иг=~иг = 0; ег,: = - , приг = 0 (13)
дг 1 -V
и 1]: =11 г = 0 при г—>оо, Н(()- функция Хевисайда. (14)
Решение проведено на основе уравнений (11) в случае отсутствия влияния температуры. Перемещения вычислялись по формулам (12) с учетом отсутствия температуры. Результаты
вычислений перемещений приведены на рис.1 и рис.2. Из приведенных графиков, где ¿У, и иг- перемещения точек срединной поверхности оболочки, видно, что предложенная
теория дает удовлетворительные результаты почти во всей области ъ € (0;л/2 + 2у ], кроме быть может для точек оболочки, находящихся в непосредственной близости от торца, подвергнутого внешнему воздействию, где краевые эффекты Сен-Венана проявляются очень сильно [6]. Процесс продольного деформирования можно разделить на три участка (рис. 1). На первом участке, когда 2 < 2,8 краевые эффекты являются достаточно
срединной поверхности оболочки. Второй участок, заключенный в зоне от 2 > 3 до
второго фронта волны Z < 10, характеризуется плавным уменьшением значений U , которое указывает на то, что на этом участке влияние вязкости значительное. Что же касается влияния вязкости на первом участке, где z < 2,8, нетрудно увидеть, что этот
2,8
участок пробегается волной за время t« •••. —г, которое достаточно короткое. Поэтому
л/2 + 2v
на этом участке оболочка ведет себя как упругое. За первым фронтом волны в зоне до второго фронта продольное перемещение очень мало и им можно пренебречь. Радиальное перемещение также быстро затухает с ростом расстояния от торца и для значений z > 5 им можно пренебречь (рис.2).
ЛИТЕРАТУРА
1. ИовацкийВ. Теория упругости.-М.: Мир, 1975.-872 с.
2. Лыков А.В. Теория теплопроводности.-М.: Высшая школа, 1967.-599 с.
3. Кубенко В.Д. Нестационарное взаимодействие элементов конструкций со средой.-Киев: Науководумка, 1979.-188 с.
4. Петрашень Г.И. Проблемы инженерной теории колебаний вырожденных систем //Исследования по упругости и пластичности,- Л.: Изд-во ЛГУ, 1966, № 5.-C.3-33.
5. Худойназаров X., Филиппов И.Г. Уточнение уравнений продольно-радиальных колебаний круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки//Приклад. Механика.-1990.-26, №2.- С.63-71.
6. Алумяэ Н.А., Паверус Л.Ю. Переходный процесс упругой деформации в замкнутой кругоцилиндрической оболочке при неосесимметричной краевой нагрузке// Изв. АН ЭССР. Сер. Физ.-мат. И техн. Наук.-1963.-№ 1.- с. 13-23.
LOAGITUDINAL-RAD1AL VIBRATIONS OF CIRCULAR CYLINDRICAL TERMOVISCOELASTIC SHELLS
Kh.Kh. Khudoynazarov, F.A. Amirkulova
Department of a theoretical and applied mechanics Samarkand state University (Uzbekistan)
703004, Samarkand, Universitetski ,bulvar, 15
In the paper the approximate equations of longitudial-radial vibrations of the circular cylindrical thermo viscoelastic shells under the action of the exterior dynamical load on exterion and interior surfaces are deduced. Depite of equations the algorithm, which allows to unikely determine the field of stresses, deformations and temperature by means of field of being finding functions.
Хайрулла Худойназаров родился в 1950 г., окончил 1972 г. Самаркандский (Узбекистан) государственный университет. Доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой Теоретической и прикладной механики СамГУ имени Алишера Навои. Автор 72 научных работ в области механики деформируемого твердого тела и строительной механики.
Kh.Kh. Khudoynazarov (b. 1950) graduated from Samarkand State University in 1972/ DSc (Eng), professor, author of 72 publications.
Феруза Абдукадировна Амиркулова родилась в 1973 г., окончила в 1995 г. Самаркандский государственный университет. Кандидат технических наук, докторант. Автор 12 научных статей.
F.A. Amirkulova (b. 1973) graduated from Samarkand (Uzbekistan) State University, author of 12 publications.
