CC BY
19
1/2007
ВЕСТНИК _МГСУ
СОБСТВЕННЫЕ ПРОДОЛЬНО-РАДИАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ЖЕСТКО ЗАКРЕПЛЕННОЙ ПО ТОРЦУ
O.A. Егорычев, О.И. Поддаева
Рассмотрим задачу о собственных продольно - радиальных колебаниях тонкой цилиндрической жестко закрепленной по торцам упругой оболочки, находящейся в упругой среде. Пусть поверхность оболочки свободна от нагрузок.
Искомые функции выбираются в точках промежуточной цилиндрической оболочки г = £, которая при г1 = 0 (г1 - внутренний радиус цилиндра) переходит в ось цилиндра, при малых значениях (г2 - г1)
--- (г2 - внешний радиус цилиндра) близка к срединной цилиндрической поверхности.
Используя ранее полученные общие уравнения продольных колебаний вязкоупругой цилиндрической оболочки [1] и выражения для перемещений и напряжений, представим в данной постановке
краевой задачи приближенные уравнения колебаний упругой цилиндрической оболочки, находящейся в упругой среде в виде:
д и,0 2 д иг1
N и,0 + + [а,(Г1)^(1) +—] игЛ + ^2(>1 = 0;
dz
д_ dt'
dz
^ + \аМ) Л™ + 4- Df I r dt
(N3 + D-) Ur_0 + N4 ^ . , . __2
a2 (r2)-:
Лт + — Л2 Т 2
1
хигЛ + | ^2 (l)" D —
,{Г2 ) + ^
dz
= 0;
(1)
N
д U
2, Э Ur,!
4 д -N5 Л™ Uz,o + K(r) + ~] ~+
az r oz
+j im + 2 N,-^—- , 21 ln r. + — ¡>
I _ 2 1 az2_ j rj J
(j = 1,2),
г2 \р1 (Л + 2^1) Л + 2д ц где В = —--- ; а{ =--'- ; Ц =— ;
2 \ А) /«0 Рг Рг
Л0,Л1,ц1- константы Ляме, р0,рх - плотность (0 - материал цилиндра, 1 - материал окружающей среды), У0 - коэффициент Пуассона.
1
N1 =
N =-
1 -Vo
3 - 4vn
N = ^ ; N = 2(1 -0)
1
1 - 2K
N =
1 - 2Vo b2 д2
N =■
3 (1 3^0) . 1(1) _ bo u __. 2 w
1 -v0 ; ^ a02 dt2 dz2
1 - 2^0
OL- J(1)-ü-ü ; "3t2 az2
r 1
а1 (г) = Nlln^-2 а2(г) = +2; а (г) = ;
В связи с тем, что торцы оболочки жестко закреплены, граничные условия можно представить в
виде:
при z = 0 и z = l.
Ur,0 = Ur,1 = 0; игЛ = 2 Vzд ;
(2)
r
2
ВЕСТНИК
МГСУ
1/2007
Из общих выражений для перемещений запишем приближенные выражения:
U = UZ0O ln-+
r 1
S 2,
Uz,i;
r r £
Ur = ^ - T
rE r дVz1
Ur1--^ q2ln--^
гД 2 £ dz
(3)
(4)
-2 + (1 + qf)^2(1)ln T-Представим функции, входящие в уравнение (i) в виде:
Ur,о = S W0,m (í) sin (Ymz);
m=0
Ur,1 = S Wi,m (t) Sin (Xm z );
m=0
Uz,0 = S W^ (t) COS (Ymz);
m=0
Uz,1 = S ^3,m (t) COS );
ИЖ 7 _ „ ТТ7 ' ТТ7
где ут =-, I - длина оболочки, т = 0,1,2... W3m =— ;
1 ь
После подстановки выражений (4) в систему уравнений (1) и проведения необходимых преобразований получим обыкновенное дифференциальное уравнение шестого порядка:
Э6W , dsW , д4W , д3W
dt6
-+ d1
dt5
-+ d.
2 dt4 + d3 ^3
dt3
-+ d,
d 2W
dW
,,-+ d5-+ d6W = 0;
dt2 5 dt 6
(5)
Рассмотрим случай, когда окружающая среда отсутствует, следовательно, Б = 0 и тогда уравнение принимает вид:
й6 W л й4 ^ л й2 W л Л
- + й —-г- + й —-г- + й6 = 0;
dt6
2 dt4 4 dt2
(6)
Следует заметить, что любая из функций W0m ; W1m ; W2m и Wз т обязаны удовлетворить уравнениям (5) и (б), т.е. W - любая из названных функций.
Следовательно, на основании (4) этим же уравнениям должны удовлетворять функции иг0,иг1,иг0,иг1. Уравнение (б) можно представить частотным уравнением шестого порядка в виде:
а6 + d2 а" + d4 а2 + d6 = 0;
(7)
Решая это уравнение, находим значения частот собственных колебаний при различных значе-
ниях v„ и m .
tiT'- •■ ¡
Bär.v«
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Филиппов И.Г., Кудайназаров К. Уточнение уравнений продольно-радиальных колебаний круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки. Прикладная механика, Киев 1990,т.26, №2, с.63-73.
2. Егорычев О.О., Поддаева О.И. Собственные продольно-радиальные колебания цилиндрической оболочки. Журнал ПГС, 2005 г., с.28-29.
m=0
