Термическая неравновесность системы, состоящей из двух тел разной температуры Текст научной статьи по специальности «Физика»

§и УДК 536:53

ТЕРМИЧЕСКАЯ НЕРАВНОВЕСНОСТЬ СИСТЕМЫ, СОСТОЯЩЕЙ ИЗ ДВУХ ТЕЛ РАЗНОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ

В.В. Рындин

Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова

Энтропияльщ айырым жане максимальды жумысы бойыниа ощшуланган сэйкестш жане адиабаттьщ жуйлердщ жылулъщ тепе-тецаздтн есептеу келпйртген.

Даётся расчёт термической неравновесности изолированной и адиабатной систем соответственно по энтропийной разности и максимальной работе.

The calculation of thermal nonequilibrium of isolated and adiabatic systems is given through excess entropy and maximal work accordingly.

Данная статья является продолжением серии работ, начатой работой [1], по расчёту различных неравновесных систем с использованием введённых автором количественных характеристик неравновесности системы [2]. В предлагаемой работе даётся расчёт термической неравновесности системы, состоящей из двух тел разной температуры.

Термическая неравновесность изолированной системы. Рассмотрим изолированную систему (ИС), состоящую из горячего тела (ГТ) массой т при начальной температуре Г, и холодного тела (XT) массой т при начальной температуре Т2 (рисунок 1). Тела имеют постоянные объёмы и могут обмениваться мевду собой внутренней энергией в процессе теплообмена В ходе теплообмена температура ГТ уменьшается, a XT увеличивается 3 конце процесса теплообмена оба тела приобретают одинаковую (равновесную) температуру Г; термическая неравновесность исчезает, а эквивалентной механической неравновесности не возникает, поэтому процесс теплообмена необратим (индекс «н» у Т).

Мерой неравновесности ИС в соответствии с [2] является энтропийная

разность - разность энтропии ИС в равновесном и неравновесном состо-

яниях - или приращение энтропии ИС при переходе её в равновесное состояние:

^^ ~~ ^РИС ^НРИС ^истах

(1)

Для простоты расчёта в качестве ГТ и ХТ возьмём идеальный газ постоянной теплоёмкости, внутренняя энергия которого зависит только от температуры: и = сптТ . В этом случае изменения энтропии идеальных газов, образующих ГТ и ХТ, при изменении их температур от начальных Г, и Т2 до конечной равновесной температуры Гн в изохорном процессе определятся в виде [3]:

+ Д^2н = сьтх\п(Гн/Т\) + с„т2Ы(Тн /Т2) =

ИСшах

= Л5 .

Если массы тел равны те, = т^ = т, то выражение (2) упростится

а5-

ИСшах

Т 2

- с,т 1п —

Чг

(2)

(3)

Максимальное приращение энтропии неравновесной изолированной

системы д£ИСтах при переходе её в равновесное состояние, как уже отмечалось, является мерой начальной неравновесности системы — энтропийным количеством неравновесности (энтропийной разностью АЛТ ).

=ехнт=а

ГТ 7'ь ти их \ ХТ Тъ т2, и2 /

Тп,ти и\ Г„, т2, и'г У

Термически равновесная система

и=щ+и2 =

= С»(щ + тг)

Рис. 1

Равновесную температуру тел после необратимого теплообмена 7'н найдём из условия, что ВЭ двух тел'до теплообмена равна ВЭ этих тел после теплообмена,

и = их + и 2 = сьт{1\ + сьт2Т2 = 1]\ +11'2 = с„ (щ + т2 )ТН. (4)

Откуда находим равновесную температуру изолированной системы, получаемую в результате необратимого процесса теплообмена,

Тн = (т{Гх + т2Т2 )/(>! + т2). (5)

Если массы тел одинаковы, то

Тн=(Т1+Т2)/2. (6)

Внутренние энергии ГТ С/, и ХТ £/, можно представить в виде площадей прямоугольников с основаниями соответственно спгп\ и с1)т2 и высотами Т] и Т2, а их изменения Д[/, = д^ и д[/2 = д»т - с высотами, равными разности температур, соответственно Г-Г и Г-Г (см. рисужн 1).

Термическая неравновесность адиабатной системы. Адиабатна1 система (АС), в отличие от изолированной системы, может обмениваться работой с другими неизолированными системами, например, с приёмниками работы (ПР). Поэтому в состав адиабатной системы, наряду с горячим и холодным телами следует включить и тепловую машину, которая могла бы совершать работу за счёт передаваемой теплоты и отдавать её приёмнику работы, который не входит в состав адиабатной системы (рисунок 2),

Рис.2

Если тепловая машина будет идеальной, то совершённая ею работа за время перехода системы в равновесное состояние и будет являться энергетической неравновесностью (энергетическим количеством неравновеснс-сти) адиабатной системы ЛНРАС. Идеальная тепловая машина (ИТМ), как известно, работает по идеальному циклу Карно (ИЦК).'Поскольку в процессе теплообмена температуры ГТ и ХТ непрерывно изменяются, то необходимо иметь бесчисленное число ИТМ, совершающих идеальные цик-

лы Карно в диапазоне изменения начальных температур ГТ Г, и ХТ Г, до конечной температуры этих тел Гоб. Следовательно, неравновесность такой системы будет равна максимальной внешней работе, которую может совершить термически неравновесная адиабатная система при обратимом переходе её в равновесное состояние, т. е. будет равна сумме работ идеальных циклов Карно

ЛНРАС = И^ = ^Стах = I й^ицк,, (7)

где индексы «е» и «о» означают соответственно внешнюю (эффективную)

работу и обратимость процесса.

В случае обратимого переноса тепла холодное тело получает меньше теплоты, чем отдаёт горячее тело на внешнюю работу адиабатной системы:

а°т

£т =

-Срс (8)

Следовательно, при обратимом переносе тепла ХТ нагревается, а ГТ остывает до температуры Г., меньшей температуры необратимого переноса тепла Т\ То5 < Г (см. рисунок 2).

Максимальная внешняя работа адиабатной системы равна убыли энергетической неравновесности системы, а в случае перехода АС в равновесное состояние — и самой неравновесности адиабатной системы:

^АС->РС = -ДЛнРАСта* = ЛНРАС ~ ЛРАС = ЛНРАС (9)

(неравновесность системы в равновесном состоянии равна нулю: ЛРАС = 0).

В соответствии с первым законом термодинамики работа адиабатной системы равна убыли внутренней энергии системы. Следовательно, неравновесность АС в случае обратимого перехода системы в равновесное состояние равна убыли ВЭ системы (см. рисунок 2):

ЛНРАС = Кс%с = -^АСРС = С/-£/' = + ш2)Ти - ^ -сь{шх +т2)Тоб =с„(т, +т2)(Тн -Гоб), где внутренняя энергия системы в начальном неравновесном состоянии определяется выражением (4).

В случае равенства масс ГТ и ХТ получим

ЛНрас=^лс%с=2 сит(Тн-То6). (Ш

Как видим, для расчёта термической неравновесности АС необходимо знать температуру обратимого выравнивания термических состояний горячего и холодного тел Тл. Её можно найти из условия, что при обрати-

мом переносе тепла выравнивание температур тел адиабатной системы (как и изолированной, состоящей из тех же двух тел) до Гоб происходит без изменения энтропии всей системы. Подставляя в выражение (2) для изменения энтропии вместо температуры необратимого выравнивания Т температуру обратимого выравнивания То6 и приравнивая изменение энтропии нулю, получим:

а5ас = + Д52° = с0тМТ0б / Г,) + сьтМТ0, /Т2) = 0.

Откуда находим

1п То6 = (/и,1пГ, + да21пГ2)/(т, + т2), (12;

а при равенстве масс для расчёта температуры обратимого выравнивания получается простое соотношение:

Гоб = ^¡Щ ■ (13)

Заметим, что эта же формула получается из выражения для изменения энтропии (3), если его приравнять нулю:

1 И 2

Поскольку 1п1 =0, то, следовательно, Т{Т2 = Т\б. Отсюда получается выражение (13).

Используя связь между температурами (13), выражение (3) для расчёта изменения энтропии ИС, состоящей из ГТ и ХТ одинаковой массы, в случае необратимого выравнивания температур, можно записать в виде

Т

^ИСшах = 2сьт 1п—(14) * об

Решая совместно уравнения (2) и (12), получим общее выражение для приращения энтропии в процессе необратимого выравнивания температур, которое эквивалентно энтропийной разности, характеризующей неравновесность ИС,

* Т

Деистах = Л^* = (т, + т2) 1п -Н- _ (15)

* об

Связь между изменениями энтропии горячего и холодного тел одинаковой массы и теплоёмкости и всей ИС в целом в обратимом и необратимом процессах выравнивания температур, а также между теплотами представлена на рисунке 3.

0 _ НРАС _ ууео /2 Ион 2 АС-»РС

Рис. 3

В случае обратимого выравнивания температур горячее тело в обратимом процессе выравнивания температур отдаёт больше количества тепла бгт (площадь под кривой 10), чем количество тепла £?Гт в необратимом процессе (площадь под кривой 1Н) на теплоту <20Н, изображаемую площадью под кривой ОН,

вгт = бгт

СОН ■

(16)

Холодное же тело получает меньше количества тепла (2°хт (площадь под изохорой 20), чем количество тепла {2НХТ в необратимом процессе (площадь по кривой 2Н) на теплоту 0,ш, изображаемую площадью под кривой ОН,

вхт ~ вхт в(

ОН ■

(17)

В результате этого в обратимом процессе выравнивания температур ХТ нагревается меньше, а ГТ остывает больше, чем в необратимом процессе выравнивания температур: Тоб < Г (точки О и Я на рисунке 3).

Вычитая из выражения (16) выражение (17) и учитывая, что в необрати мои процессе выравнивания температур теплоты равны ( <2"т = ), по лучим связь внешней работы с теплотой б :

\Vе0

ГГ АС—»РС

Следовательно, площадь под кривой ОН изображает половину работы, совершаемой адиабатной системой при переходе её в равновесное состояние,

вон = ^рс/2 • (18)

В процессе обратимого выравнивания температур уменьшение терми* ческой неравновесности компенсируется ростом механической неравновесности, характеризуемой работой , запасённой приёмником работы, например, в виде кинетической энергии маховика. Если эту энергию (работу) диссипировать, т.е. путём трения превратить в тепло (ХД), равномерно распределённое между телами ИС (горячим и холодным телами), то это приведёт к изохорному нагреву равновесной системы массой тп + ш от температуры Го6 до Г (линия ОН):

Кс°->рс = ^р = вшс = = сь(Щ + тг)(Ти -Тоб) = ЛНРАС.

В случае тел одинаковой массы каждое тело в процессе диссипации работы получит одинаковое количество тепла трения ()оц, равное в соответствии с (18) половине работы ГАе°^рс . Следовательно, площадь под кривой ОН соответствует теплоте, подведённой в результате диссипации к одному телу (ГТ, или ХТ), т. е. она эквивалентна величине IVе0 п а

АС—>РС '

значит и половине энергетической неравновесности адиабатной системы

Лнрас/2 ■

В результате диссипации механической энергии исчезает механическая неравновесность и изолированная система, состоящая из адиабатной системы и приёмника работы, переходит в равновесное состояние. Поскольку мерой механической неравновесности была работа совокупности идеальных циклов Карно, то она же будет и мерой термической неравновесности (эквивалентной механической) при выравнивании температур горячего и холодного тел от Г, и Т2 до Т. А поскольку при переходе равновесной системы двух тел от температуры Гб до Г термическая неравновесносгь не изменяется (её просто нет), то работа совокупности идеальных циклов Карно является также мерой потери (точнее преобразования в механическую) термической неравновесности и при обратимом переходе от неравно-

весного состояния с температурами Г, и Т2 к равновесному состоянию с температурой Тоб.

Поскольку диссипация работы происходит при переменной температуре тел, то полное изменение энтропии ИС (АС плюс ПР) в результате потери механической неравновесности определится интегрированием выражения Гюи-Стодолы [3] в интервале температур от То5 до Г и с учётом, что в этом интервале температур ТХ1 - Тгт = Т,

Д^ис = \т\ЩЮт /т = \т" 5бдис /Т = йипот /Т =

'об 'об 'об

т Т

= си{тх+т2)\ п аГ/Г = с„(тя, +и2) 1п—

06 Гоб

что совпадает с полученным ранее другим методом выражением (15).

Таким образом, мерой термической неравновесности двух тел являются энтропийная разность /определяемая выражениями (2) и (15), и энергетическое количество неравновесности ЛНРАС (равное максимальной работе адиабатной системы за счёт уменьшения термической неравновесности), определяемое выражением (10).

ЛИТЕРАТУРА

1. Рындин В В. Неравновесность адиабатной системы, состоящей из рабочего тела в цилиндре и жидкой окружающей среды // Наука и техника Казахстана-2003,-№ 1.-С. 80.

2. Рындин В.В. Количественные характеристики (меры) неравновесности системы в данном состоянии и её изменения при протекании процессов //Наука и техника Казахстана,- 2002,- № 4,- С. 12-21.

3. Кириллин В. А., Сычев В. В. и Шейндлин А. Е. Техническая термодинамика: Учеб. для маш. спец. вузов.- Изд. 2-е - М.: Энергия, 1974 - 448 с.