CC BY
21
Na3,2002г.
17
УДК 536:53
КОНЦЕПЦИЯ НЕРАВНОМЕРНОСТИ КАК ОСНОВА ВТОРОГО ЗАКОНА ТЕРМОДИНАМИКИ
В.В. Рындин
Павлодарский государственный университет им. С.Торайгырова
Бурын к,олданылып келген тепе-тецЫлхк тужырымдамасыныц орнына жаца «тепе-тецЫздЫ» тужырымдамасы енг1з1лге. Оныц мэта -термодинамикалъщ оцшау жуйеде втепии цайтымды процесс барысында цорытынды тепе-тецЫзд1кпщ взгермеушде. Tene-me\\ci3diKmi жене оныц к,айтымсыз процесте азаюын сипаттау ушт сандык, влшемдер бертген.
Взамен существующей концепции равновесности вводится новая концепция — «неравновесности», согласно которой в обратимых процессах полная конечная неравновесность изолированной системы не изменяется. Для количественной характеристики неравновесности системы и её уменьшения в необратимых процессах даются соответствующие величины.
Instead of the existing concept of the equilibrium the new concept — «of the nonequilibrium « is entered, according to which in reversible processes the complete finite nonequilibrium of the isolated system поп changes. For the quantitative characteristic of the nonequilibrium of system and of its diminution in irreversible processes the appropriate magnitudes are given.
В работе [1] было показано несоответствие концепций обратимости и равновесности, используемых при изложении второго закона термодинамики (ВЗТ). Несоответствие заключается в том, что обратимость в концепции равновесности наступает при полной равновесности, когда нет никаких процессов. Наличие обратимости в неравновесных системах концепция
равновесности не предполагает. В то же время известны обратимые процессы (ОП), протекающие в неравновесных системах, например, перенос тепла при конечной разности температур между телами с помощью тепловой машины, совершающей идеальный цикл Карно; истечение газа без трения из идеального сопла при конечном перепаде давления на нём или его рас-
ширение в идеальной турбине и другие. Кроме того, в соответствии с концепцией равновесности область применения ОП в термодинамике ограничивается рассмотрением взаимодействий между системами, находящимися в почти одинаковых состояниях (при бесконечно малых перепадах давления и температуры между системами), что снижает практическое значение этой концепции.
Концепция обратимости в неравновесных системах. В основу новой концепции положено положение, что причиной всех процессов является неравновесность — свойство материи, обусловленное неодинаковостью распределения концентрации движения в пространстве. Под неравновесностью также будем понимать свойство (способность) системы совершать работу(работоспособность) как внутри изолированной системы (ИС), так и отдавать её за пределы неизолированной (адиабатной) системы.
Любой процесс может протекать только в неравновесной системе. В процессах взаимодействия движение передаётся от одного тела к другому, что приводит к выравниванию концентрации движения в пространстве. В результате неравновесность данного вида уменьшается с появлением неравновесности другого вида в эквивалентном или меньшем количестве (например, уменьшение термической нерав-
новесности при переносе тепла от горячего тела к холодному может компенсироваться ростом механической неравновесности за счёт разгона маховика или подъёма груза при работе теплового двигателя), либо может исчезнуть полностью без появления неравновесности какого-либо другого вида (например, в процессах выравнивания температур двух тел при теплообмене или уровней воды в двух сообщающихся резервуарах).
Поскольку все реальные процессы протекают в сторону уменьшения неравновесности (увеличения равновесности) ИС, что в конечном итоге приводит к «замиранию» всех макропроцессов в системе, а значит и к невозможности получения упорядоченного движения — работы, то возникает естественный вопрос, как организовать процесс, чтобы продлить время работы неравновесной системы, т. е. получить больше работы отданной неравновесной системы? Какие процессы (идеальные, обратимые) в пределе не будут менять неравновесность изолированной системы?
В связи с выше изложенным для обоснования обратимости процессов взамен концепции внешней равновесности выдвигается концепция сохранения полной внешней неравновесности1 в системе взаимодействующих тел (в ИС). Согласно этой концепции обратимость (точнее квазиобрати-
1 В дальнейшем под неравновесностъю будем понимать внешнюю неравновесность между подсистемами (телами), каждая из которых находится во внутренне равновесном состоянии.
чость) наступает не при полной равновесности (тогда нет никаких процессов, в том числе и обратимых), а в любой неравновесной системе, состоящей из внутренне равновесных систем (подсистем), если при протекании процессов полная неравновесность между ними сохраняется (почти сохраняется): уменьшение неравновесности одного вида должно компенсироваться увеличением неравновесности другого вида.
То есть эта концепция — «неравновесности», в отличие от концепции полной равновесности, возможность (причину) обратимости самопроизвольного (естественного) процесса, приводящего к уменьшению неравновесности между двумя подсистемами, видит в создании новой неравновесности между двумя другими подсистемами в результате осуществления принудительных (компенсационных) процессов, протекающих (одновременно с протеканием прямого процесса) в специальных устройствах, которых обычно нет при протекании естественных процессов выравнивания.
Концепция сохранения неравновесности согласуется с существующим определением обратимого процесса, согласно которому изолированная система после протекания прямого и обратного процессов возвращается в исходное состояние, т. е. к прежней неравновесности. При протекании естественных (самопроизвольных) процессов выравнивания происходит уменьшение неравновесности данного вида.
Например, при расширении рабочего тела (РТ) перепад давлений в цилиндре и в атмосфере (барическая неравновесность) уменьшается, при совершении цикла уменьшается перепад температур (термическая неравновесность) между источниками тепла (ИТ), при опускании груза уменьшается его ПЭ и т. п. Однако при протекании процессов с уменьшением неравновесности одного вида могут одновременно протекать процессы с увеличением неравновесности какого-либо другого вида. Поэтому об изменении неравновесности изолированной системы следует судить лишь по суммарному изменению всех видов неравновесности.
В связи с этим вводится новое понятие — «полная неравновесность» системы тел (ИС) как сумма всех видов неравновесностей изолированной системы. Она включает в себя как термодинамическую (термическую и барическую) неравновесность, обусловленную неравномерностью распределения ХД в пространстве, так и другие виды неравновесности, не свойственные термодинамике (механическую, электрическую, химическую ит. п.) и обусловленные неравномерностью распределения УД в пространстве. Разгон тела, сжатие пружины, электризация или намагничивание тела — все это приводит к концентрации УД (энергии, возможной работы) в отдельных телах, а значит к созданию неравновесности (неоднородности) в пространстве (пространства).
Процессы, в которых уменьшение неравновесности одного вида полностью компенсируется увеличением неравновесности другого вида, и будут теми обратимыми процессами, которые рассматриваются в термодинамике в качестве идеальных. Примерами сохранения механической неравновесности в системе двух тел являются процессы абсолютно упругого соударения подвижного шара с неподвижным, разгон тела абсолютно упругой пружиной, качание маятника в вакууме и т. п. В реальных процессах всегда происходит некомпенсированная потеря неравновесности в системе взаимодействующих тел. что делает реальные процессы необратимыми в рассматриваемой системе взаимодействующих тел (ИС).
В соответствии с данной концепцией неравновесности взамен существующей формулировки ВЗТ — все реальные процессы протекают в сторону увеличения равновесности ИС — можно дать новую: все реальные процессы протекают в сторону уменьшения полной неравновесности в системе взаимодействующих тел (в ИС); при протекании идеальных (обратимых) процессов полная неравновесность ИС сохраняется: уменьшение неравновесности одного вида компенсируется созданием неравновесности другого вида. Отличие этих формулировок ВЗТ заключается в том, что в общепринятой формулировке обратимость наступает в полностью равновесных си-
стемах (в этом случае равновесность системы не изменяется), а в новой формулировке обратимость имеет место в неравновесных системах, когда не изменяется неравновесность. Это принципиальное отличие позволяет расширить понятие обратимости на неравновесные процессы, имеющие место на практике.
Концепция сохранения внешней неравиовесности для совокупности взаимодействующих тел в ОП согласуется с концепцией компенсации Клаузиуса, согласно которой перенос тепла от холодного тела к горячему без компенсации невозможен, если под компенсацией понимать уменьшение неравновесности (например, механической) между какими-либо другими телами системы, эквивалентное росту термической неравновесности при переносе тепла от ХТ к ГТ [2].
В предлагаемой концепции основная причина необратимости заключается не в конечных перепадах значений величин, характеризующих состояния взаимодействующих локально-равновесных систем, а в отсутствии специальных устройств, которые могли бы потерю неравновесности между телами в основном процессе компенсировать созданием эквивалентной неравновесности между другими телами в сопутствующем процессе. Благодаря уменьшению неравновесности, созданной с помощью этих устройств в сопутствующем процессе, можно было бы в обратном про-
_:ессе создать начальную неравновес--:ость — вернуть систему тел в исходное неравновесное состояние, т. е. сделать процесс обратимым.
Именно, создание новых конечных неравновесностен взамен теряемых и отличает эту концепцию обратимости от существующей, которая видит обратимость в малом уменьшении существующей, хотя и малой, но неравновесности и не заботится о создании, хотя и малой, но новой нерав-новесности. Считается, что система сама собой легко идет в обратном направлении. На самом деле ИС, перейдя, хотя и от малой, но неравновесности к полной равновесности, обратно сама собой не пойдет. Для этого нужен толчок извне [1].
В отличие от концепции равновесности, сводящей обратимость к рассмотрению процессов только в идеализированных полностью равновесных системах, предлагаемая концепция неравновесности указывает пути осуществления обратимых процессов при наличии конечных перепадов давлений и температур в реальных системах. Для сохранения полной неравновесности между телами изолированной системы (т. е. для создания условий обратимости процессов) в первую очередь требуется устройство (двигатель), а во вторую очередь, это устройство должно удовлетворять определённым требованиям: работать при внутренней равновесности РТ (что при существующих скоростях
поршня всегда выполняется), отсутствии трения и бесконечно малой разности температур между РТ и ИТ.
Поскольку и при бесконечно малых разностях температур между системами процессы протекают в сторону уменьшения неравновесности (в сторону полной равновесности), то и в данной концепции можно говорить лишь о квазиобратимых процессах, при протекании которых потерей неравновесности можно пренебречь по сравнению с существующей конечной неравновесностью (в необратимых процессах потери неравновесности соизмеримы с существовавшей до протекания процесса конечной неравновесностью).
Количественные характеристики (меры) неравновесности системы. Поскольку в реальных процессах количество неравновесности в ИС уменьшается, то возникает вопрос о физических величинах (количественных характеристиках, мерах), которые могут быть использованы для оценки отдельных видов неравновесности между отдельными подсистемами и её потери (необратимости процессов). Так как уменьшение неравновесности происходит за счёт переноса движения, то мерой уменьшения неравновесности может быть количество переданного движения, характеристиками которого, в свою очередь, являются такие физические величины, как накопленная энергия, полное изменение энергии или частичные изменения энергии — теплота и работа.
Поэтому мерой механической неравновесности между телами, движущимися с разными скоростями (такую неравновесность можно назвать кинетической, или инерционной), будет разность кинетических энергий этих тел; мерой механической неравновесности между телами, находящимися на разной высоте (потенциаль-
Д^к = £к1 ~Е\а> =
Если одно из тел считается неподвижным или его потенциальная энергия принимается равной нулю, то количество кинетической и потенциальной неравновесности в системе этих тел определяют кинетическая Еу и потенциальная Ер энергии соответствующего тела.
При механическом взаимодействии тел уменьшение неравновесности одного вида может полностью компенсироваться ростом неравновесности другого вида без использования специальных устройств. Например, при падении тела в вакууме уменьшение потенциальной (гравитационной) неравновесности компенсируется ростом кинетической (инерционной) неравновесности в системе тело-Земля: - л£р = Д£к, ив целом полная неравновесность такой системы не изменяется: Д£мех = л£р + д£к = 0. Следовательно, такой процесс будет обратимым.
В других же случаях уменьшение механической неравновесности может происходить без роста неравновесности какого-либо другого вида, напри-
ная, или гравитационная неравновесность), — разность потенциальных энергий этих тел (в качестве одного из тел может быть и сама Земля); мерой механической неравновесности между сжатой пружиной и соприкасающимся с ней телом (упругостнаи неравновесность)— упругостная потенциальная энергия:
р\~Ер2
мер, при движении шарика с трением по горизонтальной плоскости. При полном торможении шарика инерционная (кинетическая) неравновесность в системе шарик-плоскость полностью исчезает, однако новой (термической) неравновесности здесь не возникает (если не возникает разности температур в системе шарик-плоскость). Следовательно, условие изменения кинетической неравновесности системы шарик-плоскость(неравновесной системы) можно выразить аналитически в виде Д£кМРС ^ 0, согласно которому при наличии нсравновесности в системе шарик-плоскость кинетическая неравновесность уменьшается в необратимом процессе и сохраняется в обратимом процессе (без трения). Условием нахождения системы в равновесном состоянии (РС) будет равенство д£кРС = 0, согласно которому при достижении системой равновесного состояния изменения кинетической неравновесности в системе не происходит (оно равно нулю).
Процессы, протекающие с поте-
гей полной неравновесности, называ-. т;я диссипативными. Процесстор-. . ■кения шарика можно сделать час-чно обратимым, если воспользовать-специальным устройством — на--г-имер, пружиной. Здесь уменьшение кинетической неравновесности будет -лстично компенсироваться ростом уп-г тостной неравновесности в системе
АЕр=-АЕк-Гдис или
В выражении (1) знак неравенства тносится к необратимым процессам приращение ПЭ меньше убыли КЭ), а знак равенства— к обратимым процес-
д£р+д£к<0 или Д£ш_пр<0.
Согласно этим соотношениям изменение полной механической неравновесности ИС шарик-пружина в обратимом процессе равно нулю, а в необратимом процессе меньше нуля.
При тепловом взаимодействии для компенсации уменьшения термической неравновесности требуется специально устройство (тепловой двигатель), создающее неравновесность какого-либо другого вида (например, кинетическую при разгоне маховика, или потенциальную при подъёме груза или сжатии пружины и т. п.). Поскольку количественной характеристикой изменения механической неравновесности при работе устройства является изменение механической энергии приёмника работы (здесь маховика, груза или пружины), т. е. работа двигателя, то в соответствии с законом
шарик-пружина, другая же часть кинетической неравновесности в процессе трения полностью исчезает в количестве, равном работе диссипации
Условие получения новой потенциальной (упругостной) неравновесности взамен кинетической можно представить в виде
(П
сам (приращение ПЭ равно убыли КЭ).
Условие изменения полной неравновесности ИС шарик-пружина можно представить в виде
сохранения полной неравновесности в обратимом процессе она же будет и мерой изменения термической неравновесности в каком-либо отдельном процессе или за цикл. Только в случае изотермического процесса мерой изменения термической неравновесности будет переданная теплота, равная работе. Следовательно, закон сохранепия полной неравновесности ИС в обратимом процессе диктует брать в качестве меры термической неравновесности меру механической неравновесности — работу.
При переходе неравновесной изолированной системы (НРИС) в равновесное состояние (при полной потере неравновесности системы) в результате диссипации упорядоченного движения происходит потеря потенциально возможной работы. Эту макси-
мальную работу можно было бы получить от системы в обратимом процессе, если предварительно снять механическую изоляцию, т. е. сделать ИС адиабатной. Следовательно, мерами неравновесности изолированной и адиабатной систем при их переходе в равновесное состояние будут соответственно максимальная потерянная работа ^п"™акс и максимальная возможная (полученная)работа ^
'НРАС
макс
мерой же потерянной неравновесности в этих системах будет потерянная работа IV .
~ пот
С другой стороны, согласно ВЗТ переход неравновесной ИС в равновесное состояние всегда сопровождается ростом энтропии ИС, следовательно, разность энтропии ИС в равновесном и неравновесном состояниях также будет характеризовать неравновесность ИС в данном состоянии:
НРИС
- 5РИС я
НРИС
(2)
Эту разность энтропий можно назвать энтропийным количеством неравновесности, перепадом энтропий (энтропийным перепадом) или энтропийной разностью (со временем эти наименования можно уточнить).
Приращение энтропии ИС <35ис будет характеризовать потерю неравновесности ИС, или необратимость процесса, приближающего систему в
равновесное состояние. Связь между изменениями энтропии ИС и энтропийной разностью при протекании необратимых процессов можно получить, если продифференцировать урав-нение (2) с учётом, что с!£рИС = <15макс = 0 (так как в равновесном состоянии энтропия ИС достигает максимума и уже больше не изменяется).
с!(д£*) = с^РИС - с!£НрИС = - а£„рис < 0, или - с^дб1*) = <1£нрис > 0 .(3)
В соответствии с этими выражениями при протекании необратимых процессов в ИС энтропийная разность, как и полная неравновесность, уменьшается, а энтропия растёт, т. е. убыль энтропийной разности равна приращению энтропии изолированной системы.
Поскольку в обратимых процессах энтропия не изменяется (с!5|5рис = 0)' то общее условие протекания процессов в ИС — второе
начало термодинамики — можно сформулировать так: при протекании необратимых процессов энтропийная разность изолированной системы уменьшается, а в обратимых — не изменяется, что аналитически выразится в виде
с1(Д£*) = с1(д£ *НРИС) < 0. (4)
Неравенство (4) своим знаком («меньше») непосредственно указыва-
No3, 2002г.
25
гт на уменьшение неравновесности энтропийной разности) в ИС, в отличие от известного неравенства > 0 , знак которого («больше») з явном виде не отражает тенденцию уменьшения неравновесности изолированной системы.
Связь между энтропийной разно-
стью ИС 05* и максимальной работой, которую могла бы совершить эта система в обратимом процессе при переходе её в равновесное состояние
при снятии механической изоляции, т. е. в случае преобразования ИС в адиабатную, может быть задана простым соотношением
- Д(Д£*)макс = "(д£РС - А^НРС) - А^НРС = ^ = ^ИС =
ХТмин
,(5)
где -Д(Д£*)макс = Д5нач=д5* — максимальная убыль энтропийной разности при переходе системы в рав-новесное состояние (д£рс = 0); она равна самой энтропийной разности (начальной разности), а в соответствии с (3) равна приращению энтропии ИС при переходе её в равновесное состояние.
Для элементарных процессов, протекающих в неравновесных системах (изолированной или адиабатной) с потерей возможной (располагаемой) работы $ЖП0Т=8ЖВ03, в соответствии с (5) можно записать:
п.), которые сами не характеризуются температурой.
Если в качестве тела с наименьшей температурой берётся равновесная окружающая среда, температура которой при переходе неравновесной системы в равновесное состояние не изменяется {TQC = const), то формула (8) для потерянной работы (её иногда называют потерянной работоспособностью или энергетической потерей [3]) примет вид
8fVnor = rocd5HC
(9)
dS^^bW^/T
пот 1 ХТмин'
(6)
^НРЛС = Ö^nor 1 ХТмин' (7) ИЛИ bWn0T = ^ХТМИН^НРИЦНРАС)' (8)
где 7' т — температура тела с наименьшей температурой (холодного тела) при теплообмене или температура термодинамической системы (РТ, ИТ) при взаимодействии её с источниками работы (груз, пружина, маховик, электроконденсатор, аккумулятор и т.
Выражение (9) называют уравнением Гюи-Стодолы по имени французского физика М.Гюи, который вывел это уравнение в 1889 г., и словацкого теплотехника А.Стодолы, впервые применившего это уравнение для решения технических задач.
Исходя из молекулярного строения вещества, можно придать определенный физический смысл приращению энтропии неравновесной изолированной системы при перехо-
де её в равновесное состояние. Следует заметить, что многие физические величины (внутренняя энергия, давление, температура и др.) стали доступны интуитивному представлению только благодаря выражению их через КЭ отдельных молекул. Не является исключением и энтропия.
В работе [4] энтропия интерпретируется как изохорная теплоёмкость неравновесной системы, состоящей из совокупности элементарных систем,
= с N
' V уел ум о-ат
взятых в интервале температур от нуля
00
5 ^ = С, ¡=1
где =сЧЛ( =2,0709871 СГ23Дж/К
Лт
— постоянная, равная молекулярной изохорной теплоёмкости одноатомного газа (теплоёмкости, приходящейся
до Г, число частиц в которых обратно пропорционально их температурам, а суммарная их энергия равна теплоте, подведённой к исходной равновесной системе в изобарном процессе в том же интервале температур. Если в качестве молекул условных систем взять молекулы одноатомного газа, теплоёмкость которого не зависит от температуры, то любому значению энтропии исходной системы можно сопоставить некоторое число одноатомных молекул совокупности условных систем:
= */?^усл, (10)
на одну молекулу).
Применяя выражение (10) к энтропии ИС, состоящей из п тел, и дифференцируя его, получим
ис = (1(5, + + • •• + 5Я) = М(АГусл1 + ^усл2 + • • • АГусл„) = *яс1ЛГуслИС{11)
где и Ыусл1 ... Муст
— энтропии отдельных тел ИС и сопоставляемые им числа одноатомных молекул условных систем; (1^ис и с1А^услИС — суммарное изменение энтропии всех тел ИС и сопоставимое ему полное изменение числа одноатомных молекул условных систем, сопоставляемых действительным системам.
^^иот ~~ ^усл ~~ ^уусл^ХТмин - Сум
Потерянной (потенциально возможной) элементарной работе 6ЙРП0Т (положительная величина) можно сопоставить элементарную внутреннюю энергию условной системы 5и.,сп, содержащей элементарное2 число одноатомных молекул 8Л\уП0Т, взятых при температуре Т
ХТмин'
^ пот^ХТмнн = пот^ХТмин > (1
XV пот-1 ХТмин
где 5Суусл — изохорная тепло- Подставляя выражение (12) для
ёмкость условной элементарной сис- потерянной работы в уравнение (6), с темы. учётом (11), получим формулу для
2 Число молекул условной системы элементарно по отношению к числу молекул действительной системы, но оно гораздо больше единицы: {<<м .
уел ^
расчёта изменения энтропии НРИС при переходе последней от менее рав-
^НРИС = ^пот^ХТмин = ^СУусл
Таким образом, изменению энтропии А9НРИ(. НРИС при её переходе из менее равновесного в более равновесное состояние можно сопоставить как полное изменение числа одноатомных молекул с!//с нс условных систем, сопоставляемых действительным системам, входящим в состав ИС, гак и число одноатомных молекул пот условной системы, внутренняя энергия которой при 7'ХТмин сопоставляется потерянной работе (потенциально возможной работе).
Более наглядно второе сопоставление. В этом случае приращению энтропии НРИС можно придать такой физический смысл: приращение энтропии неравновесной ИС характеризует (пропорционально)число молекул пот условной системы • ими могут быть и реальные молекулы ОС), внутренняя энергия которой при температуре самого холодного тела системы равна потерянной (по-
новесного к более равновесному состоянию:
= *Л^услИС = М^пот- (13)
тенциально возможной)работе. Чем больше потерянная работа и чем ниже температура самого холодного тела ИС, тем больше потребуется молекул условной или действительной системы (например, молекул атмосферы, воспринявших энергию рассеянного, диссипированного упорядоченного движения) для изображения (представления) этой потерянной работы, а значит больше рост энтропии ИС и потеря неравновесности системы.
Выражение (13), связывающее изменение энтропии с числом молекул ОС, воспринимающих потерянную (возможную) работу (УД), наглядно показывает причину, по которой энтро-пиюд (правильнее изменение энтропии ИС) называют мерой диссипации (рассеяния): чем больше рост энтропии системы тело-ОС, тем больше число молекул, воспринявших потерянную работу при температуре ОС.
' Здесь следует уточнить, что смысл энтропии н её изменения и. более того, изменения энтропии отдельного тела и нескольких тел ИС — не одно и то же Мерой (характеристикой) диссипации (потери неравновесности ИС) является не сама энтропия и не изменение энтропии отдельного тела, а изменение . приращение)энтропии именно совокупности тел неравновесной ИС, переходящей в равновесное состояние. Изменению энтропии системы тело-ОС и соответствует число молекул ОС, воспринявших диссипиро-ванную энергию (потенциально возможную работу) Чем большее число молекул ОС восприняло ранее сосредоточенную в отдельно теле энергию, тем больше необратимость процесса, тем больше рост энтропии неравновесной изолированной системы (но не отдельного тела, как это принято иногда считать)
НАУКА И ТЕХНИКА КАЗАХСТАНА
ЛИТЕРАТУРА
1. Рындин В.В. Концепции равновесности и обратимости — как условия перехода от неравенств второго закона термодинамики к равенствам / Наука и техника Казахстана. — 2002 — №3 —С. 7-16.
2. Рындин В.В. Критический анализ изложения формулировок второго закона термодинамики в учебниках //
Наука и техника Казахстана.— 2002 — №2 —С. 28-37.
3. Техническая термодинамика: Учеб. для вузов / В.А. Кириллин и др. — М.: Энергия, 1974.—448 е.: ил.
4. Рындин В. В. Новый метод введения энтропии // Учёные записки Павлодарскою государственного университета. — 1998. — № 4. — С. 29-35.
