CC BY
9
УДК 536.24(075.8)
ТЕПЛОВОЕ ЗАЖИГАНИЕ ОГРАНИЧЕННОГО ЦИЛИНДРА ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ТРЕТЬЕГО РОДА
ГАЙНУТДИНОВ Р.Ш.
Казанский государственный технологический университет, 420015, г. Казань, ул. Карла Маркса, 68
АННОТАЦИЯ. Представлена математическая модель задачи зажигания реагента в форме ограниченного цилиндра при граничных условиях третьего рода. Приведен инженерный метод определения основных параметров зажигания. Выполнены численные расчеты по определению параметров зажигания пороха в форме ограниченного и неограниченного цилиндров.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: порох, тепловое зажигание, неограниченный и ограниченный цилиндр, граничное условие третьего рода, температурное поле, числа Фурье, Био и Тихонова, время задержки зажигания.
ВВЕДЕНИЕ
Теоретические и экспериментальные исследования теплового зажигания конденсированных реагирующих веществ в литературе представлены большим числом оригинальных работ и обзоров [1 - 9 и др.]. Во многих случаях процессы теплового зажигания рассматриваются применительно к неограниченной пластине в одномерной постановке. На практике применение находят также реагирующие конденсированные вещества, имеющие ограниченные размеры. К таковым относятся пороховые заряды или его элементы, применяемые в ствольных системах. Тепловое зажигание ограниченных реагирующих материалов в литературе изучено недостаточно. В данной работе рассматривается тепловое зажигание цилиндра, имеющего конечные размеры, при граничных условиях третьего рода. Закономерности зажигания пороховых элементов, имеющих конечные размеры, представляют интерес главным образом для проектирования воспламенительных составов.
Постановка задачи обычна для тепловой теории зажигания. Конденсированное реагирующее вещество в форме цилиндра конечных размеров в начальный момент времени начинает нагреваться конвективным тепловым потоком. Температура нагревающей среды Тс и коэффициент теплообмена а имеют постоянные значения. Начальная температура вещества Т0. Выгорание вещества не учитывается. Величины, характеризующие теплофизические и кинетические свойства вещества, принимаются постоянными значениями. Радиус цилиндра R, длина 2/. Требуется составить математическую модель задачи и из ее аналитического решения определить основные параметры зажигания вещества.
Решение. Математическая модель теплового зажигания реагирующего конденсированного вещества точного аналитического решения не имеет. На практике применение находят различные приближенные аналитические методы. В настоящей работе используются приближенный метод, развитый в работе [3]. Согласно этому методу, математическая модель задачи включает математическую модель задачи нестационарной теплопроводности для инертного тела при граничных условиях третьего рода и критическое условие зажигания:
дТ (г, г, ^)
—1------ = а
д1
д 2Т (г, г, ^) + 1 дТ (г, г, ^) + д 2Т (г, г, ^)
дг
дг
(1)
г
т (Г, г,0) = Т0,
(2)
а[Тс -Т(Я,г,t)] = -Х
дТ (Я, г, Г)
дг
дТ (0, г, t) дг
= 0.
а[Т - Т (г, I, г )] = -Х
гт (г, I, г)
дг
гт (г,о, ^)
дг
= 0.
(3)
(4)
(5)
(6)
Начало координат находится в центре цилиндра. Критическое условие зажигания вещества записывается в виде
а(Т - Т ) = 4,2
Е ЯТ2 А0Аехр(-—) ,
ЯТ.) Е
(7)
где Т. = Т(Я, /, ^) - температура на поверхности ограниченного цилиндра. Она определяется из общего решения системы уравнений (1) - (6), которое представляется выражением [10]:
1 -
Т (г, г, Г) - Т
0 _
1-
Т (г, t) - Тр
Т - Т0
1-
Т (г, t) - Т0 Т - Т0
(8)
где Т (г, г, t), Т (г, t), Т (г, t) - температурные поля ограниченного
неограниченного цилиндра, неограниченной пластины соответственно.
цилиндра, Практика
показывает, что зажигание артиллерийских и ракетных зарядов происходит при малых значениях критерия Фурье Fo. Уравнение температурного поля на поверхности ограниченного цилиндра пригодное для малых Fo можно написать так:
1 Т {Я, /, t) - Т0 . 2 г ^ Л
1-----^^—0 = ехр(Т/2 ег/сТ/2 )(1 - да1),
(9)
где да1 =
В/,
В/, - 0,5
[1 - ехр(Т/12 )ег/сТ/1
Вычисление функции ехр(Т/ 2)ег/еТ/ связано с использованием табличных данных, что не позволяет проводить расчеты в автоматическом режиме. Для определения значения этой функции предлагаются аппроксимирующие полиномы
^ = 0,3691ТР -0,9157 Т + 0,9814 (0 < Т < 1),
^ = 0,0750 Ti2 - 0,3958 Т + 0,7465 (1 < Ti < 2),
^ = 0,0270 Ti2 - 0,2111 Т + 0,5696 (2 < Ti < 3).
Относительная ошибка аппроксимирующих функций менее 2 %. Для иллюстрации практического применения уравнения (9) приведем численный пример.
Пример. Требуется вычислить основные параметры зажигания пороха в
форме ограниченного и неограниченного цилиндров, соответствующие заданному времени задержки зажигания 4. Начальная температура пороха = 293 К. Коэффициент теплообмена а = 418 Вт/(м2-К). Теплофизические и кинетические параметра
пороха следующие [6]: Е/К = 17500 К; Qvk0 = 1,64 -1023 Вт/м3; X = 0,2341 Вт/(м-К);
с = 1463 Дж/(кг-К); р = 1600 кг/м3. Определяются температуры среды Тс и зажигания Т*, соответствующие заданному периоду индукции.
Решение. Искомые параметры зажигания пороха определяются из решения уравнений (7) и (9) методом итерации. Температуры на поверхности ограниченного и неограниченного цилиндров определяются из уравнений
Т (Я, АI) = 70 + (Гс - 70) [1 - (1 - да1) ехр(гП2 )£г/с Ti2 ],
T(Я,Г) = Т0 + (Тс -ТоМ.
Результаты расчетов по определению искомых параметров зажигания приведены в таблице.
Т аблица
Критические параметры зажигания неограниченного и ограниченного цилиндров
Я; 1, мм с Неограниченный цилиндр Ограниченный цилиндр
Тс, К Т., К Т , К Т., К
1; 1 0,10 1744 555 1027 528
0,15 1487 548 905 520
0,20 1331 542 831 515
2; 2 0,10 1801 556 1041 529
0,15 1533 549 916 521
0,20 1371 544 841 515
Из таблицы видно, что заданный период индукции при прочих равных условиях для неограниченного цилиндра достигается при более высоких температурных условиях.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Исследована задача зажигания реагирующего конденсированного вещества в форме неограниченного и ограниченного цилиндров при граничных условиях третьего рода. Предложен инженерный расчетный метод для определения основных параметров зажигания. Выполнены численные расчеты по определению критических параметров зажигания пороха. Показано, что заданный промежуток времени зажигания для неограниченного цилиндра достигается при более высоких температурных условиях по сравнению с ограниченным цилиндром.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
Т - температура реагента, К;
Тс - температура среды, К; г,г - координаты, м;
а - коэффициент теплообмена, Вт/(м2-К);
- тепловой эффект реакции на единицу объема, Дж/м3; к0 - предэкспоненциальный множитель, с-1;
Е - энергия активации, Дж/моль;
/ - время, с;
Я - универсальная газовая постоянная, Дж/(моль-К);
Т0 - начальная температура реагента, К; а = Я/(ср)-коэффициент температуропроводности, м2/с;
Я - коэффициент теплопроводности, Вт/(м-К); р - плотность, кг/м 3;
с - коэффициент теплоемкости, Дж/(кгК);
Т „ - температура зажигания, К;
4 - время задержки зажигания, с;
B/'j= aR0 / X - число Био для цилиндра;
R — радиус цилиндра;
Fo; = at/R02 - число Фурье для цилиндра;
21 - длина цилиндра, м;
7/ = В/ ^ Fo1 - число Тихонова;
В/2 = a/ / X - число Био для пластины;
Fo2 = at / /2;
erfc 77 = 1- erf 77;
erf 77 - функция ошибок Г аусса.
Индексы: с - среда; v - объем; z - зажигание.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Зельдович Я.Б. К теории зажигания // Доклады АН СССР. 1968. T. 150, № 2. C. 283-285.
2. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М. : Наука, 1967. 491 с.
3. Аверсон А.Э., Барзыкин В.В., Мержанов А.Г. К тепловой теории зажигания конденсированных веществ // Доклады АН СССР. 1966. T. 169, № 1. C. 158-161.
4. Гришин А.М. О зажигании реагирующих веществ // Прикладная механика и техническая физика. 1966. № 5. С. 25-30.
5. Аверсон А.Э., Барзыкин В.В., Мержанов А.Г. Приближенный метод решения задач тепловой теории зажигания // Доклады АН СССР. 1968. T. 178, № 1. C. 131-134.
6. Вилюнов В.Н. Теория зажигания конденсированных веществ. Новосибирск : Наука, 1984. 188 с.
7. Гришин А.М., Игнатенко Н.А. О гетерогенном воспламенении реагирующих веществ // Физика горения и взрыва. 1971. № 4. C. 510-518.
8. Любченко И.С., Марченко Г.Н. Тепловая теория зажигания реагирующих конденсированных веществ // Успехи химии. 1987. T. 56, вып. 2. C. 216-240.
9. Гришин А.М. О решении некоторых обратных задач теории воспламенения // Инженерно-физический журнал. 1973. Т. 24, № 3. С. 554.
10. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М. : Высшая школа, 1967. 600 с.
THERMAL IGNITION CYLINDER BOUNDED WITH THE BOUNDARY CONDITIONS OF THE THIRD KIND
Gajnutdinov R. Sh.
Kazan State Technological University, Kazan, Russia
SUMMARY. A mathematical model of the ignition agent in the form of finite cylinder under boundary conditions of the third kind. An engineering method for determining the basic parameters of ignition. Numerical calculations to determine the parameters of the ignition of gunpowder in the form of restricted and unrestricted cylinders
KEYWORD: gunpowder, thermal ignition, unrestricted and restricted the cylinder, the boundary condition of the third kind, the temperature field, the number of Fourier, Bio and Tikhonov, the delay time of ignition.
Гайнутдинов Рафаиль Шакирович, доктор технических наук, профессор КГТУ, тел. (843) 231-40-90, е-даа/7: Grа/а/7@даа/7ru
