Тепловая теория зажигания энергонасыщенного материала в форме сферы при граничных условиях третьего рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 536.46

Р. Ш. Гайнутдинов

ТЕПЛОВАЯ ТЕОРИЯ ЗАЖИГАНИЯ ЭНЕРГОНАСЫЩЕННОГО МАТЕРИАЛА

В ФОРМЕ СФЕРЫ ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ТРЕТЬЕГО РОДА

Ключевые слова: тепловая теория, зажигание, энергонасыщенный материал, температура, уравнение теплопроводности, граничные условия, коэффициент теплообмена, время зажигания, плотность теплового потока, коэффициент теплопроводности, теплоемкость, плотность материала.

Аналитически решена задача зажигания энергонасыщенного материала в форме шара конвектив-ным тепловым потоком. Исследованы критические условия теплового зажигания сферического материала в зависимости от температуры окружающей среды, критериев Фурье и Био. Предложены расчетные формулы для определения важнейших характеристик теплового зажигания реагента в форме шара Вы-числены основные параметры зажигания сферического пороха при различных условиях.

Keywords: the thermic theory, ingnition, explosive a material, temperature, a heat conduction equation, boundary conditions, quotient of thermoexchange, an ignition time, a heat flux density, conductivity coefficient, a calorific capacity,

density of a material.

The problem of ingnition of an explosive material in the form of a ball is analytically decided by a convective heat flux. Critical conditions of thermic ingnition of an orbicular material depending on an environment temperature, criteria of Fourier and Bio are examined. Design formulas for definition of the major performances of thermic ingnition of a reactant in the form of a ball critical parameters of ingnition of an orbicular powder are offered Are evaluated under various conditions.

Введение

К энергонасыщенным материалам относятся пороха, твердые ракетные топлива, взрывчатые вещества и пиротехнические составы, которые находят широкое применение в народном хозяйстве в горнодобывающей промышленности для разрыхления горных пород и в артиллерийских и ракетных системах. Решение сложных вопросов технологической безопасности и проектирование артиллерийских и ракетных зарядов невозможно без знания закономерностей теплового зажигания и взрыва конден-сированных материалов. Интерес к проблеме теплового зажигания и взрыва конденсированных веществ стимулируется ее практическим значением. В связи с этим в литературе опубликовано большое количество работ [1-12], посвященное тепловому зажиганию и взрыву. В большинстве теоретических исследованиях рассматривается зажигание вещества в виде неограниченного плоского тела. Однако на практике применение находят сферические пороха и ВВ, закономерности зажигания и теплового взрыва которых изучены недостаточно. В связи с этим в данной работе теоретически исследуются процессы зажигания сферического пороха при граничных условиях тре-тьего рода.

Постановка задачи. Реагирующее твердое химическое вещество в форме шара нагревается внешним конвективным тепловым потоком, где коэффициент теплообмена и температура среды являются постоянными величинами. В процессе нагрева вещества внешним тепловым источником в конденсированной фазе развивается экзотермическая химическая реакция - в веществе появляется внутренний химический источник тепла. В работе рассматривается химическая реакция нулевого порядка, скорость которой определяется уравнением Аррениуса (Arrenius). В рамках тепловой теории зажигания предполагается, что основные процессы, приводящие к зажиганию, развиваются в конденсированной фазе.

Цель работы - исследовать математическую модель задачи зажигания реагента в форме шара при граничных условиях третьего рода и получить инженерные формулы для вычисления основных параметров зажигания. В соответствии с теорией исследуется тепловая

модель зажигания химического вещества в форме шара с радиусом Ко. Начальная температура шара То.

При сделанных предположениях математическая модель задачи зажигания описывается уравнением теплопроводности

дТ(г, I) _а(д2Г(г! !) + 2 8Г(г, I) . + ОЛехр(-Е / КГ(г,)

дг2 г дг ср ’

при краевых условиях

а (Тс -Т(Иа, Ц) = -ЛЁШ'Л, (2)

дг

тл=о. (3)

дг

Т(г, 0) = То. (4)

Приведенная математическая модель задачи точного аналитического решения не имеет. Для ее решения могут быть использованы численные расчеты на ЭВМ или приближенноаналитические методы. В инженерной практики применение находят приближенноаналитические методы. В связи с этим для аналитического решения сис-темы уравнений (1)-(4) в данной работе используется приближенный метод, развитый в работе [5]. Суть метода основана на допущении о том, что зажигание вещества происходит тогда, когда скорость тепловыделения за счет химической реакции в конденсированной фазе становится соизмеримым со скоростью теплоприхода от внешнего источника. Для приближенного метода из уравнения теплопроводности (1) исключается химический тепловой источник. Тогда математическая модель задачи зажигания вещества в приближенной постановке имеет уравнение теплопроводности для инертного шара

дш=д2ш+1дШ} (5)

д1 дг2 г дг ’

при краевых условиях (2)-(4).

Для учета влияния химического источника тепла на процесс зажигания вводится критическое условие зажигания в виде

I 7 Е ^ ^Т2 )

а (Тс -Т*) = а1л О, ковхр ^~Т))е . (6)

Численное значение параметра а определяется на основе обработки результатов, полученных численным решением задачи теплового зажигания конденсированного вещества. В данной работе а= 4,2, согласно исследованиям [5].

Масштабная температура Т * рассматривается как температура на поверхности шара Т(КоД), определяется из уравнения (6) методом последовательных приближений.

Аналитическое исследование задач теплопроводности инертного тела сводится к изучению температурного поля. Применительно к рассматриваемой задачи уравнение температурного поля инертного шара, приведенное в работе [13], имеет вид

О ■ Г

„ /?Я5Шип

'с 'о 1 г№п

41

Для практических расчетов значения |ип и Ап приведены в таблицах [13] в зависимости от критерия Био. Из уравнения (7) температура на поверхности шара определяется из выражения

ТШ)-То =1_ (8)

' с - ' 0 1 Уп

При значениях Ро >> 0.005 в уравнении (8) можно ограничится одним первым членом ряда. Тогда (8) принимает простой вид

Т^оЯ-То =1_Е!Ш1ехр(-у12Го). (9)

Тс-То /1

Время задержки зажигания рассчитывается из уравнения (9) методом итерации.

Для иллюстрации приведем численные примеры. Необходимо определить основные параметры зажигания пироксилина в форме шара в потоке горячих газов при исходных данных: То = 300, К; Л = 0.1254, Вт/(м-Х); с = 1463, Дж/(кг-К); Оуко = 1,5• 1028, Вт/м3; Б/К = 24000,К. Параметры газового потока и радиус шара приведены в табл.. Значения теплофизических и кинетических параметров пироксилина взяты из работы [7].

Решение. Из уравнения (5) методом последовательных приближений определяется значение масштабной температуры Т* = Т(КоД). Затем методом последовательных

приближений вычисляется значение 1, из уравнения (9), которое принимается за времени задержки зажигания. Запас тепла в прогретом слое вычисляется из интеграла

О, =} а(Тс-Т(Ио,т.

о

Интегрирование с учетом уравнения (9) позволяет получить выражение Оз= а (Тс - То) Ш1- ехр(Ро2))-^.

Результаты расчетов по определению параметров зажигания приведены в табл. 1. Таблица 1 - Параметры газового потока и результаты расчетов

* 6 1- а, Вт/(м2*К) м О О СИ Б1 FOz Т*, с tz, С Оз, Дж/см2

1000 502 0,1 0,4 0,22 498 3,85 11

2000 502 0,1 0,4 0,048 521 0,84 6,43

2000 502 0,05 0,2 0,17 521 0,75 5,85

Видно, что, несмотря на малые размеры сферического пороха, его зажигание происходит не мгновенно, а во времени. Порох с малыми размерами зажигается быстрее.

Заключение

Составлена математическая модель зажигания конденсированного энер-гонасыщенного материала в форме шара при граничных условиях третьего рода и дано ее аналитическое решение приближенным методом. Показано, что в механизме зажигания конденсированного вещества основная роль отводится химическим реакциям, протее-кающим в конденсированной фазе. Выведено уравнение для определения запаса тепла в прогретом слое. Предложены инженерные формулы для определения основных харак-теристик зажигания. Выполнены численные расчеты. Установлено, что, несмотря на малые размеры, зажигание сферических порохов происходит не мгновенно, а протекает во времени. В дальнейшем на основе результатов, полученных численным решением мате-матической модели задачи, исследовать численное значение параметра а .

42

Обозначения

Т - температура материала, K; Tc - температура среды, K; r - координата, м; а - коэффициент теплообмена, Вт/(м2К); Qv - тепловой эффект реакции на единицу объема, Дж/м3; к0 -предэкспоненциальный множитель,с-1; E- энергия активации, Дж/моль; t - время, с; R -универсальная газовая постоянная, Дж/(моль-К); T 0 - начальная температура материала, K; Э=Я/(с- р)-коэффициент температуропро-водности, м2/с;Я- коэффициент теплопроводности, Вт / (м ' K); р - плотность мате-риала, кг/м 3; с - коэффициент теплоемкости, Дж/(кгК); T(R0,t) -

температура на поверхности шара, K; tz - время задержки зажигания, с; Ti = a^Jat /Л - критерий

Тихонова; Bi = aR0 / Я - критерий Био; Fo - критерий Фурье; Q3 - запас тепла в прогретом слое,

Дж/м2.

Индексы: с - среда; v - объем; z - зажигание; з - запас.

Литература

1. Зельдович, Я. Б. К теории зажигания / Я. Б. Зельдович // Докл. АН СССР - 1968. - T.150. - № 2. -C. 283-285.

2. Франк-Каменецкий, Д. А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике/ Д. А. Франк-Каменецкий. - М:Наука, 1967.- 491 с.

3. Thomas, P. H. Bowes Thermal ignition in a slab with one face a constant high temperature / P. H. Thomas, P. C. Bowes //Trans. Far. Soc. - 1961. - V.57 № 11. - P.2000-2007.

4. Cook, G. B. The initiation of explosion in solid secondary explosives / G. B. Cook // Proc. Roy. Soc. -

1958. - A246. P.154-160.

5. Enig J. W. Critical condition in time-dependent thermal explosion theory / J. W. Enig // J. Chem. Phys. -1964. - V.41 - № 12. - P. 4012-4013.

6. Аверсон, А. Э. К тепловой теории зажигания конденсированных веществ / А. Э. Аверсон, В. В. Барзыкин, А. Г. Мержанов // Докл. АН СССР. - 1966. - T.169. - № 1. - C. 158-161.

7. Аверсон, А. Э. Приближенный метод решения задач тепловой теории зажигания / А. Э. Аверсон, В. В. Барзыкин, А. Г. Мержанов // Докл. АН СССР. - 1968. - T.178. - № 1. - C. 131-134.

8. Вилюнов, В. Н. Теория зажигания конденсированных веществ / В. Н. Вилюнов.- Новосибирск: Наука, 1984. - 188 с.

9. Любчено, И. С. Тепловая теория зажигания реагирующих конденсированных веществ / И. С. Любчено, Г. Н. Марченко // Успехи химии. - 1987. - TLVl. - Вып. - № 2. - C. 216-240.

10. Марченко, Г.Н. Введение в квазигетерогенную теорию зажигания реагирующих конденсированных веществ / Г. Н. Марченко, В. В. Матвеев. - Казань: ФЭН, 1997. - 326 с.

11. Гайнутдинов, Р.Ш. О критических условиях теплового взрыва твердых взрывчатых веществ теплотой трения/ Р. Ш. Гайнутдинов, Г. Я. Асадуллина //Вестник Казан. технол. ун-та. -2000.- №1-2. - С.92-94.

12. Тимошин, А.В. Методики исследования автономных характеристик капсюлей-воспламенителей / А. В. Тимошин, А. С. Арутюнян, ИА. Абдуллин, О. И. Белобородова // Вестник Казан. технол. ун-та. -2008. - Спецвыпуск. - С.13.

13. Розенбанд, В. И. О некоторых закономерностях динамических режимов зажигания / В. И. Розенбанд [и др.] // Физика горения и взрыва. - 1968. - № 4. - C. 494-500.

14. Лыков, А.В. Теория теплопроводности / А. В. Лыков.- М.: Высшая школа, 1967. - 600 с.

© Р. Ш. Гайнутдинов - д-р техн. наук, проф. каф. оборудования химических заводов КГТУ, Grafail@mail.ru.