Расчет основных параметров зажигания энергонасыщенного материала асимптотическим методом при граничных условиях третьего рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 536.46

Р. Ш. Гайнутдинов

РАСЧЕТ ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ ЗАЖИГАНИЯ

ЭНЕРГОНАСЫЩЕННОГО МАТЕРИАЛА АСИМПТОТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ТРЕТЬЕГО РОДА

Ключевые слова: зажигание, энергонасыщенный материал, температура,, граничное условие, коэффициент теплообмена, время зажигания, температура зажигания, теплопроводность, теплоемкость, плотность материала.

Усовершенствована расчетная часть работы [10]. Выполнен численный пример по определению параметров зажигания энергонасыщенного материала.

Keywords: ignition, energy-material, temperature, boundary conditions, the coefficient of heat transfer, ignition time, ignition temperature, thermal conductivity, heat capacity, density of the material.

Improved design of the work [10]. The numerical example for the characterization of energy-ignition material.

Интерес к проблеме теплового зажигания и взрыва конденсированных химических веществ стимулируется ее практическим значением [1-10]. Общая постановка задачи о зажигании полубесконечного тела при граничных условиях первого, второго и третьего родов во многих случаях сформулирована в предположении преобладающей роли химической реакции в конденсированной фазе. Выяснено, что математические модели задач зажигания точного аналитического решения не имеют. Широкое применение на прак-тике находит приближенный аналитический метод решения математических моделей задач теплового зажигания, основанный на идее о том, что зажигании наступает при равенстве скоростей теплоприхода от внешнего источника и химической реакции. С помощью этого метода решен ряд задач теплового зажигания и показано хорошее совпадение полученных

результатов с данными численного счета.

Математической основой теории зажигания

конденсированных систем служат методы теории квазилинейных уравнений параболического типа. В литературе также имеется решение ряда

математических моделей задачи зажигания

приближенным асимптотическим методом. В данной работе предпринята попытка определить численные значения параметров зажигания энергонасыщенного материала по формулам, полученным

асимптотическим методом применительно к краевым задачам третьего рода.

Решение математической модели задачи зажигания асимптотическим методом представ-

ляется следующими уравнениями [10 ]:

а ( Гс-Г.) = о^Л 0¥ к0ехр^--Е)|’ (1)

с = 0а25(Тс - Т „ )025 Б0'25 /[0,65°,5(Т „ - Тп)025 ], (2)

у = (Тс - Т. )/(Тс - Тп), (3)

Б = у/ [(пх)-1/2 - у], (4)

у = ехр(х) ейе(х1/2), (5)

0 = Е(Т* - Тп)/ ЯТ.2, (6)

где erfc z = 1 - 2 Г e^dz.

4п 0

В работе [10 ] указывается, что из (1) можно найти масштабную температуру Т„, а затем вычислить величину x и параметры зажигания. Масштабная температура из (1) находится методом итерации. Однако такая схема может работать только тогда, когда значение x в явной форме является функцией у. В связи с этим, на основе обработки результатов решения уравне-ния (5), нами предлагается явная связь для x от у в виде: x = - 2,9809 у3 + 9,3291 у2 - 9,7419 у + 3,3937. (7) Время задержки зажигания tz, температура зажигания Tz и минимальная энергия зажигания Qz определяются по формулам [10]:

tz = cpXx/ а2, (8)

Tz = T*[1 + 0,5T*eln(1/e)/ Tn ], (9)

Qz = cp(X/a)(Tc - Tn)[2(x/n)1/2 + у - 1], (10)

Для иллюстрации приведем численный пример.

Пример. Требуется определить времени задержки зажигания, температуру зажигания и минимальную энергию зажигания по формулам, полученным асимптотическим методом для задачи при граничных условиях третьего рода. Начальная температура вещества Тп = 300 K, температура среды Тс = 2000 K, коэффициент теплообмена а = 627. Исходные теплофизические и кинетические данные энергонасыщенного материала: Л = 0,1254; с = 1254; р = 1500; Qvk0 = 1,5-1028; E/R = 24000.

Результаты расчетов: T, = 595 K; Tz = 628 K; tz = 0,019 c; Qz = 17785 Дж/м2.

Таким образом, показано, что расчетная часть работы [10] нуждается в усовершенствовании для проведения расчетов итерационным методом. С этой целью в расчетную часть введена функция x(y), предложенная нами.

Обозначения

Т - температура материала, K; Tc - температу ра среды, K; а - коэффициент теплообмена, Вт/(м K); Qv -тепловой эффект реакции на единицу объема, Дж/м3; k0 - предэкспоненциальный множитель, 1/c; E- энергия активации, Дж/моль; tz - время задержки зажигания, с;

R - универсальная газовая постоянная, Дж/(мольК); Tn -начальная температура материала, К; a = Х/(ср) -коэффициент температуропроводности, м2/с; А -коэффициент теплопроводности, Вт / (м • К); р -плотность материала, кг/м3; с - коэффициент

теплоемкости, Дж/(кг К); Т% - масштабная температура, К; Tz - температура зажигания, K; Qz - минимальная энергия зажигания, Дж/м2.

Индексы: с - среда; v - объем; z - зажигание..

Литература

1. Зельдович, Я. Б. К теории зажигания / Я. Б. Зельдович // Докл. АН СССР - 1968. - T.150. - № 2. - C. 283-285.

2. Франк-Каменецкий Д. А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике/ Д. А. Франк-Каменецкий. -М.: Наука, 1967.- 491 с.

3. Thomas P. H., P. C. Bowes Thermal ignition in a slab with one face a constant high temperature / P. H. Thomas, P. C. Bowes //Trans. Far. Soc. - 19б1. - V.57 № 11. - P.2000-2007.

4. Cook G. B. The initiation of explosion in solid secondary explosives / G. B. Cook // Proc. Roy. Soc. - 1958. - A246. P.154-160.

5. Enig J. W. Critical condition in time-dependent thermal explosion theory / J. W. Enig // J. Chem. Phys. - 1964. -V.41 - № 12. - P. 4012-4013.

6. Аверсон, А. Э. К тепловой теории зажигания конденсированных веществ / А. Э. Аверсон, В. В. Барзыкин, А. Г. Мержанов // Докл. АН СССР. - 1966. -Т.169. - № 1. - С. 158-161.

7. Аверсон, А. Э. Приближенный метод решения задач тепловой теории зажигания / А. Э. Аверсон, В. В. Барзыкин, А. Г. Мержанов // Докл. АН СССР. - 1968.

- Т.178. - № 1. - С. 131-134.

8. Вилюнов, В. Н. Теория зажигания конденсированных веществ / В. Н. Вилюнов.- Новосибирск: Наука, 1984. -188 с.

9. Аверсон, А. Э. Приближенные методы расчета

критических условий зажигания / А. Э. Аверсон, В. И. Розенбанд // Физика горения и взрыва. - 1968. - № 4.

- С. 519-525.

10. Любчено, И. С. Тепловая теория зажигания реагирующих конденсированных веществ / И. С. Любчено, Г. Н. Марченко // Успехи химии. - 1987. -Т.ЬУ1. - Вып. - № 2. - С. 216-240.

11. Гайнутдинов Р. Ш. О критических условиях теплового взрыва твердых взрывчатых веществ теплотой трения/ Р. Ш. Гайнутдинов, Г. Я. Асадуллина // Вестник Казан. технол. ун-та.. -2000.- №1-2.- С.92-94.

© Р. Ш. Гайнутдинов - канд. техн. наук, проф. каф. оборудования химических заводов КНИТУ, romanova_rg@maiLra'