Тепловая конвекция бинарных смесей в вертикальных слоях и каналах при подогреве снизу Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2009 Физика Вып. 1 (27)

Тепловая конвекция бинарных смесей в вертикальных слоях и каналах при подогреве снизу

А. Ф. Глухов, В. А. Демин

Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Проведено теоретическое и экспериментальное исследование тепловой конвекции бинарных смесей, заполняющих тонкие в горизонтальном сечении полости (связанные каналы и ячейка Хеле-Шоу), которые имеют границы высокой теплопроводности. В качестве рабочих жидкостей рассматривались смеси с разными знаками термодиффузии. Теоретически показано, что вследствие сложного перераспределения примеси в горизонтальном сечении конвекция при подогреве снизу в случае положительной термодиффузии должна возникать “мягко” в результате нарастания монотонных возмущений. Установление медленного стационарного течения происходит очень длительное время и сопровождается пикообразными всплесками в нем. Вследствие больших времен установления стационарной конвекции в эксперименте конвекция начинает регистрироваться только в сильно надкритической области. Эти течения носят колебательный характер и возбуждаются “жестко”.

1. Введение

1.1. Конвективные механизмы в бинарных смесях

Известно, что в неоднородно нагретой бинарной смеси конвекция возникает за счет пространственных неоднородностей температуры и концентрации, эволюция которых существенным образом зависит от двух механизмов диссипации: теплопроводности и диффузии. При этом действуют перекрестные кинетические эффекты: термодиффузия и диффузионная теплопроводность. Эти эффекты являются вторичными, однако при определенных условиях они оказывают существенное влияние на структуру конвективных движений жидкостей и газов, например, в технологических процессах при получении материалов с заданной структурой или особо чистых веществ [1]. Таким образом, изучение процессов, происходящих в жидких и газообразных смесях, крайне актуально в настоящее время.

1.2. Предварительные оценки

При подогреве снизу в полостях, для которых характерно наличие широких горизонтальных границ, тепловая конвекция в бинарной смеси при нормальном эффекте Соре возникает в результате неустойчивости относительно монотонных возму-

щений [2]. В случае перепада температуры на верхней и нижней границах в смеси возникает термодиффузионное разделение вдоль вертикали. В результате широко распространено мнение, что колебательная конвекция в бинарной смеси вблизи порога возможна только в случае аномальной термодиффузии, когда существует конкуренция термогравитационного и термоконцентрационного механизмов возбуждения конвекции.

Однако имеются экспериментальные данные

[3.4], согласно которым при действии нормальной термодиффузии колебательная конвекция в жидких бинарных смесях вблизи порога при определенных условиях также может наблюдаться. Причины колебательной конвекции, возникающей в бинарных смесях с положительной термодиффузией, могут быть разными. Описываемые в работах

[3.4] колебательные течения наблюдались в смесях с положительным коэффициентом Соре в длинных вдоль вертикали связанных каналах и возникали пороговым образом. Основная идея, на основе которой в [4] объясняются наблюдавшиеся в экспериментах эффекты, состоит в том, что в таких гидродинамических системах за сложные колебательные процессы вблизи порога отвечает термодиффузионное разделение смеси в горизонтальной плоскости при движении жидкости преимущественно вдоль вертикальных идеально теплопроводных границ. Примерами полостей, в которых реализуются такие течения, могут слу-

© А. Ф. Глухов, В. А. Демин, 2009

жить длинные связанные каналы (конвективная петля) или вертикальная ячейка Хеле-Шоу.

В качестве предварительного обоснования представим некоторые оценки для смеси декана с четыреххлористым углеродом. Жидкость находится в подогреваемой снизу конвективной петле высотой 5 см и толщиной канала 3 мм. Вследствие большой высоты конвективной петли величина вертикальных градиентов температуры вблизи порога мала и составляет 0.3 К/см. В результате ощутимое термодиффузионное разделение компонентов возникает только в движущейся жидкости из-за горизонтальных градиентов температуры порядка 3 К/см, а не за счет слабых вертикальных градиентов величиной на порядок меньше. Особенность рассматриваемых эффектов состоит в том, что в состоянии механического равновесия характерное время разделения компонентов вдоль вертикали равно 103 ч. В циркулирующей жидкости неизбежно возникают горизонтальные градиенты температуры. Время разделения поперек канала составляет приблизительно 1 ч, что по порядку величины совпадает со временем оборота жидкости по контуру, т.е. жидкая частица успевает поменять свой состав за время движения в каждом из каналов. При достаточно медленной циркуляции наблюдается обратное влияние сгенерированных термодиффузией неоднородностей концентрации на конвективное течение. Именно этот механизм в конечном счете отвечает за “жесткое” возбуждение колебательных режимов и специфические “перебросовые” течения, наблюдавшиеся в экспериментах [3,4].

2. Результаты теоретических исследований

2.1. Система уравнений тепловой конвекции для бинарных смесей

В ходе теоретического описания [5,6] конвективных течений бинарной смеси в длинных связанных каналах использовалась известная система уравнений для несжимаемой жидкости, которая впервые была получены в [7], исходя из уравнений гидродинамики в приближении Буссинеска. В безразмерной форме эта система уравнений имеет вид

В- + (5у)5 = -Ур + Аи + ^ (Т - С)? , (2.1.1)

ВТ 1 -

— + Ш)Т = —АТ , Шу V = 0, (2.1.2)

дг v ’ Рг

ВС 1

+ (0Я)С = — (АС + еАТ) , (2.1.3)

дг ос

где V, Т, р, С - безразмерные поля скорости, температуры, давления и концентрации примеси. В качестве единиц измерения здесь выбраны полу-толщина канала й (расстояние), й2 — (время),

—й (скорость), в (температура), вр, / рс (концентрация) и ру2/й2 (давление). Единицы измерения

выражаются через следующие параметры: у и % -соответственно коэффициенты кинематической вязкости и температуропроводности, р и р, - средняя плотность жидкости и коэффициент теплового расширения, в - разность температур на верхней и нижней границах. Эффекты, связанные с наличием примеси в жидкости, характеризуются коэффициентом диффузии Д а также материальными константами рс и а.

При выводе уравнений (2.1.1) - (2.1.3) использовалось следующее уравнение состояния:

р = ро(1 - ргТ + рсС),

где параметр рс описывает зависимость плотности смеси от концентрации:

1 ( др

Т, р

Рс р{дС

(в нашем случае рс > 0, т.к. рассматриваются тяжелые примеси). Коэффициент а = кТТ характеризует явление термодиффузии в бинарной жидкости (кТ - термодиффузионное отношение).

В рамках приближения (2.1.1)-(2.1.3) предполагается, что потоки вещества и тепла обусловлены градиентами концентрации и температуры следующим образом:

3 = -рБ(УС +аУТ), д = -кУТ ,

где к - коэффициент теплопроводности.

Система уравнений (2.1.1) - (2.1.3) содержит пять безразмерных параметров. Три из них,

Рг = —, %

Бс = —, Б

Ка =

gPгвd3 —%

(2.1.4)

соответственно числа Прандтля, Шмидта и Рэлея (£ - величина ускорения силы тяжести). Дополнительными числами подобия в задаче являются безразмерная высота каналов Н и параметр е, который характеризует явление термодиффузии в смеси:

е=а&.

р,

При вычислении поля скорости на твердых вертикальных границах каналов ставится условие прилипания

VI = 0.

1г

Вследствие высокой теплопроводности вертикальных стенок каналов, на границах расчетной области возмущения температуры полагались равными нулю. Твердые стенки каналов считались непроницаемыми для вещества, поэтому нормальная

компонента плотности диффузионного потока была равна нулю. Обезразмеренное выражение для плотности диффузионного потока вещества дает граничное условие вида

дС ВТ

—— + в —— дп дп

= 0.

(2.1.5)

Дополнительным условием являлось равенство нулю потока жидкости через сечение обоих кана-

лов:

Я*-

(1)

+ *

(2)

= 0.

С учетом большой высоты каналов Н >> й можно упростить уравнение (2.1.1). Предполагая, что справедливо приближение прямолинейных траекторий, имеем V(0,0, и). Здесь и(х, у, ,) -

скорость вдоль оси г. Чтобы исключить градиент давления, уравнение (2.1.1) интегрировалось вдоль каналов по замкнутому контуру. В итоге уравнение Навье - Стокса приобретало вид

ди Ка

— = Аи +------------

д, 2Рг

Н

| (т(1) - Т(2))

Ка НI „(1)

йг -

2 Рг

| (С(1) - С(2)) йг , (2.1.6)

о

где верхние индексы отвечают соответственно левому и правому каналам.

2.2. Состояние механического равновесия

При некотором распределении температуры и концентрации в жидкости имеет место состояние механического равновесия, которое характеризуется тем, что жидкость неподвижна (скорость равна нулю), и это состояние не меняется с течением времени:

д/д, = 0, * = 0, р = ро, Т = То , С = Со ,

где То, ро, Со - равновесные поля температуры, давления и концентрации примеси. Для бинарной смеси, находящейся в состоянии механического равновесия, из (2.1.1) - (2.1.3) получаем следующую систему уравнений:

[УТо-УСо]ху = 0 .

АТо = 0, АСо = 0.

(2.2.1)

(2.2.2)

В соответствии с экспериментом будем анализировать специальный случай линейного распределения температуры вдоль вертикали, когда

где Н - безразмерная высота полости. Такой градиент температуры отвечает линейному распределению температуры То = - г/Н (подогрев снизу). В этом случае уравнение Лапласа для температуры в системе (2.2.2) удовлетворяется тождественно.

Уравнения (2.2.1) и (2.2.2) позволяют определить равновесное распределение концентрации примеси в каналах, возникающее в результате действия термодиффузии. С учетом граничного условия (2.1.5) на верхней и нижней границах каналов получим с точностью до аддитивной постоянной линейное по вертикали распределение для концентрации тяжелой примеси Со = - ег/Н. Таким образом, в случае нормальной термодиффузии возникает потенциально неустойчивое равновесное распределение примеси в каналах.

2.3. Стационарные течения

В приближении прямолинейных траекторий система уравнений (2.1.2), (2.1.3), (2.1.6) с соответствующими граничными условиями имеет решение, описывающее стационарное течение. Опуская детали, обсудим лишь окончательные формулы и вытекающие из них выводы. Подробное описание результатов и методики расчетов можно найти

в [6].

Произведя расчет распределений температуры и концентрации вдоль вертикали, можно из (2.1.6) получить трансцендентное уравнение, связывающее амплитуду скорости с числом Рэлея. Ввиду громоздкости это уравнение здесь не приводится. Для однородной жидкости в предельном случае и ^ 0 и е =0 из него получается выражение, определяющее границу устойчивости равновесия относительно монотонных возмущений в зависимости от высоты канала

_4

(2.3.1)

Кас =

4| 1 - — 1апИ г] г1

где г1 = пН/2^2 .

Формула (2.3.1) показывает, что критическое число Рэлея уменьшается при увеличении длины каналов. В пределе Н ^ ж формула дает известное

4

значение критического числа Рэлея Ка = п /4 для бесконечных каналов [2]. В случае произвольных значений термодиффузионного параметра, чисел Шмидта и Прандтля выражение для критических чисел Рэлея имеет вид

П4 I ( 1

Ка~ =—<!(1 + е) 1------1апИ г,

С 4 Г ’ г

УТо =- — у о Н

еБс

Рг

0.45-------1апИ г 2

г 2

(2.3.2)

г

г

о

+

1

+

Здесь параметр 22 вычисляется по формуле

Ъ-МпИ

2 2 =------- •

2 20

При наличии термодиффузии порог конвекции зависит от числа Прандтля. В случае отрицательного термодиффузионного параметра критическое число Рэлея с ростом числа Прандтля уменьшается. Для положительного термодиффузионного эффекта пороговое число Рэлея растет при увеличении числа Прандтля и в пределе Рг ^ ж выходит на асимптотическое значение Кас » 24.5.

Рис. 1. Амплитудные кривые; 1 - е = - 0.01;

2 - е = 0.02, штриховая линия - е = 0

Трансцендентное уравнение позволяет вычислить амплитуду стационарного течения для произвольных значений числа Рэлея. Кривые 1, 2 на рис.

1 построены для следующего набора параметров: И = 30.5, Бе = 1000, Рг = 7. Из вида амплитудных кривых можно легко определить характер возбуждения конвекции. Кривая 2 на рис. 5, построенная для положительного е, показывает, что в случае нормального эффекта Соре стационарные течения ответвляются мягко. При аномальном эффекте Соре (кривая 1) имеет место “жесткое” возбуждение конвекции. Амплитудные кривые показывают, что наличие примеси значительно сказывается на течении только при малых значениях надкритично-сти. С ростом числа Рэлея интенсивность течения увеличивается и примесь размывается по каналам.

2.4. Расчет нестационарных режимов

При умеренных и больших значениях надкри-тичности амплитудные кривые 1 и 2, характеризующие стационарные течения, хорошо согласуются с экспериментальными данными,

полученными в [3,4] для смеси четыреххлористого углерода СС14 с деканом С10Н22. Однако вблизи порога в экспериментах явно наблюдались колеба-

тельные течения, поэтому была сделана попытка численного моделирования нестационарных конвективных течений бинарных смесей в связанных каналах конечной высоты с помощью метода конечных разностей [8]. Для подтверждения основных гипотез, выдвинутых еще при объяснении первых экспериментов, главное внимание в [9] уделялось расчету поля концентрации в горизонтальном сечении каналов. В результате было показано, что вне зависимости от знака термодиффузии конвекция возникала в области чуть ниже порога, соответствующего е = 0. Причем в смесях с положительной термодиффузией сначала пороговым образом возникали колебания близкие по форме к гармоническим. Затем с ростом числа Рэлея они сменялись сложными нелинейными колебаниями типа “перебросов”. При дальнейшем увеличении числа Рэлея период “перебросов” неограниченно нарастал: в жидкости устанавливалось течение с определенной циркуляцией, т.е. стационарное течение. В случае отрицательной термодиффузии в результате переходных колебательных процессов в смесях устанавливались стационарные конвективные течения.

3. Эксперименты со смесями в связанных каналах

Возникновение колебаний вблизи порога при положительной термодиффузии и установление стационарных течений в случае отрицательной термодиффузии совершенно не типично для бинарных смесей. Для проверки этого результата были выполнены дополнительные эксперименты со смесями, термодиффузионные свойства которых были точно известны. Эксперименты проводились с водными растворами сульфата натрия №2804 и растворами спирта в воде [1]. Водные растворы сульфата натрия характеризуются большими значениями коэффициента Соре [10]. Например, для

раствора со средней концентрацией С0 = 0.157 па-3 -1

раметр Соре имеет значение Бг = 8.9-10 К . Эта смесь характеризуется положительной термодиффузией, когда более холодные слои обогащаются тяжелой компонентой за счет термодиффузии, а горячие обедняются. Для теоретического анализа также важна величина безразмерных параметров: числа Прандтля и Шмидта соответственно равны

3

Рг = 8.5, Бе = 2.1-10 , термодиффузионный параметр е =(Рс/Pt) Бг = 0.36 .

Что касается водно-спиртовых смесей, то концентрация спирта выбиралась так, чтобы термодиффузионный эффект в смеси был отрицательным (5% раствор С2И50И в Н20).

Экспериментальная полость представляла собой прямоугольный металлический стержень, в котором были выточены два продольных параллельных канала квадратного сечения шириной 2й = 3.2

мм и высотой к =50 мм. Каналы соединялись вверху и внизу перемычками того же профиля и были снабжены массивными изотермическими теплообменниками. Вода и водные растворы хорошо подходят для экспериментов на данной установке, т.к. критическая разность температур, при которой наступает кризис равновесия в воде, составляет порядка 10 °С, поэтому даже не слишком высокая чувствительность измерительной системы позволила менять тепловое число Рэлея малыми шагами. Тонкая настройка числа Рэлея была чрезвычайно важна, т. к. ожидаемые эффекты должны были наблюдаться только в узкой области надкри-тичностей (1 < Ка/Као < 1.3).

Помимо этого были повторены эксперименты со смесью четыреххлористого углерода СС14 и декана С10Н22. Термодиффузионные свойства данной смеси детально до сих пор неизвестны, однако изучены свойства похожих растворов. Так, раствор

СС14 в гексане имеет положительный коэффициент

-2 1

Соре Бг = 2.5-10 К- . Если предположить, что использованный в экспериментах раствор имеет близкое значение коэффициента Соре, то можно оценить термодиффузионные параметры смеси СС14 в декане. Для 3% раствора (Со = 0.03) более плотного СС14 в менее плотном С10Н22 имеем следующее значение термодифузионного параметра е:

е = Бг С0(1 - С0) р ~1.

рг

Для оценки числа Прандтля смеси воспользуемся свойствами декана, полагая, что малая добавка тяжелой примеси не способна сильно изменить этот параметр у смеси Рг и 15. Известно, что жидкие смеси характеризуются весьма малыми значениями коэффициента диффузии D в сравнении с вязкостью V, поэтому оценка числа Шмидта дает

3

величину Бс ~ 10 . Данная смесь интересна также тем, что при небольших концентрациях четыреххлористого углерода в декане она обладает высоким концентрационным коэффициентом плотности рс ~ 2. В результате даже слабые неоднородности концентрации весьма заметно проявляют себя на фоне температурных неоднородностей. Например,

достаточно иметь неоднородность концентрации

-3

по вертикали порядка 10 от среднеобъемного значения, чтобы тепловые и концентрационные неоднородности плотности конкурировали друг с другом. Значения других физических параметров применявшихся жидкостей и растворов представлены ниже в таблице.

Эксперименты с разными бинарными смесями подтвердили, что тепловая конвекция в связанных каналах действительно возникает “жестко”, независимо от знака термодиффузии. Пороговое значение числа Рэлея, ниже которого жидкость воз-

вращалась в состояние механического равновесия, было приблизительно равно критическому числу Рэлея для однородной жидкости. Критический перепад температуры для водных растворов сульфата натрия составлял 6.3 °С, а для 3% раствора СС14 в декане С10Н22 был равен 1.5 °С.

Физические параметры применяемых в экспериментах жидкостей

Параметры Декан Раствор СС14 в декане, 3% Вода Раствор №2804 в воде, 16%

О о

^102 (см2/с) 1.24 1.05 1.24

0.608

в 103 (К-1) 1.06 0.207 0.207

1.20

Рс 2 8.510-3

х-103 (см2/с) 0.815 1.403 1.46

0.747

Б-105 (см2/с) 0.6

к (Вт-К^-м-1) 0.14 0.59 0.83

{ ^ 1-10-3 ) (1/см3 К) 103 13.7 11.6

260

Бг-103 (К-1) ~ 25 8.9

Рг 15.2 15 7.4 8.5

8.2

Бс-10-3 ~ 1 2.1

Примечание: значения коэффициентов V, р и % водно-спиртовой смеси вследствие малых концентраций спирта не сильно отличаются от соответствующих параметров воды.

Далее при сопоставлении результатов экспериментов с теорией будем использовать параметр надкритичности ^ = Ка/Кас. В случае положительной термодиффузии при превышении критического числа Рэлея Кас сначала наблюдались колебательные течения, амплитуда которых менялась по гармоническому закону. С ростом надкритичности гармонические колебания сменялись сложными нелинейными колебаниями типа “перебросов” [9]. Временная эволюция “перебросового”

течения такова: после переходного процесса в каналах устанавливается циркуляция определенного направления, при этом вблизи некоторых средних величин наблюдаются колебания с более высокой частотой. Через определенное время, равное периоду “перебросов”, скорость в каналах начинает резко уменьшаться, и направление закрутки меняется на противоположное. Причина смены закрутки связана с тем, что в канале, в котором наблюдалось подъемное течение, постепенно накапливается тяжелая примесь, а в канале с опускным течением возникает недостаток тяжелой примеси, в результате чего течение затормаживается, и направление закрутки меняется на противоположное. На первый взгляд может показаться, что при положительной термодиффузии колебательные движения невозможны. Можно ожидать, что через верхнюю и нижнюю перемычки в канале с подъемным течением вследствие термодиффузии должна накапливаться легкая компонента, т.к. каналы имеют в среднем разную температуру. В левый канал входит нагретая, а в правый - охлажденная жидкость. В действительности в канале с подъемным течением все же может накапливаться тяжелая примесь. При протекании жидкости по длинным узким каналам с высокотеплопроводными гранями неизбежно возникают градиенты температуры в горизонтальной плоскости: в канале с подъемным течением вектор градиента направлен из потока к боковым стенкам, в канале с опускным течением - наоборот, от стенок к середине канала. Когда жидкость течет достаточно медленно, в канале с опускным течением из-за термодиффузии в середине потока накапливается тяжелая примесь и затем “конвективно” переносится в канал с подъемным течением. Пока элемент жидкости движется вверх, тяжелая примесь перемещается из-за положительной термодиффузии к стенкам канала, т.е. выносится из потока. В результате примесь не возвращается обратно в канал с опускным течением, а накапливается в канале с подъемным течением, вследствие чего происходит торможение и возникает течение с противоположной закруткой, т.е. рождаются колебания.

Дальнейшее увеличение надкритичности (^ > 1.5 для смеси СС14 и С10Н22 и /иг > 1.1 для 16% раствора №2804 в воде) приводило к тому, что период перебросов неограниченно возрастал, и система переходила в одно из двух устойчивых стационарных состояний с определенным направлением движения.

Однако в “подкритической области” (ниже экспериментального порога) при положительной термодиффузии теория предсказывает существование медленных стационарных течений (рис. 1, кривая 2). Очевидно, что в этой части эксперименты противоречат результатам расчетов стационарных течений. Расчеты в нестационарной постановке по-

казывают, что выход на этот медленный режим должен происходить через пикообразные выбросы (рис. 2) в течение очень длительного времени, величина которого на несколько порядков превышает время проведения среднестатистического эксперимента.

Рис. 2. Установление стационарного течения через пикообразные выбросы

В стандартном по времени эксперименте конвективный порог оказывается сильно завышенным по отношению к предсказанному теорией и отвечает “жесткому” возбуждению колебательной конвекции. В опытах со смесями с отрицательным коэффициентом термодиффузии (слабые спиртововодные растворы) в надкритической области (1 < fit < 2) устанавливалась стационарная конвекция. Регулярных колебаний вблизи порога не наблюдалось. Этот факт согласуется с результатами расчетов.

Таким образом, практически все эффекты, наблюдавшиеся в экспериментах со связанными каналами, нашли свое подтверждение в расчетах. Тем не менее предсказанные в случае положительной термодиффузии стационарные течения ниже экспериментального порога, выход на которые должен теоретически происходить через пикообразные выбросы, в экспериментах так и не удалось обнаружить. По мнению авторов данной статьи, объясняется это чрезвычайно медленным термодиффузионным перераспределением компонентов смеси вдоль вертикали с характерным временем

3

разделения около 10 ч. Заметим, что огромное время первого выброса на рис. 2 (порядка 20000 безразмерных единиц) соответствует характерному времени разделения компонентов вдоль вертикали.

Итак, в конвективной петле существенную роль играет термодиффузионное разделение смесей в горизонтальной плоскости при движении жидкости преимущественно в вертикальном направлении. Как уже отмечалось выше, еще одним приме-

ром полости, в которой подобные эффекты должны выступать на передний план, служит вертикальная ячейка Хеле-Шоу с высокотеплопроводными широкими гранями.

4. Экспериментальные данные по ячейке Хеле-Шоу

При проведении экспериментов с ячейкой Хеле-Шоу (рис. 3) оборудование включало кювету, струйные термостаты УТ-8 и УТ-12, прибор “Термодат-13”, вольтметр В7-65/2 и компьютер. Кювета представляла собой тонкую ячейку в форме прямоугольного параллелепипеда высотой 32 мм, длиной 17 мм, толщиной 1.5 мм, которая заполнялась бинарной смесью.

Рис. 3. Экспериментальная установка; 1 -алюминиевая пластина, 2, 4 - плексигласовые пластины, 3 - алюминиевые теплообменники,

5 - рабочая полость

На стенках ячейки при помощи термостатов создавался вертикальный градиент температуры. Об интенсивности и структуре конвективного течения судили при помощи дифференциальных термопар, которые измеряли конвективные искажения температурного поля в кювете. Сигналы с термопар измерялись приборами “Термодат-13” и вольтметром В7-65/2. Эти два прибора в свою очередь были подключены к двум различным СОМ-портам персонального компьютера.

Для регистрации одновихревого течения в ячейке имелась батарея из четырех дифференциальных термопар. Спаи расположены внутри полости вдоль узких вертикальных стенок кюветы. Данная батарея суммирует температурные искажения первоначально линейного температурного поля, что приводит к усилению сигнала в 4 раза по сравнению с сигналом дифференциальной термопары с двумя спаями. ЭДС батареи измеряется цифровым вольтметром В7-65/2.

При наличии симметричного двухвихревого течения, “одновихревая” батарея термопар должна выдавать сигнал, близкий к нулю, поэтому для регистрации двухвихревого течения в ячейке имелась батарея из двух дифференциальных термопар.

Одна пара спаев располагается по вертикали вдоль средней линии ячейки, а другая пара - вблизи узкой вертикальной стенки. ЭДС этой батареи обычно измерялась прибором “Термодат-13”.

В случае реализации одновихревого течения “двухвихревая” батарея термопар тоже дает вполне заметный сигнал, так что деление батарей на “одновихревую” и “двухвихревую” достаточно условно.

При использовании медь-константановых термопар прибор “Термодат-13” обеспечивает измерение температуры с разрешением 0.1 оС, т.е. разрешение по напряжению составляет приблизительно 4 мкВ, и способен принимать показания не чаще, чем один раз в пять секунд. “Термодат-13” имеет возможность обмена информацией с компьютером через специальное устройство -адаптер Я8-485/Я8-232. Адаптер подключен к СОМ-порту компьютера.

Вольтметр В7-65/2 имеет разрешение по напряжению 1 мкВ, что при использовании дифференциальной медь-константановой термопары дает разрешение по температуре 0.025 оС. Вольтметр способен производить измерения один раз в секунду. Вольтметр оснащен компьютерным интерфейсом, что позволяет снимать с него данные через СОМ-порт и записывать их в память компьютера.

Для приема данных с вольтметра и прибора “Термодат-13” использовалась модифицированная версия программы Термодат 3.55, штатный вариант которой поставляется вместе с комплектом “Термодат”. В программу добавлен блок обработки аппаратного прерывания от последовательного порта, к которому подключен вольтметр. Модификация программы позволила проводить опрос обоих приборов одновременно.

Все данные с термопар поступают в компьютер, где зависимости сигнала от времени представляются в виде таблиц или графиков. Для поддержания перепада температуры между теплообменниками экспериментальной установки применялись струйные ультратермостаты УТ-8 и УТ-12. Цифровая электронная измерительная система термостатов имеет разрешение в 0.01 оС, и при соответствующей настройке параметров регулирования удается добиться поддержания температуры термостатируемой жидкости с точностью до нескольких десятых долей градуса.

Для проведения эксперимента в кювету заливалась исследуемая бинарная жидкость. Затем при помощи термостатов на теплообменниках задавался некоторый перепад температур. Температуры нагревателя и холодильника выбирались таким образом, что средняя температура жидкости в кювете оставалась равной температуре окружающей среды. В ходе проведения эксперимента перепад температуры либо увеличивался, либо уменьшался шагами по 0.2 ^ 2 оС. При помощи программы

Термодат 3.55 строились графики зависимости от времени сигнала, полученного с измерительных приборов. Затем сохраненные в архиве данные обрабатывались.

На рис. 4 показаны результаты экспериментов, проведенных с 16% водным раствором сульфата натрия. Задавалась достаточно высокая разность температур на теплообменниках (17 °С, ^ = 1.6). В результате в тщательно размешанной свежезали-той жидкости возникало монотонное конвективное течение. Затем вертикальный градиент уменьшался ступеньками по 0.5 °С. После каждого уменьшения разности температур амплитуда монотонного одновихревого течения также уменьшалась ступеньками. Когда разность температур достигала определенного значения (13 °С, ^ = 1.2), монотонное течение теряло устойчивость и в ячейке возникали конвективные колебания с периодом 25 мин. Далее разность температур уменьшалась шагами по

0.2 °С. Форма колебаний становилась более гладкой, амплитуда с уменьшением разности температур убывала, и период колебаний также слабо уменьшался. Наконец, при температуре 10.5 °С (^ = 1) конвективные колебания затухали и смесь переходила в состояние механического равновесия.

Рис. 4. Амплитудные кривые; 1, 2, 3 -соответственно результаты расчетов при е = 0.36, е = - 0.2 и е = 0; символы -экспериментальные точки; 4 - монотонное течение, 5 - колебания

Оказалось, что по форме колебания в ячейке Хеле-Шоу несколько отличаются от тех, что наблюдались в связанных каналах. Однако наличие колебаний при положительной термодиффузии вблизи порога, несомненно, указывает на подобие конвективных систем. Чтобы подтвердить общую природу колебаний вблизи порога, проанализируем результаты расчетов на основе простейшей динамической модели, в которой тем не менее учитывалось термодиффузионное разделение смесей в поперечном сечении.

5. Динамическая модель

Уравнения тепловой конвекции для бинарных смесей в ячейке Хеле-Шоу в терминах функции тока У температуры T и дополнительной функции F = С + еT имеют вид

дф дУ дф дУ дф _ дt Зу дx дx Зу

= Аф-

HRa

Pr

ST И , dF

------(1 + s)-----------

Sx ’ Sx

(5.1)

ST ST ST ST ST 1 1/n 1 ST

— +------------------= —AT----------, (5.2)

St Sy Sx Sx Sy Pr H Sx

SF ST SF ST SF 1 ^ s

— +-------------------= —AF + — AT, (5.3)

St Sy Sx Sx Sy Sc Pr

где ф = A1 ц. Соотношение сторон полости таково (L = 22, H = 42, d = 2), что происходящее в опыте сложное перераспределение примеси происходит на фоне стационарного или колебательного одновихревого течения. Система (5.1) - (5.3) в случае S/St = 0 и T= 0 описывает равновесное состояние

с линейными профилями С0 = sz/H и T0 = - z/H.

Построим простейшую динамическую модель наблюдаемых в экспериментах эффектов, предполагая, что справедливы следующие разложения:

T = ц11 (t) sin (nx/L) sin (ny/H) cos (nz¡ 2),

T = d02 (t)sin (2ny/H) cos (nz/2) +

+6n (t) sin (nx/L) sin (ny/H) cos (nz/2),

F = f02(t )sin ( 2ny/H )С13 +

+fn(t)cos(nx/L)sin(ny/H)CB.

Подстановка данного разложения в систему уравнений (5.1) - (5.3) и применение к ней процедуры Галеркина-Канторовича, дает следующую динамическую систему [11]:

• 2 Ra(011(1 + s)-f11)

Ц/11 = -n2e^n--------^, (5.4)

Pr(1 + p)

4 n2

^02 = ~ц11^11 -тг~ Ф02, Pr

^11 = Тц11^02 ц11 ~T¡ ^11,

3 Pr

■f _ 256 f 9n2sq f = 175 Цf11 ЮРТ" f 02,

(5.5)

(5.6)

n2 ( 9 4 i _

-SC1,20+H"21 <57)

Рис. 5. Показания термопар, характеризующие интенсивность одновихревого течения в области ниже “экспериментального порога ”

■ 512 9n2ee

fii —---W11 f 02-----C7i 1 ■

■ш i7^iu02 iopr 11

r2

_n2 i 9 1 1 .

Sc i 20 + H2 + L2 '

11 1 ï ( 14

e — [4+H2+L?) • g — U+H2

p —

(5.8)

L

H

Уравнения (5.4) - (5.8) имеют аналитическое решение в виде одновихревого стационарного течения. Амплитудные кривые стационарных течений представлены на рис. 4 для разных значений термодиффузионного параметра. Как и в случае связанных каналов при положительной термодиффузии е >0 имеет место мягкое возбуждение конвекции, при е <0 конвекция должна возникать “жестко”.

Однако в эксперименте система опять “стартует” из состояния с однородным распределением примеси. Для того, чтобы вследствие положительной термодиффузии в полости установилось потенциально неустойчивое вертикальное распределение концентрации примеси, необходимо

достаточно большое время. Поэтому при постепенном увеличении разности температур на теплообменниках бинарная система, находясь практически в равновесном состоянии, сначала достигает порога конвекции для однородной жидкости. А затем вне зависимости от знака термодиффузии “жестко” рождается конвективное течение. В случае положительной термодиффузии в системе возникает колебательный режим, а при отрицательной -монотонное течение.

6. Пикообразные выбросы в ячейке Хеле - Шоу

Оценки для ячейки Хеле-Шоу дают время вертикального термодиффузионного перераспределения примеси H/D ~ 500 ч. Это значительно меньше, чем в экспериментах со связанными каналами. По результатам расчетов амплитудных кривых 1-3 (рис. 4) были проведены дополнительные эксперименты, в которых все-таки удалось наблюдать пикообразные выбросы в “подкритической” области, т.е. ниже экспериментального порога. Термограмма для раствора Na2SOï в воде представлена на рис. 5, из которой действительно видно, что ниже экспериментального порога существуют ожидаемые острые пики на показаниях термопар, которые объясняются слабым разделением смесей вдоль вертикали за счет термодиффузии.

7. Заключение

В работе представлены результаты экспериментальных и теоретических исследований тепловой конвекции бинарной смеси в связанных каналах и ячейке Хеле-Шоу. Рассмотрены смеси как с положительной, так и отрицательной термодиффузией. В зависимости от знака термодиффузии изучен характер возбуждения конвекции. В надкритической области исследованы различные стационарные и колебательные конвективные режимы.

Показано, что при малых и умеренных значениях надкритичности конвективные течения в свя-

занных каналах и ячейке Хеле-Шоу во многом подобны. Так, в случае положительной термодиффузии порог конвекции теоретически должен определяться монотонными возмущениями, однако реально в эксперименте вне зависимости от знака термодиффузии имеет место “жесткое” возбуждение колебательной конвекции. Причем порог конвекции приблизительно соответствует критическому числу Рэлея для однородной жидкости. Предложено объяснение наблюдаемых явлений, которое подтверждается аналитическими расчетами и прямым численным моделированием.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта р_Урал_а № 07 - 08 - 96035).

Список литературы

1. Глухов А. Ф., Демин В. А., Путин Г. Ф. // Письма в ЖТФ. 2008. Т. 34, вып. 17. С. 45.

2. Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.

3. Глухов А. Ф., Зорин С. В., Путин Г. Ф., Петухова Е. С. // Конвективные течения: сб. науч. трудов / Перм. пед. ин-т. Пермь, 1985. С. 24.

4. Глухов А. Ф. Экспериментальное исследование тепловой конвекции в смесях в условиях гравитационного расслоения: канд. дис. Пермь, 1995. 142 с.

5. Глухов А. Ф., Демин В. А. // Вестн. Перм. ун-та. 2007. Вып. 1(6). Физика. С. 3.

6. Глухов А.Ф., Демин В.А. // Там же. 2008. Вып. 1(17). С. 9.

7. Шапошников И. Г. // Прикладная математика и механика. 1953. Т. 17, № 5. С. 604.

8. Тарунин Е. Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1990. 228 с.

9. Глухов А. Ф., Демин В. А., Путин Г. Ф. // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2007. № 2. С. 13.

10. Костарев К. Г., Пшеничников А. Ф. // Прикл. мех. и техн. физ. 1986. № 5. С. 73.

11. Demin V. A., Glukhov A. F. // VIII Int. Meeting on Thermodiffusion (Lecture Notes). Julich, Germany, 2008. P. 187.