Стационарные режимы тепловой конвекции бинарной смеси в связанных каналах Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2008 Физика Вып. 1 (17)

Стационарные режимы тепловой конвекции бинарной смеси в связанных каналах

А. Ф. Глухов, В. А. Демин

Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букнрева, 15

Аналитически изучены стационарные режимы тепловой конвекции бинарной смеси в связанных каналах конечной высоты. Рассматривалось влияние на конвекцию как положительной, так и отрицательной термодиффузии. Определены значения параметров, при которых наблюдаю гея режимы мягкого и жесткого возбуждения конвекции. Найдены вертикальные распределения полей температуры и концентрации для разных значений термодиффузионною параметра.

1. Введение

Известно, что термокониентрационная конвекция возникает в неоднородной по составу и неоднородно нагретой жидкой смеси, находящейся в поле массовых сил. При этом неоднородность плотности возникает благодаря конкуренции двух механизмов. Первый носит термо1равитационный характер и связан с зависимостью плотности жидкости от температуры; второй возникает вследствие наличия неоднородного распределения концентрации тяжелой или легкой компоненты в объеме смеси.

Существование двух конкурирующих механизмов приводит к более сложному поведению системы. чем в случае однородной жидкости. Величина сил определяется температурным и концентрационным коэффициентами плотности, а также величиной градиентов температуры и концентрации В большинстве смесей наличие температурных градиентов является причиной возникновения градиента концентрации. Это явление называется термодиффузией. В случае дсйстпия термодиффузии свободноконвективное течение испытывает влияние наведенного градиента концентрации.

В горизонтальном слое бинарной смеси при подогреве снизу тепловая конвекция в случае нормальной термодиффузии возникает в результате неустойчивости относительно МОНОТОННЫХ ВОЗМУ-

^ * щепий [1]. Такая же картина неустойчивости наблюдается в полостях другой формы, для которых характерно наличие широких горизонтальных границ. При наличии перепада температуры на таких границах возникает термодиффузионное разделение смеси вдоль вертикали, которое в случае по-

ложительного эффекта Соре при потере устойчивости равновесия способствует развитию монотонных возмущений.

В случае аномальной термодиффузни, когда имеется конкуренция термогравитациоиного и аномального термодиффузионпого механизмов возбуждения конвекции, преобладают колебательные механизмы развития неустойчивости равновесия.

Целью данной работы является исследование стационарных конвективных течений бинарной смеси в связанных каналах конечной высоты при учете как положительной, так и отрицательной термодиффузии. Ранее стационарная конвекция однокомпонептной жидкости и бинарной смеси в связанных каналах изучалась аналитически в [2, 3]. Термодиффузия при этом не учитывалась, а источником концентрационных неоднородностей служил линейный вертикальный концентрационный профиль тяжелой компоненты на границах каналов.

2. Постановка задачи

Рассматриваемая область представляет собой два вертикальных капала конечной высоты с идеально теплопроводными границами (рис. 1). Каналы имеют квадратное сечение и соединены свсрх\ и снизу короткими перемычками тою же профиля. Далее в ходе теоретического исследования влиянием перемычек будем пренебрегать. Расчеты выполняются для такого же набора геометрических параметров, как в экспериментах |4, 5]. Оценки показывают, что в этом случае тепловым взаимодействием левого и правого каналов можно пренебречь. Выберем систему координат гак. чтобы

© А. Ф. Глухов. В. А. Демин, 2008

ось г была направлена вверх вдоль каналов. В этой системе координат у ( 0, 0, I ) - единичный вектор. направленный вертикально вверх.

Конвективная петля подогревается снизу так,

2 А

£

2с?

У

У

н

х

Рис. I. Конвективная петля: /, 2 - левый и правый каналы в системе координат

что на вертикальных границах каналов поддерживается линейное распределение температуры. Ниже будет показано, что при таком распределении температуры в бинарной жидкости возможно состояние механического равновесия.

3. Основные уравнения

При описании конвективных течений бинарной смеси будем использовать известные уравнения для несжимаемой жидкости, которые впервые были получены в работе 16], исходя из уравнений гидродинамики в приближении Буссинеска:

— + (у V) у = - — Ур + дt У > р И

-\--\v + ё(Р1Т-/ЗсС)у , (3.1)

дТ

дг

дС

Л

ді

+ (іЛ7)г - х^Т , сііу V = 0 , (¿у)с = ОДС + а ВАТ .

(3.2)

(3.3)

Здесь и, Т, р, С - ноля скорости, температуры, давления и концентрации примеси; р - средняя плотность жидкости, ц х~ коэффициенты кинематической вязкости и температуропроводности,

коэффициент теплового расширения, g - величина ускорения силы тяжести. При выводе уравнений

(3.1) - (3.3) использовалось следующее уравнение состояния:

р-р0(\-РгТ +рсс).

Эффекты, связанные с наличием примеси в жидкости, характеризуются материальными константами

Ц рс и а. Коэффициент рс описывает зависимость плотности элемента жидкости от концентрации:

нш:

т.р

(в нашем случае рс > 0, т. к. рассматривается влияние тяжелой примеси на конвекцию). Коэффициент а характеризует явление термодиффузии в бинарной жидкости, £)- коэффициент диффузии.

В рамках приближения (3.1) - (3.3) предполагается, что потоки вещества и тепла обусловлены градиентами концентрации и температуры следующим образом:

3 = -рО{?С + аУТ), д = -кУ Т,

где к- коэффициент теплопроводности.

Обезразмерим уравнения (3.1) - (3.3), выбирая в качестве единиц длины полутолшину канала с?,

времени - й2/\', скорости - у/(1, температуры -

2 /

в, концентрации - вр1/рс, давления -ру /с1~ .

Здесь 0 - характерный перепад температуры. С учетом выбранных единиц система уравнений (3.1) - (3.3) принимает форму

^.+(й'?)0 = -Ур + А0+^{Т-С)Р, (3.4) дТ 1

— + (уУ)Т = —ДТ, сНу и = 0 , (3.5)

дг V ' Рг

Ё£+^)с-±(ас^т}.

(3.6)

Система уравнений (3.4) - (3.6) содержит четыре безразмерных параметра. Три из них.

соответственно числа Прандтля, Шмидта и Рэлея. Дополнительным безразмерным числом в задаче является параметр £•„, который характеризует явление термодиффузии в смеси:

¿о =

ар_с А

Здесь а - к^Т (/су — термодиффузионное отношение).

В ходе расчетов на вертикальных границах каналов для скорости будем использовать условие прилипания

V

= 0.

Стенки каналов идеально теплопроводны, поэтому на вертикальных границах расчетной области возмущения температуры должны быть равны нулю.

Твердые границы каналов будем считать непроницаемыми для вещества, поэтому нормальная компонента плотности диффузионного потока равна нулю. Обезразмеривая выражение для плотности диффузионного потока вещества, получаем граничное условие вида

дС

дп

дТ Л

+ £о--------= 0 •

0 дп

(3.7)

4. Методика решения

Упростим уравнение (3.4) с учетом большой высоты каналов. Предполагая, что справедливо приближение прямолинейных траекторий, имеем и( 0,0, и2). Здесь иг(х^уЛ) - скорость вдоль оси 2.

Чтобы исключить градиент давления из уравнения

(3.4), проинтегрируем его вдоль каналов по замкнутому контуру. В итоге уравнение Навье-Стокса приобретает вид

г + 2р7 ^

Также необходимым условием является равенство нулю потока жидкости через сечение обоих каналов:

Як11’ - (2)

г

При определенных распределениях температуры и концентрации в жидкости имеет место состояние механического равновесия, которое характеризуется тем, что жидкость неподвижна (скорость равна нулю), и это состояние не меняется с течением времени:

3/5£ = 0, V = 0, р = р0, Т = Т0, С = С0,

где Т0, р0, С0 равновесные поля температуры, давления и концентрации примеси. Для бинарной смеси, находящейся в состоянии механического равновесия, получаем следующую систему уравнений:

[У7;-УСо]хГ- = 0, (4.1)

АТ0 = 0, АС0 = 0. (4.2)

Далее проанализируем специальный случай линейного распределения температуры вдоль оси канала, когда

где Н безразмерная высота полости. Такой градиент температуры отвечает линейному распределению температуры Т0 - - г/Н (подогрев снизу). В этом случае уравнение Лапласа для температуры (4.2) удовлетворяется тождественно.

Уравнения (4.1) и (4.2) позволяют определить равновесное распределение концентрации примеси в каналах, возникающее в результате действия термодиффузии. С учетом граничного условия

(3.7) на верхней и нижней границах каналов получим с точностью до аддитивной постоянной линейное по вертикали распределение для концентрации тяжелой примеси Са - - е0г/Н. Таким образом, в случае тяжелой примеси явление термодиффузии приводит к потеициалыю неустойчивому равновесному распределению концентрации в каналах.

ді

о

О

я

(4.1)

где нижние индексы отвечают соответственно левому и правому каналам. Приближение прямолинейных траекторий привело к линеаризации уравнения Навье-Сгокса.

Для решения уравнений (4.1), (3.5), (3.6) воспользуемся методом Галеркина. Выберем для скорости и температуры аппроксимации поперек каналов, удовлетворяющие граничным условиям:

иг = и(0э ІІ1

' 7ГХЛ СОБ 'ш\

, 2 ) , 2 )

( пх С08 ' пУ

1т, 1 2 і

(4.2)

(4.3)

Наличие граничного условия (3.7) позволяет перейти к новой переменной С+ ¿-0Т. Сконструируем базисные функции при аппроксимации Г в виде линейных комбинаций тригонометрических функций с тем, чтобы удовлетворялось условие нечетности профиля по х и граничное условие

(3.7) для потока вещества на боковых стенках. Введем специальные функции, комбинированные синус и косинус (рис. 2):

з (л:) = біп

(пх ^ 1 • БИТ 3 ' Ъпх'

Сг > чг м

' пхл 1 Д. __ рп? ' ЭЛХ

V и о 3 СЧ

С|з(х) = СОБ

С учетом определения новых специальных функций запишем разложение для функции Дх, гу, г, *) в виде

(4.4)

Подставляя разложения (4.2) - (4.4) в уравнения

(3.5), (3.6) и (4.1). выполним процедуру осреднения с соответствующим весом по сечению каналов.

-0 7?

ЗД I 1 1 1 1 -Д-

1 1 1 1 1 1 1 1 [

Рис. 2. График зависимости комбинированного синуса от поперечной координаты

Интересуясь стационарными решениями, получим систему обыкновенных дифференциальных

уравнений для амплитуд 0(г) иЛг):

і *

±0’2+-^-и^2-^--О1л±^ = 0. (4.5)

Рг 2Рг И .

_ 4.28иЗс 97Г Ґ

У 1.2 + ' 7 *\Л ~/і.2 -

К

10

8 ]£'03с

( 7 7Г'

ЮОРг

}]

0

- |и-/з)йг| = 0- (4-7)

Сформулируем для системы уравнений (4.5) - (4.7) граничные условия на верхнем и нижнем концах кана’юв:

0, - о! = -07',

2-0, И- ‘ 1 “ (4.8)

/|-/:- Л'=-/2'-

Условия (4.8) означают, что перемычки между ка-л;памн считаются достаточно короткими и жидкость. проходя соединительные участки, не успевает ’ изменить температуру и концентрацию в результате взаимодействия со стенками.

Решение неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (4.5). (4.6) будем искать в экспоненциальной форме. Введем обозначения для констант, связанных с корнями характеристических уравнении:

где

ыЬРг і / иЬРг - /

а - ----—- .у -------------

2 2

] ~ \jiubPrY -г а . о - ¡2.

Ь = 32/9/г2 ,

О ----------, £ ---------

, 5 = 4.28/я1 ,

где / = л/^ыЗс)2 + д , д = 9я2 ¡\ 0 .

5. Распределение температуры и концентрации примеси по высоте

При сшивании решений для левого и правого каналов получаем следующие распределения температуры и функции/в зависимости от вертикальной координаты:

■2аг гае2?*

а/Н

2уе~

(е2'"+])

■+/

(5.1)

А =

Ае

26 г

Ве-

{еШ1 +\) (е2сИ +1)

+

н----

це

2yz

1уН

Є~! “ + I

в^-ЩН-г), /,=-/ (Н-г). Иа(1 + £а)и

■ + Х, (5-2)

На2]

4<і2ІЇ\(уН) - 4у2іЬ(сіИ) + а/7/1 *-

На

2Рг

-&1(26Н) + ^\Ь(2£Н) + £-й\{2е1Н) +

д £ СІ

»

И

! >

, +*-\Ь(2уН) + 2ХИ

Г _ ,

(4.6) Приведем значения констант

-аи = 0. (5.3)

* * 1

/* = -

0.81ш;о/'Зс(/г2 -8гі2) аН](4<і - 45с?ивс - д)

0.81и£,ос?8с(т2 -8/2)

аН]{4у -4syu.Sc.-g) / =

0.45и£оЗс

аН

Амплитуды А и В выражаются через константы £. // и х

Л-|[//(£-/) + £(£-¿) ! 2хе\, ' в = -^[Кй-у) + £(£-й) + 2хЯ]- .-«.I

Зависимость температуры от вертикальной координаты приведена па рис. 3 для разных значений скорости течения при = 0.02, И - 30.5, Эс = 1000, Рг = 7. Видно, что сначала при входе в канал температура жидкости быстро меняется, а затем выходит на асимптотическое значение.

Распределение концентрации примеси по высоте изображено на рис. 4 при ¿-и - 0.02. Кривые, характеризующие распределение примеси в левом и правом каналах, показывают, что там, где возникает подъемное течение, в среднем имеет место недостаток тяжелой примеси, а в канале с опускным течением - избыток. Таким образом, конвективная петля может использоваться как установка для разделения смесей на компоненты. Процесс разде-

ления смесей происходит в динамике на фоне конвективного переноса, т.е. гораздо быстрее, чем в классической термодиффузионной колонне.

Рис. 3. Отклонение температуры от линейного профиля вдоль оси канала: 1 -и- 3; 2-и = 1.5

30.5

15.25

н \\ 1 \\ 1 \\ \ ' 1 \ \\ і і і і і

1 К 1 \ 1 \ 1 і \ \ '

-0,024

0.024

Формула (6.1) показывает, что критическое число Рэлея уменьшается при увеличении длины каналов. В пределе Н-> <х> формула дает известное значение критического числа Рэлея Яа = л*/4 для бесконечных каналов [1]. В случае произвольных значений термодиффузионного параметра чисел Шмидта и Прандтля выражение для критических чисел Рэлея имеет вид

Иас = — 0 4

(1 + £о)

1-—тапЪ г 2]

Рг

V

0.45- — 1апЬг2 г2

(6-2)

Здесь параметр 2, вычисляется по формуле

Зл/Го кН

Иас =

V

\ ’

где = л-Н/2>/2 .

=

20

При наличии термодиффузии порог конвекции зависит от числа Прандтля. В случае отрицательного термодиффузионного параметра критическое число Рэлея с ростом числа Прандтля уменьшается. Для положительного термодиффузионного эффекта пороговое число Рэлея растет при увеличении числа Прандтля и в пределе Рг ос выходит на асимптотическое значение 24.5.

Рис. 4. Отклонение концентрации от линейного профиля вдоль оси канала: / -и = 3. 2 - и = 1.5

6. Течения с конечной амплитудой

Формула (5.3) дает связь амплитуды скорости и с числом Рэлея. Для однородной жидкости в предельном случае и-* 0, £0 = 0 получим выражение, определяющее границу устойчивости равновесия однородной жидкости относительно монотонных возмущений » зависимости от высоты канала

7Г4

(6.1)

Рис. 5. Амплитудные кривые для разных значений термодиффузионного параметра: /-£■„ = - 0.0!; 2- е0 - 0.02

Выражение (5.3) позволяет вычислить амплитуду течения при произвольных значениях числа Рэлея. Кривые 1, 2 на рис. 5 построены для следующего набора параметров: Н= 30.5, Эс = 1000, Рг = 7. Амплитудные кривые позволяют определить характер возбуждения конвекции. Кривая 2 на рис. 5, построенная для положительного £*0. показывает. что в случае нормального эффекта Соре стационарные течения ответнляются мягко. При аномальном эффекте Соре (кривая 1) возможно “жесткое” возбуждение монотонной конвекции.

Для ол покомпонентной жидкости в пределе 5, ~ О (5 3) совпадает с выражением, полеченным в [2] (штриховая линия, рис. 5). Амплитудные кривые показывают, что наличие примеси значительно сказывается на течении только при малых надкри-тичностях. С ростом числа Рэлея интенсивность течения увеличивается, и примесь размывается по каналам.

7. Заключение

В работе теоретически изучено влияние, оказываемое наличием примеси в жидкости на тепловую конвекцию в связанных каналах конечной высоты. Аналитически найдены границы устойчивости механического равновесия для монотонных возму-шений и определен характер возбуждения конвекции в случае действия как положительной, так и отрицательной термодиффузии. Выполнен расчет формы стационарных течений для конечных значений надкритчности.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта р У рал a Xs 07 - 08 - 96035).

Список литерату ры

1. Гершуии Г 3., Жуховщкий Е М Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.

2. Глухов А.Ф., Зорин С.В., Путин Г Ф., Петухова ЕС // Конвективные течения: сб. науч. трудов. Пермь, 1985. С. 24.

3. Глухов А.Ф Экспериментальное исследование тепловой конвекции в условиях гравитационного расслоения: Канд. дис. Пермь, !995. 140 с.

4. Глухое А. Ф., Демин В. А. ¡1 Вести. Перм. ун-та.

2006. Вып. I. Физика. С. 15.

5. Глухов А. Ф . Демин В. А 11 Вестн. Перм. ун-та.

2007. Вып. 1(6). Физика. С. 3.

6. Шапошников И. Г. Н Прикл. мат. и мех. 1953. Т. 17, №5. С. 604.