CC BY
1Премия имени И. И. Шувалова
УДК 514.172.45+514.132+515.14+515.16+519.17
ТЕОРИЯ СЕМЕЙСТВ МНОГОГРАННИКОВ: ФУЛЛЕРЕНЫ И МНОГОГРАННИКИ А. В. ПОГОРЕЛОВА
Н.Ю. Ероховец1
Статья представляет собой обзор результатов одноименного цикла работ автора, отмеченного премией имени И. И. Шувалова 2018 года за научную деятельность I степени, и более поздних результатов. В ней изучаются семейства трехмерных простых многогранников, определяемые условием циклической k-реберной связности, в частности флаговые многогранники и многогранники А. В. Погорелова, а также связанные с ними семейства фуллеренов и идеальных прямоугольных гиперболических многогранников. Описаны методы построения семейств при помощи операций срезки ребер и связной суммы вдоль граней, конструкция фуллеренов при помощи операций роста, построение когомологически жестких семейств трехмерных и шестимерных многообразий, а также геометризация Терстона ориентируемых трехмерных многообразий, отвечающих многогранникам.
Ключевые слова: трехмерный многогранник, циклическая k-реберная связность, семейство многогранников, фуллерен, прямоугольный многогранник, гиперболическое многообразие, когомологическая жесткость, геометризация.
The paper is a review of the results of the eponymous cycle of author's works marked by the 1.1. Shuvalov I degree prize 2018 for scientific research and recent results. We study families of three-dimensional simple polytopes defined by the condition of cyclic k-edge-connectivity, in particular, flag polytopes and Pogorelov polytopes, as well as related families of fullerenes and ideal right-angled hyperbolic polytopes. We describe methods for constructing families using operations of cutting off edges and a connected sum along faces, a construction of fullerenes using growth operations, a construction of cohomologically rigid families of three-dimensional and six-dimensional manifolds, and Thurston's geometrization of orientable three-dimensional manifolds corresponding to polytopes.
Key words: three-dimensional polytope, cyclic k-edge-connectivity, family of polytopes, fullerene, right-angled polytope, hyperbolic manifold, cohomological rigidity, geometrization.
В центре внимания статьи — семейства трехмерных многогранников, которые в последнее время вызывают интерес у специалистов из торической топологии, гиперболической геометрии, маломерной геометрии и топологии, теории графов и теории выпуклых многогранников. Эти семейства определяются условием циклической k-реберной связности. Среди них флаговые многогранники и многогранники А. В. Погорелова. С ними связаны семейства фуллеренов и идеальных прямоугольных гиперболических многогранников. Мы описываем построение каждого семейства из небольшого начального набора многогранников при помощи операций срезки вершины, ребра, пары смежных ребер и связной суммы многогранников вдоль граней. В качестве приложения даем построение семейства фуллеренов посредством операций роста. На основе семейств многогранников при помощи конструкций торической топологии мы строим семейства трехмерных и шестимерных многообразий, которые являются когомологически жесткими, т.е. два многообразия из семейства диффеоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны их градуированные кольца когомологий. В качестве приложения комбинаторных свойств семейств многогранников мы описываем геометризацию Терстона трехмерных ориентируемых многообразий, реализуемых как малые накрытия над многогранниками.
1. Основные факты и определение семейств многогранников. Многогранником мы называем выпуклую оболочку конечного набора точек в R3, не лежащего в одной плоскости. Известно, что многогранник также можно определить как ограниченное множество, которое не лежит в одной плоскости и может быть задано как пересечение конечного набора замкнутых полупространств.
1 Ероховец Николай Юрьевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. высшей геометрии и топологии мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: erochovetsnQhotmail.com.
Ervkhovets Nikolai Yur'evich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Higher Geometry and Topology.
Для более подробного знакомства с теорией многогранников мы рекомендуем книги [1, 2]. Непустое пересечение многогранника с плоскостью, относительно которой он целиком лежит в одном замкнутом полупространстве, является точкой, отрезком или многоугольником, которые мы будем называть вершиной, ребром или гранью соответственно. Можно показать, что многогранник имеет конечное число вершин, ребер и граней. Существуют другие определения многогранника, которые не подразумевают выпуклость или допускают бесконечное число граней. Два многогранника комбинаторно эквивалентны, если существует биекция между множествами их вершин, ребер и граней, сохраняющая отношение включения. Комбинаторным, многогранником называется класс комбинаторной эквивалентности многогранников. Далее для краткости многогранником мы будем называть комбинаторный многогранник. Все операции и конструкции будут определены именно на таких многогранниках, хотя описываются геометрически. Многогранник называется простым,, если в каждой его вершине сходятся ровно три ребра.
Настоящая работа посвящена изучению семейств простых многогранников, определяемых условием циклической к-реберной связности. В последнее время эти семейства играют важную роль в гиперболической геометрии и торической топологии.
Определение 1. Две грани многогранника смежны, если их пересечение является ребром. кк
к
зывается тривиальным,, если он окружает грань. Простой многогранник, отличный от симплекса, Д3, называется цикли чески к-реберно-связным, если у него нет ¿-поясов, I < к, и сильно циклически к-реберно-связным, если, кроме того, любой его к-пояс тривиален. По определению Д3 является с*3-связным, но не с4-связным.
к
блеме четырех красок. По-видимому, впервые оно было сформулировано в работе У.Т. Татта [3]. Обычно определение этого понятия использует циклические реберные разрезы графа многогранник
к
Все простые многогранники (семейство Р5) являются цикли чески 3-реберно-связными. Получаем цепочку вложенных семейств:
р Э paflag Э Э PaPog Э 'Pрog Э •
Здесь
РаА^ _ семейство почти флаговых многогранников, т.е. простых многогранников, у которых 3
Ра^ — семейство флаговых {простых) многогранников, т.е. простых многогранников, которые
3
Рар<^ — семейство почти погореловских многогранников, т.е. флаговых простых многогранни-4
Рр^ — семейство погореловских м,н,огогранников {многогранников Погорелова), т.е. простых мно-
34
— семейство сильно погореловских многогранников, т.е. многогранников Погорелова, у которых каждый 5-пояс окружает грань.
Семейство флаговых простых многогранников также выделяется тем условием, что любой набор их попарно смежных граней имеет непустое пересечение. Они двойственны к флаговым, симпли-циальным многогранникам, т.е. многогранникам, у которых все грани являются треугольниками и любой набор вершин, попарно соединенных ребрами, является набором вершин ребра или грани. Каждая грань флагового простого многогранника окружена поясом. Из формулы Эйлера вытекает, что каждый простой многогранник имеет треугольную, четырехугольную или пятиугольную грань. Поэтому он не может быть более чем сильно циклически 5-реберно-связным.
2. Геометрические и комбинаторные свойства семейств, примеры. Опишем геометрические свойства семейств многогранников в пространстве Лобачевского Ь3, которое удобно представлять при помощи модели Кэли-Клейна (см. [5]). В ней точки пространства Ь3 отвечают внутренним точкам евклидова единичного шара в М3, а прямые и плоскости — сечениям этого шара евклидовыми прямыми и плоскостями соответственно. Расстояние между точками Р и Q пространства Лобачевского определяется как : где X и У — точки границы шара, лежащие на
евклидовой прямой, проходящей через Р и Q. Двугранный угол между плоскостями пространства Ь3 прямой, если каждая из отвечающих им евклидовых плоскостей проходит через вершину кону-
еа, касающегося сферы ио окружности, по которой вторая плоскость пересекает сферу. Если одна
из плоскостей проходит через центр, то конус превращается в цилиндр и плоскости должны быть
просто перпендикулярны в евклидовом пространстве. Тогда ограниченный многогранник в L3 — это
просто евклидов многогранник, целиком лежащий во внутренности шара. Нас будут также интере-
L3
лежащие в замыкании шара. Их некоторые вершины могут лежать на границе шара. Такие точки называются бесконечно удаленными или идеальны,,ии точками пространства Лобачевского (в некоторой литературе идеальными называются точки евклидова пространства, лежащие вне замыкания шара).
Из результатов A.B. Погорелова [6] и Е. М. Андреева [4| следует, что многогранники Погоре-
L3
ограниченных многогранников с прямыми двугранными углами, причем реализация единственна с
точностью до изометрии. Они получили свое название потому, что именно таким многогранникам
посвящена работа [6]. Из работы [4| также вытекает, что флаговые простые многогранники это
L3
нетупыми двугранными углами (и снова реализация единственна). Из результатов работы [7] (см.
также [8]), основанных на теореме Е. М. Андреева [4, 9], следует, что почти погореловские многогран-
L3
могут быть 4-валентные вершины на абсолюте, в то время как остальные вершины имеют валентность 3. Прямоугольные многогранники конечного объема однозначно с точностью до изометрии
4
между комбинаторными тинами многогранников конечного объема с прямыми двугранными углами в L3 и почти погореловскими многогранниками, отличными от куба I3 и пятиугольной призмы M5 х I.
Примером многогранников Погорелова служат k-бочки — многогранники Лёбелля в терминологии А. Ю. Веснина и А. Д. Медных [10 12] (см. рис. 1, а). Из результатов Т. Дошли ча [13, 14] следует, что внутри семейства Pp0g лежит семейство фуллеренов, состоящее из всех простых многогранников только с пятиугольными и шестиугольными гранями. Математические фуллерены моделируют сферические молекулы углерода, за открытие которых в 1996 г. Р. Керл, Г. Крото и Р. Смолли получили Нобелевскую премию по химии. Они синтезировали бакминстерфуллерен О^о, который имеет форму усеченного икосаэдра, или футбольного мяча (см. рис. 1, Ь). Из формулы Эйлера можно вывести, что любой фуллерен имеет ровно 12 пятиугольников. Также можно показать, что число шестиугольников в фуллерене может быть любым, кроме единицы, причем для 0, 2 и 3 существует ровно один фуллерен с таким числом шестиугольников. В работе [15] У. П. Терстон построил параметризацию пространства фуллеренов, из которой следует, что число фуллеренов с n атомами углерода с увеличением n растет как n9 (см. также [16]).
а b с
Серым цветом обозначены пятиугольники, а белым цветом шестиугольники (Ь, с)
В одной из формулировок проблема четырех красок (решенная в 1976 г. К. Аннелем и В. Хаке-ном при помощи компьютерных вычислений) звучит следующим образом: храни любого многогранника можно раскрасить в четыре цвета так, что смежные храни будут иметь разный цвет. В работе [17] Д. Д. Биркгоф свел проблему четырех красок к проблеме раскраски граней только сильно но-гореловских многогранников.
Обозначим через Рэ куб с двумя срезанными перпендикулярными непересекающимися ребрами. Оказывается, введенные выше семейства можно описать в терминах поясов вокруг граней.
Р
Ра^ тогда и только тогда, когда каждая его грань окружена, поясом [18, 19]; Рар<^ и {Р8} тогда и только тогда, когда каждая, его грань окружена, поясом,, при обходе внешней границы которого грани не повторяются [8];
Рр^ тогда и только тогда, когда каждая, его пара смежных граней окружена, поясом, [18, 19]; Рро^ тогда и только тогда, когда каждая, его грань окружена, двумя поясами [17]. Определение 2. Простой многогранник, у которого все грани, кроме и-угольника, являются пятиугольниками и шестиугольниками, мы называем и-диск-фуллереном.
и
такого многогранника. На рис. 1, с изображен 7-диск-фуллерен с минимальным числом граней.
Утверждение 2 [19, 21, 22]. Любой 3-диск-фуллерен принадлежит семейству Ра^, 4-диск-фуллерен принадлежит семейству Раро^ а 7-диск-фуллерен — семейству Рр^. Для каждого и ^ 8 существует как и-диск-фууллерен, принадлежащий, Рро^, так и и-диск-фуллерен, не принадлежащий Paflag■
3. Построение семейств многогранников при помощи операций срезки ребер и связной суммы вдоль граней. Мы развиваем теорию комбинаторного построения семейств многогранников, основной идеей которой является построение семейства при помощи набора операций из небольшого начального набора многогранников. Классический результат В. Эберхарда [23] заключается в том, что многогранник является простым тогда и только тогда, когда он получается из Д3
Утверждение 3 [8]. Простой многогранник принадлежит тогда и только тогда, ко-
гда он получается из симплекса, не более чем с двумя срезанными вершинами при помощи срезок
вершин, ребер и пар смежных ребер, не эквивалентных срезке вершины треугольника, а также
Д3
или флагового многогранника.
Из результатов А. Коцига [24] (см. также [25] и [26]) следует, что простой многогранник является флаговым тогда и только тогда, когда он получается из куба срезками ребер и срезками пар смежных ребер граней по крайней мере с шестью сторонами.
Куб и пятиугольная призма принадлежат классу Рар^. Также этому классу принадлежит трехмерный многогранник Сташефа Лв'3, представляющий собой куб с тремя срезанными попарно непересекающимися перпендикулярными ребрами. Из результатов Д. Барнетта [27] следует, что простой многогранник принадлежит Рар<^ \ {I3,М$ х I} тогда и только тогда, когда он получается из Лв3 при помощи срезок ребер, не лежащих в четырехугольниках, и срезок пар смежных ребер граней по крайней мере с шестью сторонами. Заметим, что в нашей терминологии в работе [27] используются также срезки одной плоскостью более чем двух последовательных ребер одной грани, но из доказательства следует, что их можно исключить.
В отличие от класса Ра^ не любой четырехугольник многогранника из Рар^ получается срезкой ребра многогранника из того же класса. Однако из [27] следует, что если в многограннике из Рар^ есть четырехугольники, то хотя бы один из них так образуется.
Определение 3. Паросочетапием графа называется набор его попарно непересекающихся ребер. Мы называем паросочетапием многогранника паросочетание его реберного графа. Паросочета-ние называется совершенным,, если оно покрывает все вершины.
Теорема 1 [8]. Любой почти погореловский многогранник Р = 13, М5 х I получается срезкой паросочетания почти погореловского многогранника или многогранника Р8, производящей все четырехугольники.
Многогранник в Ь3 называется идеальным,, если все его вершины лежат на абсолюте. Такой
многогранник имеет конечный объем. Идеальные многогранники играют ключевую роль в теореме
М3
ребра будут касаться сферы.
Р
Ь3 получается из некоторого многогранника Q € Рар^ и {Р8} стягиванием ребер некоторого совершенного паросочетания, не содержащего противоположных ребер никакого четырехугольника.
Для фуллеренов совершенные паросочетания соответствуют структурам Кекуле, обозначающим расстановку двойных связей в углеродной молекуле. к
к
Рис. 2. Каноническое паросочетание к-бочки (а); к-антипризма (5). Серым цветом обозначены пятиугольники
Рис. 3. Операция скручивания ребер
Определение 4. Операция скручивания ребер изображена на рис. 3. Два ребра слева принадлежат одной грани многогранника и соединяют четыре различные вершины.
В обзоре [12] А.Ю. Веснин, сопоставляя результаты работы [28] об идеальных многогранниках и работы [29] о разбиениях сферы на четырехугольники, показал, что любой идеальный прямоугольный многогранник получается из некоторой к-антипризмы, к ^ 3, при помощи конечного числа операций скручивания ребер. Мы усиливаем этот результат. Назовем скручивание ребер крайним, если два ребра слева на рис. 3 смежны с одним и тем же ребром, т.е. их вершины являются последовательными вершинами в грани.
Теорема 2 [8]. Многогранник реализуется как идеальный прямоугольный многогранник в L3 тогда
к
мой, k ^ 3, либо получается из 4-антипризмы при помощи операций крайнего скручивания, ребер.
Тот факт, что можно обойтись крайними скручиваниями ребер, можно также извлечь из работы [29].
Опишем связь между конструкцией Д. Барнет-та почти погореловских многогранников и конструкцией идеальных прямоугольных многогранников при помощи скручиваний ребер.
Определение 5. Назовем совершенное паросочетание многогранника P € Papog замечательным, если оно содержит ровно по одному ребру от каждого четырехугольника. Бочка B4 с точностью до симметрии имеет единственное замечательное паросочетание Mo- Стягивание ребер этого паросочетания дает 4-антипризму. Срезка s последовательных ребер k-угольной грани многогранника P € Papog одной плоскостью дает снова многогранник из Papog тогда и только тогда, когда 1 ^ s ^ к — 3и срезка не эквивалентна срезке ребра четырехугольника. При этом к графу многогранника P добавляется новое ребро, которое разбивает к-угольную грань на две грани: (к — s + 1)-угольник и (s + 3)-угольник. Для многогранника P € Papog с замечательным паросочетанием M назовем такую срезку допустимой, если добавляемое ребро не пересекает ребра из M, каждая из последовательностей s ребер и дополнительных (к — s — 2) ребер
M
зультатом допустимой срезки является многогранник P' € Papog с замечательным паросочетанием M', образуемым присоединением добавлявмого ребра к M.
Теорема 3 [8]. Любой идеальный прямоугольный многогранник получается, стягиванием, ребер замечательного паросочетания M многогранника P € Papog, где пара (P, M) образуется из пары, (B4, Mo) последовательностью допустимых срезок, каждая из которых отвечает крайнему скручиванию ребер идеальных прямоугольных многогранников, полученных стягиванием, ребер паросочетаний.
Легко видеть, что к-бочки, к ^ 5, принадлежат классу Ppog». Из результатов Д. Барнетта [27, 30] и Дж. Батлер [31] и работы [19] следует, что отличный от них простой многогранник принадлежит классу Ppog тогда и только тогда, когда он получается из 5- или 6-бочки срезками пар смежных
5
классу Ppog* тогда и только тогда, когда он получается из 6-бочки срезками пар смежных ребер граней по крайней мере с шестью сторонами. Т. Иноуэ показал [32], что обе операции увеличивают гиперболический объем, и перечислил первые 825 ограниченных прямоугольных многогранников в порядке возрастания объема [33] (с точностью до вычислительной надежности компьютерной программы Orb, которая пока не доказана).
Рис. 4. Связная сумма с 5-бочкой
4. Построение фуллеренов при помощи операций роста. Для фуллсрснов ворон болоо сильный результат, чем для многогранников Погорелова. Имеется 1-параметрическая серия фуллеренов, которые получаются связной суммой 5-бочек вдоль пятиугольников, окруженных пятиугольниками. Она состоит из 5-бочки и так называемых (5,0)-нанотрубок. Из результатов Ф. Кардоша, Р. Скрековски [34] или К. Кутнар, Д. Марусича [35] следует, что остальные фуллерены принадлежат Pрog* ■
Теорема 4 [19]. Любой фуллерен, отличный от 5-бочки и (5,0)-нанотрубок, получается из 6-бочки при помощи срезок пар смежных ребер граней по крайней мере с шестью сторонами так, что промежуточные многогранники являются фуллеренами или 7-диск-фуллеренами, у которых семиугольник смежен с пятиугольником.
Трудность заключается в том, что конструкция многогранников из класса Рр0ё* не гарантирует близость промежуточных многогранников к фуллеренам.
Определение 6. Фрагментом простого многогранника мы называем часть его поверхности, ограниченную простым реберным циклом. Из кусочно-линейных версий теорем Жордана и Шен-флиса следует, что фрагмент простого многогранника топологически является диском. Назовем граничным кодом фрагмента последовательность валентностей его граничных вершин, определенную с точностью до циклического сдвига. Операцией роста называется операция, которая переводит
один простой многогранник в другой заменой фрагмента на другой фрагмент с большим числом граней и таким же граничным кодом.
Из работы [36] следует, что не существует конечного набора операций роста, переводящих фуллерены в фуллерены, которого было бы достаточно для построения любого фуллерена из конечного начального набора фуллеренов. Первый пример бесконечного набора операций роста с таким свойством был получен в [37]. Этот набор операций лег в основу одной из самых эффективных компьютерных программ, перечисляющих фуллерены, "ба-киген" (см. [38]). Достоинство теоремы 4 заключается в том, что если позволить на промежуточных шагах многогранникам иметь один семиугольник (что бывает и в химии, см. [39]), который при этом обязательно смежен с пятиугольником, то мы получаем пять очень простых операций роста, при помощи которых можно построить любой фуллерен из ^и 6- бочки. Эти операции приведены на рис. 5. Первая операция производит серию (5, 0) 5
6
срезкой пары ребер шести- или семиугольника. Первая из них является известной операцией Эндо
6
при помощи операции Эндо Крото можно получить фуллерен с любым числом шестиугольников. Вторая операция производит семиугольник. Третья операция его перемещает Четвертая операция удаляет семиугольник.
7
Теорема 5 [22]. 7-Диск-фуллерен не принадлежит классу Рр0ё* тогда и только тогда, когда он
57
из Рр0ё* получается из 6-бочки при помощи срезок пар смежных ребер граней по крайней мере с шестью сторонами так, что промежуточные многогранники имеют пяти-, шести- и не более чем две семиугольные гран,и.
5. Построение когомологически жестких семейств многообразий. В 1931 г. Ф. Лёбелль
6
гообразия. В работах [10, 11] эта конструкция была обобщена на произвольный многогранник Погорелова, а именно каждому отображению Л2 множества ,..., Рт} всех граней многогранника Р £ Рр0ё в = (^/2^)3, такому, что для любой вершины образы содержащих ее граней линейно независимы, было сопоставлено замкнутое трехмерное гиперболическое многообразие Я(Р, Л2), склеенное из восьми копий многогранника по граням. Существование хотя бы одного такого отобра-Л2
Рис. 5. Операции роста, позволяющие получить любой фуллерен из 5- или 6-бочки. Светлосерым цветом обозначены пятиугольники, белым шестиугольники, а темно-серым семиугольник
шены в четыре цвета так, что смежные грани имеют разный цвет, то первым трем цветам сопоставим базисные векторы в 22, а четвертому цвету — их сумму.
В торической топологии (см. [42, 43]) многообразия Я(Р, Л2) получаются как малые накрытия над прямоугольными многогранниками:
Я(Р, Л2) = Р X 22/ —, где (ж, а) — (у, Ь) ^ х = у и а - Ь £ (Л2(^): х £ }.
Каждому простому многограннику Р с т гранями в торической топологии также сопоставляется (т + момент-угол-многообразие Яр с действием т-мерного тора Тт = П^ (где £•1 — г_я КОпия единичной окружности на комплексной плоскости), таким, что Яр/Тт = Р:
Яр = Р X Тт/ -, где (х,^1) - (у, ¿2) ^ х = у и £ Ц #.
же^г
Момент-угол-многообразие имеет каноническую гладкую структуру.
Из результатов работ [44, 45] следует, что если Р £ Ра^, Рр0ё или Рр<^*, а Р' — любой простой многогранник, то изоморфизм градуированных колец Ъ-когомологий многообразий Яр и Яр' влечет принадлежность многогранника Р' тому же семейству.
Утверждение 4 [46]. -Белы Р £ Рар<^, а Р' — любой простой многогранник, то изоморфизм градуированных колец Ъ-когомологий многообразий Яр и Яр' влечет, принадлежность многогранника Р' тому же семейству.
Р
Р' следующего вида: Р получается срезкой двух разных вершин любого флагового многогранника ф, а Р' — из ф срезкой сначала одной из этих вершин, а затем одной из трех вершин возникшего треугольника. Из работы [47] следует, что срезка двух разных вершин одного и того же многогранника дает многогранники с диффеоморфными момент-угол-многообразиями.
Р
а Р' — любой простой многогранник, то многообразия Яр и Яр' диффеоморфны тогда и только тогда, когда их градуированные кольца когомологий над Ъ изоморфны (а также тогда и только тогда, когда Р = Р'). Уже для флаговых многогранников такой результат неверен, что следует из работы [48].
Р
му прямоугольному многограннику, а Р' — любой простой многогранник. Тогда, многообразия Яр и Яр' диффеоморфны тогда и только тогда, когда их градуированные кольца, когомологий над Ъ изоморфны, а также тогда и только тогда, когда Р = Р'.
Для всего семейства почти погореловских многогранников вопрос остается открытым.
Отображению Л: ,..., Рт} ^ Ъ3, такому, что для каждой вершины образы содержащих ее граней образуют базис в Ъ3, в торической топологии сопоставляется 6-мерное гладкое квазитори-ческое многообразие М(Р, Л) с действием тора Т3, таким, что М(Р, Л)/Т3 = Р:
М(Р, Л) = Р X Т3/ -, где (х, ¿1) - (у, ¿2) ^ х = у и М-1 £ Л(^). Здесь Л(£1) — одномерная подгр уппа в Т3 гад а {(¿Л1 , , ¿л3)}, определяемая век тором Л(Fi) =
(Л1, Л2, Л3).
Теорема 7 [18]. Для многогранников Погорелова Р и Р' с функциями Л2; Л и Л'2, Л' многообразия М(Р, Л) и М(Р', Л') диффеоморфны тогда и только тогда, когда их градуированные кольца, Ъ-когомологий изоморфны, а также тогда и только тогда, когда существуют комбинаторная эквивалентность ^: Р ^ Р' и замена координат, А £ С13(Ъ); т,а,кие, что )) = ±АЛ^) Уг. Многообразия Я(Р, Л2) и Я(Р', Л'2) диффеоморфны тогда и только тогда, когда их градуированные кольца, Ъ2-когомологий изоморфны, а также тогда и только тогда, когда существуют комбинаторная эквивалентность ^: Р ^ Р' и замена координат, А £ С13(Ъ2); т,а,кие, что )) = AЛ2(Fi) Уг.
Эта теорема дает богатые, явно описываемые когомологически жесткие семейства трехмерных и шестимерных многообразий. Два многообразия из семейства диффеоморфны тогда и только тогда, когда их градуированные кольца когомологий изоморфны.
Теорема 6 предоставляет еще два когомологически жестких семейства трехмерных и шестимерных многообразий. Грани каждого почти погореловского многогранника P, отвечающего идеальному прямоугольному многограннику, можно канонически раскрасить в три цвета так, что смежные грани будут иметь разный цвет. Это следует из того, что все грани такого многогранника имеют четное число сторон (см. [50, задача 42] ). Таким образом, возникают канонически определенные малое накрытие R(P) и квазиторическое многообразие M(P). Многообразие R(P) может быть разрезано вдоль набора непересекающихся двумерных торов (отвечающих вершинам идеального многогранника) на две одинаковые части, при этом каждая из них является трехмерным многообразием с границей, на внутренности которого можно ввести гиперболическую структуру конечного объема.
Следствие 2 [49]. Пусть P и P' — почти погореловские многогранники, отвечающие идеальным, прямоугольным многогранникам. Два, шестимерных многообразия M(P) и M(P') диффео-морфны тогда и только тогда, когда их градуированные кольца, Z-когомологий изоморфны. Два, трехмерных многообразия R(P) и R(P') диффеоморфны тогда и только тогда, когда их градуированные кольца, Ъ2-когомологий изоморфны.
Заметим, что идеальных прямоугольных многогранников столько же, сколько всех многогранников с точностью до перехода к двойственному многограннику. Соответствие задается переходом от многогранника к его медиальному графу: вершины медиального графа отвечают ребрам многогранника, а ребра — парам ребер многогранника, которые лежат в одной грани и имеют общую вершину. Медиальный граф любого многогранника является графом идеального прямоугольного многогранника, при этом медиальные графы двойственных многогранников совпадают (детали см. в [8, 49]).
6. Геометризация Терстона трехмерных многообразий, реализуемых как малые накрытия. Опишем приложения наших результатов в связи с программой Терстона геометризации трехмерных многообразий. Сначала сформулируем необходимые факты о трехмерных многообразиях, следуя [51].
Известно, что каждое трехмерное топологическое многообразие имеет единственную гладкую и единственную кусочно-линейную структуру, причем два трехмерных топологических многообразия гомеоморфны тогда и только тогда, когда соответствующие гладкие или кусочно-линейные многообразия эквивалентны в соответствующей категории. Двумерным подмногообразием в трехмерном топологическом многообразии M называется такое подмножество S, что для любой точки в M существует гомеоморфизм некоторой ее окрестности U на открытое подмножество V в R3, переводящий U П S в V П {z = 0} Известно, что для любого двумерного под многообразия S трехмерного компакт-
MM образие S', пзотопное S. На трехмерном малом накрытии и рассматриваемых нами его двумерных подмногообразиях имеется естественная кусочно-линейная структура.
Определение 7. Следуя У. П. Терстону, будем называть трехмерной геометрией гладкое од-носвязное трехмерное многообразие X с гладким транзитивным действием группы Ли G с компактными стабилизаторами всех точек. Предполагается, что группа G максимальна среди всех групп
X
M (возможно, с краем) называется гомеоморфизм из внутренности многообразия M на X/п, где п — дискретная подгруппа в G, действующая па X свободно.
У. П. Терстон показал, что с точностью до некоторой эквивалентности существует ровно восемь геометрий, задающих геометрические структуры на компактных трехмерных многообразиях. Это сфера S3, евклидово пространство R3, пространство Лобачевского L3, а также S2 х R, L2 х R, универсальное накрытие SL(2, R) группы SL(2, R) и еще две геометрии, обозначаемые Nil и Sol.
Связной суммой ориентируемых трехмерных многообразий Mi и M2 называется многообразие Mi#M2, получаемое вырезанием в каждом многообразии трехмерного шара, ограничивающего двумерную сферу, и склейкой оставшихся частей по гомеоморфизму сфер, обращающему ориентацию. Ориентируемое трехмерное многообразие называется простым,, если его нельзя разложить
в связную сумму двух многообразий, отличных от сферы. Замкнутое трехмерное ориентируемое
S2 х Si
является неприводимым,, т.е. в нем любое двумерное подмногообразие, гомеоморфное сфере, ограничивает вложенный трехмерный шар.
Согласно теореме Кнезера-Милнора-Хакена каждое ориентируемое компактное трехмерное многообразие без края раскладывается в связную сумму простых трехмерных многообразий, причем
разложение единственно с точностью до перестановки порядка операций и гомеоморфизма между многообразиями-слагаемыми.
Благодаря результатам Г. Я. Перельмана 2002-2003 гг. теорема о геометризации ориентируемых трехмерных многообразий, высказанная У. П. Терстоном в 1982 г. в качестве гипотезы, может быть сформулирована следующим образом. Двумерное подмногообразие 5 С М называется несжимаемым, если его вложение индуцирует инъекцию фундаментальных групп. Тогда для каждого
М
(возможно, пустой) набор попарно непересекающихся несжимаемых двумерных подмногообразий 51, ..., Бт, каждое из которых гомеоморфно тору или бутылке Клейна, такой, что каждая компонента дополнения в М до объединения 51 и ■ ■ ■ и Бт имеет геометрическую структуру, причем набор с минимальным т определен однозначно с точностью до изотопии.
Определение 8. Связной суммой простых многогранников Р и ^ вдоль к-угольных граней, окруженных поясами, мы называем многогранник, граница которого получается склеиванием дополнения до к-угольников в дР и д^ вдоль к-угольных границ и удалением возникшего к-цикла. На
кк
ную сумму вдоль к-угольников (см. [19]). Если у многогранников ^^ сначала срезать выбранные вершины, а потом взять связную сумму вдоль образовавшихся треугольников, то получившийся многогранник называется связной суммой многогранников ^ ^ вдоль вершин.
Теперь опишем реализацию программы геометризации Терстона в классе малых накрытий, опираясь на результаты о комбинаторике семейств трехмерных многогранников. Согласно [52] (в одну сторону этот результат также упоминается в [11]) малое накрытие Л(Р, Л2) ориентируемо тогда и только тогда, когда функция Л2 получается из раскраски граней многогранника в четыре цвета описанным выше способом.
Следствие 3. Теорем,а о четырех красках эквивалентна существованию ориентируемого малого накрытия, над любым многогранником Погорелова.
Среди ориентируемых малых накрытий простыми (и даже неприводимыми) являются в точности многообразия, отвечающие симплексу А3 и флаговым многогранникам, причем для последних многообразие Я(Р, Л2) асферично, т.е. его гомотопические группы начиная со второй тривиальны. При этом разложение малого накрытия в связную сумму отвечает разложению многогранника
к
к
ков, каждый из которых соединяет внутренние точки ребер пересечения одной из граней пояса с предыдущей и следующей гранями. Тогда для любого простого многогранника существует такой выбор центральных ломаных всех нетривиальных 3-поясов, что никакие две ломаные не пересекаются. Разрезая многогранник по возникшим треугольникам, получаем каноническое разложение простого РР отличен от тетраэдра и треугольной призмы, то после разрезания можно стянуть все треугольники в точки и получить из каждого многогранника симплекс или флаговый многогранник. Стягивание треугольников, отвечающих нетривиальным поясам, превращает операцию связной суммы многогранников вдоль треугольников в операцию связной суммы вдоль вершин. Стягивание каждого
Р
с симплексом. Треугольная призма является связной суммой двух симплексов вдоль вершин. Таким Р
вдоль вершин. Проективное пространство МР3 является единственным малым накрытием над сим-А3
связной сумме многообразия с МР3. В частности, треугольная призма А2 х I допускает единственное ориентируемое малое накрытие МР3#МР3. Детали описаны в [53].
Множество нетривиальных 4-поясов простого флагового многогранника устроено сложнее, чем множество 3-поясов простого многогранника. В частности, два 4-пояса могут пересекаться транс-версально, как на шестиугольной призме. Следовательно, разложение флагового многогранника на
4
Однако, если разрешить 5-прпзмам (которые принадлежат РаРо^) соединяться в к-прпзмы с к > 5 (которые не принадлежат Рар^), можно получить следующий результат.
Теорема 8. Любой простой флаговый многогранник Р = I3 единственным образом раскладывается в связную сумму к-призм, (к ^ 5) и почти погореловских многогранников (отличных
от, куба и 5-призмы) вдоль 4-угольников, так что соседние призмы, перекручены, т.е. при связной
4
Для любого ориентируемого малого накрыт,ия R(P, Л2) это дает минимальное геометриче-
4
4
несжимаемому тору или несжимаемой бутылке Клейна. Призмы соответствуют част,ям, с геометрической структурой L2 х R конечного объема, а, почти погореловские многогранники — част,ям, с геометрической структурой
L3
конечного объема.
В таком виде теорема опубликована с полным доказательством в [53]. Задача реализации программы Терстона в классе малых накрытий обсуждается в работе М. У. Дэвиса и Т. Янушкевича [43] 1991 г., в которой дан набросок ответа и изложены некоторые аргументы доказательства. Отметим,
k
погореловского многогранника, не идет речь о каноническом разложении многогранника и несжимаемых двумерных подмногообразиях. Разложение симплициального многогранника, двойственного флаговому простому многограннику, которое эквивалентно разложению в связную сумму почти по-
4
и Б. Л. Окуня [7] 2001 г. Разложение, эквивалентное каноническому разложению флагового многогранника на призмы и почти погореловские многогранники, в более общем контексте кокстеровских орбифолдов описано в работе Т. А. Шредера [54] 2009 г. Тематика работ [7, 54] мотивирована гипотезой Зингера об обнулении во всех размерностях, кроме половинной, приведенных 12-гомологий замкнутого асферического многообразия. Авторы получают результаты для случая многообразий, возникающих из прямоугольных групп Кокстера. Как отмечено выше, в доказательстве теоремы 8 важную роль играют несжимаемые двумерные подмногообразия. Свойство несжимаемости возникающих подмногообразий может быть доказано на основе ретракции момент-угол-комплекса симплициального комплекса на подмножество, отвечающее полному подкомплексу. Эта ретракция описана Т.Е. Пановым в [42, упражнение 4.2.13] и [55, предложение 2.2]. Другой метод проверки свойства несжимаемости основывается на явном описании фундаментальных групп (см. [56-58]). В [7, 59] (см. также [60]) несжимаемость подмногообразий, отвечающих граням многогранника, обосновывается тем, что эти подмногообразия являются вполне геодезическими гиперповерхностями в малом накрытии со структурой кубического комплекса неположительной кривизны в смысле А. Д. Александрова и М. Л. Громова [61]. Наконец, явная геометризация частей, на которые распадаются многогранник и малое накрытие над ним, осуществляется при помощи конструкции А. Ю. Веснина и А. Д. Медных [10, 11, 62]. А именно каждая часть или весь многогранник реализуется как прямоугольный многогранник конечного объема в одной из пяти геометрий S3, S2 х R, R3, L3, L2 х Ми соответствующая часть или все малое накрытие реализуется как пространство орбит свободного действия однозначно определяемой по Л2 подгруппы в прямоугольной группе Кокстера, порожденной отражениями в гранях многогранника. Эта подгруппа задается как ядро отображения из группы Кокстера в Z2, которое переводит отражение в грани F в вектор Л2(^)• Реализация прямоугольного многогран-
S3L3
S2 х R R3 L2 х R
Следствие 4. Для трехмерных ориентируемых малых накрыт,ий, над простыми многогран-
()
S3 для симплекса А3;
S2 х R для 3-призмы А2 х I;
R3 I3
L2 х R для, част,ей, отвечающих к-призм,ам,, k ^ 5;
L3 для, част,ей, отвечающих почти погореловским многогранникам (кром,е куба и 5-призм,ы).
В частности, если P — к-призма, k ^ 5, то R(P, Л2) является замкнутым многообразием с геометрией L2 х R, а если P — многогранник Погорелова, то замкнутым гиперболическим многообразием.
Автор приносит благодарность В.М. Бухштаберу за постоянное внимание и плодотворную
совместную работу, Т. Е. Панову, указавшему, что почти погореловские многогранники благода-
L3
что несжимаемость гиперповерхностей может быть доказана при помощи ретракции момент-угол-многообразия, а также А. Ю. Веснину, A.A. Гайфуллину и О. В. Шварцману за обсуждение аспектов гиперболической геометрии и В. А. Шастину — за обсуждение аспектов геометрии трехмерных многообразий.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 20-01-00675.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Циглер Г.М. Теория многогранников. М.: .\IIUI.\K). 2014.
2. Александров А.Д. Выпуклые многогранники. Новосибирск: Наука, 2007.
3. Tutte W.T. A non-Hamiltonian planar graph // Acta math. Acad. sci. hung. 1960. 11. 371-375.
4. Андреев E.M. О выпуклых многогранниках в пространствах Лобачевского // Матем. сб. 1970. 81 (123), № 3. 445-478.
5. Прасолов В.В. Геометрия Лобачевского. М.: МЦНМО, 2004.
6. Погорелое А.В. О правильном разбиении пространства Лобачевского // Матем. заметки. 1967. 1, № 1. 3-8.
7. Davis M.W., Okun В. Vanishing theorems and conjectures for the 2-homology of right-angled Coxeter groups // Geometry and Topology. 2001. 5. 7-74.
8. Ероховец Н.Ю. Трехмерные прямоугольные многогранники конечного объема в пространстве Лобачевского: комбинаторика и конструкции // Тр. Матем. ин-та РАН. 2019. 305. 86-147.
9. Андреев Е.М. О выпуклых многогранниках конечного объема в пространстве Лобачевского // Матем. сб. 1970. 83 (125), № 2(10). 256-260.
10. Mednykh A.D., Vesnin A.Yu. On three-dimensional hyperbolic manifolds of Lobell type //Complex analysis and applications 85 (Varna, 1985). Sofia: Publ. House Bulgar. Acad. Sci., 1986. 440-446.
11. Веснин А.Ю. Трехмерные гиперболические многообразия типа Лебелля // Сиб. матем. жури. 1987. 28, № 5. 50-53.
12. Веснин А.Ю. Прямоугольные многогранники и трехмерные гиперболические многообразия // Успехи матем. наук. 2017. 72, № 2(434). 147-190.
13. Doslic Т. On lower bounds of number of perfect matchings in fullerene graphs //J. Math. Chem. 1998. 24, N 4. 359-364.
14. Doslic T. Cyclical edge-connectivity of fullerene graphs and (k, 6)-cages //J. Math. Chem. 2003. 33, N 2. 103-112.
15. Thurston W.P. Shapes of polyhedra and triangulations of the sphere // The Epstein birthday schrift. Geom. Topol. Monogr. Vol. 1. Coventry: Geom. Topol. Publ., 1998. 511-549.
16. Рухович А.Д. О росте числа фуллеренов // Успехи матем. наук. 2018. 73, № 4(442). 177-178.
17. Birkhoff G.D. The reducibility of maps // Amer. J. Math. 1913. 35, N 2. 115-128.
18. Вухштабер B.M., Ероховец П.Ю., Масуда M., Панов Т.Е., Пак С. Когомологическая жесткость многообразий, задаваемых трехмерными многогранниками // Успехи матем. наук. 2017. 72, № 2(434). 3-66.
19. Вухштабер В.М., Ероховец Н.Ю. Конструкции семейств трехмерных многогранников, характеристические фрагменты фуллеренов и многогранники Погорелова // Изв. РАН. Сер. матем. 2017. 81, № 5. 15-91.
20. Деза М., Дютур Сикирич М., Штогрин М.П. Фуллерены и диск-фуллерены // Успехи матем. наук. 2013. 68, № 4(412). 69-128.
21. Buchstaber V.M., Erokhovets N. Yu. Fullerenes, polytopes and toric topology // Combinatorial and toric homotopy: Introductory lectures. Vol. 35. Lect. Notes Ser. Inst. Math. Sci. Natl. Univ. Singap.; River Edge, NJ, USA: World Sci. Publ., 2017. 67-178; arXiv: math.CO/160902949.
22. Erokhovets N. Construction of fullerenes and Pogorelov polytopes with 5-, 6- and one 7-gonal face // Symmetry. 2018. 10, N 3: 67.
23. Eberhard V. Zur morphologie der polyheder. Leipzig, 1891.
24. Kotzig A. Regularly connected trivalent graphs without non-trivial cuts of cardinality 3 // Acta. Fac. rerum natur. Univ. comen. Math. Publ. 1969. 21. 1-14.
25. Вухштабер B.M., Ероховец Н.Ю. Усечения простых многогранников и приложения // Тр. Матем. ин-та РАН. 2015. 289. 115-144.
3
70, № 1(421). 81-182.
27. Barnette D. On generation of planar graphs // Discrete Math. 1974. 7, N 3-4. 199-208.
3
51-70.
29. Brinkmann G., Greenberg S., Greenhill C., McKay B.D., Thomas R., Wollan P. Generation of simple quadran-gulations of the sphere // Discrete Math. 2005. 305. 33-54.
30. Barnette D. Generating the c*-5-connected graphs // Isr. J. Math. 1977. 28, N 1-2. 151-160.
35
J. Math. 1974. XXVI, N 3. 686-708. 32. Inoue T. Organizing volumes of right-angled hyperbolic polyhedra // Algebr. Geometry and Topol. 2008. 8, N 3. 1523-1565.
33. Inoue Т. Exploring the list of smallest right-angled hyperbolic polyhedra // Experimental Mathematics. 2019 (DOI: 10.1080/10586458.2019.1593897; arXiv: 1512.01761).
34. KardoS F., Skrekovski R. Cyclic edge-cuts in fullerene graphs //J. Math. Chem. 2008. 22. 121-132.
35. Kutnar K., Marusic D. On cyclic edge-connectivity of fullerenes // Discrete Appl. Math. 2008. 156. 1661-1669.
36. Brinkmann G., Graver J.E., Justus C. Numbers of faces in disordered patches //J. Math. Chem. 2009. 45, N 2. 263-278.
37. Hasheminezhad M., Fleischner П., McKay B.D. A universal set of growth operations for fullerenes // Chem. and Phys. Lett. 2008. 464. 118-121.
38. Brinkmann G., Goedgebeur J., McKay B.D. The generation of fullerenes //J. Chem. Inf. Model. 2012. 52. 2910-2918 (arXiv: 1207.7010).
39. Huang J. Y., Ding F., Дао К., Yakobson B.I. Real time microscopy, kinetics, and mechanism of giant fullerene evaporation // Phys. Rev. Lett. 2007. 99: 175503.
40. Endo M., Kroto H.W. Formation of carbon nanofibers //J. Phys. and Chem. 1992. 96. 6941-6944.
41. Löbell F. Beispiele geschlossener dreidimensionaler Clifford-Kleinischer Räume negativer Krümmung // Ber. Verh. Sachs. Akad. Leipzig Math.-Phys. Kl. 1931. 83. 167-174.
42. Buchstaber V.M., Panov Т.Е. Toric topology // Math. Surveys Monogr. Vol. 204. Providence, RI, USA: Amer. Math. Soc., 2015.
43. Davis M.W., Januszkiewicz T. Convex polytopes, Coxeter orbifolds and torus actions // Duke Math. J. 1991. 62, N 2. 417-451.
44. Fan F., Wang X. On the cohomology of moment-angle complexes associated to Gorenstein* complexes // arXiv: math. AT/150800159.
45. Fan F., Ma J., Wang X. B-rigidity of flag 2-spheres without 4-belt // arXiv: math.AT/151103624.
46. Erokhovets N. B-rigidity of the property to be an almost Pogorelov polytope // Topology, Geometry, and Dynamics: Rokhlin Memorial. Vol. 772. Ser. Contemporary Mathematics. American Mathematical Society; arXiv: 200404873.
47. Bosio F., Meersseman L. Real quadrics in Cn, complex manifolds and convex polytopes // Acta Math. 2006. 197. 53-127.
48. Bosio F. Two transformations of simple polytopes preserving moment-angle manifolds // arXiv: math.GT/1708. 00399.
49. Erokhovets N. B-rigidity of ideal almost Pogorelov polytopes // arXiv: math. AT/200507665.
50. Дынкин Е.Б., Успенский В.А. Математические беседы. М.; Л.: ГИТТЛ, 1952.
51. Aschenbrenner М., Friedl S., Wilton Н. 3-manifold groups // EMS Series of Lectures in Mathematics, 2015.
52. Nakayama H., Nishimura Y. The orientability of small covers and coloring simple polytopes // Osaka J. Math. 2005. 42, N 1. 243-256.
3
3
2009. 140. 163-174.
55. Панов Т.Е., Веревкин Я.А. Полиэдральные произведения и коммутанты прямоугольных групп Артина и Коксетера // Матем. сб. 2016. 207, № И. 105-126.
56. Wu L., Yu L. Fundamental groups of small covers revisited // IMRN. 2019. rnz034; arXiv:1712.00698.
57. Wu L. Atoroidal manifolds in small covers // arXiv: 1812.09896.
58. Lu J., Wu L. Topology and geometry of flagness and beltness of simple orbifolds // arXiv: 2009.11034.
59. Davis M., Januszkiewicz Т., Scott R. Nonpositive curvature of blow-ups // Selecta Math. 1998. 4, N 4. 491-547.
60. Davis M. The geometry and topology of Coxeter groups // London Math. Soc. Monogr. Ser. Vol. 32. Princeton University Press, 2008.
61. Gromov M. Hyperbolic groups // Essays in group theory. Mathematical Sciences Research Institute Publications. Vol. 8. N.Y.: Springer, 1987. 75-263.
62. Mednykh A.D Three-dimensional hyperelliptic manifolds // Ann. Global. Anal. Geom. 1990. 8, N I. 13-19.
63. Винберг Э.В., Шварцман O.B. Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны // Гео-метрия-2. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1988. Т. 29. 147-259.
Поступила в редакцию 26.02.2020
