CC BY
11
Пичугина Елизавета Андреевна
[email protected] Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого Физико-математический факультет (2 курс) Научный руководитель: к.ф.-м.н., доцент Реброва И.Ю.
ТЕОРИЯ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ: ОТ ИСТОКОВ ДО СОВРЕМЕННОСТИ
Pichugina Yelizaveta Andreyevna
Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University Physics and Mathematics Department (2nd year full-time student) Scientific advisor: I. Yu. Rebrova, PhD in Physical and Mathematical Sciences,
associate professor
PRIME NUMBERS THEORY: FROM ORIGINS TO MODERN TIMES
Аннотация: В статье дается краткий исторический обзор развития теории простых чисел, приводятся некоторые алгоритмы поиска и генерации простых чисел.
Ключевые слова: простые числа, числа Мерсенна, генерация простых чисел, тесты простоты.
Abstract: The article gives a brief historical review of the development of the prime numbers theory and presents some algorithms for searching and generating prime numbers.
Keywords: prime numbers, Mersenne numbers, prime numbers generating, primality test
Современному педагогу важно ориентироваться в актуальных математических исследованиях и открытиях, а также знать их историю. Одной из самых древних, и в то же время удивительно современных, отраслей математики является теория чисел. В эпоху глобальной цифровизации на первый план выходит проблема защиты информации. Наиболее надежными являются криптографические методы защиты, предполагающие использование средств шифрования данных и сложных алгоритмов кодирования, которые основаны на теории простых чисел.
«Всякий, кто изучает простые числа, бывает очарован и одновременно ощущает собственное бессилие. Определение простых чисел так просто и очевидно; найти очередное простое число так легко... Почему же простые числа столь упорно сопротивляются нашим попыткам постичь порядок и закономерности их расположения? Может быть, в них вообще нет порядка, или же мы так слепы, что не видим его?» [6, с. 88].
Поиск простых чисел и исследование их свойств берут своё начало в глубокой древности. Один из самых первых и наиболее известных способов нахождения простых чисел принадлежит древнегреческому математику,
38
№3.2
астроному и географу Эратосфену (273 - 194 гг. до н. э.). Метод носит название решета Эратосфена и является достаточно понятным и хорошо визуализируемым.
В 300 гг. до н.э. другой древнегреческий математик Евклид (325 - 265 гг. до н. э.) в IX книге своего математического труда «Начала» доказал бесконечность множества простых чисел [5, c. 89].
В средневековый период значительное развитие получила арабская математика. Около 1000 г. н.э. исламский математик Ибн аль-Хайтам (Альхазен) (965-1040 гг.) сформулировал, но не смог доказать утверждение: p -простое число, когда (р - 1)! = - 1 (mod р).
Другой исламский математик, Ибн аль-Банна аль-Марракуши (1256 -1321 гг.), заметил, что решето Эратосфена можно ускорить, рассматривая только простые делители с точностью до квадратного корня из верхней границы промежутка поиска простых.
Итальянский математик Фибоначчи (1170 - 1250 гг.) перенёс инновации из исламской математики в Европу. Его книга Liber Abaci (1202 г.) была первой, в которой описано пробное деление для проверки простоты с использованием делителей с точностью до квадратного корня.
Европейские ученые, побывавшие на Святой Земле и в других частях исламского мира, получили доступ к арабским рукописям и математическим трактатам. В период с XIV по XVII века перевод арабских математических текстов, наряду с греческими и римскими, сыграл решающую роль в формировании научных изысканий эпохи Возрождения.
В XVII в. произошёл большой прорыв в построении теории простых чисел. В 1603 году итальянский математик Катальди (1548-1626 гг.) опубликовал «Трактат о совершенных числах», где показал, что числа вида 2р -1 при p = 17 и при p = 19 являются простыми, доказывая утверждение перебором возможных простых делителей.
К этому периоду относятся и работы Мерсенна (1588-1648 гг.) -французского математика, физика, философа и богослова. «Величайшей математической работой Мерсенна является трактат «Физико-математические размышления» (1644 г.), в котором появляются знаменитые простые числа, названные его именем. Во введении Мерсенн пишет, что «для ряда простых чисел от 2 до 257 число 2р - 1 тоже является простым, если р имеет одно из следующих значений: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257».
Если число 2 возвести в степень 257, то получится число, состоящее из 77 цифр. Мерсенну удалось доказать, что полученное при этом значении число является простым, имея в своем распоряжении лишь методы вычислений того времени» [4, с. 42]. Например, метод пробных делений, который является наиболее простым методом проверки простоты входного числа n или нахождения его делителей.
Особый интерес к изучению свойств простых чисел проявлял Леонард Эйлер (1707 - 1783 гг.) - швейцарский, прусский и российский математик и механик. «Основные результаты Эйлера в построении теории простых чисел
2024
39
связаны с составлением таблицы всех простых чисел от 1 до 100 000 и нахождением формул, которые позволяли ему получать невероятные количества таких чисел. Например, полученная им формула:
х2+х+q
генерирует простые числа для любых значений х, больших 0 и меньших q - 2. Эйлер нашел все такие простые числа для q = 2, 3, 5, 7, 11 и 17.» [4, с. 50] Наибольшее простое число, полученное Леонардом Эйлером:
231 - 1 = 2 1 47 483 647.
Таким образом, Эйлеру спустя 100 лет после утверждения Мерсенна удалось доказать его справедливость для числа 31 .
В XIX веке российский математик и механик Пафнутий Львович Чебышев существенно развил учение о простых числах. Одна из его научных работ «О функции, определяющей все простые числа, меньшие заданного предела» была представлена в Академии наук Санкт-Петербурга в 1848 году. Основным объектом исследования была функция, которая каждому положительному целому числу ставит в соответствие количество простых чисел, которые меньше или равны этому числу. В своей работе 1850 года П. Л. Чебышев доказал утверждение, согласно которому «между числами п и 2п - 2 (п > 3) лежит по крайней мере одно простое число.» [2, с. 84]
Интересные открытия принадлежат российскому священнику и математику И.М. Первушину (1827 - 1900 гг.). Так Первушин И.М. доказал [1], что простым является число
261 - 1 = 2 305 843 009 213 693 851.
Заметим, что показателя 61 не было в утверждении Мерсенна, тем не менее полученное число оказалось простым. Т. е. список чисел Мерсенна оказался неполным.
Прослеживая достаточно долгий путь развития теории простых чисел и неизменный интерес математиков к поиску больших простых чисел, можно сделать вывод об их несомненном теоретическом значении. Генерация новых простых чисел ведет к появлению все более эффективных вычислительных инструментов, особенно для использования в компьютерных системах. Также наличие большого списка простых чисел позволяет доказывать теоремы, которые еще только сформулированы в виде идей или гипотез.
Однако не только теоретическое, но и весомое практическое значение приобретают большие простые числа в современном мире. Интернет-сайты, электронная почта, банковские операции, кредитные карты и мобильная телефонная связь - все это защищается с помощью секретных кодов, основанных на свойствах простых чисел.
Немаловажной является проблема безопасного обмена секретной информацией. В США в 1976 г. ученым Уитфилду Диффи и Мартину Хеллману пришла в голову идея создания способа, при котором два человека могут обмениваться зашифрованными сообщениями без обмена секретными ключами. Этот метод использует свойства простых чисел, а также теорию сравнений по простому модулю. Идея заключается в следующем.
40
№3.2
«Петя выбирает число Nj , которое он держит в секрете. Вася выбирает
другое случайное число N^ , которое он тоже держит в секрете. Затем они
применяют к своим числам функцию вида fx) = а (mod р), где р - простое число, известное им обоим. После этой операции они обмениваются новыми
числами Nj2 и Np , полученными при помощи функции fx).
Далее Петя вычисляет Np2 (mod p) и получает новое число Cj, Вася
вычисляет Nj2Npi(modp) и получает новое число Ср. Числа Cj и Ср получаются
одинаковыми. Поскольку ни одно из чисел Nj2 и N p не является ключом, то перехват информации не будет угрожать безопасности системы шифрования.
Ключ этой системы имеет следующий вид: aNlNpi (modp) .
Важно также учесть, что функция fx) необратима, то есть зная саму функцию и результат ее применения к переменной х, невозможно найти исходное значение х.» [3, с. 101]
Получение случайных простых чисел является неотъемлемой частью процедур выработки ключей во многих криптографических алгоритмах, поэтому важно уметь генерировать большое количество простых чисел. Существует множества различных геометрических моделей для поиска простых чисел, но на самом деле эти модели являются аналогами решета Эратосфена. Одна из самых интересных моделей была разработана российскими математиками Юрием Матиясевичем (род. в 1947 г.) и Борисом Стечкиным (1920 - 1995 гг.) с использованием параболы.
В 1996 году Джордж Вольтман (род. 1957) основал проект по поиску чисел Мерсенна в Интернете (GIMPS). С момента основания и до 2018 года проект полагался в основном на тест простоты Лукаса-Лемера, поскольку это алгоритм, который реализуется для тестирования простых чисел Мерсенна и особенно эффективен на бинарных компьютерных архитектурах. 21 декабря 2018 г. GIMPS обнаружил самое большое из известных простое число 282589933 -1, состоящее из 24862048 цифр.
В заключение отметим, что развитие теории простых чисел продолжается, и многое ещё только предстоит доказать. Важно, чтобы учителя математики смогли заинтересовать детей этой древней, но самой современной и быстро развивающейся областью математики, которая лежит в основе технологий будущего.
Литература:
1. Беляева, А. Д. Уральский след в непростой истории простых чисел: И. М. Первушин и его вклад в науку // А. Д. Беляева, М. Ю. Сизова. — Текст : непосредственный // Юный ученый. — 2015. — № 2 (2). — С. 86-88. — URL: https://moluch.m/young/archive/2/116/ (дата обращения: 02.05.2024).
2. Депман И.Я. 'Из истории математики' - Москва: Детгиз, 1950 - с.114
2024
41
3. Мир математики: в 40 т. Т.2: Жуан Гомес. Математики, шпионы и хакеры. Кодирование и криптография. / Пер. с англ. - М.: Де Агостини, 2014. -144 с. - ISBN 978-5-9774-0639-0
4. Мир математики: в 40 т. Т. 3: Энрике Грасиан. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности. /Пер. с англ. - М.: Де Агостини, 2014. - 144 с. -ISBN 978-5-9774-0637-3
5. Начала Евклида / Пер. с греч. и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского - М.: Государственное издательство технической литературы, 1949. - 510с.
6. Уэзерелл, Ч. Этюды для программистов. — М.: Мир, 1982. — 288 с.
