CC BY
33Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1. Вып. 10. 2009
УДК 511.291
ОХОТА ЗА ЧИСЛАМИ В.Д. Яковлев, Р.Е. Афонин
В данной статье показана история поиска дружественных чисел со времен древних греков и до наших дней. Также приведены текущие результаты в области поиска циклов общительных чисел и чисел Мерсенна.
Предыстория
Античные математики считали очень важным рассматривать вместе с каждым числом все его делители. Числа, имеющие много делителей, назывались “abundant” (избыточными), а имеющие мало делителей, -“defizient” (недостаточными). При этом в качестве меры использовалось не количество, а сумма собственных делителей, которую сравнивали с самим числом. Так, например, 10 — недостаточное число, а 12 — избыточное число. Встречается и “пограничный” случай, когда сумма собственных делителей равна самому числу. Такие числа древние греки особенно ценили и называли их совершенными. Точно неизвестно, когда и где впервые обратили внимание на совершенные числа. Предполагают, что они были известны уже в древнем Вавилоне и древнем Египте.
Первое доказанное утверждение о совершенных числах принадлежит Евклиду (примерно 300 г. до н.э.). В его “Началах” мы находим теорему, устанавливающую способ получения совершенных чисел. На современном языке она звучит так: если число р = 2n+1 — 1 — простое, то 2пр является совершенным.
Позднее Никомах из Герасы указал первые совершенные числа: 6, 28, 496 и 8128.
Большое внимание в античные времена уделяли и числам 220 и 284, у которых было отмечено следующее удивительное свойство: сумма собственных делителей 220 равна 284 и, наоборот, сумма собственных делителей 284 равна 220. Их назвали дружественными числами. Следы
© Яковлев В.Д., Афонин Р.Е., 2009.
этих чисел также теряются во тьме веков. Весьма вероятно, что первым обратил на них внимание Пифагор.
Указать какой-нибудь общий способ получения дружественных чисел, дающих пару 220 и 284 и другие, — задача, представляющая значительные трудности и в наши дни. Правда, один способ такого рода указал ещё в 1Х-м веке Сабит ибн Корра. На современном языке способ получения дружественных чисел звучит так:
Теорема (Сабит). Если все три числа р — 3 • 2п~1 — 1, д = 3 • 2П — 1 иг = 9 • 22п~1 — 1 — простые, то числа А = 2прд и В — 2пг - дружественные.
Теорема Сабита даёт дружественные числа при п — 2, 4, 7. В настоящее время известно, что этими тремя случаями исчерпываются все значения п < 20000, при которых указанный способ даёт дружественные числа. С течением времени формулы Сабита были забыты, а его книгу открыли заново лишь в ХІХ-м веке.
В начале ХУП-го века два французских математика — Пьер Ферма в 1636 г. и Ренэ Декарт в 1638 г. — независимо друг от друга и от Сабита получили те же формулы. В ходе своих исследований Ферма и Декарт вывели формулу, дающую сумму делителей числа по его представлению в виде произведения простых чисел, а именно: а(а • Ь) = а(а) • сг(&), если числа а и Ь взаимно простые.
Здесь через а (а) обозначена сумма всех делителей числа а. При этих обозначениях условие того, что а и Ь — дружественные числа, можно записать в виде: сг(а) = а + Ь — сг(Ь).
После периода малозначащих работ, последовавшего за работами Ферма и Декарта, существенного продвижения в решении проблемы дружественных чисел добился Леонард Эйлер. С присущей ему основательностью и энергией начал он штурм этой задачи. Прежде всего Эйлер доказал, что по способу Евклида получаются все чётные совершенные числа, а нечетные совершенные числа (если таковые вообще существуют) должны иметь некоторый специальный вид. В своих работах Эйлер излагает пять различных методов для отыскания дружественных чисел, демонстрируя виртуозность в вычислениях и терпение, и дарит изумленным современникам почти 60 новых пар.
Эйлер — признанный всеми авторитет — оставался непревзойденным вплоть до последних десятилетий. Первым побил рекорд Эйлера бельгийский математик Поль Пуле. Его двухтомная монография по теории чисел была издана в 1929 г. в Брюсселе под многозначительным названием “Ьа сЬаййе аих потЬгей” (“Охота за числами”). Кроме всего прочего, в ней приведены 62 новые пары дружественных чисел.
С наступлением эры ЭВМ возник новый метод, о котором Эйлер не мог и помышлять, — перебирать все числа подряд, пока хватит машинного времени.
Aliquot sequences (кратные последовательности)
Кратной последовательностью (aliquot sequence) называется последовательность целых чисел: гг, г (гг), г (г (гг)), ... , где г (гг) = а{п) — п — сумма собственных делителей числа гг. В зависимости от поведения все кратные последовательности делят на следующие группы:
1. Последовательности, которые заканчиваются простым числом. Некоторые из таких последовательностей могут сходиться к одному простому числу. Говорят, что такие последовательности образуют семейство последовательностей данного простого числа (prime family).
2. Последовательности, которые входят в цикл. В зависимости от длины циклы делят:
а) совершенное число (perfect number) — цикл единичной длины
б) дружественная пара чисел (amicable pair) — цикл из двух чисел
в) цикл общительных чисел (sociable numbers) — цикл длины больше 2.
3. Последовательности, для которых не известно, заканчиваются они или нет (open-end sequences, OE-sequences).
По гипотезе Каталана третья из вышеперечисленных групп последовательностей пуста, т.е. любая кратная последовательность заканчивается или простым числом, или совершенным числом, или циклом. До сих пор не удалось доказать или опровергнуть это утверждение. Уже в интервале [1,1000] есть пять чисел (276, 552, 564, 660, 966), называемых пятеркой Лемера (Lehmer five), для которых не известно, заканчивается порожденная каждым из них последовательность или нет.
Интервал Количество OE-sequences Предел вычисления
[1,1000] 5 > ю157
[1,10000] 81 V О to о
[1,50000] 442 > Ю100
(50000,105] 464 V ь-1 О о о
[1,100000] 906 > Ю100
(100000,200000] 961 V ь-1 О о о
(200000,300000] 931 > Ю80/> ю1000
(300000,400000] 876 V ь-1 О 00 о
(400000,500000] 916 V ь-1 О 00 о
(500000,600000] 971 V ь-1 О 00 о
(600000,700000] 958 V ь-1 О 00 о
(700000,800000] 961 V ь-1 О 00 о
(800000,900000] 982 V ь-1 О 00 о
(900000,10е] 985 V ь-1 О 00 о
Из этой таблицы видно, что только около 1% всех натуральных чисел являются начальными числами открытой последовательности.
Для вычисления кратных последовательностей необходимы быстрые алгоритмы факторизации. В настоящее время наиболее популярными являются следующие:
1. ЕСМ (Elliptic curves method) — факторизация с помощью эллиптических кривых
2. QS (Quadratic sieve) — алгоритм квадратичного решета
3. NFS (Number field sieve) — алгоритм решета числового поля
Ниже приведены некоторые из известных на данный момент 171 цикла, длина которых больше 2.
1. 12496 14288 15472 14536 14264
2. 14316 19116 31704 47616 83328 177792 295488 629072 589786 294896 358336 418904 366556 274924 275444 243760 376736 381028 285778 152990 122410 97946 48976 45946 22976 22744 19916 17716
3. 1264460 1547860 1727636 1305184
4. 2115324 3317740 3649556 2797612
5. 2784580 3265940 3707572 3370604
6. 4938136 5753864 5504056 5423384
7. 7169104 7538660 8292568 7520432
8. 18048976 20100368 18914992 19252208
164. 6035224922254092641981465838954300759425475 6035546806067373505494474098911043240574525 6035868707047189713749540831490067959425475 6035546806068249403179220047338543240574525
165. 391150239292252590375909613374696200110421488 412706950753625424982046686336737421393578512 435451675827984725580928493503563614741333488 412706950753625437407286121400928295713962512
166. 14297285407456393433046760120968525049181470311 14640457342551525607358025553132568864363233689 14991866294232697687124933787564783082428190311 14640457342551534725423980967036406645090529689
167. 90769015419218113854283914785667327395531483090 93217915542980062046845416395623224263865636910 95732885699433900744046540353043304534214567890 93217915542980052197620698709984949250193496110
168. 181017541347134401796562505110734885245314452710 183453436764234006003455468784446760709757547290 185922111249966914853345771282277471159220833510 183453436764234006002798864819744602767066526490
169. 5538448230054607532641022881236353541103976064744284 5933551532490520114777989734560176571832075066673316 6356840820081741207915113569521334449564183917909084 5933551532490520174792887745139882295103232479223716
170. 62758261876984852057057483693931511681163489828154612 63647672711074190087858290191659676489350012189790988 64549688286087456923030664375059664453743310973447412 63647672711074190067897246740506167338979458373112588
171. 147746834067985707361310732616679007213699366371920375 156954852055209571165255892097028363273798468943279625 166736740851834488340986563768567891579735713095760375 156954852055209571178089427171534166635492580024239625
Среди известных циклов, длина которых больше 2, 161 цикл имеют
длину 4, 1 — длину 5, 5 — длину 6, 2 — длину 8, 1 — длину 9 и 1 —
длину 28. Ниже приведены все циклы, длина которых больше 4.
Длина цикла Номер в списке Цикл
5 1 12496 14288 15472 14536 14264
6 32 21548919483 23625285957 24825443643 26762383557 25958284443 23816997477
6 38 90632826380 101889891700 127527369100 159713440756 129092518924 106246338676
6 48 1771417411016 1851936384424 2118923133656 2426887897384 2200652585816 2024477041144
6 50 3524434872392 4483305479608 4017343956392 4574630214808 4018261509992 3890837171608
6 53 4773123705616 5826394399664 5574013457296 5454772780208 5363145542992 5091331952624
8 18 1095447416 1259477224 1156962296 1330251784 1221976136 1127671864 1245926216 1213138984
8 20 1276254780 2299401444 3071310364 2303482780 2629903076 2209210588 2223459332 1697298124
9 17 805984760 1268997640 1803863720 2308845400 3059220620 3367978564 2525983930 2301481286 1611969514
28 2 14316 19116 31704 47616 83328 177792 295488 629072 589786 294896 358336 418904 366556 274924 275444 243760 376736 381028 285778 152990 122410 97946 48976 45946 22976 22744 19916 17716
О числах Мерсенна
Числом Мерсенна называется простое число вида Мр = 2Р — 1, где р — простое число. Числа Мерсенна получили известность в связи с эффективным критерием простоты Люка - Лемера, благодаря которому простые числа Мерсенна давно удерживают лидерство как самые большие известные простые числа.
Теорема (Люка—Лемер). Пусть п — нечетное число, и последовательность {Lm} определена рекуррентным образом:
Lq = 4, Lm+i = L2m- 2, 0 ^ m < п.
Число Мп — простое тогда и только тогда, когда Ln_2 = 0 (mod п)
Критерий был первоначально открыт Люка в конце 1890-х гг., а данную краткую форму приобрел около 1930 г. в работах Лемера.
На данный момент самым большим известным простым числом является число Мерсенна М43112609 = 243112609 — 1, найденное в августе 2008 года в рамках проекта распределённых вычислений GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search). Этот проект был организован в 1995 г. Г. Уолманом, написавшим быструю программу для персонального компьютера и разместившим ее на своем web-сервере. Он организовал также распределенную базу данных, в которой отражался ход поиска. В 1997 г. компанией Entropia, Inc., основанной С. Куровски, была организована система поддержки распределенных вычислений PrimeNet, которая в настоящее время координирует работу нескольких сотен тысяч компьютеров.
Длина М43112609 составляет 12978189 десятичных цифр, что позволяет GIMPS претендовать на премию в 100000 долларов США, назначенную сообществом Electronic Frontier Foundation за нахождение простого числа, длина которого превышает 10 миллионов десятичных цифр. Всего известно 46 простых числа Мерсенна, причём порядковые номера с уверенностью установлены только у первых 39.
Ниже приведена таблица со всеми известными числами Мерсенна.
№ Р мр Кол -во dec. знаков в Мр Дата открытия Исследо- ватель
1 2 3 1 5ый век до н.э. Древнегреч. математики
2 3 7 1 5ый век до н.э. Древнегреч. математики
3 5 31 2 Зый век до н.э. Древнегреч. математики
4 7 127 3 Зый век до н.э. Древнегреч. математики
5 13 8191 4 1456 неизвестен
6 17 131071 6 1588 Cataldi
7 19 524287 6 1588 Cataldi
8 31 2147483647 10 1772 Euler
9 61 2305843009213693951 19 1883 Pervushin
10 89 618970019. ..449562111 27 1911 Powers
11 107 162259276. ..010288127 33 1914 Powers
12 127 170141183. ..884105727 39 1876 Lucas
13 521 686479766. ..115057151 157 30 января 1952 Robinson
14 607 531137992. ..031728127 183 30 января 1952 Robinson
15 1,279 104079321. ..168729087 386 25 июня 1952 Robinson
16 2,203 147597991. ..697771007 664 7 октября 1952 Robinson
17 2,281 446087557. ..132836351 687 9 октября 1952 Robinson
18 3,217 259117086. ..909315071 969 8 сентября 1957 Riesel
19 4,253 190797007. ..350484991 1,281 3 ноября 1961 Hurwitz
20 4,423 285542542. ..608580607 1,332 3 ноября 1961 Hurwitz
21 9,689 478220278. ..225754111 2,917 11 мая 1963 Gillies
22 9,941 346088282. ..789463551 2,993 16 мая 1963 Gillies
23 11,213 281411201. ..696392191 3,376 2 июня 1963 Gillies
24 19,937 431542479. ..968041471 6,002 4 марта 1971 Tuckerman
25 21,701 448679166. ..511882751 6,533 30 октября 1978 Noll & Nickel
26 23,209 402874115. ..779264511 6,987 9 февраля 1979 Noll
27 44,497 854509824. ..011228671 13,395 8 апреля 1979 Nelson & Slowinski
28 86,243 536927995. ..433438207 25,962 25 сентября 1982 Slowinski
29 110,503 521928313. ..465515007 33,265 28 января 1988 Colquitt & Welsh
30 132,049 512740276. ..730061311 39,751 19 сентября 1983 Slowinski
31 216,091 746093103. ..815528447 65,050 1 сентября 1985 Slowinski
32 756,839 174135906. ..544677887 227,832 19 февраля 1992 Slowinski & Gage
33 859,433 129498125. ..500142591 258,716 4 января 1994 Slowinski & Gage
Р мр Кол -во dec. знаков в Мр Дата открытия Исследо- ватель
34 1,257,787 412245773... 089366527 378,632 3 сентября 1996 Slowinski & Gage
35 1,398,269 814717564. ..451315711 420,921 13 ноября 1996 GIMPS / Joel Armengaud
36 2,976,221 623340076. ..729201151 895,932 24 августа 1997 GIMPS / Gordon Spence
37 3,021,377 127411683. ..024694271 909,526 27 января 1998 GIMPS / Roland Clarkson
38 6,972,593 437075744... 924193791 2,098,960 1 июня 1999 GIMPS / Nay an Hajratwala
39 13,466,917 924947738... 256259071 4,053,946 14 ноября 2001 GIMPS / Michael Cameron
40? 20,996,011 125976895... 855682047 6,320,430 17 ноября 2003 GIMPS / Michael Shafer
41? 24,036,583 299410429... 733969407 7,235,733 15 мая 2004 GIMPS / Josh Findley
42? 25,964,951 122164630. ..577077247 7,816,230 18 февраля 2005 GIMPS / Martin Nowak
43? 30,402,457 315416475... 652943871 9,152,052 15 декабря 2005 GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone
44? 32,582,657 124575026... 053967871 9,808,358 4 сентября 2006 GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone
45? 37,156,667 202254406... 308220927 11,185,272 6 сентября 2008 GIMPS / Hans-Michael Elvenich
46? 43,112,609 316470269. ..697152511 12,978,189 23 августа 2008 GIMPS / Edson Smith
Неизвестно, существуют ли неоткрытые числа Мерсенна между 39-ым и 46-ым, поэтому нумерация в таблице возможно временная. Интересно отметить, что 29-е число Мерсенна было открыто после 30-го и 31-го, а 46-е известное простое число Мерсенна было найдено на две недели позднее 45-го известного простого числа Мерсенна и оказалось меньше его.
Заключение
Имеют ли данные исследования какие-либо применения, в настоящее время неизвестно. Но вот что сказал по этому поводу Леонард Эйлер в работе “De numeris amicabilibus” (“О дружественных числах”). “Из всех проблем, рассматриваемых в математике, нет таких, которые считались бы в настоящее время более бесплодными и бесполезными, чем проблемы, касающиеся природы чисел и их делителей. В этом отношении нынешние математики сильно отличаются от древних, придававших гораздо большее значение исследованиям такого рода... А именно, они не только считали, что отыскание истины похвально само по себе и достойно человеческого познания, но, кроме того, совершенно справедливо полагали, что при этом замечательным образом развивается изобретательность и перед человеческим разумом раскрываются новые возможности решать сложные задачи. Математика, вероятно, никогда не достигла бы такой высокой степени совершенства, если бы древние не приложили столько усилий для изучения вопросов, которыми сегодня многие пренебрегают из-за их мнимой бесплодности”.
Литература
1. Боро В., Цагир Д., Рольфе Ю., Крафт X., Янцен Е. Живые числа. М.: Мир, 1985. 128 с.
2. Черемушкин А.В. Лекции по арифметическим алгоритмам в криптографии. М.: МЦНМО, 2002. 104 с.
3. http://www.aliquot.de/aliquote.htm
4. http://www.mersenne.org
Summary
Yakovlev V.D., Afonin R.E. The hunting on numbers
In this article the history of search of amicable pairs since times of ancient Greeks and up to now is shown. Also current outcomes of search of aliquot sequences and Mersenne numbers are given.
Сыктывкарский университет
Поступила 05.12.2008
