КОМПЬЮТЕР КАК НОВАЯ РЕАЛЬНОСТЬ МАТЕМАТИКИ: VI. ЧИСЛА ФЕРМА И ИХ РОДСТВЕННИКИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Компьютерные инструменты в образовании, 2022 № 4: 5-67

УДК: 004.31:004.051 http://cte.eltech.ru

doi:10.32603/2071-2340-2022-4-5-67

КОМПЬЮТЕР КАК НОВАЯ РЕАЛЬНОСТЬ МАТЕМАТИКИ: VI. ЧИСЛА ФЕРМА И ИХ РОДСТВЕННИКИ *

Вавилов Н. А., доктор физико-математических наук, профессор, nikolai-vavilov@yandex.ru

1 Санкт-Петербургский государственный университет, 14-я линия Васильевского острова, д. 29,199178, Санкт-Петербург, Россия

Аннотация

В этой части, составляющей пандан к части, посвященной числам Мерсенна, я продолжаю обсуждать фантастический прогресс в решении классических задач теории чисел, достигнутый в последние десятилетия с использованием компьютеров. Здесь будет рассказано о проверке простоты, факторизациях и поиске простых делителей чисел специального вида, в первую очередь, чисел Ферма, их друзей и родственников, таких как обобщенные числа Ферма, простые Прота и т.д. Кроме того, мы детально обсудим роль чисел Ферма и чисел Пирпойнта в циклотомии.

Ключевые слова: числа Ферма, обобщенные числа Ферма, числа Прота, числа Пирпойнта, циклотомия.

Цитирование: Вавилов Н. А. Компьютер как новая реальность математики. VI. Числа Ферма и их родственники // Компьютерные инструменты в образовании. 2022. №4. С. 5-67. doi: 10.32603/2071-2340-2022-4-5-67

алгоритмическая

математика и математическое моделирование

Памяти великого мастера компьютерной математики Володи Гердта.

1. ВВЕДЕНИЕ

Настоящая статья является непосредственным продолжением [3-7]. В этой части, составляющей пандан к [5], посвященной числам Мерсенна Мр = 2р -1, я продолжу обсуждать роль компьютеров в исследованиях по теории чисел, в первую очередь, в факторизации больших чисел специального вида, на примере еще одной классической задачи.

• Гипотеза Ферма. Доказать, что все числа Ферма Рп = 22" + 1, где п е N простые.

Позволю себе повториться: то, что гипотеза Ферма оказалась безнадежно неверна, не делает ее менее великой. Ее роль в развитии теории чисел и алгебры в целом огромна.

Опровержение этой гипотезы, а именно доказательство непростоты числа Р5, составило содержание первой работы Леонарда Эйлера по теории чисел — а всего теории чисел Эйлер посвятил после этого около сотни статей! Построение правильного 17-угольника,

* Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 19-29-14141: изучение взаимосвязи концептуальных математических понятий, их цифровых представлений и смыслов, как основы трансформации школьного математического образования.

также теснейшим образом связанное с числами Ферма, составило содержание первой математической работы Карла Фридриха Гаусса, после которой он окончательно решил посвятить себя математике.

В настоящее время известно 360 простых делителей [составных] чисел Ферма. Из них 16 были открыты в докомпьютерную эпоху за более, чем 300 лет, в среднем примерно один делитель раз в 19 лет. В то же время, за менее, чем 70 лет компьютерной эпохи было открыто 344 новых простых делителя, в среднем примерно 5 делителей каждый год — хотя, как мы увидим, в действительности этот процесс шел крайне неравномерно. В частности, с 1976 года новые простые делители открывали каждый год, кроме ровно одного, 1989-го. Я предоставляю читателю самому судить, отвечает ли подобный рост наших вычислительных возможностей нашим ожиданиям.

Леонид Шебаршин как-то заметил — вероятно, по другому поводу, но полностью применимо к истории чисел Ферма и их факторизаций — «Мы всегда готовы говорить правду. Но как мы ее узнаем?» Если говорить о ранней истории, то, кроме нашего обычного источника, «Истории» Диксона [146], совершенно уникальным источником знаний являются Труды Ферма [161-165]. В томе IV содержится история чисел Ферма, доведенная до начала XX века. Подлинной находкой для меня оказалась статья Яна ван Маанена [281], где содержатся точные постраничные ссылки на письма Ферма, на переписку Гольдбаха и Эйлера и на реконструкции вычислений Эйлера.

Огромное количество собранного в одном месте материала представлено в книге Кжижека, Луки и Сомера [260], которую я не знал во время работы над [8] и открыл для себя только в процессе работы над настоящей статьей1. Эта книга является неисчерпаемым источником знаний по всем аспектам, связанным с числами Ферма, и я советую обращаться непосредственно к ней по поводу дальнейших исторических ссылок. Кроме того, я совершенно не обсуждаю различные приложения чисел Ферма, в частности, основанные на них варианты дискретного преобразования Фурье и другие их приложения в теории кодирования и передачи информации.

В рамках одной журнальной статьи невозможно, разумеется, отразить все аспекты, связанные с факторизацией обобщенных чисел Ферма Fn (a, b) = a2 + b2 , проектом Кан-нингема2, теоремой Банга—Жигмонди и всеми остальными аспектами факторизаций сумм и разностей степеней. Поэтому я сосредоточусь в первую очередь собственно на факторизациях числах Ферма и фантастических продвижениях в поиске их простых делителей, полученных в эпоху распределенных вычислений.

Кроме того, я упомяну еще несколько связанных с этим тем, в частности, следующие.

• Обобщенные числа Ферма Fn(a) = a2" +1, среди которых много простых и которые, судя по динамике последних лет, имеют все шансы заменить числа Мерсенна в качестве рекордных простых.

• Числа Прота k■2m + 1, k < 2m, которые возникают как делители чисел Ферма и также играют центральную роль в построении рекордных простых и цепочек простых с контролируемыми разностями. Вокруг чисел Прота естественно возникает масса задач рекреативного и учебного характера.

• Роль простых Ферма и простых Пирпойнта 2r ■ 3s +1 в циклотомии, то есть в вычислении и фактическом геометрическом построении корней соответствующих степеней из 1.

1 "The book had 3 authors, took 5 years to prepare, consisted of 17 lectures, had 257 pages, and hopefully will make USD 65 537 in royalties."

2 https://homes.cerias.purdue.edu/~llssw/cun/index.html

Как и в предыдущих статьях этой серии, фокус здесь троякий.

• Во-первых, общекультурный и исторический, это классические темы, исторически сыгравшие огромную роль в развитии математики, которые могут быть интересны многим математикам, независимо от специальности, и просто образованным любителям. Как и в других случаях, я был шокирован состоянием литературы и тем, что большинство текстов общего характера совершенно некритически воспроизводят мифы и измышления 100- или 150-летней давности.

В частности, чисто пропагандистские лекции Клейна школьным учителям [238], посвященные возвеличиванию роли Гаусса лично и математики в Геттингене в целом при полном игнорировании работ французских, русских и даже прусских математиков были восприняты последующими поколениями популяризаторов как окончательная истина в вопросе истории циклотомии.

Трудно не согласиться с тем, что говорит по этому поводу ван дер Варден в предисловии к своей книге: «Сколько утверждений в книгах по истории математики списывалось из других подобных же книг без всякой критики и без изучения источников! Сколько находится в обращении побасенок, которые считаются "общепризнанными истинами"! ...Для того, чтобы избежать подобных ошибок, я неуклонно проверял все утверждения, которые встречал у современных авторов. Это не так трудно, как кажется, даже если человек (как я) не знает египетского языка, не может читать клинописных текстов и не является филологом-классиком» [10].

Поэтому я привожу ссылки на источники и воспроизвожу некоторые их фрагменты, достаточные, чтобы квалифицированный читатель мог убедиться в том, что со стандартными версиями далеко не все в порядке3. И, кроме того, затрагиваю несколько близких тем, которые, как мне кажется, недостаточно известны, но представляют большой интерес с точки зрения истории и социологии математики.

• Во-вторых, собственно вычислительный: я хочу рассказать о том совершенно невероятном прогрессе, который был достигнут в этой области в последние несколько десятилетий, и, в особенности в последние примерно 20 лет, связан не просто с ролью компьютера, но с растущей популярностью проектов распределенных вычислений, таких как Рг1теСг1^

• В-третьих, педагогический: это, разумеется, та роль, которую эти темы могут играть в преподавании математики. Я здесь привожу несколько задач такого типа, как мы фактически использовали в классе, см. [8] и описание всего проекта в [9]. Ясно, что простор для творчества здесь огромный. Эти задачи легко формулируются, исторически мотивированы, вызывают естественное любопытство, непосредственно связаны со школьным курсом математики, легко программируются и в то же время открыты в сторону серьезной профессиональной математики.

Здесь, как и в работах [4-6] и, в особенности, в [7], я не делаю никакой попытки дать систематический обзор литературы — более того, в том, что касается обобщенных чисел Ферма и дальнейших вариаций на эту тему, это было бы невозможно в рамках журнальной статьи. Столь же нереально было бы и полностью задокументировать историю поиска сотен известных простых делителей самих чисел Ферма, это также предполагало бы совершенно другой формат (и другую вовлеченность!).

3 Упомянем три историко-математических текста [424, 424, 425], которые полностью подтверждают эту точку зрения, но которые, к огромному сожалению, стали мне известны уже после окончания основного текста настоящей статьи.

Поэтому, как и в предыдущих статьях серии, я ограничиваюсь ссылками на 1) классические результаты, 2) несколько фундаментальных монографий и обзоров, 3) статьи, в которых представлены результаты компьютерных вычислений, 4) некоторые статьи элементарного и алгебраического характера, которые мы использовали при составления задач для студентов.

2. ГИПОТЕЗА ФЕРМА О ЧИСЛАХ ФЕРМА

Совершенно ясно, что теория чисел, как мы ее знаем, основана одним человеком, Пьером де Ферма. Вот что пишет по этому поводу Андре Вейль [395]: "Fermât is one of the most fascinating mathematical personalities of all times, the creator (with Descartes) of analytic geometry, one of the founders of the calculus, the undisputed founder of modern number theory. The aura of mystery that still surrounds some of his best work provides an added attraction."

2.1. Исходная формулировка гипотезы о числах Ферма

Начнем со следующего незамысловатого наблюдения, которое Ферма сделал в переписке с Бернаром Френиклем.

Задача. Проверьте (или докажите!), что если 2m + 1, где m е N, простое, то m = 2n, n е N0.

Число вида Fn = 22" +1, где n е N0, называется числом Ферма. Числа Ферма возникают в самых различных вопросах теории чисел, комбинаторики, алгебры и геометрии.

В письме Френиклю Ферма высказал предположение, что все числа Ферма Fn простые, но смог проверить лишь, что

F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537

просты. Фрагменты всех писем Ферма на эту тему, которые я смог найти, воспроизведены ниже. Все письма цитируются по Œuvres de Fermat, том 2 [162]4.

• Вот исторически первая формулировка гипотезы Ферма в письме XLIII Френиклю, предположительно август 1640 года, [162, p. 206]:

"Mais voici ce que j'admire le plus: c'est que je suis quasi persuade que tous les nombres progressifs augmentes de l'unite, desquels les exposants sont des nombres de la progression double, sont nombres premiers, comme

3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297

et le suivant de 20 lettres

18446744073709551617; etc.

Je n'en ai pas la demonstration exacte, mais j'ai exclu si grande quantité; de diviseurs par demonstrations infaillibles, et j'ai de si grandes lumieres, qui établissent ma pensée, que j'aurois peine a me dedire."

4 Вот, что пишет по поводу этого издания Андре Вейль: "Fermat's complete writings and correspondence have been excellently published by Ch. Henry and P. Tannery in four splendid volumes (Gauthier Villars, Paris, 1891-1912, with a supplementary volume, ibid., 1922); this includes authoritative French translations of all Latin texts, valuable commentaries, and virtually all relevant passages from the writings and correspondence of Fermat's contemporaries", [395]. I cannot agree more!

Многие заявляют, что Ферма, якобы, утверждал простоту чисел Ферма как факт. В действительности, он прямо говорит, что он почти убежден (= "quasi persuade") в этом, хотя у него нет никакого точного доказательства (= "je n'en ai pas la demonstration exacte")3.

И в дальнейших его письмах я вижу только, что ему очень хотелось бы, чтобы это было правдой, ему очень важно, чтобы это было правдой, потому что из этого вытекали бы очень важные следствия, и что эта мысль его настолько воодушевляет, что ему было бы трудно от нее отказаться.

Почему Ферма так хотелось, чтобы это было правдой, тоже совершенно понятно.

• Во-первых, он хотел иметь формулу, которая позволяет строить простые числа, большие любого наперед заданного числа. Конечно, мы все верим, что такие числа существуют, но видеть мы их никогда не видели. Идея предъявить такие числа казалась Ферма очень привлекательной.

• Во-вторых, он, очевидно интересовался обращением малой теоремы Ферма. Ему хотелось получить удобный тест простоты. Но, к сожалению, он, скорее всего, не знал еще теорему Корсельта6 об абсолютно псевдопростых числах [в смысле Ферма] — то, что теперь принято называть числами Кармайкла — то есть составных числах n таких, что

an = a (mod n), для всех a.

Как хорошо известно, первые два числа Кармайкла, это Б61 = З ■ 11 ■ 17, 110Б = Б ■ 1З ■ 17. Кстати, весьма символично7, что 1729 — номер года, когда Гольдбах привлек внимание Эйлера к задаче Ферма, — тоже число Кармайкла8,1729 = 7 ■ 1З ■ 19.

• В третьих, он рассчитывал на дальнейшие обобщения, связанные с явными критериями простоты для обобщенных чисел Ферма — и явно упоминал это в своих письмах!

Задача. Подтвердите или опровергните утверждение Ферма.

Ответ. Приведенные выше пять чисел являются единственными известными сегодня простыми числами Ферма! В действительности, как установил Эйлер, FБ делится на 641.

5 Вот Мерсенн на странице 181 "Novarum observationum", похоже, действительно формулирует простоту чисел Ферма как факт, or so it seems: "Deinde, quilibet numerus analogiœ binariœ, plus 1, exponentem eiusdem analogiœ habens, primus est; ita siquidem 2S6, cuius exponens 8, plus 1, dat 2S7 primum."

6 Опубликованный в 1899 году критерий Корсельта состоит в следующем: составное натуральное число n в том и только том случае удовлетворяет сравнению an-1 = 1 (mod n) для всех a, взаимно простых с n, когда число n бесквадратное и для каждого его простого делителя p число p - 1 делит n - 1.

p. Сам Арвин Рейнгольт Корсельт, 1864-1947, был школьным учителем вначале в Дрездене и других городах восточной Германии, потом большую часть жизни в Плауэне. Притом даже не в гимназии, а в Realschule! Что я могу сказать, безмерно крутые школьные учителя математики были в XIX веке не только в Германии, но и по всей Европе. И кому все это мешало?

7 Такого рода совпадения безумно любил Освальд Шпенглер. Он построил целую теорию на основе того, что три величайших европейских — "фаустовских" — композитора, Иоганн Себастьян Бах, Георг Фридрих Гендель и Доменико Скарлатти, родились в один год, 168S. Не помню, кстати, упоминает ли он в этой связи Лодовико Джустини? Для полной симметрии следовало. Жан-Филипп Рамо со своим 1683 годом, конечно, чуть промахнулся, но на это у Шпенглера тоже есть объяснение.

8 Кроме того, это, конечно, число Рамануджана — хотя в данном случае правильнее говорить число Фре-никля де Бесси, который в 16S7 году заметил, что 1729 — наименьшее число, представимое как сумма двух кубов натуральных чисел двумя существенно различными способами, 1729 = 1З + 12З = 9З + 10З, near miss для теоремы Ферма. Уму непостижимо, как Харди мог этого не помнить: "I remember once going to see him when he was ill at Putney. I had ridden in taxi cab number 1729 and remarked that the number seemed to me rather a dull one", [32].

2.2. Числа Ферма в переписке Ферма

В своих письмах Ферма несколько раз на протяжении двух десятилетий реитериро-вал эту гипотезу именно как гипотезу, в справедливость которой он очень хотел бы верить, но которую он не может доказать.

• Письмо XLIV Френиклю от четверга 18 ноября 1640 года, ibid., c. 207-208:

"Mais je vous avoue tout net (car par avance je vous averti que, comme je ne suis pas capable de m'attrbuer plus que je ne sais, je dis avec même franchise ce que je ne sais pas) que je n'ai pu encore démontrer l'exclusion de tous diviseurs en cette belle proposition que je vous envoyee et que vous m'aves confirmée, touchant les nombres 3,5,17,257,65537, etc. Car, bien que je réduise l'exclusion a la plupart des nombres et que j'aie meme des raisons probables pour le reste, je n'ai pu encore démontrer necessairment la verite de cette proposition, de laquelle pourtant je ne doute non plus a cette heure que je faisois auparavant. Si vous en avez la preuve assurée, vous m'obligerez de la communiquer; car, aprés cela, rien ne m'arrétera en ces matieres."

• Письмо XLV Марену Мерсенну от вторника 25 декабря 1640 года, ibid., с. 212-213:

"...voici trois questions que je lui propose, pource que les spéculations que j'y ai faites ne

me satisfont pas pleinement: 10 La raison essentielle pourquoi 3, 5, 17, 257, etc. a l'infini, sont toujours nombres premiers."

Он тут же поясняет, почему это ему так важно! В этом случае для любого четного q все числа вида q + 1, кроме тех, которые делятся на 3, 5,17, 257, etc., будут простыми — "laquelle proposition, si elle est vraie, est de très grand usage." Он продолжает:

"Si je puis une fois tenir la raison fondamentale que 3, 5, 17, etc. sont nombres premiers, il me semble que je trouverai de très belles choses en cette matiere, car deja j'ai trouve; des choses merveilleuses dont je vous ferai part,. . . "

• Письмо LXXIII Блезу Паскалю от субботы 29 августа 1654 года, ibid. с. 309-310:

"Songez cependant, si vous le trouvez a propos, a cette proposition: Les puissances quarrèes

de 2, augmentées de l'unite, sont toujours des nombres premiers....Et ainsi a l'infini. C'est une propriete de la verite de laquelle je vous réponds. La démonstration en est très malaisée et je vous avoue que je n'ai pu encore la trouver pleinement; je ne vous la proposerois pas pour la chercher, se j'en etois venu a bout."

• В письме Кенельму Дигби, письмо XCVI, ibid. c. 402-403 (само письмо не датировано, но Дигби переслал его Джону Валлису 16 июня 1658 года), Ферма реитерирует вопрос как вызов английским математикам:

"10 Potestates omnes numeri 2, quarum exponentes sunt termini progressionis geometricœ ejusdem numeri 2, unitate auctae, sunt numeri primi."

Он комментирует: "Sed ingenuitatem gallicam sapient magis propositiones aliquot quarum demonstrationem a nobis ignorari non diffitemur, licet de earum veritate nobis constet. ...Quaeritur demonstratio illius propositionis, ..." = «...мы не будем отрицать, что нам [здесь он говорит от имени французских математиков] неизвестно доказательство ... предлагается найти доказательство этих утверждений ...»

• В письме Пьеру Каркави, письмо CI, август 1659 года, ibid. c. 433-434, Ферма мельком высказывает надежду, что теперь наконец-то сможет решить эту задачу методом бесконечного спуска.

Чрезвычайно интересно, что хотя Ферма высказывал эту гипотезу в письмах всем своим основным корреспондентам, он нигде не упоминает ее в своих примечаниях к Диофанту!

2.3. Числа Ферма в переписке Гольдбаха и Эйлера

Эйлер в своих первых работах по теории чисел шел буквально по следам Ферма, давая полные доказательства теорем, сформулированных Ферма. Вот что пишет по этому поводу Андре Вейль: "while Fermat was far ahead of the few who were also interested in number theory during his lifetime, and owed nothing to them, most of the work of Euler in that field may be regarded as an inspired commentary on the work of Fermat", [395].

Вот более развернутый комментарий Франца Леммермайера на туже тему, в котором особо подчеркивается именно проблема Ферма о простоте чисел Ферма и роль Гольдбаха: "Even more important for defining Euler's mathematical interests was Goldbach's fascination with number-theoretic problems. Goldbach's innocent question whether Euler knew of Fermat's claim that all numbers of the form 22 + 1 are prime eventually made Euler study everything by Fermat he could lay his hands on. Euler's contemporaries, first of all the Bernoullis, remained indifferent to this aspect of Euler's research, leaving Goldbach as virtually the only person with whom Euler could discuss such topics until, towards the end of Euler's life and after Goldbach's death, Lagrange entered the stage", [156, p. 27].

Как отмечается в литературе, в переписке Эйлера и Гольдбаха проблема простоты чисел Ферма непосредственно обсуждается в шести9 письмах (и упоминается еще в нескольких). Вот соответствующие фрагменты этих писем10.

• Вот судьбоносный постскриптум первого письма Гольдбаха Эйлеру (Письмо I, Москва, 1 декабря 1729 года, c. 10):

"Notane Tibi est Fermatii observatio omnes numeros huius formulae 22x 1 +1, nempe 3,5,17, &c. esse primos, quam tamen ipse fatebatur se demonstrare non posse et post eum nemo, quod sciam, demonstravit." = «Знаешь ли Ты наблюдение Ферма, что все числа вида 22 + 1, а именно 3, 5, 17 и так далее, простые? Он сам признавался, что не мог этого доказать, и, насколько мне известно, и потом никто не доказал».

Считается, что сам Гольдбах узнал об этой гипотезе из переписки Валлиса Commer-cium Epistolicum (1658), где на странице 186 воспроизведено письмо Ферма Кенельму Диг-би от июня 1658 года. Или, возможно, из трудов Валлиса, Opera, vol. III, 1699.

• Эйлер отвечает (Письмо III, Петрополь, 8 января 1730 года, с. 18):

"Nihil prorsus invenire potui, quod ad Fermatianam observationem spectaret. Sed nondum prorsus persuasus sum, quomodo sola inductione id inferre legitime potuerit, cum certus sim ipsum numeris in formula 22 loco x substituendis nec ad senarium quidem pervenisse." = «В отношении наблюдения Ферма я не смог вообще ничего придумать. Я, однако, полностью убежден, что придти к этому одной лишь индукцией невозможно, так как, подставляя значения x в 22 , он, несомненно, не дошел даже до шестого из них».

9 https://edoc.unibas.ch/58842/2/IVA4_PDFA.pdf

10 При подготовке предыдущих статей серии в качестве источника я пользовался главным образом изданием Фукса, как наиболее ранним. Однако в настоящее время по практическим соображением перешел на базельское издание [156, 157] под редакцией Франца Лемермайера и Мартина Маттмюллера — Habent sua fata editiones. Оно полнее, лучше аннотировано и содержит много дополнительных материалов. Наличие английского перевода может быть полезным тем, кто не знает немецкого и латыни, "Since the languages used (18th-century German and Latin) are no longer universally familiar to scholars and students of either mathematics or history, it seemed advisable to complement the source text by an English translation". Не скрою, однако, что мысль о возможности заниматься историей математики без знания этих языков оказалась для меня совершенно новой. Я, скорее, согласен с мнением самих редакторов, что написанный на пиджине — "peculiar mixture of 18th century German and Latin" — текст Эйлера и Гольдбаха понятен до слова as is: "Actually Euler and Goldbach express themselves clearly and most of the time simply, so there has only rarely been any doubt in the editors' minds what the original text intends to say."

• Ответ Гольдбаха содержит обширный фрагмент на эту тему, в котором, в частности, упоминается малая теорема Ферма (Письмо IV, Москва, 11 мая 1930 года):

"Quod ad Fermatii observationem attinet, tecum sentio, non credibile videri, eum ad sex terminos illius suae seriei exprimendos progressum fuisse, neque tanto labore opus est ad verisimilitudinem illius observationis, facile enim experimur divisore quocunque accepto residua ex terminis ordine quo sequuntur divisis in circulum redire."

• Эйлер отвечает (Письмо V, Петрополь, 4 июня 1730 года):

"Postquam ultimas ad Te misissem literas, de Theoremate Fermatiano diligentius cogitare coepi, idque non tam levi nixum fundamento, quam primum putaveram, perspexi." Там же Эйлер начинает рассматривать более общий вопрос о делителях чисел вида linebreak an + bn, потом эту тему продолжает Гольдбах в своем ответе (Письмо VI, Москва, 15 июня 1730 года).

• Следующее письмо Эйлера снова начинается с обширного фрагмента о числах Ферма (Письмо VII, Петрополь, 25 июня 1930 года):

"Theorematis Fermatiani veritas quotidie mihi magis elucere videtur; sed tamen demon-strationem ejus nondum sum nactus. Sunt mihi autem nonnullae ejus inventae proprietates, quae fortasse ad demonstrationem conficiendam utiles esse possent. Fiat series, cujus terminus generalis est 22* +1, sequens 3, 5,17, 257, etc., cujus singuli termini secundum Fermatium sunt numeri primi. Demonstrare autem possum, nullum terminum per quemquam praecedentium dividi posse, et praeterea si quis terminus haberet divisorem, sequentium nullum per eundem dividi posse, sed semper residuum fore 2. Certum igitur ex hoc est, omnes ejus progressionis terminos inter se esse primos, vel duos reperiri non posse, qui communem habeant divi-sorem."

• А вот пример из позднейшей переписки. В части, посвященной проблеме Варин-га [4], мы уже цитировали письмо LI от 27 мая 1742 года: "Des Fermatii Einfall daß jeder

on-1 . . , .

numerus 22 +1 eine senem numerorum primorum gebe, kan zwar, wie Ew. H. bereits gezeiget haben, nicht bestehen. . . "

3. ПРОСТОТА ЧИСЕЛ ФЕРМА

В действительности в 1732 году Эйлер нашел разложение на множители следующего числа Ферма:

F5 = 4294967297 = 641 ■ 6700417 = (5 ■ 27 + 1) ■ (52347■ 27 + 1), и сейчас мы реконструируем, как именно он это сделал.

3.1. Критерий Пепана и критерий Люка—Эйлера

Оказывается, узнать, является ли число Ферма Fn простым, совсем просто и не предъявляя никаких его собственных делителей. Например, сегодня мы не знаем никаких простых делителей чисел Ферма F20, F24 и многих других11. В то же время известно, что эти числа не являются простыми.

11 В тот момент, когда мы писали [8], не было известно также ни одного простого делителя чисел F14 и F22, они были найдены только в 2010 году!

Это устанавливается при помощи следующего легко проверяемого теста, который в 1878 году доказал, развивая идею Люка, Теофиль Пепан12,13 [304].

Критерий Пепана. Для того чтобы число Ферма Fn, n > 2, было простым, необходимо и достаточно, чтобы

Fn-1

5~ = -1 (mod Fn).

Однако, как было тогда же замечено, 5 здесь можно заменить на любой квадратичный невычет по модулю Fn, см. [146], так что сегодня в большинстве учебников критерий Пепана формулируется следующим образом.

Критерий Пепана. Для того чтобы число Ферма Fn, n > 1, было простым, необходимо и достаточно, чтобы

Fn-1

3~ = -1 (mod Fn).

В статье Олега Василенко [11] приведено совсем простое доказательство критерия Пепана с заменой 5 на 7, использующее квадратичный закон взаимности, а также обсуждаются аналогичные критерии, в которых в качестве оснований берутся другие числа Ферма, числа Мерсенна и т. д.

В действительности первый критерий такого типа был предложен Эдуаром Люка14 как обращение малой теоремы Ферма. Пусть n > 3 нечетно и существует a, 1 < a < n, такое, что an-1 = 1 mod n. Если для любого простого q, делящего n -1, выполняется сравнение

n-1

a q í 1 (mod n),

то n простое.

Задача. Проверьте, что числа Fn, n = 10,..., 15, не являются простыми. Указание. Непосредственно возвести 3, 5 или 7 в степень такого порядка нет шансов, поэтому используйте функцию PowerMod. Посмотрите, какой остаток она возвращает и аккуратно сформулируйте условие!

Как мы уже упоминали, опровержение гипотезы Ферма — это вообще первая арифметическая работа Эйлера [154], которая, вероятно, и стимулировала его интерес к теории чисел. Не следует думать, что Эйлер настолько любил считать, чтобы делить вручную 10-значное число на все простые подряд, пока случайно не наткнулся на делитель 641. В действительности ему пришлось для этого выполнить всего три-четыре деления, а скорее всего, ни одного.

Реконструируем рассуждения Эйлера, чтобы читатель мог на этом игрушечном примере представить, при помощи каких примерно соображений ищутся простые делители у чисел, содержащих многие сотни или тысячи десятичных знаков, если известна их структура.

12 Жан Франсуа Теофиль Пепан, 1826-1904, вступил в орден иезуитов в возрасте 20 лет, некоторое время преподавал математику в иезуитских колледжах, после чего стал профессором канонического права в Лионе, а потом Риме. Кроме теста Пепана, известно еще несколько его результатов, в частности, новое доказательство теоремы Ламе об отсутствии нетривиальных решений у уравнения Ферма x7 + y7 = z7. Его официальный некролог в "Atti della Pontificia Accademia Romana dei Nuovi Lincei", 58 (1905), 210-216, упоминает 52 его публикации, большей частью относящиеся к теории чисел.

13 Обычно по-русски пишут "Пепин", но это представляется мне совсем абсурдным. Если в этой фамилии по-французски где и звучит "и", то, скорее, в первом слоге, "Пипан".

14 Эдуар Люка, 1842-1891, несомненно один из самых интересных теоретико-числовиков XIX века. При этом он не был университетским профессором. Вынужденный уйти из обсерватории в результате конфликта с Ле Веррье, он поработал в школах в Туре и Мулене, после чего все-таки вернулся в Париж, где преподавал в Lycee Charlemagne и Lycee Saint-Louis. Да, безмерно крутые школьные учителя были в XIX веке.

В [154] Эйлер не говорит, как га это сделал, но [155] дает возможность восстановить детали. Дело в том, что для того, чтобы разложить число Ферма Fn на множители, достаточно проверять не все простые p < \[F~n, а лишь простые вида p = k • 2n+2 + 1, где m е N. Это вытекает из следующего легко проверяемого соображения,

Критерий Эйлера—Люка. Любой простой делитель числа Fn, n > 3, имеет вид k • 2n+2 + 1, для некоторого k е N.

Этот критерий доказан Люка, сам Эйлер утверждал лишь, что делители имеют вид k • 2n+1 + 1, в такой форме это очевидно.

Задача. Докажите критерий Эйлера.

2n

Решение. Пусть p — простои делитель числа Fn = 22 + 1, га нечетен. Тогда по малой теореме Ферма p - 1 делит 2p - 1. С другой стороны, по предположению p делит

22n+1 - 1 = (22n - 1) • (22n + 1).

Так как 22" - 1 не может делиться на p, то d = 2n+l является наименьшим показателем

степени таким, что 2d -1 делится на p и, значит, p - 1 = kd для некоторого k.

2n 2n

В действительности Эйлер утверждает даже, что сумма двух степеней a2 +b2 , в которой показатели степени являются степенями двойки, не имеет никаких делителей, кроме делителей вида k • 2n+1 + 1.

В силу этого критерия, делителями числа Ферма F5 могут быть только простые числа вида p = k • 27 + 1. Первые два таких числа — это p = 257 и p = 641, которые получаются при k = 2 и k = 5, соответственно. Очевидно, что 257 взаимно просто с F5, поэтому нужно проверять лишь 641. Если Эйлер пользовался более слабым критерием из [155], согласно которому простые делители имеют вид p = k • 26 + 1, ему нужно было бы еще проверить 193, 449 и 577, но даже и в этом случае он нашел бы 641 в результате четвертого деления (раньше, если смотреть на наибольшие общие делители!).

Однако, вероятно, ему не пришлось делать даже этого. В самом деле, очевидно, что 641 = 24 + 54 делит a = 232 + 22854. С другой стороны, применяя формулу для разности квадратов, мы видим, что 641 = 5-27 + 1 делит b = 22854 -1. Таким образом, 641 делит и разность этих чисел F5 = a - b.

Для того чтобы проверить, будет ли 6700417 простым, достаточно, в худшем случае, произвести еще не более 4 делений, а именно, проверить, что оно не делится на простые числа вида p = k • 27 + 1, 5 < k < 20, каковых, очевидно (см. таблицу простых), ровно 4, а именно, 641, 769,1153,1409.

Однако, зная Эйлера, можно предположить, что он, скорее всего, и здесь обошелся вообще без явных вычислений, а придумал что-то в таком же духе. Экстраполируя этот пример, мы видим, что один изобретательный математик может с успехом заменить сотни вычислителей, два изобретательных математика заменяют небольшой компьютер.

На самом деле, далеко не все простые числа k • 2n + 1 могут быть делителями чисел Ферма. Например, Морхед [292] заметил, что из кубического закона взаимности вытекает, что ни одно простое вида 3 • 2n + 1 не может быть делителем чисел Ферма.

В статье [152] Фриман Дайсон показывает, как факторизовать шестое число Ферма в таком же элементарном духе вообще без вычислений. А именно, он объясняет, почему F6 делится на 274177.

Делькур [139] упоминает еще одно забавное приложение того, что числа Ферма F5, F6, F7 не являются простыми, а именно, доказывает, что при фиксированном n уравне-

ние ф(х) = 2n имеет n + 2 решения для n < 31 и всего 32 решения — а не 33, как утверждал Кармайкл, — для 32 < n < 255.

3.2. Классические ослабления гипотезы Ферма

В 1844 году Эйзенштейн высказал следующее предположение, которое, в отличие от исходной гипотезы Ферма, до сих пор не доказано и не опровергнуто.

• Гипотеза Эйзенштейна. Существует бесконечно много простых чисел Ферма.

Харди и Райт [208, с. 14] приводят правдоподобные соображения в пользу того, что ответ на гипотезу Эйзенштейна тоже отрицательный, иными словами, количество простых чисел Ферма конечно. Недавно Боклан и Конвей [83] предложили совершенно подавляющие свидетельства в пользу того, что никаких простых чисел Ферма, кроме пяти известных самому Ферма, не существует.

В 1963 Анджей Шинцель высказал следующее более слабое предположение, которое имеет все шансы быть верным.

• Гипотеза Шинцеля. Существует бесконечно много бесквадратных чисел Ферма (то есть таких, которые являются произведениями различных простых).

Заметим, что числа Ферма дают еще один подход к доказательству теоремы Эвклида бесконечности числа простых. В самом деле, из следующей задачи — взятой непосредственно из переписки Гольдбаха и Эйлера15 — вытекает, что числа Ферма попарно взаимно просты. Вот что пишет Гольдбах (письмо VIII, Москва 20 июня 1730):

"Jam diu animadverti numerum 22*+Р + 1, ubi x et p sint numen integri, divisum per 22* + 1, relinquere 2, propterea quod (22x + 1) (22x + 1) est = 22x+ - 1, rursus (22x+ + 1) (22x+ + 1) est = 22x+ -1, et sic porro, donec perveniatur ad (22x+p - 1), qui numerus binario minor est quam 22x+p + 1; ex eo quidem certe sequitur omnes numeros seriei Fermatianae esse inter se primos, ut dicis; at quantulum hoc est ad demonstrandum omnes illos numeros esse absolute primos?" =

2x 2x+p

«Я уже довольно давно заметил, что при делении на 22 +1 числа 22 +1, где x и p целые, дают остаток 2, потому что ...; отсюда, разумеется, сразу следует, что числа Ферма взаимно просты, как Ты и говоришь; но что это нам дает для доказательства того, что все эти числа сами простые?»

Задача. Проверьте (или докажите!), что

F0F1F2... Fn = Fn+1 - 2.

Таким образа, если Fm делит Fn, при некотором n > m, то Fm делит 2, что невозможно.

4. ФАКТОРИЗАЦИИ ЧИСЕЛ ФЕРМА

Несмотря на столь простой критерий для формы простых делителей, единственными числами Ферма, которые сегодня полностью разложены на простые множители, являются F5, F6, которые были факторизованы в XVIII-XIX веках, и F7, F8, Fg, F10, F11, которые были полностью факторизованы лишь в компьютерную эпоху.

15 Доказательство, основанное на той же идее, но при этом содержащее несколько чрезвычайно удачных ухудшений, воспроизводится в книге «Задачи и теоремы из анализа», поэтому некоторые авторы ошибочно приписывают его Пойа и Сеге.

• Число F6 тоже довольно легко раскладывается На множители от руга:

F6 = 18446744073709551617 = 274177■ 67280421310721 = (1071 ■ 28 + 1) ■ (262814145745■ 28 + 1).

В большинстве классических книг по теории чисел утверждается, что это разложение было найдено в 1880 году Ландри [267] и Ле Лассером. Однако в 1964 году Курт-Р. Бирманн16 обнаружил, что Томас Клаузен17 привел эту факторизацию в письме к Гауссу, датированном 1 января 1855 года, и что он знал, что оба множителя простые [76]. Более того, второй из них был самым большим известным на тот момент простым числом! Вот это место из письма Клаузена: "Auch habe ich gefunden, daß die Zahl 264 + 1 in die beiden Primfactoren 274177 und 67280421310721 zerlegt werden kann; die letztere ist, so viel ich weiß, die größte bis jetzt bekannte Primzahl."

А вот полностью разложить на множители дальнейшие числа Ферма в докомпьютерную эпоху не было никакой возможности. Как мы сейчас увидим, на полную факторизацию одного числа Ферма у человечества уходило примерно 10 лет, начиная с 1970 года, причем после 2000 года прогресс замедлился.

Еще в начале XX века Морхед и Вестерн показали, что числа F7 и F8 составные, в 1954 году это еще раз проверил на компьютере Робинсон [328]. Тем не менее, предъявить ни одного их простого делителя довольно долго не удавалось.

• В действительности разложение F7 было найдено лишь в 1970 году(!!) Моррисоном и Бриллхартом [295]:

F7 = 59649589127497217■5704689200685129054721 =

(116503103764643■29 + 1) ■ (11141971095088142685■29 + 1).

Таким образом, между полной факторизацией F6 и полной факторизацией F7 прошло 115 лет!

• Следующее число F8 было факторизовано еще на 10 лет позже, в 1980 году Брентом и Поллардом [95], ровно через 100 лет после второй факторизации F6:

F8 =1238926361552897-

93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321 =

(604944512477 ■ 211 + 1) (45635566267264637582599393652151804972681268330878021767715■211 + 1).

16 Курт-Райнхарт Бирманн, 1919—2002, "der Nestor der deutschen Mathematikhistoriographie", тот самый Бирман, которого все мы знаем по новой публикации дневников Гаусса [182]. Он обнаружил и вовлек в оборот многие десятки неизвестных до этого документов по истории математики XIX века. До 1949 года он был в советском плену, впоследствии работал в Академии Наук ГДР и публиковал довольно много статей на русском.

17 Томас Клаузен, 1801-1885, был сыном крестьянина из Шлезвига [ныне Дания] и в 1813 году еще не умел читать и писать. Не имея формального университетского диплома, основное образование получил в Германии, между Гамбургом и Мюнхеном, ключевую роль в этом сыграл Шумахер. Начиная с 1842 года, Клаузен работал в России в обсерватории Дерпта [ныне Эстония], в 1856 году был избран членом-корреспондентом Петербургской Академии Наук, в 1865 году стал профессором, а потом директором обсерватории. Удивительный XIX век, одна из абсолютных вершин развития человечества. Как хорошо известно, классик синтетической геометрии Якоб Штейнер, 1796-1863, тоже был сыном крестьянина и научился читать в 14 лет. А в 1832 году заботами Якоби получил степень университета Кенигсберга [ныне Россия] и вскоре после этого стал профессором геометрии в Берлине.

Приятно, что сегодня это разложение за секунды ищется на бытовом компьютере при помощи функции FactorIntegerECM, использующей эллиптические кривые. Задача. А теперь напишите от руки программу, раскладывающую числа F6, F7 и F8 на множители быстрее, чем это делает внутренняя команда FactorInteger.

Однако в этот момент шутки кончились. Дальше начинается серьезная профессиональная математика серьезных профессиональных математиков.

• Что касается F9,to еще в 1903 году Вестерн обнаружил, что оно делится на 37-216 + 1 = 2424833. Несмотря на это, полная факторизация F9 на множители была получена лишь в 1990 году Ленстрой, Манассе и Поллардом [276]. При этом оказалось, что два других делителя числа Fg содержат 49 и 99 цифр, соответственно:

F9 = 2424833•7455602825647884208337395736200454918783366342657• P 99 =

(37• 216 + 1) • ([46 цифр] • 211 + 1) • ([96 цифр] • 211 + 1).

Единственными другими числами Ферма, которые сегодня полностью разложены на простые множители, являются F10 и F11.

• Факторизация F10 была завершена в 1999 году в работе Брента [93]:

F10 = 45592577•6487031809•4659775785220018543264560743076778192897• P252 =

(11131 • 212 + 1) • (395937• 214 + 1) • ([37 цифр] • 212 + 1) • ([248 цифр] • 213 + 1).

• Интересно, что, хотя само число F11 значительно больше, чем F10, его факторизация оказалась заметно проще, она была завершена уже в 1988 году Брентом и Морэном [90], то есть еще до факторизации не только F10, но и F9! Это связано с тем, что у F11 оказалось четыре относительно небольших простых фактора и один огромный, с 564 цифрами:

F11 = 319489•974849•167988556341760475137•3560841906445833920513• P564 = (39 • 213 + 1) • (119 • 213 + 1) • (10253207784531279 • 214 + 1)

(434673084282938711 • 213 + 1) • ([560 цифр] • 213 + 1).

Хорошо известно, что сложность факторизации числа методом ECM определяется, главным образом, размером второго по величине простого множителя.

5. ПРОСТЫЕ ДЕЛИТЕЛИ ЧИСЕЛ ФЕРМА

В предыдущем параграфе воспроизведены все полные факторизации чисел Ферма, известные на сегодня (осень 2022 года). Для всех остальных чисел Ферма в лучшем случае имеются лишь доказательства непростоты или частичные факторизации — то есть найдены лишь какие-то простые делители, иногда даже несколько таких простых делителей, но не полная факторизация.

5.1. Рукотворные простые делители чисел Ферма

Вот, насколько мне известно, все делители чисел Ферма Fn, n > 7, найденные в докомпьютерную эпоху18. Первые такие делители после работы Клаузена 1855 года были

18

18 Я исхожу из того предположения, что доведенный до 1918 года список работ по числам Ферма, содержащийся в главе XV книги Диксона [146], полон. Работа Крайчика про F15 упомянута на странице 220 его книги [250].

открыты Пермским священником Иваном Первушиным, работа которого, относящиеся к числам Мерсенна, мы уже обсуждали в [5].

• В 1877 году Иван Михеевич Первушин доказал, что 114689 = 7-214 +1 делит Fi2. Через два месяца тот же результат объявил Эдуар Люка.

• В 1878 году Первушин доказал, что 167772161 = 5-225 + 1 делит F23. См. по этому поводу сообщения Буняковского [1, 87, 88].

• В 1880 году Фортюнэ Ландри19 [267], [которому было на тот момент 82 года — впрочем, он прожил после этого еще 15 лет!] снова нашел факторизацию Клаузена F6 = 27417767280421310721, однако не был уверен, что второй множитель прост. Это было проверено в том же 1880 году ЛеЛассёром и Жерарданом. Очень интересная реконструкция того, как именно это было сделано, с постраничными ссылками на оригинальные работы и письма приведена в работе Хью Уилльямса [405].

• В 1886 Пауль Зеельхоф20 [347] доказал, что 2748779069441 = 5 ■ 239 + 1 делит F36.

• В 1899 году Аллан Каннингем нашел два простых делителя Fn, а именно

319489 = 39 ■ 213 + 1 и 974849 = 119 ■ 213 + 1.

• В 1903 году Альфред Вестерн нашел четыре новых простых делителя

2424833 = 37 ■ 216 + 1 |F9, 13631489 = 13 ■ 220 + 1 |F18, 26017793 = 397 ■ 216 + 1 |F12,

63766529 = 973 ■ 216 + 1 |F12.

• В 1903 Джеймс Каллен и Каннингем убедились, что 6597069766657 = 3 ■ 241 + 1 делит F38, а Вестерн доказал, что это число простое.

• В 1903 году Вестерн и Каннингем [136] доказали, что ни одно другое число Ферма Fn не имеет простых множителей, меньших 106.

• В 1905 году Морхед [292] доказал, что

188894659314785808547841 = 5■ 275 + 1|F73.

• В 1925 году Морис Борисович Крайчик [248] доказал, что 1214251009 = 579 ■ 221 + 1 делит F15.

5.2. Частичные факторизации чисел Ферма

Дело в том, что вычислительная сложность задачи факторизации Fn растет невероятно быстро с ростом n. Числа Ферма Fi2, Fi3, Fi4 и Fi5 имеют 1234, 2467,4933, 9865 разрядов соответственно.

19 Fortune Landry, 1798-1895. В 1867-1869 годах он опубликовал две книги [265, 266], в которых описал факторизации всех чисел вида 2n ± 1,1 < n < 64, кроме четырех, а именно, 259 -1,261 -1, (261 +1)/3 и 264 + 1.В [265] он делает совершенно поразительное для того времени замечание, что без знания использованного метода проверки простоты и без повторения всех проведенных вычислений утверждение о простоте данного числа является просто "актом веры" = "un acte de foi".

20 Paul Peter Heinrich Seelhoff, 1829-1896, преподавал математику в гимназиях Саарбрюкена и Мюльхайма ан дер Рур, а потом в навигационной школе Бремена. В 1886 году он опубликовал еще несколько работ, в частности, список 28 простых чисел Прота [346]. В том же томе я с удивлением заметил работу [348], в которой

он независимо переоткрыл число Первушина M(9) = M61 = 261 - 1, о чем я не знал в момент написания [5].

Даже установление простота чисел такого порядка на бытовых компьютерах может оказаться проблематичным, а искать разложение таких чисел на множители сегодня мы просто не умеем даже в тех случаях, когда нам известно уже несколько их простых делителей.

Вот, например, начало факторизации чисел Ферма ¥12, ¥13, ¥14 и ¥15. Отметим, что эти факторизации ¥12 и ¥13 рекордные — для ¥12 известно шесть простых делителей, а для ¥13 — четыре. Еще для четырех чисел Ферма, а именно ¥15, ¥19, ¥25, ¥52, известны три простых делителя, для всех остальных — не более двух.

¥12=114689■26017793■63766529■190274191361■1256132134125569-

568630647535356955169033410940867804839360742060818433■ С1133 = (7 ■ 214 + 1) ■ (397 ■ 216 + 1) ■ (973 ■ 216 + 1) ■ (11613415 ■ 214 + 1)

(76668221077 ■ 214 + 1) ■ ([50 цифр] ■ 215 + 1) ■ С1133,

¥13 = 2710954639361■2663848877152141313■3603109844542291969-

319546020820551643220672513 ■ С2391 = (41365885■216 + 1) ■ (20323554055421■217 + 1) ■(6872386635861■219 + 1)

(609485665932753836099 ■ 219 + 1) ■ С2391,

¥14 = 116928085873074369829035993834596371340386703423373313■ С4880 =

([49 цифр] ■ 216 + 1) ■ С4480,

¥15 = 1214251009■2327042503868417■168768817029516972383024127016961■ С9808 = (579 ■ 221 + 1) ■ (17753925353 ■ 227 + 1) ■ (1287603889690528658928101555 ■ 227 + 1) ■ С9808,

но это мало приближает нас к тому, чтобы разложить на множители остающийся делитель, имеющий для ¥12 больше тысячи — а для остальных несколько тысяч! — цифр.

Приведем список известных простых делителей нескольких следующих чисел Ферма:

¥16 1575■219 + 1, 180227048850079840107■220 + 1,

¥17 59251857 ■ 219 + 1, [44 цифры] ■ 219 + 1,

¥18 13■220 + 1, 9688698137266697■223,

¥19 33629■221 + 1, 308385■221 + 1, 8962167624028624126082526703■22.

А вот про число Ферма ¥20 в 1987 году было доказано, что оно составное, но ни одного его простого делителя до сих пор не известно. Вот еще несколько следующих чисел:

¥21

534689■2 +1,

23

¥22 3853959202444067657533632211■224 + 1, ¥23 5 ■ 225 + 1.

¥23

Ситуация с F24 ровно такая же, как с F20 .В 1999 году было установлено, что оно составное, но ни одного их простого делителя до сих пор не найдено. Более того, в момент работы над [8] был неизвестен и статус F22, только в 2010 году было доказано, что это число составное и найден его простой множитель, указанный выше.

Для остальных чисел Fn с n < 30 известен хотя бы один простой делитель:

F25 48413 ■ 229 + 1, 1522849979 ■ 227 + 1, 16168301139 ■ 227 + 1,

F26 143165 ■ 229 + 1,

F27 141015 ■ 230 + 1, 430816215 ■ 229 + 1,

F28 25709319373■236 + 1,

F29 1120049 ■ 231 + 1,

F30 149041 ■ 232 + 1, 127 5 89 ■ 233 + 1.

5.3. Нерукотворные простые делители чисел Ферма

При этом все остальные простые множители чисел Ферма, кроме перечисленных выше в 5.1, были найдены уже с использованием компьютеров. Обратите внимание на такого же типа, как и для чисел Мерсенна, исторический зазор, 1925-1953, между последним простым множителем, найденным вручную, и первым, найденным с помощью компьютеров.

• В 1953 году Джон Селфридж [350] объявил первые простые делители чисел F10 и F16, а именно

11131 ■ 212 + 1|F10, 1575 ■ 219 + 1|F16.

• В 1957 году Робинсон [330], экспериментируя с делителями вида k ■ 2n + 1, k < 100, нашел два новых простых делителя

95 ■ 261 + 1|F58, 5 ■ 21947 + HF1945.

• В том же 1957 году Селфридж [350] слегка оптимизировал программу Робинсона и продолжил эти эксперименты для некоторых значений k > 100. Ему удалось найти еще четыре новых простых делителя, а именно

425 ■ 279 + 1|F77, 271 ■ 284 + 1|F81, 403 ■ 2252 + 1|F250, 177 ■ 2271 + 1|F267.

Таким образом, к 1958 году было известно 38 простых множителей чисел Ферма, их полный список приведен в [332].

• В 1961 году Паксон [303] установил, что число F13 составное.

• В 1963 году Клод Рэтхолл [414] обнаружил 11 новых простых делителей чисел Ферма:

221308385 + 1|F19 , 2235 3 4 6 89 + 1|F21, 2294 84 1 3 + 1|F25 , 229 143 1 65 + 1|F26, 230141015 + 1|F27, 232 149 041 + 1|F30 , 233 127 5 89 + 1|F30, 2341479 + 1|F32,

2402 6 53 + 1|F38 , 2454 3 4 85 + 1|F42 , 2544119 + 1|F52,

Фактически вычисления производились на IBM 709 в университете Вашингтона и на IBM 7090 в Университете Калифорнии в Лос Анжелесе (UCLA). Потом все они были проверены Робинсоном на компьютере SWAC, также в UCLA.

• В 1975 году Джон Халлибертон и Джон Бриллхарт [222] открыт приведенные выше простые делители F12 и F13.

• В1978 году Шиппи [354] нашел четыре новых простых делителя чисел Ферма, а именно

297 ■ 264 + 1|F62, 7551 ■ 269 + 1|F66, 683 ■ 273 + 1|F71, 1421 ■ 293 + 1|F91.

• В 1978 году Гостин [190] нашел делитель 59251857 ■ 219 + 1 числа F17.

• В 1979 году Роберт Бэйли [51] нашел еще три новых простых делителя чисел Ферма, а именно

629 ■ 2257 + 1IF255, 247 ■ 2302 + 1|F298, 225 ■ 2547 + 1|fs44-

Даже проверка того, что достаточно большое индивидуальное число Ферма составное, часто требовала отдельной статьи. Вот уже упоминавшиеся выше два относительно небольших составных числа Ферма без известных простых множителей.

• В 1987 году Джеффри Янг и Данкан Бюэль [421] доказали, что число F20 = C315653 составное.

• В 1999 году Ричард Крэндалл, Эрнст Майер и Джейсон Пападопулос [132] доказали, что число F24 = C5050446 составное.

Очень интересно отслеживать историю по статьям в Math. Comput., в которых воспроизводились таблицы всех известных на тот момент простых делителей и/или соответствующие ссылки. Вот как, примерно, выглядел прогресс по десятилетиям в XX веке:

• 1958 год — 38 простых множителей, [330];

• 1964 год — 51 простых множителей [414];

• 1975 год — 55 простых множителей [222];

• 1983 год — 90 простых множителей [236];

• 1995 год — 161 простых множителей, из них 46 новых [191]!

В XXI веке, который начался с 1999 года, внезапное ускорение всей этой деятельности придали распределенные вычисления.

5.4. Сверхъестественные простые делители чисел Ферма

Нет, разумеется, никакой возможности описать здесь с такой же степенью подробности историю открытия остальных простых делителей чисел Ферма. Упомянем поэтому лишь наиболее спектакулярное событие, которое запустило последующее развитие. В январе 1999 года Джон Косгрейв и Ив Галло проверили, что простое 3.2382449 +1 делит

2382447

число Ферма F382447 = 22 +1. До этого самым большим числом Ферма, про которое было

2303088 303093

известно, что оно составное, было F303088 = 22 + 1 с простым множителем 3 ■ 2303093 + 1, Джеффри Янг [420].

Вот что сам Джон Косгрейв писал в газете "The Irish Time" в понедельник 16 августа 1999 года:

"... F5 to F23 are composite, but F24 (5,050,446 decimal digits), requiring a 47 by 47 feet surface to write it, allowing four digits per inch, is unresolved. A team led by Dr Richard Crandall has been attempting to establish its status as prime or composite for some time.

While F24 is large, it is insignificant compared to F382447 found by me on July 24th in St Patrick's College, Drumcondra, Dublin, to be evenly divisible by 3 x 2 to-the-power-of 382449 + 1 (115130 digits). This almost unimaginably large number — F382447 (over 10 to-the-power-of

115136 digits) — would require a board measuring more than 10 to-the-power-of 57550 by 10 to-the-power-of 57550 light years to write out at four digits per inch."

Просто вдумайтесь в приведенный здесь образ — квадратная доска со стороной 1057550 световых лет для записи десятичных цифр числа F382447, по 6 мм на цифру!

Совершенно поразительно, что этот множитель был найден на бытовом компьютере спроцессором 350 MHz Pentium II — разумеется, это был один из многих компьютеров, использованных для поиска, в том числе собственно в St. Patrick's College of Dublin City University. Кроме того, конечно, требовалась установка написанной Ивом Галло программы proth.exe под Windows 9x/NT/2000, именно с тем, чтобы ее можно было использовать на большинстве бытовых компьютеров. Как мы увидим, сам по себе тест чрезвычайно простой, подлинная сложность состояла в реализации быстрого умножения больших чисел. Это сделано при помощи эффективизации сверток в духе [131] и быстрого преобразования Фурье, оптимизированного под размер кэша бытовых процессоров.

К тому моменту с использованием программы proth.exe уже было найдено четыре больших простых делителя чисел Ферма:

• 165 ■ 249095 + 1 делит F49093, Ив Галло;

• 169 ■ 263686 + 1 делит F63679, Харви Дубнер;

• 99 ■ 283863 + 1 делит F83861, Геннадий Гусев;

• 39 ■ 2113549 + 1 делит F113547, Джон Рензи.

Как показывает само название программы, она связана с числами Прота, и сейчас мы совсем коротко напомним, что это такое.

6. ЧИСЛА ПРОТА

В связи с критерием Люка—Эйлера представляется естественным взглянуть чуть подробнее на следующий класс чисел, которые уже возникали у нас в связи с построением лестницы простых при экспериментальной проверке нечетной гипотезы Гольдбаха.

Натуральное число n называется числом Прота21, если n имеет вид n = k ■ 2m + 1 для некоторых натуральных чисел k, m, причем k нечетное и 2m > k. Простые числа такого вида называются простыми Прота.

Числа Ферма — частный случай чисел Прота при k = 1, другой частный случай, к которому мы вернемся в § 8, — это числа Каллена n = m ■ 2m + 1, возникающие при k = m. Подобно числам Ферма, числа Прота допускают простые бинарные представления.

Напомним, что критерий Прота состоит в следующем. Рассмотрим число Прота n = k ■ 2m + 1, где k < 2m нечетно. Если найдется a, для которого

(n-1)

a 2 = -1 (mod n),

то n просто. Отметим, что это детерминистический алгоритм, всегда возвращающий правильный ответ. Любое a работает здесь с вероятностью 1/2, поэтому этот тест достаточно эффективен для практической проверки простоты.

С учетом совершенно исключительной важности простых Прота в вычислительной теории чисел количество относящихся к ним содержательных текстов удивительно

21 Числа Прота названы так в честь Франсуа Прота, 1852-1879, французского фермера-самоучки, который обнаружил в 1878 году критерий их простоты.

невелико. Вот несколько первых простых Прота:

3,5,13,17,41,97,113,193,241,257,353,449,577,641,673,769,929,1153,1217,1409,1601, 2113,2689,2753,3137,3329,3457,4481,4993,6529,7297,7681,7937,9473,9601,9857,

10369,10753,11393,11777,12161,12289,13313.

Это последовательность A080076 в Энциклопедии Целочисленных Последовательностей.

Всего имеется ровно 4304683178 простых Прота, не превосходящих 272 ~ 4.7 ■ 1021, что [без сжатия] требует для своего хранения примерно 95.8Gb.

• Самым большим известным на осень 2022 года простым Прота продолжает оставаться 10223 ■ 231172165 +1, которое имеет 9,383,761 цифр. Это число было найдено 6 ноября 2016 года Питером Шаболчем в рамках проекта распределенных вычислений PrimeGrid. Кроме того, это самое большое известное на сегодня простое число, не являющееся числом Мерсенна. Все 8 больших известных сегодня простых чисел, как и следующие за ним 3, являются числами Мерсенна.

• Предыдущим рекордом было 19249 ■ 213018586 + 1, которое имеет 3,918,990 цифр. Это число было открыто 26 марта 2007 года Константином Агафоновым в рамках проекта Seventeen or Bust22.

• С тех пор было обнаружено еще десять больших простых Прота с 4-6.5 миллионами цифр — в том числе два летом 2022 года — однако все они меньше, чем 10223 ■ 231172165 +1. Во втором из них по величине 202705 ■ 221320516 + 1, открытом 1 декабря 2021 года Павлом Атнашевым, 6418121 цифр. Это 15-е по величине простое число, известное сегодня. Перед ним на позициях 13 и 14 два обобщенных числа Ферма, см. следующий параграф.

• Третье по величине простое Прота 7 ■ 220267500 + 1, в котором 6101127 цифр, нашел 21 июля 2022 Райан Проппер как делитель обобщенного числа Ферма

220267499

F20267499 (12) = 12 + 1.

Ранее Проппер обнаружил многие другие простые Прота именно как делители обобщенных чисел Ферма23.

В1914 году Поклингтон обобщил критерий Прота на случай чисел вида n = kpm + 1, где k < pm. Критерий Поклингтона утверждает, что если для какого-то a е Z выполняются условия

i) an-1 = 1 (mod n),

ii) gcd(a(n-1)/p -1, n) = 1, то n простое.

22 Это начатый в 2002 году проект распределенных вычислений, целью которого было решение 17 остающихся случаев в проблеме Серпиньского. До апреля 2016 года было решено 12 случаев. В этот момент он был прекращен по техническим причинам, а соответствующая деятельность перенесена в Prime Grid, который продолжает с тех пор оставаться главным проектом по поиску новых простых Прота.

23 См. по этому поводу страницу проекта Рэя Баллинджера и Вильфрида Келлера, Proth Search Page, http://www.prothsearch.net/. Меня там поразило идеальное соответствие даже для совсем маленьких значений экспериментальных данных результатам Анатолия Моисеевича Вершика [12] об асимптотическом распределении простых делителей и то, как это отражается в фактической цене поиска.

7. ОБОБЩЕННЫЕ ЧИСЛА ФЕРМА

Со времени Эйлера рассматриваются различные вариации на тему чисел Ферма. Наиболее известная из них — это числа вида Fn (a, b) = a2 + b2 , обобщенные числа Ферма. Первоначально я хотел включить сюда обсуждение их факторизации — и вообще факто-ризаций чисел вида an + bn и an - bn в связи с теоремой Банга—Жигмонди и т. д. Несколько забавных задач в таком духе приведено в нашем задачнике с Володей Халиным [8]. Но это оказалось огромной самостоятельной темой, которой также посвящены сотни работ. Ограничусь поэтому совсем беглым обсуждением обобщенных чисел Ферма по одному основанию Fn(a) = Fn(a, 1).

7.1. Обобщенные числа Ферма

Особенно интенсивно изучались числа вида

2п

Fn (a) = a + 1,

известные как обобщенные числа Ферма = GFN по основанию a. Обычные числа Ферма Fn = Fn (2) получаются здесь при a = 2.

Ясно, что обобщенное число Ферма может быть простым только при четном основании a. При нечетном a оно заведомо делится на 2, поэтому некоторые авторы называют при нечетном основании a обобщенными числами Ферма числа вида (a2 + 1) 2. Нам кажется более правильным сохранить и в этом случае обозначение Fn (a) за теми числами, которые были определены выше, а эти новые числа называть, как это обычно принято, half-Fermat integers.

Факторизации обобщенных чисел Ферма посвящена огромная литература, и мы не будем даже пытаться здесь ее как-то систематизировать. Дело в том, что обобщенных чисел Ферма больше, чем чисел Мерсенна того же порядка и многие большие — субрекордные! — простые возникают как их простые множители, см., например, [72,73, 79,108,149, 151, 153, 209, 210]. Ограничимся поэтому иллюстрацией того, как мы использовали GFN в классе.

Задача. Найдите первые несколько простых полу-Ферма по основанию 3 и профактори-зуйте остальные. До какого индекса Вам удалось дойти на бытовом компьютере? Ответ. Вот все известные сегодня простые такого вида:

2, 5, 41, 21523361, 926510094425921, 1716841910146256242328924544641,

отвечающие индексам 0, 1, 2, 4, 5, 6. Эти числа образуют начало последовательности A093625 в Энциклопедии Целочисленных Последовательностей24. Там отмечается, что следующий член этой последовательности, если он существует, имеет индекс n > 21 и, таким образом, содержит больше миллиона десятичных цифр. Раскладывать числа такого порядка на множители, при наличии, по крайней мере, двух больших простых делителей, у нас нет никаких шансов.

Число F3(3) = 6562 моментально факторизуется в уме, если помнить из начальной школы признак делимости на 17: 6562 ^ 646 ^ 34. Таким образом F3(3) = 2 • 17 • 193. Но следующие, конечно, только на компьютере. Ну,

F7(3) = 2•257•275201•138424618868737•3913786281514524929•153849834853910661121

24 https://oeis.org/A093625

все еще очень маленькое. А вот дальше не сразу и только потому, что крупно повезло

Р8(3) = 2■12289■8972801■891206124520373602817■ Р 90,

где, как обычно, Р90 = 70727...00097 обозначает простое число с 90 цифрами, см. [411]. Числа, у которых один из простых множителей настолько больше остальных, легко фак-торизуются, например, при помощи квадратичного решета. Но на этом везение более-менее заканчивается, у Р9(3) — 244 цифры, а у Р10(3) — 489. Факторизация этих и дальнейших чисел Рп (3) любыми обычными алгоритмами на бытовом компьютере займет дни, недели, месяцы или годы, если вообще возможна. В любом случае, гипотеза состоит в том, что все они составные.

Задача. Продолжите этот эксперимент для других небольших оснований и индексов, скажем до а = 30 или а = 50.

Ответ. Интересных обобщенных простых Ферма, возникающих в этом интервале оснований, чрезвычайно мало. Вот следующее простое полу-Ферма:

Р5(21)/2 =1023263388750334684164671319051311082339521.

А вот первое настоящее обобщенное простое Ферма индекса > 5, которое сразу резко больше, чем все предыдущие, но все еще много меньше, чем все полноразмерные примеры, и легко ищется на бытовом компьютере:

Р5(30) = 185302018885184100000000000000000000000000000001.

Впрочем, последний блок цифр — 1, потом 31 нуль, потом снова 1 — легко вычисляется в уме, в самом деле, 25 делится на ^(10) = 4, а 25 -1 = 31. Я обычно использую такого рода ментальную арифметику просто чтобы контролировать, что правильно набрал вопрос в Mathematica.

Следующие два интересных обобщенных простых полу-Ферма и Ферма, где-то между которыми проходит граница возможностей бытового компьютера, — это

Р5(35)/2 = (3532 + 1)/2 = 330616742651... 115356445313 (99 цифр), Р9(46) = 46512 + 1 = 214787904487...289480994817 (852 цифр).

Многие дальнейшие интересные обобщенные простые Ферма было бы трудно обнаружить на бытовом компьютере, но их простоту все еще легко проверить, зная их существование. Так, например, в числе Рц (150) = 1502048 +1 уже 4457 цифр — больше двух страниц текста, — причем снова, не включая компьютер, ясно, что последние из них таковы: 5, потом 2047 нулей и последняя цифра 1.

7.2. Рекорды простых чисел

Как мы уже обсуждали в [5], большинство известных сегодня самых больших простых чисел, в частности, все 7 известных чисел с более чем 107 цифр, — это числа Мерсенна вида Мр = 2р - 1, где р простое. Единственное число среди 12 самых больших простых, не являющееся числом Мерсенна, — это обсуждавшееся в предыдущем параграфе число Прота.

Наибольший индекс, для которого в настоящее время известны простые обобщенные числа Ферма, — это 20. Их основания образуют последовательность ОБ18 А321323:

1, 919444, 1059094, 1951734, 1963736.

Все нетривиальные такие числа были открыты за последние 5 лет, в каждом из них больше 6 миллионов цифр, и все они попадают в top 20 самых больших известных сегодня простых. Вот они в порядке убывания25.

• Простое F20(196 3 7 36) = 196 3 7 361048576 + 1 было открыто 24 сентября 2022 года. В нем 6598776 цифр:

F20 (1963736) = 80651637087363405... еще 6598741 цифр... 080313425433460737.

• Простое F20(1951734) = 195 1 7341048576 + 1 было открыто 09 августа 2022 года. В нем 6,595,985 цифр .

• Простое F20(1059094) = 105 9 0 941048576 + 1 было открыто 31 октября 2018 года. В нем 6,317,602 цифр.

• Простое F20 (919444) = 9 194 441048576 + 1 было открыто 29 августа 2017 года. В нем 6,253,210 цифр.

Номинально у каждого из этих чисел есть, конечно, свой индивидуальный первооткрыватель. Однако в действительности все эти числа являются продуктом огромного распределенного проекта PrimeGrid, в рамках которого тысячи волонтеров предоставляют свои компьютеры для установки специализированных программ.

Этот проект администрируется десятком энтузиастов и, в свою очередь, использует систему распределенных вычислений BOINC, специализированный пакет PRPNet, где довольно много еще чего спрятано внутри (в частности, программы быстрого умножения больших чисел и т. д.), и, кроме того, специализированные теоретико-числовые программы. Например, программы Дэвида Андербакке AthGFNSieve и Ананда Наира GFNSvCUDA, реализующие решето.

Важным аспектом поиска является то, что первооткрыватель заявляет число как probable prime, для этого используется программа Ива Галло GeneferOCL5. Обычно соответствующее вычисление для индивидуального числа занимает на бытовом компьютере несколько часов.

Уже после этого команда тестировщиков при помощи созданных Жаном Пенне и Павлом Атнашевым программ LLR и LLR2 убеждается в том, что это provable prime, это вычисление занимает уже несколько суток на рабочих станциях..

Обобщенных простых Ферма с меньшими индексами известно уже довольно много.

• Например, сегодня известно 14 оснований простых Fig (a) индекса 19, это последовательность OEIS A243959:

1, 75898, 341112, 356926, 475856, 1880370, 2061748, 2312092, 2733014,

2788032, 2877652, 2985036, 3214654, 3638450,

в то время как всего 10 лет назад было известно лишь 5 членов этой последовательности. Замечу, что в старшем члене этой последовательности F19 (3638450) уже 3439810 цифр, так что всего каких-нибудь 20 с небольшим лет назад оно было бы рекордным.

• А вот 30 оснований простых F18 (a) индекса 18, это последовательность OEIS A244150:

1, 24518, 40734, 145310, 361658, 525094, 676754, 773620, 1415198, 1488256, 1615588, 1828858,2042774, 2514168, 2611294, 2676404, 3060772, 3547726, 3596074, 3673932, 3853792, 3933508, 4246258, 4489246, 5152128, 5205422, 5828034, 6287774, 6291332, 8521794,

25 https://www.primegrid.com/download/

но это все относительно маленькие простые, в каждом из которых меньше миллиона цифр.

• Кроме того, сегодня известно по 31 основанию простых Fn(a) индексов n = 17 и n = 16, это последовательности OEIS A253854 и A251597; 36 таких оснований индекса n = 15, это последовательность OEIS A226530 и 46 таких оснований индекса n = 14, это последовательность OEIS A226529.

В нстоящее время продолжается интенсивный поиск обощенных простых Ферма с этими индексами и начат активный поиск простых Fn(a) с индексами n = 21 и n = 22.

Как мы уже упоминали, сегодня 12 среди top 20 рекордных простых — это числа Мер-сенна, 4 числа Прота и 4 — обобщенные простые Ферма индекса 20. Однако среди top 100 картина меняется — там всего 13 чисел Мерсенна — и еще одно простое, являющееся нормой числа Мерсенна в кольце Z[i] целых гауссовых чисел. В то же время, там уже 19 обобщенных простых Ферма и 6 старших простых делителей обобщенных чисел Ферма.

Обобщенных чисел Ферма гораздо больше, чем чисел Мерсенна того же порядка, а систематический распределенный поиск обобщенных простых Ферма начался относительно недавно. Судя по динамике последних 5 лет, я не удивлюсь, если вскоре мы увидим обобщенные простые Ферма в первой десятке самых больших простых, а, возможно, даже и в самом начале списка.

8. ВАРИАЦИИ НА ТЕМУ ЧИСЕЛ ПРОТА

Не то, чтобы мы сами серьезно интересовались такого типа вещами, но различные вариации на тему чисел Прота служили нам с Володей Халиным [8] неисчерпаемым источником задач разной сложности для домашних заданий и финальных тестов.

8.1. Числа Каллена и Вудалла

Вот специальный класс чисел Прота и аналогичные числа с заменой +1 на -1:

• Число Cn = n ■ 2n + 1 называется числом Каллена.

• Число Wn = n ■ 2n - 1 называется числом Вудалла.

Задача. Вычислите первые 140 чисел Каллена Cn = n ■ 2n + 1 и убедитесь, что все они, кроме C1 = 3, составные. Достаточно ли этого, чтобы сформулировать гипотезу, что все числа Cn, n > 1, составные?

Ответ. Нет, как обнаружил Робинсон [332] число C141 простое. Кроме того, известны следующие простые Каллена [235, 237]:

С^Ш C5795, C661b C18496, C32292, C32469, C59656, C90825, C262419,

C361275, C481899, C1354828, C6328548, C6679881,

их индексы образуют последовательность OEIS A005849. В самом большом из них, открытом в июле 2009 года Магнусом Бергманом, 2010852 миллиона цифр. Что-то делать с числами такого размера на бытовом компьютере без специализированных программ типа тех, которые устанавливает PrimeGrid, — весьма сомнительное удовольствие.

Таким образом, среди чисел Каллена простых мало, и их индексы довольно быстро растут. В то же время, в отличие от простых Каллена, среди простых Вудалла с небольшими индексами довольно много простых.

Задача. Найдите первые 15 простых чисел Вудалла Нп = п • 2п - 1. Ответ. Вот они: Н2 = 7, Н3 = 23, Н6 = 383, Н30 = 32212254719, Н75 =2833419889721787128217599, Н81=195845982777569926302400511, ^115 = 4776913109852041418248056622882488319, М23 = 1307960347852357218937346147315859062783, и, кроме того, 1Н249, ^362, Н384, ^462, Н512, Н751, Н822. Но вот следующие простые Вудалла уже непомерно велики:

Н5312> Н7755> Н953Ъ Н12379> Н15822> Н18885> Н2297Ъ Н23005> Н98726> Н143018> Н151023>

Н66707Ъ Н1195203> Н1268979> Н1467763> Н2013992> Н2367906> Н3752948> Н17016602>

их индексы образуют последовательность ОБ18 А002234. В самом большом из них 5122515 цифр, и это в настоящий момент 30-е самое большое известное простое число.

8.2. Числа Серпиньского

В 1960 году Вацлав Серпиньский [358] доказал, что существует бесконечно много таких нечетных натуральных к, что все числа к • 2п + 1 составные. Такие к называются числами Серпиньского, они образуют последовательность ОБ1Б А076336, вот ее начало26:

78557, 271129, 271577, 322523, 327739, 482719, 575041, 603713, 903983, 934909, 965431, 1259779, 1290677, 1518781, 1624097, 1639459, 1777613, 2131043, 2131099, 2191531, 2510177, 2541601, 2576089, 2931767, 2931991,3083723, 3098059, 3555593, 3608251,...

Задача. Докажите утверждение Серпиньского.

Решение. Так как исходное рассуждение Серпиньского [358] самым непосредственным образом связано с числами Ферма, воспроизведем для начала именно его.

п = 1 (mod 2),

п = 2 (mod4),

п = 4 (mod 8),

п = 8 (mod 16),

к = 1 (mod 3)

к = 1 (mod 5)

к = 1 (mod 17)

к = 1 (mod 257)

п = 16 (mod 32), к = 1 (mod 65537) п = 32 (mod 64), к = 1 (mod 641) п = 0 (mod 64), к =-1 (mod 6700417)

к • 2п + 1 = 0 (mod 3), к • 2п + 1 = 0 (mod 5), к • 2п + 1 = 0 (mod 17), к • 2п + 1 = 0 (mod 257), к• 2п + 1 = 0 (mod 65537), к• 2п + 1 = 0 (mod 641), к • 2п + 1 = 0 (mod 6700417).

Обратите внимание, что первые пять из этих модулей — это простые Ферма ¥0, ¥\, ¥2, ¥3, ¥4, а последние два — это найденные Эйлером простые делители ¥5. Так как сравнения

26 Как заметил Максим Всемирнов, строго говоря, последовательность ОБК А076336 — это последовательность первых известных чисел Серпиньского. То, что в этой начальной последовательности нет пробелов, пока не известно.

в первой колонке задают разбиение N, то для каждого к, удовлетворяющего сравнениям во второй колонке, число к • 2n + 1 делится хотя бы на одно из простых 3, 5, 17, 257, 65537, 641, 6700417. Чтобы гарантировать нечетность к, добавим еще сравнение к = 1 (mod 2). Теперь китайская теорема об остатках гарантирует, что любое к, удовлетворяющее сравнению

к = 15511380746462593381 (mod 2•3•5•17•257•65537•641•6700417),

является числом Серпиньского. Таким образом, количество чисел Серпиньского не просто бесконечно, а имеет положительную плотность в множестве натуральных чисел.

Решение другим манером. Вот еще одно решение, основанное на той же идее, предложенное в 1962 году Джоном Селфриджем (неопубликовано, см. [170]). Обратите внимание, что это решение основано на использовании гораздо меньших простых:

n = 0 (mod 2), n = 1 (mod 4), n = 3 (mod 9), n = 15 (mod 18), n = 27 (mod 36), n = 1 (mod 3), n = 11 (mod 12),

к= 2 (mod 3) к= 2 (mod 5) к = 9 (mod 73) к = 11 (mod 19) к = 6 (mod 37) к = 3 (mod 7) к = 11 (mod 13)

==>

к • 2n + 1 = 0 (mod 3), к• 2n + 1 = 0 (mod 5), к• 2n + 1 = 0 (mod 73), к • 2n + 1 = 0 (mod 19), к• 2n + 1 = 0 (mod 37), к• 2n + 1 = 0 (mod 7), к • 2n + 1 = 0 (mod 13).

Нимжше^ечегаое решение получающейся системы сравнений равно 78557, и Сел-фридж считал, что это и есть наименьшее число Серпиньского. Однако в 2002 году все еще оставалось 17 меньших чисел, Seventeen or Bust27, про которые на тот момент не было известно, являются они числами Серпиньского или нет, что в значительной степени и стимулировало интерес к поиску простых Прота.

Ясно, что поиск дальнейших таких покрытий N сравнениями является замечательным упражнением на модулярную арифметику.

8.3. Числа Ризеля и варианты

Если заменить в определении чисел Серпиньского +1 на -1, получается определение чисел Ризеля. Иными словами, к называется числом Ризеля, если все числа к • 2п - 1 составные. Числа Ризеля образуют последовательность OEIS A101036, вот ее несколько первых членов:

509203, 762701, 777149, 790841, 992077, 1106681, 1247173, 1254341, 1330207, 1330319, 1715053, 1730653, 1730681, 1744117, 1830187, 1976473, 2136283, 2251349,2313487, 2344211, 2554843, 2924861, 3079469, 3177553, 3292241, 3419789, 3423373, 3580901,...

27 Сайт www.seventeenorbust.com, на который мы исходно ссылались, заморожен и отсылает к primegrid.com. Однако архивная версия исходной страницы доступна по ссылке https://web.archive.org/web/ 20160405211049/http://seventeenorbust.com/

В 1998 году Эрик Брир доказал, что существует бесконечно много чисел, которые одновременно являются числами Серпиньского и числами Ризеля. Такие числа называются числами Брира. Они образуют последовательность OEIS A076335, вот несколько первых из них:

3316923598096294713661, 10439679896374780276373, 11615103277955704975673, 12607110588854501953787, 17855036657007596110949, 21444598169181578466233, 28960674973436106391349, 32099522445515872473461, 32904995562220857573541

Нечетное число k называется двойственным числом Ризеля, если для всех натуральных n число |2n -k| составное. Гипотеза состоит в том, что множества чисел Ризеля и двойственных чисел Ризеля совпадают. Например, |2n - 5092031 составное для всех натуральных n, причем 509203 наименьшее с таким свойством.

9. ЦИКЛОТОМИЯ: ТЕОРИЯ

С числами Ферма связана и первая математическая работа Гаусса. А именно, 30 марта 1796 года Гаусс придумал построение правильного 17-угольника. Именно после этой работы он окончательно решил заниматься математикой, а не лингвистикой.

9.1. Построения циркулем и линейкой

Решение квадратичных уравнений при помощи циркуля и линейки было известно — или, по Шпенглеру, должно было быть известно — древним грекам, так как оно целиком находится в русле идей греческой «геометрической алгебры», см. следующий пункт.

Однако в англоязычной литературе этот метод решения квадратичных уравнений принято называть окружностями Карлайла = Carlyle circles, по имени шотландского историка Томаса Карлайла, 1795-1881. О чем, однако, древние греки могли лишь догадываться, так это о том, что при помощи циркуля и линейки можно решать только квадратичные уравнения. Для решения кубических уравнений нужен еще один инструмент, например, трисектор или лекало, которое позволяет строить параболы.

Допустим, что мы хотим решить квадратичное уравнение28 x2 - ax + b = 0. Ограничимся для простоты случаем, когда a, b е R, хотя аналогичный метод применим и к случаю комплексных коэффициентов. Для этого изобразим на плоскости R2 точки (0,1) и (a, b). Окружность C с диаметром (0,1) — (a, b) называется окружностью Карлайла этого квадратичного уравнения. Иными словами, центр C равен [a/2, b/2 + 1/2, а квадрат радиуса — (a/2)2 + (b/2 - 1 /2)2.

Допустим вначале, что окружность Карлайла пересекает ось x в двух точках xi и x2, причем x1 > x2. Ясно, что (a/2,0) является серединой отрезка (x1,0), (x2,0), так что x1 + x2 = a .С другой стороны, теорема о пересекающихся хордах (при b < 0) или секущих (при b > 0) показывает, что x1 x2 = b. Таким образом, если окружность Карлайла пересекает ось x, то она пересекает ее в корнях уравнения x2 - ax + b = 0.

Что, если это уравнение не имеет вещественных корней, то есть b 2 + 1 2 больше, чем радиус окружности Карлайла? Это происходит, если дискриминант отрицателен,

28 Я в курсе того, что школьный жаргон предписывает переводить quadratic equation как квадратное уравнение — или, в обратном переводе, square equation. Более того, квадратные уравнения действительно являются квадратичными [2].

Д = а2 - 4Ь < 0. В этом случае любая окружность с центром на оси х, ортогональная к окружности Карлайла, пересекает вертикальную прямую х = а/2, проходящую через центр окружности Карлайла, в точках (а/2, у'-Д/2), (а/2, -\/-Д/2).

Полный ответ на вопрос о том, какие геометрические построения осуществимы при помощи циркуля и линейки, дает теория Галуа. Рассмотрим точки 0 и 1 на вещественной прямой. Все точки комплексной плоскости, которые можно построить, отправляясь от 0 и 1 при помощи циркуля и линейки, образуют поле, которое называется полем достижимых чисел и обозначается К.

Чисто алгебраически поле К определяется как наименьшее квадратично замкнутое подполе в С. Иными словами, К содержит 1 и замкнуто относительно извлечения квадратных корней, для любого х е К существует у е К такое, что у2 = х.

Доказанная в 1837 году теорема Ванцеля [393] утверждает, что элементы поля К и только они могут быть построены при помощи циркуля и линейки. Доказательство этой теоремы обсуждается, например, в учебниках Чеботарева [33] и Постникова [24]. Ниже мы обсудим классический частный случай этого результата, относящийся к циклотомии, то есть делению круга на равные части.

Заметим, что попутно в той же работе Ванцель дал отрицательные ответы еще на две классические проблемы открытые до этого более 2000 лет, проблему удвоения куба и проблему трисекции угла.

Невозможность осуществить удвоение куба посредством циркуля и линейки означает в точности, что ^2 не является достижимым числом. Невозможность трисекции угла доказывается, например, тем, что, раз мы не можем построить правильный девятиуголь-ник, то мы не можем поделить на 3 даже углы я/3 и 2я/3. В самом деле, довольно сомнительно, чтобы больший корень 8х3 - 6х + 1 = 0, равный

был достижимым числом, см. по этому поводу § 11. Вот что-то в так^ духе и написано в статье Ванцеля [393].

9.2. Есть ли у квадратичных уравнений греческие корни

В своей замечательной книге «История эмбриологии» [23] сэр Джозеф Нидэм замечает: «В древнем Египте были инкубаторы, но не было эмбриологии, а в древней Греции была эмбриология, но не было инкубаторов». Даже не вдаваясь в подробности, в связи с предыдущим пунктом невозможно не упомянуть совершенно феерическую дискуссию, посвященную тому, умели ли греки решать квадратичные уравнения, тем более, что истоки этой дискуссии связаны с дискуссией о Ферма.

В конце XIX века Иероним Цейтен [34] и Поль Таннери [376] предложили концепцию, согласно которой греки владели, в частности, алгебраическими идеями, но выражали их на геометрическом языке, — то, что стало называться "греческой геометрической алгеброй". Схожей позиции придерживались издатели и переводчики греческих математических текстов Йохан Гейберг [16] и сэр Томас Хис [211]. Сам термин "геометрическая алгебра" популяризировал, в частности, Отто Нойгебауэр [296], который утверждал, что именно в такой форме греки восприняли вавилонскую алгебру. На русском эта точка зрения изложена в чрезвычайно влиятельных книгах Бартеля ван дер Вардена [10] и самого Нойгебауэра [22].

В 1975 году Сабетай Унгуру [379] опубликовал совершенно невероятную по развязности статью против концепции геометрической алгебры в целом, содержавшую, в частности, грубые личные выпады против ван дер Вардена и Нойгебауэра. В дальнейшем Унгуру с учениками и соавторами опубликовал три больших текста на тему "does the quadratic equation have Greek roots?" [176,382,383], в которых доказывал, что греки не умели решать квадратичных уравнений!

Основной посыл исходной статьи состоял в том, что, достигнув того возраста, когда они не могут более непосредственно заниматься своей наукой29, математики начинают писать об истории математики. Но пишут неправильно, потому что, для того чтобы их читать, нужно знать математику: "It is in truth deplorable and sad when a student of ancient or medieval culture and ideas must familiarize himself first with the notions and operations of modern mathematics in order to grasp the meaning and intent of modern commentators dealing with ancient and medieval mathematical texts", [379].

Вейль пересказывает эту позицию следуюшим образом: "According to some, little more is required than what was known to the authors one plans to write about; some go so far as to say that the less one knows, the better one is prepared to read those authors with an open mind30." Дальше всех в этом отношении пошел ученик Унгуру Майкл Фрид, который предложил аксиому Tabula rasa: "It is both possible and proper for historian of mathematics not to know any mathematics at all," [174,175].

На эту статью последовательно ответили по существу и, воздерживаясь от личных оскорблений, сам ван дер Варден [389] в 1976 году и Ханс Фрейденталь [173] в 1977 году. В следующем 1978 году Андре Вейль дважды вернулся к этой полемике, вначале в [396] и потом снова в своем докладе [397] на ICM-1978. Написаны эти тексты в обычной для Вейля язвительной манере, что дало Унгуру повод опубликовать в 1979 году еще более хамский ответ [381]31.

Если не знать более широкого контекста того времени, эти документы, начиная просто с самого факта публикации [379] в серьезном историческом журнале, представляются совершенно поразительными по вирулентности. Часть этого контекста эксплицируется в статье Мартины Шнайдер [342].

Этому предшествовало копившееся раздражение представителей humanities против того, что они воспринимали как попытки математиков покуситься на святое, их полную бесконтрольность. В частности, Шнайдер подробно обсуждает роль Вейля в "афере Белла", когда предложенный экономистами и социологами в качестве постоянного/члена Принстонского IAS Роберт Белла был провален на голосовании в соотношении 13/8, при 5 воздержавшихся. Известно, что среди голосовавших против были Арман Борель, Андре Вейль, Гедель, Дайсон, Милнор, Монтгомери, Сельберг, причем Борель и Вейль оркестровали широкую публичную кампанию против избрания Белла. О том, насколько остро это воспринималось гуманитариями, можно судить хотя бы по статье Фанга [160], где "афера Белла" прямо сравнивается с "аферой Дрейфуса".

Второй острый конфликт, уже в Университете Принстона, возник в связи с тенюром историка математики Майкла Махони, ученика Томаса Куна (того самого Куна, "структура научных революций"). Для ускорения процесса Махони в очевидной спешке опубликовал научную биографию Ферма [282], в которой Андре Вейль [395] тут же обнаружил

29 Унгуру пишет буквально "professional impotence".

30 "If you open your mind too much, your brain will fall out".

31 Греческие переводы всех этих пяти статей вместе с занимательными комментариями собраны в книге Иоанниса Кристианидиса и Димитриса Диалитиса [119].

огромное количество фактических и математических ошибок. Рецензия Вейля выдержана в следующих тонах: Махони недостает "some knowledge of French", "some knowledge of Latin", "knowledge and sensitivity to mathematics", "some historical sense", "some knowledge of the work of Fermat's contemporaries and of his successors", "ordinary accuracy", "the ability to express simple ideas in plain English", и т. д. — "the ink is ugly and the paper is from the wrong kind of tree".

Как замечает Стивен Ландсбург32: "Without a doubt, it was the most devastating book review in the history of literature". Очень интересный личный пересказ этой истории можно найти в книге Нила Коблица [244], жена которого Анн как раз в то время училась у Ма-хони.

Унгуру вспоминает, что Кун поручил ему написать одну из контр-рецензий на книгу Махони. Хотя фактически [380] вышла позже [379], работа над ней была начата раньше, и [379] открывается эпиграфом Майкла Махони — именно из его биографии Ферма!! Так что нет сомнения, что инвективы Унгуру против "сенильных математиков" были адресованы Вейлю в еще большей степени, чем ван дер Вардену, на что Вейль и отреагировал в свойственной ему манере. Провокация удалась!

Разумеется, разборки в Лиге плюща на тему, кому быть живым и хвалимым, на этом не прекратились. Достаточно вспомнить дела «Ленг против Липсета» или «Ленг против Хантингтона». Еще одна острая дискуссия того времени, отголоски которой можно найти в [242, 243, 360], посвящена использованию математики в политологии (взгляд на эту историю от первого лица можно найти в той же книге Коблица [244]). Все следы этой дискуссии подтерты в базах данных MathSciNet и ZBMath, вплоть до ссылок на [243, 360], в интересное время живем.

9.3. Теорема Гаусса—Вaнцеля

Циклотомией = делением (буквально "разрезанием") круга, называется деление окружности на n равных частей.

Теорема Гаусса—Ванцеля утверждает, что, для того чтобы окружность можно было разделить на n частей при помощи циркуля и линейки, необходимо и достаточно, чтобы nимело вид

n = 2mp1... ps, где pi — попарно различные простые числа Ферма.

По модулю сформулированной выше теоремы Ванцеля это очевидно. В самом деле, так как порядок (Z/nZ)* равен 0(n), то (Z/nZ)* в том и только том случае является 2-группой, когда n = 2mp 1... ps, где pi — попарно различные числа Ферма.

Но ведь разделить окружность на n частей означает в точности построить первообразный корень Z = e2ni/n из 1 степени n. Круговое расширение Q(Z) является расширением Галуа поля Q с группой Галуа G(Q(Z)/Q) = (Z/nZ)*. С другой стороны, для того чтобы число a е C можно было построить циркулем и линейкой, оно должно принадлежать расширению K/Q такому, что группа Галуа Gal(K/Q) является 2-группой.

Достаточность условия была доказана Гауссом в 1796 году, но вот его необходимость — только Вaнцелем в 1837 году. Разумеется, Гаусс не мог пользоваться теорией Галуа в своем доказательстве, потому что в то время, когда он установил свою часть теоремы, Галуа еще не родился! Да чего там Галуа, в 1799-1801 годах Гаусс не знал еще

32 http://www.landsburg.com/weil.htm

результатов Руффини и Абеля. Но ровно поэтому га, разумеется, и не мог доказать эту теорему в трудную сторону, это сделал Ванцель 40 лет спустя.

Интересно, что имя Пьера Лорана Ванцеля, 1814-1848, совершенно не известно широкой публике, хотя именно он решил классические проблемы трисекции угла и удвоения куба — в той же работе, в которой доказал теорему Гаусса—Ванцеля. Для начала, он не немецкий математик, а французский, и провел всю свою не слишком долгую жизнь в Париже, в École Polytechnique, вначале как élève-ingénieur des Ponts-et-Chaussées (я уж не знаю, как это перевести на русский, мостостроитель или дорожный инженер), потом как ingenieur и repetiteur. Напомню, что примерно в то же время репетиторами в École Polytechnique служили люди типа Бертрана, Бонне, Каталана, Ле Веррье, Делоне ...

9.4. Верить нельзя никому не только в наше время

Конечно, Гаусс в "Disquisitiones Arithmeticae" говорил, что он доказал необходимость — ну так и вы тоже говорите! Гаусс вообще много чего говорил, например, что в 1799 году доказал "основную теорему высшей алгебры". Доказал, да, но в 1815 году, воспроизведя доказательство Эйлера—Лагранжа. А свое первое доказательство он и в 1849 году не смог исправить, потому что это гораздо труднее, чем исправить доказательство д'Аламбера.

В любом случае, ни в "Disquisitiones", ни, насколько мне известно, в каких-либо других текстах Гаусса нет никаких намеков на доказательство или хотя бы на его идею. А ведь Гаусс как раз отличался непревзойденными основательностью и прилежанием, Sitzfleisch.

Для меня было полным шоком прочитать, в каких выражениях пересказывает это в своей книге Феликс Клейн: "Hierzu hat Gauss noch andere Falle hinzugefügt, indem er die Müoglichkeit der Teilung in p Teile, wo p eine Primzahl von der Form p = 22 + 1 ist, und die Unmoüglichkeit fuür alle andern Zahlen bewiss", [238], ср. также с французским и английским переводами [239,240]. Тринадцатый удар часов ставит под сомнение все предыдущие, так что после этого я не знаю, как относиться ко всем остальным историческим изысканиям Клейна.

Следующая цитата показывает, насколько Диксон точнее и надежнее как исторический источник: "C. F. Gauss proved that a regular polygon of m sides can be constructed by ruler and compasses if m is a product of a power of 2 and distinct odd primes each of the form Fn) and stated that the construction is impossible if m is not such a product".

Вот что, например, Гаусс говорит там же по поводу решения уравнений степени 5: "...quin hocce problema non tam analyseos hodiernae vires superet, quam potius aliquid impossibile proponat." Следуя логике Клейна, нужно провозгласить, что эта фраза содержит формулировку (и доказательство!) теоремы Руффини—Абеля и всей теории Галуа. Невозможность решения общего уравнения пятой степени была в то время очевидна всем, включая Гаусса, что он здесь и говорит.

Большинство же последующих авторов просто слепо копировали высказывание Клейна, что теорему Гаусса—Ванцеля доказал Гаусс в "Disquisitiones Arithmeticae". Раймонд Арчибальд [41, 42] пытался исправить утверждение Клейна, но он ошибочно приписывает первое доказательство необходимости Джеймсу Пирпойнту. Первым недвусмысленным изложением фактического положения дел была, насколько мне известно, небольшая заметка Николаса Казаринова [233].

10. ЦИКЛОТОМИЯ: ПРАКТИКА

Здесь будут описаны классические конструкции правильных 3-угольника и 5-уголь-ника, конструкция Гаусса правильного 17-угольника и то, что мне удалось узнать про конструкции правильных 257-угольника и 65537-угольника.

10.1. Построение правильного 3-угольника и правильного 5-угольника

• Корни 3-й степени из 1. Пусть ш — первообразный корень 3-й степени из 1. Тогда ш является корнем квадратичного уравнения x2 + x + 1 = 0. Корнями этого уравнения являются

1 n/3 1 N/3

ш =---+ i-, ш =---i-.

2 2 2 2

Построить эти корни циркулем и линейкой совсем просто, ш и ш = ш2 будут точками пересечения окружностей радиуса 1 с центрами в 0 и в -1.

• Корни 5-й степени из 1. Корни 5-й степени из 1 являются корнями уравнения x5 -1 = 0. Так как один из корней этого уравнения равен 1, то мы можем разделить x5 - 1 на x - 1 так что первообразные корни степени 5 будут корнями уравнения x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0. Поскольку x = 0 не является корнем, это уравнение равносильно уравнению x2 + x + 1 + x-1 + x-2 = 0. Положив теперь y = x + x-1, мы получаем относительно y следу-

2 -1 - V5

ющее уравнение: y + y -1 = 0. Это уравнение имеет два различных корня yi =-2-и

-1 + V5 _1 _1

y2 =-2-. Решая теперь уравнения x + x 1 = y1 и x + x 1 = y2, получим 4 первообразных корня33 из 1 степени 5:

-1 + V5 + iV 10 + 2 v5 -1 - V5 + iV 10 - 2 V5

£1 = -^-' £2 = ---,

4 4

-1 - V5 - i \/ю - 2 v5 -1 + V5 - i V10+2V5

е3 = ---> e4 = ---•

44

Сравнивая эти формулы с формулой еk = cos {ink/n) + i sin {ink/n), видим, что

f 1 л V5-1 cos (2п/5J = —4—•

Метод деления окружности на 5 частей был известен в Древней Греции и описан, например, в «Альмагесте» Птолемея. Самый простой вариант этого метода состоит в следующем. Построим окружность с центром в точке -1/2, проходящую через точки ±i. Эта окружность пересекает вещественную ось в точке -1/2 + %/5/2. Построим теперь окружность радиуса 1 с центром в точке -1/2 + v5/2. Эта окружность пересечет единичную окружность с началом в центре координат в точках е1, е4. Теперь, зная сторону вписанного пятиугольника, совсем просто построить е2, е3.

33 Отмечу, что на с. 46 учебника Дмитрия Константиновича Фаддеева [30] имеется опечатка в знаке вещественной части корней 62 и 63. Сам я, в отличие от Д. К., разумеется, не умею решать квадратичных уравнений в уме и обнаружил эту опечатку с помощью Ма^ета^са. При этом Д. К. был одним из самых понимающих, квалифицированных, тщательных и добросовестных людей, которых я вообще видел в своей жизни, с невероятно развитой, для математика, способностью к ментальным вычислениям. Я был свидетелем того, как он умножал на доске в реальном времени две матрицы 8 х 8, одновременно записывая ответ двумя руками. Это является еще одним доказательством правоты самураев в том, что осознавать и проверять всеми доступными нам средствами нужно все и всегда — даже жареного цыпленка необходимо привязывать.

10.2. Построение правильного 17-угольника

Первообразные корни степени 17 будут корнями уравнения

х16 + х15 + ... + х + 1 = 0.

Мультипликативная группа = (Ж/17Ж)* поля циклическая. Возьмем какой-нибудь примитивный корень т по модулю 17, то есть такой элемент, класс которого порождает эту группу. Это значит, что числа 1, т, т2,..., т15 принимают 16 различных значений по модулю 17.

Так как ^*7 циклическая групп порядка 16, имеется 8 таких примитивных корней, а именно, 3,5,6,7,20,11,12,14. Возьмем любой из них, например, т = 3. Выразим теперь все первообразные корни степени 17 из 1 через один из них, скажем, через

( = cos(ф) + г эт(ф), ф = 2п/17,

по степеням 3. Таким образом, мы располагаем все 16 первообразных корней в следующем порядке:

£ ^3 ^9 ^10 £13 ^5 ^15 £11 £16 £14 £8 £7 £4 £12 £2 £6

Рассмотрим теперь следующие две суммы этих корней:

Х1 = с + с9 + с13 + с15 + с16 + с8 + с4 + с2,

Х2 = (3 + (10 + (5 + с11 + с14 + (7 + с12 + (6.

Ясно, что х1 + х2 = -1. Сейчас мы убедимся, что х1 х2 = -4. Для этого, сгруппируем корни парами сопряженных,

£ + £1б, £9 + £8, £13 + £4, £15 + £2 и, соответственно, (3 + (14, (10 + (7, (5 + (12, С11 + (6.

Таким образом,

х1 = 2(cos(ф) + cos(8ф) + cos(4ф) + cos(2ф)),

х2 = 2(cos(3ф) + cos(7ф) + cos(5ф) + cos(6ф)). Вспоминая формулу произведения косинусов

2cos(mф) cos(nф) = cos((m + п )ф) + cos((m - п)ф),

мы видим, что

х1 х2 = 8(cos(ф) +... + cos(8ф)) = 4(х1 + х2) = -4.

Таким образом, мы знаем х1 + х2 = -1 и х1 х2 = -4 и можем теперь найти х1, х2 из квадратичного уравнения х2 + х - 4 = 0. Так как

cos(ф) + cos(2ф) > 2cos(я/4) = л/2 > -cos(8ф),

а cos(4ф) > 0, то х1 > 0. Поэтому х2 = -4/х1 < 0.

Теперь, зная х1 и х2, мы можем сделать следующий шаг. Положим

у1 = ( + (13 + (16 + (4 = 2(^(ф) + cos(4ф), у2 = (9 + (15 + (8 + (2 = 2(cos(8ф) + cos(2ф),

У3 = (3 + (5 + (14 + (12 = 2(^(3ф) + cos(5ф), у4 = С10 + С11 + С7 + С6 = 2(^(7ф) + cos(6ф).

Ясно, что у1 + у2 = х1, а так как cos(0) > cos(20), cos(40) > cos(40), то y1 > у2Жрше того,

y1 у2 = 8(cos(0) + ... + cos(80)) = -1.

Таким образом, у1 и у2 удовлетворяют уравнению у2 - x1 у - 1 = 0. Аналогично y3 и y4 удовлетворяют уравнению у2 - x2 у -1 = 0, причем у3 > у4. Положим, наконец,

z1 = Z + Z16 = 2cos(0), z2 = Z13 + Z4 = 2cos(40).

Тогда Z1 > Z2, Z1 + Z2 = у1 и

z1 z2 = 4cos(0) cos(40) = 2(cos(50) + cos(30)) = у3.

Поэтому z1 — больший корень уравнения z2 - у1 z + у3 = 0.

Таким образом, построение 2 cos(0), а значит, и построение Z, можно осуществить при помощи циркуля и линейки. Однако, насколько мне известно, сам Гаусс не дал такой конструкции, первая явная конструкция была описана в работе Егора Андреевича фон Пау-кера 1817 года, см. ссылку в [302]. Фактическое описание этой конструкции можно найти в книгах Чеботарева [33], либо Прасолова и Соловьева [26].

Однако, как и большинство русских работ того времени34, работа Паукера была неизвестна в Германии, где считали, что первая фактическая конструкция правильного 17-угольника была проведена фон Штаудтом [364] в 1842 году, то есть ровно четверть века спустя! Во всяком случае, Шретер [344] называет свою статью недвусмысленно: «К конструкции фон Штаудта правильного семнадцатиугольника». При этом сам Шре-тер слегка модифицирует набор инструментов, а именно рассматривает конструкцию при помощи линейки и фиксированной окружности.

Для ценителей конкретности приведем явную формулу. Не очень сложное непосредственное вычисление показывает, что

cos (—] = — - 1 + 34 - 2 уТ7 + 2^17 + 3 vT7 - //170 + 38 vT7

детали приведены в цитированной книге Клейна и воспроизведены, например, в книге Гиндикина [17, с. 148-153]. Пользуясь случаем, воспроизведу комментарий Семена Григорьевича по этому поводу: «В одном отношении формула для cos (2я/17) не оставляет сомнения. Прийти к ней в рамках традиционных геометрических идей времени Эвкли-да невозможно».

10.3. Построение правильных и-угольников при n = 257 и n = 65537

Пользуясь методом Гаусса, несложно построить и первообразный корень степени 257 из 1. Насколько мне известно, фактически это впервые сделал русский астроном и математик Егор Андреевич (alias Магнус-Георг) фон Паукер, 1787-1855, Курляндия (в настоящее время Латвия). Фон Паукер работал в обсерватории Дерпта, а потом большую часть жизни был преподавателем математики в гимназии в Митаве (сегодня Елгава, Латвия). В 1822 году он был избран членом-корреспондентом Петербургской Академии Наук, в том же 1822 году вышла его работа [302] с вычислением cos (2я/257).

34 Даже написанных по-немецки! Не говоря про те, которые были написаны по-русски или по-французски!

Занимающая всего ишь 194 страницы текста явная геометрическая конструкция правильного 257-угольника была опубликована Фридрихом Юлиусом Ришло35,36 в 1832 году в Grelle [319].

В 1834 году А. Фишер37 опубликовал там же явное выражение корней уравнения x257 - 1 = О через цепочку квадратичных уравнений [172]. Это всего 19 страниц вычислений в таком же духе как те, что проделаны выше для случаев n = 3,5,17, практически без текста, но полностью понятные, итогом которых является вычисление [вещественных частей] всех корней степени 257 из 1 с точностью до 10 десятичных знаков после запятой. Это вручную, без компьютера — широко жили люди XIX века.

Построение первообразного корня степени 65537 из 1, вероятно, займет у читателя несколько больше времени. Однако, как замечено [143], для этого достаточно построить не более 1332 окружностей Карлайла. Это было фактически осуществлено Йоганном Густавом Хермесом38 [215], который построил правильный 65537-угольник всего за 10 лет без использования компьютера!.

Легенда гласит, что его статья занимает сундук, который до сих пор хранится на чердаке Математического Института Университета Геттингена. Краткое изложение этой работы на 17 страницах было опубликовано в 1894 году в Gottinger Nachrichten [215]. В этой связи уместно вспомнить девиз Хермеса "Geduld ist die Pforte der Freude" (терпение — это врата радости) [216].

Вот точные слова Клейна по этому поводу: "Auf das 65537-Eck hat Prof. Hermes in Lingen 10 Jahre seines Lebens verwandt39, um alle nach der Gauss'schen Behandlundgsweise vorkommended Wurzeln etc., genau zu untersuchen. Das aäusserst fleissige Diarium wird in der Sammlung des mathematischen Seminar zu Gäottingen aufbewahrt. Man vergleiche eine Mitteilung von Prof. Hermes in Nr. 3 der Gottinger Nachrichten vom Jahre 1894".

35 Friedrich Julius Richelot, 1808-1875, был профессором в университете Кенигсберга (сегодня Калининград, Россия). Чтобы поставить это в контекст, нужно вспомнить, что в XIX веке Кенигсберг был, наряду с Берлином и Геттингеном, одной из столиц немецкой математики. С 1826 по 1843 год там работал Карл Густав Яков Якоби, 1804-1851. Построение првильного 257-угольника было темой диссертации Ришло, защищенной в 1831 году под руководством Якоби. В 1843 году Ришло стал преемником Якоб, и нет никакого сомнения, что дальнейшие упомянутые в этом пункте работы выполнены под их непосредственным влиянием.

36 Кстати, дочь Ришло Клара была замужем за Киркгофом, что является еще одним экспериментальным подтверждением следующего закона генетики: «Браки молодых математиков с дочерьми своих учителей — настолько характерное явление академической жизни Европы и Америки, что даже принято говорить о совершенно особой форме наследования математических способностей, передающихся обычно не от отца к сыну, а от тестя к зятю» [13]. Например, в 1881 году Пикар женился на дочери Эрмита — и тут же доказал свои знаменитые теоремы о распределении значений аналитических функций и был избран в Парижскую Академию Наук (здесь для большей наглядности я слегка редактирую историю в духе Фоменко, но общая канва соблюдена). Впрочем, это далеко не единственный подобный случай: семейство Адамар — Поль Леви — Лоран Шварц — У. Фриш является еще более поразительным примером того, как математические способности — и место в Парижской Академии! — передавались от тестя к зятю в течение четырех поколений. Впрочем, не следует думать, что этот феномен ограничен Парижем и Парижской Академией наук. Аналогичное поразительное природное явление многократно наблюдалось в Берлине и Прусской Академии наук, например, Герман Шварц был зятем Куммера.

37 Это единственная его работа, которую я смог найти, там не указывается его имя, но зато указывается локация, Regiomontano, то есть Кенигсберг, а не что-то там в Мексике, как полагают авторы «Википедии». Из любопытства я полистал весь том. Из опубликованных там работ 24 написаны по-немецки, 11 по-французски и только 6, включая работы Фишера и Якоби, на латыни.

38 Йоганн Густав Хермес, 1846-1912, учился в Кенигсберге, где в 1878 году защитил диссертацию по делению круга на 2m + 1 часть [213, 214]. После этого преподавал математику в Кенигсберге и Лингене.

39 Формально Клейн, вероятно, прав, в 1896 году Хермес действительно был профессором гимназии в Лингене (Оснабрюк). Но по существу издевательство. В самой статье Хермеса недвусмысленно говорится "Konigsberg i. Pr." — то есть «Кенигсберг в Пруссии».

А вот анекдотическое изложение той же истории Литтлвудом: "A too-persistent research student drove his supervisor to say "Go away and work out the construction for a regular polygon of 65537(= 216 + 1) sides" The student returned 20 years later with a construction (deposited in the Archives at Gottingen)".

11. ЦИКЛОТОМИЯ С ПОМОЩЬЮ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЛЕКАЛА

Гаусс не доказывал необходимость в теореме Гаусса—Ванцеля, но зато он сделал гораздо больше, чем обычно упоминают, в другом направлении. А именно, в Disquisitiones Arithmeticae доказана достаточность в теореме Гаусса—Пирпойнта и явно описано вычисление корней 19-й и 73-й степеней.

11.1. Теорема Гаусса—Пирпойнта

С классической древности изучался вопрос, что можно построить, если добавить к линейке и циркулю какие-то другие геометрические инструменты. Такого рода геометрическим конструкциям посвящена, например, книга [286].

Одна из самых популярных вариаций возникает при добавлении инструмента, позволяющего строить конические сечения. Следующий классический результат отвечает на вопрос, на сколько частей можно разделить окружность при помощи циркуля, линейки и параболического лекала. Этот вопрос сводится к тому, для каких степеней вычисление корней из 1 сводится к решению квадратных и кубических уравнений. Вместо параболического лекала здесь можно брать любой другой инструмент, позволяющий решать кубические уравнения, например трисектор [186] или оригами [128].

То, что это так для степеней 7 и 9, было известно арабам в IX веке (Бурбаки, Алгебра, т. II, с. 221). В действительности, Сабит ибн-Корра (836-911) атрибутирует построение правильного семиугольника Архимеду. Греческий текст не сохранился, но Сабит сделал арабский перевод.

Полный ответ дается следующим результатом, обобщающим теорему Гаусса— Ванцеля. Современное доказательство приведено в работе [388], впрочем, Видела не цитирует работу Пирпойнта и, видимо, считает этот результат новым!

Теорема Гаусса—Пирпойнта утверждает, что, для того чтобы окружность можно было разделить на n частей при помощи циркуля, линейки и параболического лекала, необходимо и достаточно, чтобы n имело вид

n = 2k3lp1... ps, где pi Ф 2,3 — попарно различные простые, такие, что

каждое pi -1 имеет вид 2r3s для подходящих r и s.

Вообще, точки на плоскости, которые можно построить при помощи циркуля, линейки и параболического лекала, — это в точности наименьшее подполе в C, замкнутое относительно извлечения квадратных и кубических корней.

11.2. Простые Пирпойнта

Фигурирующие в теореме Гаусса—Пирпойнта простые обычно называются простыми Пирпойнта. Иными словами, простое Пирпойнта — это простое вида 2r3s + 1 для некоторых r, s > 0, включать ли сюда p = 2,3, — это вопрос вкуса. Например, последовательность

ОБК А005109 начинается так:

2,3,5,7,13,17,19,37,73,97,109,163,193,257,433,487,577,769,1153,1297,1459,2593,2917, 3457,3889,10369,12289,17497,18433,39367,52489,65537,139969,147457,209953,331777, 472393,629857,746497,786433,839809,995329,1179649,1492993,1769473,1990657,...

Ясно, что простые числа Ферма Рп являются простыми Пирпойнта. С другой стороны, обобщенные числа Ферма Рп(3) с основанием 3 четны. Поэтому все простые Пирпойнта, не являющиеся числами Ферма, имеют вид 6т + 1. Самое большое известное сегодня число Пирпойнта является числом Прота 3 • 216>408,818 + 1 и открыто в октябре 2020 года. Основная гипотеза состоит, естественно, в том, что количество простых Пирпойнта бесконечно.

11.3. Построение правильных 7-угольника, 9-угольника, 13-угольника и 19-уголь-ника

Корни 7-й степени из 1. Первообразные корни степени 7 будут корнями уравнения

5 4 3 2 Г + X4 + X3 + X2

сильно уравнению

х6 + х5 + х4 + х3 + х2 + х + 1 = 0. Поскольку х = 0 не является корнем, это уравнение равно

3 2 1 2 3

х3 + х2 + х + 1 + х V х 2 + х 3 = 0.

Положив теперь у = х + х \ мы получаем относительно у следующее уравнение: у3 + у2 -2у -1 = 0. По формуле Кардано

1

У1,2,3 = 3

3 -7 + 21 %/-3 3 -7 + 21 %/-3

-1+у—6—+у—6—

V У

Для того чтобы найти корни степени 7, остается лишь решить три квадратичных уравнения х2 - yiX + 1 = 0, г = 1,2,3. Фактическую геометрическую конструкцию правильного семиугольника можно найти, например, в мануале греческой математики Хиса [211, с. 340].

• Корни 9-й степени из 1. Действуем точно так же, как в предыдущем случае. Первообразные корни степени 9 будут корнями уравнения х8 + х7 + х6 + х5 + х4 + х3 + х2 + х +1 = 0. Поскольку х = 0 не является корнем, это уравнение равносильно уравнению

4 3 2 1 2 3 4

х4 + х + х2 + х + 1 + х 1 + х 2 + х 3 + х 4 = 0.

Положив теперь у = х + х-1, мы получаем относительно у следующее уравнение: у4 + у3 - 3у2 - 2у +1 = 0. Решение уравнения степени 4 сводится к решению одного уравнения степени 3 и нескольких квадратичных уравнений. Если уь у2, у3, у4 — корни этого уравнения, то для нахождения корней степени 9 остается лишь решить четыре квадратичных уравнения х2 - yiX + 1 = 0, г = 1,2,3,4.

• Корни 13-й степени из 1. Этот пример детально разобран в учебнике алгебры Кохен-дёрфера [245, с. 196-197]. Пусть ( — первообразный корень степени 13 из 1. Положим

х1 = с + с5 + С8 + с12, х2 = с2 + С3 + с10 + с11, х3 = с4 + с6 + с7 + с9.

Непосредственное вычисление показывает, что

х1 + х2 + х3 = - 1, х1 х2 + х1 х3 + х2 х3 = - 4, х1 х2 х3 = - 1.

Поэтому Х1, x2, x3 являются корнями многочлена x3 + x2 -4x + 1. Положим теперь

у1 = Z + Z12, у3 = Z2 + Z11, у5 = Z4 + Z9, у2 = Z5 + Z8, у4 = Z3 + Z10, уб = Z6 + Z7-

Легко видеть, что у1 и у2 являются корнями уравнения у2 - x1 у + x3 = 0, у3 и у4 являются корнями уравнения у2 - x2 у + x1 = 0 и, наконец, у5 и у6 являются корнями уравнения у2 - x3 у + x2 = 0. Теперь, чтобы найти Z и Z12 = Z, остается лишь решить уравнение z2 - у1 z +1 = 0. Все остальные корни получаются путем решения уравнений z2 - yiz +1 = 0.

• Корни 19-й степени из 1. Следующую задачу из Disquisitiones мы с Володей Халиным рутинно предлагали студентам второго курса экономического факультета40.

Задача. Проведите аналогичный анализ для случая корней степени 19 из 1. Сколько кубических уравнений Вам придется при этом решать? Почему?

Следующие простые числа, для которых мы теперь можем провести циклотомию, — это 37, 73 и 97 — это именно те случаи, для которых проведены конструкции в статье Эрика Бэнвилля и Бернара Женеве [54], которые, кстати, обсуждают, как это сделать на компьютере.

11.4. Построения с помощью циркуля и линейки с засечками

Линейка с засечками = marked ruler или twice-notched straightedge — это линейка, на которой поставлены две метки на расстоянии 1. Такая линейка позволяет совершать новую операцию, verging, состоящую в том, чтобы находить на двух кривых две точки на расстоянии 1, причем такие, что определяемая ими прямая проходит через данную точку. (Впрочем, единственные кривые, которые мы пока умеем строить нашими инструментами, это прямые и окружности).

Архимед доказал, что этими новыми инструментами можно произвести трисекцию угла, а Никомед доказал, что при помощи них можно построить 3x для любого x. Тем самым, при помощи этих инструментов можно построить все, что можно построить при помощи коник. Оказывается, однако, что они позволяют решать и некоторые уравнения степени 5.

Этот вопрос изучается в статьях Барагара, Робертсона—Снайдера и Бенджамина— Снайдера [56, 66, 67, 327]. В частности, там введено понятие ультрарадикала а, это вещественный корень уравнения x5 + x - а = 0. Оказывается, построение корней 11-й степени из 1 требует только вычисления ультрарадикала и, таким образом, становится возможным при помощи этого нового инструмента.

11.5. Посвящение

С Володей Гердтом мы познакомились довольно поздно, меньше 20 лет назад, но с тех пор постоянно плотно общались и профессионально и дружески. С ним было всегда интересно, наши встречи и беседы я вспоминаю с огромной благодарностью и восхищением. Я не знал других людей, которые так глубоко и всесторонне понимали бы роль компьютеров в математике во всех принципиальных и технических аспектах и со стороны математики, и со стороны компьютеров, и со стороны физики.

40 С ностальгией вспоминается: «квантовую механику теперь преподают в младшей группе детского сада» [18].

Володя был одним из первых читателей и критиков всех моих текстов на эта темы и повлиял на мое собственное понимание компьютерной математики больше, чем кто-либо другой.

«Чжуан-цзы был на похоронах. Проходя мимо могилы Хуэй-цзы, он обернулся к спутникам и сказал:

— Однажды некий инец запачкал белой глиной кончик носа: пятнышко было — с мушиное крылышко. Он приказал плотнику Ши стесать его. Умелец так заиграл топором — аж ветер поднялся: только выслушал приказ — и все стесал. Снял дочиста всю глину, не задев носа. А инец — и бровью не повел.

Услыхав об этом, сунский князь Юань позвал к себе плотника и сказал ему:

— Попробуй сделать это же самое и для меня. А плотник ответил:

— Когда-то я сумел это сделать — да только нет уже в живых того материала!

Вот так и у меня не стало материала: с тех пор как умер Учитель — мне больше не с кем спорить.» [25, «Чжуан-цзы», гл. 24 «Сюй У-гуй» ].

Я чрезвычайно благодарен Сергею Позднякову, который убедил меня написать этот цикл статей, и Галине Ивановне Синкевич за ссылки по текстам XIX века. Кроме того, я чрезвычайно признателен также Максиму Всемирнову, Боре Кунявскому, Леше Степанову и Илье Шкредову, которые внимательно прочли текст статьи и предложили большое количество важных исправлений и уточнений.

Список литературы

2m

1. Буняковскш В. Я. О новомъ случаЬ дЬлимости чиселъ гада 22 + 1, сообщенномъ Академш От. Перву-шинымъ (читано в заседании Физ.-мат.отд. 4 апреля 1878 г.) // Записки Императорской Академш Наукъ. 1878. Т. 31(1). С. 223-224.

2. Вавилов Н. А. Нумерология квадратных уравнений // Алгебра и анализ. 2008. № 20(5). С. 9-40.

3. Вавилов Н. А. Компьютеры как новая реальность математики: I. Personal account // Компьютерные инструменты в образовании. 2020. № 2. С. 5-26. doi:10.32603/2071-2340-2020-2-5-26

4. Вавилов Н. А. Компьютеры как новая реальность математики: II. Проблема Варинга. Компьютерные инструменты в образовании // 2020. № 3. С. 5-55. doi: 10.32603/2071-2340-2020-3-5-55

5. Вавилов Н. А. Компьютер как новая реальность математики: III. Числа Мерсенна и суммы делителей. Компьютерные инструменты в образовании // 2020. № 4. С. 5-58. doi.org/10.32603/2071-2340-2020-4-5-58

6. Вавилов Н. А. Компьютер как новая реальность математики: IV. Гипотеза Гольдбаха. Компьютерные инструменты в образовании // 2021. № 4. С. 5-72. doi.org/10.32603/2071-2340-2021-4-5-71

7. Вавилов Н. А. Компьютеры как новая реальность математики: V. Легкая проблема Варинга // Компьютерные инструменты в образованиию 2022. № 3. С. 5-63. doi: 10.32603/2071-2340-2022-3-5-63

8. Вавилов Н. А., Халин В. Г. Задачи по курсу "Математика и Компьютер". Вып. 1. Арифметика и теория чисел. СПб.: ОЦЭиМ, 2005.180 с.

9. Вавилов Н. А., Халин В. Г., Юрков А. В. Mathematica для нематематика. М.: МЦНМО, 2021. 484 с.

10. ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции, М.: ГИФМЛ, 1959. 460 с.

11. Василенко О. Н. О некоторых свойствах чисел Ферма // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. 1998. № 5. С. 56-58.

12. ВершикА. М. Асимптотическое распределение разложений натуральных чисел на простые делители // Докл. АН СССР. 1986. Т. 289(2). С. 269-272.

13. Винер H. Я — математик. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 336 с.

14. Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. Под ред. И. М. Виноградова. М.: Изд-во АН СССР, 1959. 978 с.

15. Гаусс К. Ф. Пояснение возможности построения семнадцатиугольника. Пер. М. В. Крутиковой, под ред. Е. П. Ожигова // Историко-матем. исслед. 1976. Vol. 21. P. 285-291.

16. Гейберг И. Л. Естествознание и математика в классической древности. М.-Л.: ОНТИ, 1936.

17. Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках. М.: Наука, 1981.

18. ЗайманДж. Современная квантовая теория. М.: Мир, 1971. 288 с.

19. МатвиевскаяГ. П., ОжиговаЕ. П., НевскаяН. И., КопелевичЮ.Х. Неопубликованные материалы Л. Эйлера по теории чисел. СПб.: Наука, 1997. 256 с.

20. Мельников И. Г. О некоторых вопросах теории чисел в переписке Эйлера с Гольдбахом // История и методология естественных наук, 1966. Вып. 5. С. 15-30.

21. Мельников И. Г. Вопросы теории чисел в творчестве Ферма и Эйлера // Историко-матем. исслед. 1974. № 19. P. 9-38.

22. Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М.: Наука, 1968. 224 с.

23. НидемДж. История эмбриологии. М.: ИЛ, 1947. 342 с.

24. Постников М. М. Теория Галуа, М.: ГИФМЛ, 1963, 218 с.

25. Поэзия и проза Древнего Востока. БВЛ. Сер. I. Т. 1. М.: Художественная литература, 1973. 736 с.

26. Прасолов В. В., Соловьев Ю. П. Эллиптические функции и алгебраические уравнения. М.: Факториал, 1997. 288 с.

27. СадовникЕ. В. Проверка на простоту некоторых чисел вида N = 2kpm -1 // Дискрет. матем. 2006. № 18(1). P. 146-155.

28. Садовник Е. В. Проверка на простоту чисел вида N = 2kpJ"1 pi?22 • • • pmn -1 // Дискрет. матем. 2008. № 20(2). P. 15-24.

29. Стечкин С. Б. Критерий Люка простоты чисел вида N = h2n -1 // Математические заметки, 1971. № 10:3. С. 259-268.

30. Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984. 416 с.

31. Ферма П. Исследования по теории чисел и диофантову анализу. М.: Наука, 1992. 320 с.

32. Харди Г. Г. Двенадцать лекций о Рамануджане. М.: Институт компьютерных исследований, 2002. 335 с.

33. Чеботарев Н. Г. Теория Галуа. М.-Л.: ОНТИ, 1936.154 с.

34. Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. М.-Л.: ГТТИ, 1932. 230 с.

35. Adler F. Theorie der geometrischen Konstruktionen, Sammlung Schubert. Vol. 52. Leipzig: Goschen, 1906.

36. Affolter F. J. Zur Staudt—Schroter'schen Construction des regulären Vielecks // Math. Ann. 1873. Vol. 6. P. 582591.

37. Agarwal R. C., Burrus C. S. Fast digital convolution using Fermat transforms, // Southwest IEEE Conf. Rec. Houston, Texas, 1973. P. 538-543.

38. Agarwal R. C., Burrus C. S. Fast convolution using Fermat number transforms with applications to digital filtering // IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Processing. 1974. Vol. 22. P. 87-97.

39. Aigner A. Über Primzahlen, nach denen (fast) alle Fermatschen Zahlen quadratische Nichtreste sind // Monatsh. Math. 1986. Vol. 101, № 2. P. 85-93.

40. Amiot B. Memoire sur les polygones reguliers // Nouv. Annales de Math. 1844. Vol. 4. P. 264-278.

41. Archibald R. C. The history of the construction of the regular polygon of seventeen sides // American M. S. Bull. 1916. Vol. 22. P. 239-246.

42. Archibald R. C. Gauss and the regular polygon of seventeen sides // Am. Math. Monthly. 1920. Vol. 27. P. 323-326.

43. Arnaudies J. M., Delezoide P. Nombres (2,3)-constructibles // Adv. Math. 2001. Vol. 158, № 2. P. 169-252.

44. Arya S. P. Fermat numbers // Math. Ed. 1989. Vol. 6. P. 5-6.

45. Arya S. P. More about Fermat numbers // Math. Ed. 1990. Vol. 7. P. 139-141.

46. Asadulla S. A note on Fermat numbers // J. Natur. Sci. Math. 1977. Vol. 17. P. 113-118.

47. Aygin Z. S., Williams K. S. Why does a prime p divide a Fermat number? // Math. Mag. 2020. Vol. 93, № 4. P. 288294.

48. Bachmann P. Die Lehre von der Kreistheilung und ihre Beziehungen zur Zahlentheorie. Leipzig, Germany: Teubner, 1872.

49. Bardziahin D. Finding special factors of values of polynomials at integer points // Int. J. Number Theory 2017. Vol. 13, № 1. P. 209-228.

50. Baek S., Choe I., Jung Y., Lee D., Seo J. Constructions by ruler and compass, together with a fixed conic // Bull. Aust. Math. Soc. 2013. Vol. 88, № 3. P. 473-478.

51. Baille R. New primes of the form k • 2n + 1 // Math. Comput. 1979. Vol. 33, № 148. P. 1333-1336.

52. BaillieR., CormackG., Williams H. C. The problem of Sierpinski concerning k • 2n + 1 //Math. Comp. 1981. Vol. 37, № 155. P. 229-231; Corrigenda, ibid. 1982. Vol. 39, № 159. P. 308.

53. Baillie R., WagstaffS. S. Lucas pseudoprimes // Math. Comp. 1980. Vol. 35, № 152. P. 1391-1417.

54. Bainville E., Geneves B. Constructions using conics // Math. Intelligencer. 2000. Vol. 22, № 3. P. 60-72.

55. Ballinger R., Keller W. Proth Search Page, 1997.

56. BaragarA. Constructions using a compass and twice-notched straightedge // MAA Month. 2002. Vol. 109. P. 151164.

57. Barker C. B. Proof that the Mersenne number M167 is composite // Bull. Amer. Math. Soc. 1945. Vol. 51. P. 389.

58. Barner K. Paul Wolfskehl und der Wolfskehl-Preis // Mitt. Dtsch. Math.-Ver. 1997. Vol. 5, № 3. P. 4-11.

59. BarnerK. How old did Fermat become? // N.T.M., 2001 Vol. 9, № 4. P. 209-228.

60. Barner K. Das Leben Fermats // Mitt. Deutsch. Math.-Ver. 2001. Vol. 9, № 3. P. 12-26.

61. Barner K. Neues zu Fermats Geburtsdatum // Mitt. Deutsch. Math.-Ver. 2007. Vol. 15, № 1. P. 12-14.

62. Barner K. Pierre Fermat. Sa vie privee et professionnelle // Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6). 2009. Vol. 18, Fascicule Special. P. 119-135.

63. Beeger N. G. W. H. On even numbers m dividing 2m - 2 // Amer. Math. Monthly. 1951. Vol. 58. P. 553-555.

64. Benjamin E. On the constructibility of real 5th roots of rational numbers with marked ruler and compass // ISRN Algebra. 2012. Article ID 487275.

65. Benjamin E. On constructing real 5th roots by marked ruler and compass through verging between a line and a circle // JP J. Algebra Number Theory Appl. 2013. Vol. 30, № 1. P. 35-46.

66. Benjamin E., Snyder C. On the construction of the regular hendecagon by marked ruler and compass // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 2014. Vol. 156. P. 409-424.

67. Benjamin E., Snyder C. On the construction of the regular hendecagon by marked ruler and compass // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 2014. Vol. 156, № 3. P. 409-424.

68. Berrizbeitia P., Berry T. G. Cubic reciprocity and generalised Lucas—Lehmer tests for primality of A ■ 3n ± 1 // Proc. Amer. Math. Soc. 1999. Vol. 127, № 7. P. 1923-1925, doi:10.1090/S0002-9939-99-04786-3

69. Berrizbeitia P., Berry T. G., Tena-Ayuso J., A generalization of Proth's theorem // Acta Arith. 2003. Vol. 110. P. 107115.

70. Berrizbeitia P., Iskra B. Deterministic primality test for numbers of the form A2 ■ 3n + 1, n > 3 odd // Proc. Amer. Math. Soc. 2002. Vol. 130, № 2. P. 363-365. doi:10.1090/S0002-9939-01-06100-7

71. Bethune I. PrimeGrid: A Volunteer Computing Platform for Number Theory // International Conference on Computational Mathematics, Computational Geometry & Statistics (CMCGS). 2015. P. 114-120.

72. Bethune I., Gallot Y. Genefer: programs for finding large probable generalised Fermat primes // J. Open Research Software, 2015. Vol. 3, № 1. P. e10. doi:10.5334/jors.ca

73. Bethune I., Goertz M. Extending the generalized Fermat prime number search beyond one million digits using GPUs // Parallel processing and applied mathematics. Part I. Lecture Notes in Comput. Sci. 2014. Heidelberg: Springer, 2014. Vol. 8384. P. 106-113.

74. Bishop W. How to construct a regular polygon // Amer. Math. Monthly 1978. Vol. 85. P. 186-188.

75. Bickmore C. E. Is the number 78875943472201 prime or composite? // Ed. Times. 1900. Vol. 72. P. 99-101.

76. Biermann K.-R. T. Clausen, Mathematiker und Astronom // J. Reine Angew. Math. 1964. Vol. 216. P. 158-198. doi:10.1515/crll.1964.216.159

77. BirkhoffG. D., VandiverH. S. On the integral divisors of an - bn // Ann. Math. 1904. Vol. 5. P. 173-180.

78. Bishop W. How to Construct a Regular Polygon // Amer. Math. Monthly. 1978. Vol. 85. P. 186-188.

79. BjornA., RieselH. Factors of generalized Fermat numbers // Math. Comput. 1998. Vol. 67, № 221. P. 441-446; Table errata, ibid. 2005. Vol. 74, № 252. P. 2099; Table errata 2, ibid. 2011. Vol. 80, № 275. P. 1865-1866.

80. Blasjo V. A critique of the modern consensus in the historiography of mathematics // Journal of Humanistic Mathematics. 2014. Vol. 4, № 2. P. 113-123.

81. Blasjo V. In defence of geometrical algebra // Archive for History of Exact Sciences. 2016. Vol. 70, № 3. P. 325-359.

82. Bochow. Eine einfache Berechnung des 17 Ecks // Zeitschrift filr Math. u. Phys. (Schlomilch). 1893. Vol. 38. P. 250252.

83. BoklanK. D., Conway J. H. Expect at most one billionth of a new Fermat Prime! // Math. Intelligencer. 2017. Vol. 39, no 1. P. 3-5. doi:10.1007/s00283-016-9644-3

84. Borsos B., Kovacs A., Tihanyi N. Tight upper and lower bounds for the reciprocal sum of Proth primes // The Ramanujan J. 2022. Vol. 59, № 1. P. 181-198. doi:10.1007/s11139-021-00536-2

85. Bosma W. Explicit primality criteria for h2k + 1 // Math. Comp. 1993. Vol. 61. P. 97-109.

86. Bosma W. Cubic reciprocity and explicit primality tests for h ■ 3k ± 1, High primes and misdemeanours: lectures in honour of the 60th birthday of Hugh Cowie Williams // Fields Inst. Commun. 2004. Vol. 41. P. 77-89.

87. Bouniakowsky V. Ya. Nouveau cas de divisibility des nombres de la forme 22 + 1 trouve par le reverend pere I. Pervouchine (Lu le 17 janvier 1878) // Bull l'Acad. St.-Petersbourg, 1878. Vol. 24, № 4. P. 559; republic: Melanges math. et. astr. St.-Petersbourg. 1879. Vol. 5, № 5. P. 505-506.

2m

88. Bouniakowsky V. Ya. Encore un nouveau cas de divisibility des nombres de la forme 22 + 1 (Lu le 4/16 avril 1878) // Bull l'Acad. St.-Petersbourg, 1879. Vol. 25. P. 63-64; republic: Melanges math. et. astr. St.-Petersbourg. 1879. Vol. 5, № 5. P. 519-520.

89. Brent R. P. Succinct proofs of primality for the factors of some Fermat numbers // Math. Comp. 1982. Vol. 38, № 157. P. 253-255.

90. Brent R. P. Factorization of the eleventh Fermat number // Abstracts Amer. Math. Soc. 1989. Vol. 10. P. 176-177.

91. Brent R. P. Parallel algorithms for integer factorisation, Number theory and cryptography (Sydney, 1989) // London Math. Soc. Lecture Note Ser. 1990. Vol. 154, P. 6-37.

92. Brent R. P. Factorisation of the tenth and eleventh Fermat number // Technical report, Australian Nat. Univ. 1996. № TR-CS-96-02.

93. Brent R. P. Factorisation of the tenth Fermat number // Math. Comput. 1999. Vol. 68. P. 429-451.

94. Brent R. P., Crandall R. E., Dilcher K., van Halewyn C. Three new factors of Fermat numbers // Math. Comp. 2000. Vol. 69, № 231. P. 1297-1304.

95. Brent R. P., Pollard J. M. The factorisation of the eighth Fermat number // Math. Comput. 1981. Vol. 36. P. 627-630.

96. Bressoud D. M. Factorization and primality testing. New York: Springer, 1989.

97. Brillhart J. Concerning the numbers 22p + 1, p prime // Math. Comput. 1962. Vol. 16. P. 424-430.

98. Brillhart J. Some miscellaneous factorizations // Math. Comput. 1963. Vol. 17. P. 447-450.

99. Brillhart J. On the factors of certain Mersenne numbers. II // Math. Comput. 1964. Vol. 18. P. 87-92.

100. Brillhart J., Johnson G. D. On the factors of certain Mersenne numbers // Math. Comput. 1960. Vol. 14. P. 365-369.

101. Brillhart J., Lehmer D. H., Selfridge J. L. New primality criteria and factorizations of 2m ± 1 // Math. Comp. 1975. Vol. 29. P. 620-647.

102. Brillhart J., Lehmer D. H., Selfridge J. L. , Tuckerman B., Wagstaff S. S. Jr. Factorizations of bn ± 1, b = 2,3,5,6,7,10,11,12 up to high powers. 2nd ed. Contemp. Math. Vol. 22.. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1988.

103. Brillhart J., Selfridge J. L. Some factorizations of 2n ±1 and related results // Math. Comput. 1967. Vol. 21. P. 87-96; Corrigendum, ibid. 1967. Vol. 21. P. 751.

104. Buhler J. P., Harvey D. Irregular primes to 163 million // Math. Comput. 2011. Vol. 80, № 276. P. 2435-2444.

105. Burda Y., Kadets L. Construction of the heptadecagon and quadratic reciprocity // C. R. Math. Acad. Sci. Soc. R. Can. 2013. Vol. 35, № 1. P. 16—21.

106. Butters J. W. On the solution of the equation xp - 1 = 0 (p being a prime number) // Proc. Edinb. Math. Soc. 1888-89. Vol. 7. P. 10-22.

107. Cajori F. Pierre Laurent Wantzel // Bull. Amer. Math. Soc. 1918. Vol. 24, № 7. P. 339-347.

108. Caldwell Ch. K. The Largest Known Primes. USA: University of Tennessee at Martin, 2000.

109. Caldwell Ch. K., Gallot Y. On the primality of n! ± 1 and 2 x 3 x 5 x ... x p ± 1 // Math. Comp. 2002. Vol. 71, № 237. P. 441-448.

110. Canals I., Fermat numbers and the limitation of computers (Spanish) // Acta Mexicana Ci. Tecn. 1973. Vol. 7. P. 29-30.

111. Carmichael R. D. On the numerical factors of the arithmetic forms an ± $n // Ann. Math. 1913. Vol. 15. P. 30-70.

112. Carslaw H. S. Gauss's theorem on the regular polygons which can be constructed by Euclid's methods // Proc. Edinb. Math. Soc. 1910. Vol. 28. P. 121-128.

113. Cayley A. On the equation x17 - 1 = 0 // Messenger of Math. 1890. Vol. 19. P. 184-188; Collected Papers. 1897. Vol. 13. P. 60-63.

114. ChaumontA., Miiller T., All elite primes up to 250 billion // J. Integer Seq. 2006. Vol. 9, № 3. Article 06.3.8.

115. Chen Y.-G. On integers of the form k2n + 1 // Proc. Amer. Math. Soc. 2001. Vol. 129, № 2. P. 355-361.

116. Chen Y.-G. A note on the prime factors of Fermat numbers // Southeast Asian Bull. Math. 2004. Vol. 28, № 2. P. 241-242.

117. Chen Y.-G. On integers of the forms k ± 2n and k2n ± 1 //J. Number Theory. 2007. Vol. 125, № 1. P. 14-25.

118. Chepmell H. In a given circle to inscribe the regular polygon of thirty-four sides // Educ. Times. 1911. Vol. 20. P. 51-55.

119. Christianides G., Dialetis D. Disputes on the history of Greek mathematics. Ed. by G. Christianides and D. Dialetis. Istor. Philos. Epistem. Heraklion, Greece: Panepistem. Ekdoseis Kretes, 2006.

120. Clements D. L. An historical contradiction // Missouri J. Math. Sci. 1996. Vol. 8, № 2. P. 82-88.

121. Collignon E. Construction du polygone régulier de 17 cotes // Ass. Franc. Comptes R. 1879. Vol. 8. P. 162-169.

122. Cormack G. V., Williams H. C. Some very large primes of the form k ■ 2m + 1 // Math. Comput. 1980. Vol. 35, № 152. P. 1419-1421.

123. Cosgrave J. B., Dilcher K. A role for generalized Fermat numbers // Math. Comp. 2017. Vol. 86, no. 304. P. 899-933.

124. Cosgrave J. B., Dilcher K. Gauss factorials, Jacobi primes, and generalized Fermat numbers // Punjab Univ. J. Math. (Lahore). 2018. Vol. 50, № 4. P. 1-21.

125. Costa E., Gerbicz R., Harvey D. A search for Wilson primes // Math. Comput. 2014. Vol. 83, № 290. P. 3071-3091.

126. Costa E., Harvey D. Faster deterministic integer factorization // Math. Comput. 2014. Vol. 83, № 285. P. 339-345.

127. Covanov S., Thome; E. Fast integer multiplication using generalized Fermat primes // Math. Comp. 2019. Vol. 88, № 317. P. 1449-1477.

128. Cox D. A., Shurman J. Geometry and number theory on clovers // Amer. Math. Monthly, 2005. Vol. 112, № 8. P. 682-704.

129. Crandall R. E., Dilcher K., Pomerance C. A search for Wieferich and Wilson primes. // Math. Comput. 1997. Vol. 66, № 217. P. 433-449.

130. Crandall R., Doenias J., Norrie C., Young J. The twenty-second Fermat number is composite // Math. Comp. 1995. Vol. 64, № 210. P. 863-868.

131. Crandall R., Fagin B. Discrete Weighted Transforms and Large-Integer Arithmetic // Math. Comp. 1994. Vol. 62.

P. 305-324.

132. Crandall R. E., Mayer E. W., Papadopoulos J. S. The twenty-fourth Fermât number is composite // Math. Comp. 2003. Vol. 72. P. 1555-1572.

133. Crandall R., Pomerance C. Prime Numbers: A Computational Perspective. 2nd ed. New York: Springer, 2005.

134. Creutzburg R., Grundmann H.-J. Schnelle digitale Faltung mittels Fermattransformation // Elektron. Inform.-verarb. Kybernetik. 1985. Vol. 21. P. 35-46.

135. Csajbok T., Farkas G.,jaraiA.,jarai Z., Kasza J. Report on the largest known Sophie Germain and twin primes, Ann. Univ. Sci. Budapest // Sect. Comput. 2005. Vol. 25. P. 181-182.

136. Cunningham A., Western A. E. On Fermat's numbers // Proc. Lond. Math. Soc. 1904. Vol. 1. P. 175. doi:10.1112/ plms/s2-1.1.175

137. Cunningham A. J. C., WoodallH.J. Factorisation of Q = (2q + 1) and (q • 2q + 1) //Messenger Math. 1917. Vol. 47. P. 1-38.

138. Cunningham A. J. C., WoodallH.J. Factorisation of yn + 1, y = 2,3,5,6,7,10,11,12 up to high powers (n). London: Francis Hodgson, 1925.

139. Delcourte M. Indicateur d'Euler et nombres de Fermat // Mathesis. 1959. Vol. 68. P. 350-356.

9 n

140. Deng Yingpu, Huang Dandan Primality test for numbers of the form (2p)2 + 1 //Acta Arith. 2015. Vol. 169, № 4. P. 301-317.

141. Deng Yingpu, Huang Dandan Explicit primality criteria for h • 2n ± 1 // Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux. 2016. Vol. 28, № 1. P. 55-74.

142. Deng Y., Lv C. Primality test for numbers of the form Apn + wn // J. Discrete Algorithms. 2015. Vol. 33. P. 81-92.

143. DeTemple D. W. Carlyle circles and the Lemoine simplicity of polygon constructions // Amer. Math. Monthly. 1991. Vol. 98, № 2. P. 97-108.

144. Deza E. Mersenne numbers and Fermat numbers // Selected Chapters of Number Theory: Special Numbers, 1. Hackensack, NJ: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2022.

145. Dickson L. E. Constructions with ruler and compasses // Monographs on Modern Mathematics. 1911, 17-side: P. 371-373.

146. Dickson L. E. Divisibility and primality // History of the theory of numbers. Vol. I. Washington, DC: Mineola, NY: Dover Publications, 2005, 486p.

147. Dilcher K., Enge A. Fermat numbers, Wieferich and Wilson primes: computations and generalizations // Proc. the Conf. on Public Key Cryptography and Computational Number Theory, Warsaw, 2000. Berlin: de Gruyter, 2001. P. 29-48. doi:10.1515/9783110881035.29

148. F. G. Dorais and D. Klyve A Wieferich prime search up to 6.7 x 1015 //J. Integer Seq. 2011. Vol. 14. Article 11.9.2.

149. DubnerH. Generalized Fermat Primes // J. Recr. Math. 1985. Vol. 18. P. 279-280.

150. Dubner H., Gallot Y. Distribution of generalized Fermat prime numbers // Math. Comp. 2002. Vol. 71, № 238. P. 825-832.

151. DubnerH., Keller W. Factors of generalized Fermat numbers // Math. Comput. 1995. Vol. 64 (209). P. 397-405.

152. Dyson F. The sixth Fermat number and palindromic continued fractions // Enseign. Math. 2000. Vol. 46, № 3-4. P. 385-389.

153. Eleuch H. Notes on generalized Fermat numbers // Appl. Math. Inf. Sci. 2012. Vol. 6, № 3. P. 491-493.

154. Euler L. Observationes de theoremate quodam Fermatiano aliisque ad numeros primos spectantibus // Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 1738. Vol. 6, № 33. P. 103-107. Reprinted in Opera Omnia I. 1911. Vol. 2. P. 1-5.

155. Euler L. Theoremata circa divisors numerorum // Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 1750. Vol. 1, № 48. P. 20-48. Reprinted in Opera Omnia 1.1911. Vol. 2. P. 62-85.

156. Euler L. Correspondence of Leonhard Euler with Christian Goldbach // Commercium epistolicum (EULER-QUARTA A) Leonhard Euler, Opera Omnia (EULER). Basel: Springer, 2015. Vol. 4A/4.1.

157. Euler L. Correspondence of Leonhard Euler with Christian Goldbach //Commercium epistolicum (EULER-QUARTA A) Leonhard Euler, Opera Omnia (EULER). Basel: Springer, 2015. Vol. 4A/4.2.

158. Everest G., van der Poorten A., Shparlinski I., Ward T., Recurrence Sequences. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2003.

159. Everest G., Stevens Sh., Tamsett D., Ward T. Primes Generated by Recurrence Sequences // The American Mathematical Monthly. 2007. Vol. 114, № 5. P. 417-431. doi:10.1080/00029890.2007.11920430.

160. Fang J. "J'Accuse": A politics of mathematics // Philosophia Mathematica. 1975. Vol. 12. P. 124-148.

161. de Fermat P. Oeuvres mathématiques diverses. Observations sur Diophante. Œuvres de Fermat: publiées par les soins de MM. Paul Tannery et Charles Henry sous les auspices du ministère de l'instruction publique. Vol. 1. Paris: Gauthier-Villars et Fils, 1891.

162. de Fermat P. Oeuvres mathematiques diverses. Observations sur Diophante. Œuvres de Fermat: publiees par les soins de MM. Paul Tannery et Charles Henry sous les auspices du ministère de l'instruction publique. Vol. 2. Paris: Gauthier-Villars et Fils, 1894.

163. de Fermat P. Oeuvres mathématiques diverses. Observations sur Diophante. Œuvres de Fermât: publiées par les soins de MM. Paul Tannery et Charles Henry sous les auspices du ministère de l'instruction publique. Vol. 3. Paris: Gauthier-Villars et Fils, 1896.

164. de Fermat P. Oeuvres mathématiques diverses. Observations sur Diophante. Œuvres de Fermat: publiées par les soins de MM. Paul Tannery et Charles Henry sous les auspices du ministère de l'instruction publique. Vol. 4. Paris: Gauthier-Villars et Fils, 1912 (in French).

165. de Fermat P. Supplements aux tomes 1-4. Œuvres de Fermat: publiées par les soins de MM. Paul Tannery et Charles Henry sous les auspices du ministère de l'instruction publique. Paris: Gauthier-Villars, 1922.

166. de Fermat P. Mémoires scientifiques. Vol. VI. Paul Tannery (ed.) Sciences modernes. Toulouse: Édouard Privat, Paris: Gauthier-Villars, 1926.

167. de Fermat P. Bemerkungen zu Diophant. Aus d. Latein. Übersetzt und mit Anmerk. hrsg. v. Max Miller. Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften. Leipzig: Akad. Verlagsges, 1932.

168. de Fermat P. Varia opera mathematica. Bruxelles: Culture et Civilisation, 1969.

169. de Fermat P. Œuvres de Pierre Fermat. I: La theorie des nombres. Collection Sciences dans l'Histoire. Paris: Librairie Scientifique et Technique Albert Blanchard. 1999.

170. Filaseta M., Finch C., KozekM. On powers associated with Sierpinski numbers, Riesel numbers and Polignac's conjecture // Journal of Number Theory. 2008. Vol. 128. P. 1916-1940.

171. Finch C. E., Jones L. A curious connection between Fermat numbers and finite groups // Amer. Math. Monthly. 2002. Vol. 109, № 6. P. 517-524.

172. Fischer A. Resolutio algebraica aequationis x257 - 1 = 0 //J. Reine Angew. Math. 1934. Vol. 11. P. 201-218.

173. Freudenthal H. What is algebra and what has it been in history? // Archive for History of Exact Sciences. 1977. Vol. 16, № 3. P. 189-200.

174. Fried M. The discipline of history and the "Modern consensus in the historiography of mathematics"// J. Humanist. Math. 2014. Vol. 4, № 2. P. 124-136.

175. Fried M. Ways of relating to the mathematics of the past // J. Humanist. Math. 2018. Vol. 8, № 1. P. 3-23.

176. Fried M. UnguruS Apollonius of Perga's Conica. Text, context, subtext. Leiden: Brill, 2001.

177. Gabard E., Riesel H. Corrigenda: "Some factors of the numbers Gn = 62 + 1 and Hn = 102 + 1" //Math. Comp. 1970. Vol. 24. P. 243.

178. Gallot Y. Proth.exe: a Windows program for finding very large primes. 1997. URL: http://www.utm.edu/ research/primes/programs/gallot/ (date: 07.12.2022).

179. Gauss C. F. Untersuchungen uber höhere Arithmetik. Berlin: Julius Springer. 1889.

180. Gauss C. F. Untersuchungen uber hohere Arithmetik. New York: Springer. 1965.

181. Gauss C. F. Disquisitiones arithmeticae. Translated and with a preface by Arthur A. Clarke. Revised by William C. Waterhouse, Cornelius Greither and A. W. Grootendorst and with a preface by Waterhouse. New York: SpringerVerlag, 1986.

182. Gauss C. F. Mathematisches Tagebuch, 1796-1814. Fifth edition. With a historical introduction by Kurt-R. Biermann. Revised and with notes by Hans Wußing and Olaf Neumann. Translated from the Latin by É. Schuhmann. Ostwalds Klassiker der Exakten Wissenschaften. Frankfurt am Main: Verlag Harri Deutsch, 2005.

183. Gerard G. Construction du polygone regulier de 17 cotes // Bull, de Math, élémentaires. 1897. Vol. 2. P. 164-167.

184. Gibbins A., Smolinsky L. Geometric constructions with ellipses // Math. Intell. 2009. Vol. 31, № 1. P. 57-62.

185. Giudice F. Sulla divisione del circolo // Periodico di mat. (3). 1912. Vol. 9. P. 161-169.

186. GleasonA. M. Angle trisection, the heptagon and the triskaidecagon // Amer. Math. Monthly. 1988. Vol. 95, № 3. P. 185-194.

187. Goldenring R. Die elementargeometrischen Konstruktionen des regelmaßigen Siebzehnecks. Leipzig-Berfin: Teubner, 1915.

188. Goldstein C. Un théoréme de Fermat et ses lecteurs. Histoires de Science. Saint-Denis: Presses Universitaires de Vincennes (PUV), 1995.

189. Goldstein C. L'arithmétique de Pierre Fermat dans le contexte de la correspondance de Mersenne: une approche microsociale // Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6). 2009. Vol. 18. P. 25-57.

190. Gostin G. B. A factor of F17 // Math. Comp. 1980. Vol. 35, № 151. P. 975-976.

191. Gostin G. B. New factors of Fermat numbers // Math. Comp. 1995. Vol. 64. P. 393-395.

192. Gostin G. B., McLaughlin Ph. B. Jr Six new factors of Fermat numbers // Math. Comput. 1982. Vol. 38, № 158. P. 645-649.

193. Gottlieb Ch. The simple and straightforward construction of the regular 257-gon // Math. Intell. 1999. Vol. 21, № 1. P. 31-37.

194. Grau J. M., Oller-Marcen A. M. An O(log2 (N)) time primality test for generalized Cullen numbers // Math. Comp. 2011. Vol. 80, № 276. P. 2315-2323. doi:10.1090/S0025-5718-2011-02489-0

195. Grau J. M., Oller-Marcen A. M., Sadornil S. A primality test for k ■ pn + 1 numbers // Math. Comp. 2015. Vol. 84, № 291. P. 505-512.

196. Grime J., Knudson K., Pierce P., Veomett E., Whitney G. Beyond pi and e: a collection of constants // Math Horiz. 2022. Vol. 29, № 1. P. 8-12.

197. Grunert J. A. Reguläre Siebzehneck im Kreise // Archiv. f. Math. u. Phys. (Grunert). 1864. Vol. 42. P. 361-374.

198. Güntsche R. Geometrographische Siebzehnteilung des Kreises // Archiv f. Math. u. Phys. (3). 1903. Vol. 4. P. 1-15.

199. GrytczukA. Some remarks on Fermat numbers // Discuss. Math. 1993. Vol. 13. P. 69-73.

200. Grytczuk A., Madryk B. Lower bound for the greatest prime divisors of the generalized Fermat numbers // Southeast Asian Bull. Math. 2004. Vol. 28, № 2. P. 265-268.

201. GrytczukA., Wojtowicz, LucaF. Another note on the greatest prime factors of Fermat numbers // Southeast Asian Bull. Math. 2001. Vol. 25, № 1. P. 111-115.

202. Gulliver T. A. Self-reciprocal polynomials and generalized Fermat numbers // IEEE Trans. Inform. Theory. 1992. Vol. 38. P. 1149-1154.

203. Guthmann A. Effective primality tests for integers of the forms N = k3n + 1 and N = k2m3n + 1 // BIT. 1992. Vol. 32. P. 529-534.

204. Hadamard J. Sur la distribution des zeros de la fonction f (s) et ses consequences arithmétiques. // Bull. Soc. Math. France. 1896. Vol. 24. P. 199-220.

205. HaggeK. Einfache Behandlung der Siebzehnteilung des Kreises // Zeitschr. math. nat. Unterr. 1910. Vol. 41. P. 320325.

206. HaggeK. Einfache Behandlung der 257-teilung des Kreises // Zeitschr. math. nat. Unterr. 1910. Vol. 41. P. 448-458.

207. Hallyburton J. C., Brillhart J. Two new factors of Fermat numbers // Math. Comput. 1975. Vol. 29. P. 109-112; Correction, ibid. 1976. Vol. 30. P. 198.

208. Hardy G. H., Wright E. M. An introduction to the theory of numbers. Oxford: Oxford University Press, 1979.

209. Harvey D., Gallot Y. Distribution of generalized Fermat numbers // Math. Comp. 2001. Vol. 71, № 238. P. 825-832.

210. Harvey D., Keller W. Factors of generalized Fermat numbers // Math. Comp. 1995. Vol. 64, № 209. P. 397-408.

211. Heath T. L. A manual of Greek mathematics. Oxford: Clarendon Press, 1931; Reprinted by Dover Publications in 2003.

212. Helm L., Moore P., Samidoost P., Woltman G. Resolution of the mixed Sierpinski problem // Integers. 2008. Vol. 8, № A61. 8 p.

213. Hermes J. G. Zuräckfiihrung des Problems der Kreistheilung auf lineare Gleichungen (fur Primzahlen von der Form 2m + 1) // Borchardt J. 1879. Vol. 87. P. 84-114.

214. Hermes J. G. Symmetrische und complementare Verteilung der Indexsummenreste r fur Primzahlen von der Form p = 22n + 1 // Hoppe Arch. (2). 1887. Vol. 4. P. 207-218.

215. Hermes J. G. Uber die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen // Mathematisch-Physikalische Klasse. 1894. Vol. 3. P. 170-186.

216. Hermes J. G. Das ethische Moment im mathematischen Unterricht // Hoffmann Z. 1897. Vol. 28. P. 91-93.

217. HewgillD. A relationship between Pascal's triangle and Fermat's numbers // Fibonacci Quart. 1977. Vol. 15. P. 183184.

218. Hilton P., Pedersen J. On folding instructions for products of Fermat numbers // Southeast Asian Bull. Math. 1994. Vol. 18, № 2. P. 19-27.

219. Hofmann J. E. Pierre de Fermat. Eine wissenschaftsgeschichtliche Skizze // Scientiarum Historia. 1971. Vol. 13. P. 198-238.

220. Houel J. Sur le polygone régulier de 17 cotes // Nouv. Annales de Math. 1857. Vol. 16. P. 310-311.

221. H0yrup What is 'geometric algebra', and what has it been in historiography? 2016. Preprint. URL: http://akira.ruc.dk/~jensh/Publications/2016_What%20is%20\T2A\textquoterightGeometric%20Algebra\T2A\ textquoteright_S.pdf (date: 07.12.2022).

222. Hullyburton J. C., Brillhart J. Two new factors of Fermat numbers // Math. Comp. 1975. Vol. 29. P. 109-112.

223. Huron R. L'aventure mathématique de Fermat. Pierre de Fermat, Toulouse et sa région. Actes du XXIe congres d'etudes régionales tenu a Toulouse les 15 et 16 mai 1965 // Federation des Societes Académiques et Savantes de Languedoc—Pyrenees—Gascogne. Toulouse, 1966. P. 13-34.

224. Indlekofer K.-H., Jarai A. Largest known twin primes and Sophie Germain primes // Math. Comp. 1999. Vol. 68, № 227. P. 1317-1324.

225. Itard J. Les méthodes utilisées par Fermat en théorie des nombres // Rev. Histoire Sci. Appl. 1950. Vol. 3. P. 21-26.

226. Izotov A. S. A note on Sierpinski numbers // Fibonacci Quart. 1995. Vol. 33. P. 206-207.

227. JardenD. Divisibility of terms by their subscripts in sequences of sums of powers //Riveon Lematematika. 1958. Vol. 12. P. 78-79.

228. Jaroma J. H. Equivalence of Pepin's and the Lucas—Lehmer tests // Eur. J. Pure Appl. Math. 2009. Vol. 2, № 3. P. 352-360.

229. Jaroma J. H., Reddy K. N. Classical and alternative approaches to the Mersenne and Fermat numbers // Amer. Math. Monthly. 2007. Vol. 114, № 8. P. 677-687.

230. Jimenez Calvo I. A note on factors of generalized Fermat numbers // Appl. Math. Lett. 2000. Vol. 13, № 6. P. 1-5.

231. Jones R., Pearce J. A postmodern view of fractions and the reciprocals of Fermat primes // Math. Mag. 2000. Vol. 73. P. 83-97.

232. Katayama S. The construction of a regular 17-sided polygon // The Tohoku Math. Journal. 1914. Vol. 4. P. 197-202.

233. KazarinoffN. D. On who first proved the impossibility of constructing certain regular polygons with ruler and compass alone //Amer. Math. Monthly. 1968. Vol. 75. P. 647-648.

234. Kazarinoff N. D. Ruler and the round. Classic problems in geometric constructions. The Prindle, Weber and Schmidt complementary Series in Mathematics. Boston—London—Sidney: Prindle, Weber and Schmidt, Inc. 1970.

235. Keller W. Factors of Fermat numbers and large primes of the form k ■ 2n + 1 // Math. Comput. 1983. Vol. 41. P. 661-673.

236. Keller W. Prime factors k ■ 2n + 1 of Fermat numbers Fm and complete factoring status. URL: www.prothsearch. com/fermat.html (date: 07.12.2022).

237. Keller W. New Cullen primes // Math. Comput. 1995. Vol. 64. P. 1733-1741.

238. Klein F. Vortrage über ausgewahlte Fragen der Elementargeometrie. Ausgearbeitet von F. Tägert. Leipzig: Teubner.1895.

239. Klein F. Lecons sur certaines questions de geometrie élémentaire. (Possibilité des constructions géométriques; les polygones réguliers; transcendance des nombres e et n.) Paris: Redaction francaise par J. Griess, 1896.

240. Klein F. Famous problems of elementary geometry: the duplication of the cube, the trisection of an angle, the quadrature of the circle. An authorized translation of F. Klein's Vortrage uber ausgewählte Fragen der Elementar-Geometrie, ausgearbeitet von F. Tagert, by W. W. Beman and D. E. Smith. Boston: Ginn. 1897.

241. Klein F. Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus. Leipzig: Teil 1,1908.

242. KoblitzN. Mathematics as propaganda // Mathematics tomorrow.N. Y.-Heidelberg-Berlin: Springer-Verlag. 1981. P. 111-120.

243. Koblitz N. A tale of three equations; or the emperors have no clothes // The Mathematical Intelligencer. 1988. Vol. 10. P. 4-10.

244. Koblitz N. Random curves: journeys of a mathematician. Berlin: Springer, 2008.

245. Kochendorffer R. Einführung in die Algebra. Berlin: Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1974/

246. KommerellK. Uber die Konstruktion der regularen Polygone // Math. Annalen. 1912. Vol. 72. P. 588-592.

247. Knauer J., Richstein J. The continuing search for Wieferich primes // Math. Comput. 2005. Vol. 74, № 251. P. 15591563.

248. KraitchikM. Sur les nombres de Fermat // C. R. Acad Sci Paris. 1925. Vol. 180. P. 799-801.

249. KraitchikM. Sur le nombre N = 1 (1023 - 1) // Mathesis. 1928. Vol. 42. P. 386-388.

250. KraitchikM. Sur le nombre N = 1 (1023 - 1) // Mathesis. 1929. Vol. 43. P. 154-156.

251. KraitchikM. Les grands nombres premiers // Mathematica. 1933. Vol. 7. P. 92-94.

252. KraitchikM. Les grands nombres premiers // Sphinx. 1933. Vol. 3. P. 99-101.

253. KraitchikM. Factorisation de 2n ± 1 // Sphinx. 1938. Vol. 8. P. 148-150.

254. KraitchikM., On the factorization 2n ± 1 // Scripta Mathematica. 1952. Vol. 18. P. 39-52.

255. KrízekM., O Fermatovych cislech // Pokroky Mat. Fyz. Astronom. 1995. Vol. 40, № 5. P. 243-253.

256. KrízekM. Od Fermatovych prvocísel ke geometrii // Pokroky Mat. Fyz. Astronom. 2001. Vol. 46, № 3. P. 179-191.

257. KrízekM., Chleboun J. A note on factorization of the Fermat numbers and their factors of the form 3h2n + 1 // Math. Bohem. 1994. Vol. 119, № 4. P. 437-445

258. Krízek M., Chleboun J. Is any composite Fermat number divisible by the factor 5h2n + 1? Number theory (Liptovsky jan, 1995) // Tatra Mt. Math. Publ. 1997. Vol. 11. P. 17-21.

259. KrízekM., Krízek P. Kouzelny dvanactisten petiuhelnikovy // Rozhledy Mat.-Fyz. 1997. Vol. 74. P. 234-238.

260. KrízekM., LucaF., SomerL. 17 lectures on Fermat numbers. From number theory to geometry. With a foreword by Alena Solcova. CMS Books in Mathematics/Ouvrages de Mathématiques de la SMC, Vol. 9. Springer-Verlag, New York, 2001. xxiv+257p. 2nd édition 2011.

261. Krízek M., Luca F., Somer L. On the convergence of series of reciprocals of primes related to the Fermat numbers // J. Number Theory. 2002. Vol. 97, № 1. P. 95-112.

262. KrízekM., LucaF., SomerL. Desde los numéros de Fermat hasta la geometría // Gac. R. Soc. Mat. Esp. 2007. Vol. 10, № 2. P. 471-483.

263. Krízek M., Somer L. A necessary and sufficient condition for the primality of Fermat numbers // Math. Bohem. 2001. Vol. 126, № 3. P. 541-549.

264. KrízekM., SomerL. 17 necessary and sufficient conditions for the primality of Fermat numbers // Math. Inform. Univ. Ostraviensis. 2003. Vol. 11, № 1. P. 73-79.

265. Landry F. Aux mathématiciens de toutes les parties du monde. Communication sur la décomposition des nombres en leurs facteurs simples. Paris: Librairie Hachette, 1867.

266. Landry F. Décompositions des nombres 2n ±1 en leurs facteurs premiers de n = 1 a n = 64 (moins quatre), Paris: Librairie Hachette, 1869.

267. Landry F. Sur la decomposition du nombre 264 + 1 // C. R. Acad. Sci. Paris. 1880. Vol. 91. P. 138.

268. Larras J. Sur la primarite des nombres de Fermat // C. R. Acad. Sci. Paris. 1956. Vol. 242. P. 2203-2204.

269. Le M. A note on the greatest prime factors of Fermat numbers // Southeast Asian Bull. Math. 1998. Vol. 22, № 1. P. 41-44.

270. Lehmer D. H. Tests for primality by the converse of Fermat's theorem // Bull. Amer. Math. Soc. 1927. Vol. 33. P. 327-340.

271. Lehmer D. H. A further note on the converse of Fermat's theorem // Bull. Amer. Math. Soc. 1928. Vol. 34. P. 54-56.

272. Lehmer D. H. An extended theory of Lucas' functions // Ann. of Math. 1930. Vol. 31. P. 419-448.

273. Lehmer D. H. D. H. Lehmer, Hunting big game in the theory of numbers // Scripta Math. 1933. P. 229-235.

274. Lehmer D. H. The converse of Fermat's theorem. I, II // Amer. Math Monthly. 1936. Vol. 43. P. 347-354; 1949. Vol. 56. P. 300-309.

275. Lehmer D. H. On the factors of 2n ± 1 // Bull. Amer. Math. Soc. 1947. Vol. 53. P. 164-167.

276. Lenstra A. K., Lenstra H. W., Manasse M. S., Pollard J. M. The factorisation of the ninth Fermat number // Math. Comput. 1993. Vol. 61. P. 319-149.

277. Ligh S., Jones P. Generalized Fermat and Mersenne numbers. // Fibonacci Quart. 1982. Vol. 20, № 1. P. 12-16.

278. Littlewood J. E. Littlewood's miscellany. Edited and with a foreword by Bela Bollobas. Cambridge: Cambridge University Press, 1986.

279. Lucas E. Sur la recherche des grands nombres premiers, Association Francaise pour l'Avancement des Sciences // Comptes Rendus. 1876. Vol. 5. P. 61-68.

280. Lucas E. Théorèmes d'arithmétique // Atti Reale Accad. Scienze Torino. 1878. Vol. 13. P. 271-284.

2n

281. van Maanen J. Euler en Goldbach over de getallen van Fermat: Fn = 22 + 1 // Euclides (Groningen). 1981/82. Vol. 57, № 9. P. 347-356.

282. Mahoney M. S. Fermat's mathematics: Proofs and conjectures // Science. 1972. Vol. 178, № 4056. P. 30-36.

283. Mahoney M. S. The mathematical career of Pierre de Fermat, 1601-1665. Second edition. Princeton Paperbacks. NJ: Princeton University Press, Princeton, 1994.

284. Mahoney M. S. The histories of computing(s) // Interdis. Sci. Rev. 2005. Vol. 30. P. 119-135.

285. Mahoney M. S. What makes the history of software hard and why it matters // IEEE Ann. Hist. Comput. 2008. Vol. 30, № 3. P. 8-18.

286. Martin G. E. Geometric constructions, Undergraduate Texts in Mathematics. NY: Springer-Verlag, 1998.

287. Matthew G., Williams H. C. Some new primes of the form k • 2n + 1 // Math. Comput. 1977. Vol. 31. P. 797-798.

288. Maywald G. A. R. Das regulare 34- und 514-Eck // Vierundzwanzigster Jahresbericht äber die Realschule zu Goärlitz (Gäorlitz, 1861). 1861. P. 3-19.

289. McIntosh R. A necessary and sufficient condition for the primality of Fermat numbers // Amer. Math. Monthly. 1983. Vol. 90, № 2. P. 98-99.

290. Montgomery H. L., Wagon S. A heuristic for the prime number theorem // Math. Intelligencer. 2006. Vol. 28, № 3. P. 6-9.

291. Morehead J. C. Note on Fermat's numbers // Bull. Amer. Math. Soc. 1905. Vol. 11. P. 543-545.

292. Morehead J. C. Note on the factors of Fermat's numbers // Bull. Amer. Math. Soc. 1906. Vol. 12. P. 449-451.

293. Morehead J. C., WesternA. E. Note on Fermat's numbers // Bull. Amer. Math. Soc. 1909. Vol. 16. P. 1-6.

294. Morimoto V. On prime numbers of Fermat type // Sugaku. 1986. Vol. 38. P. 350-354, (Japanese).

295. Morrison M. A., Brillhart J. The factorization of F7 // Bull. Amer. Math. Soc. 1971. Vol. 77. P. 264.

296. Neugebauer O. Zur geometrischen Algebra (Studien zur Geschichte der antiken Algebra III) // Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik. 1936. Vol. 3. P. 245-259.

297. Neukom H. The Second Life of ENIAC // IEEE Ann. Hist. of Comput. 2006. Vol. 28. P. 4-16.

298. OdoniR.W.K. On the prime divisors of the sequence wn+1 = 1+W1W2... wn //J. London Math. Soc. 1985. Vol. 32. P. 1-11.

299. Ondrejka R. More on large primes // J. Recreational Math. 1978/79. Vol. 11, № 2. P. 112-113.

300. PadoaA. Poligoni regolari di 34 lati. Trattazione elementare // Boll, di Mat, Bologna. 1903. Vol. 2. P. 2-10.

301. Pascal E. Sulla costruzione del poligono regotare di 257 lati // Rend. Acc. Napoli, (2). 1887. Vol. 1. P. 33-39.

302. Pauker M. G. Geometrische Verzeichnung des regelmaßigen Siebzehn-Ecks und Zweyhundersiebenundfänfzig-Ecks in den Kreis // Jahresverhandlungen der Kurländischen Gesellschaft fur Literatur und Kunst. 1822. Vol. 2. P. 160-219.

303. Paxson G.A. The compositeness of the thirteenth Fermat number//Math. Comput. 1961. Vol. 15. P. 420.

304. Pepin T. Sur la formule 22n + 1 // C. R. Acad. Sci. Paris. 1878. Vol. 85. P. 329-331.

305. Pierpoint J. On an undemonstrated theorem of the Disquisitiones Arithmeticae // Bull. Amer. Math. Soc. 1895. Vol. 2. P. 77-83.

306. PocklingtonH. C. The determination of the prime or composite nature of large numbers by Fermat's theorem // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1914. Vol. 18. P. 29-30.

307. Pomerance C., Selfridge J. L., WagstaffS. S. The pseudoprimes to 25 ■ 109 // Math. Comput. 1980. Vol. 35, № 151. P. 1003-1026.

308. Pomey L. Sur les nombres de Fermat et de Mersenne // Ann. Fac. Sci. Toulouse Sci. Math. Sci. Phys. (3). 1924. Vol. 16. P. 135-138.

309. PopelierP. L.A. The heptadecagon: a curious object.... //Math. Éd. 1993. Vol. 9, № 3. P. 154-158.

310. PopelierP. L.A. The heptadecagon: a curious object.... // Math. Student. 1997. Vol. 66, № 1-4. P. 217-223.

311. Proth F. Théorémes sur les nombres premiers // C. R. Acad. Sci. Paris. 1878. Vol. 87. P. 926.

312. Reich K. Die Entdeckung und frühe Rezeption der Konstruierbarkeit des regelmäßigen 17-Écks und dessen geometrische Konstruktion durch Johannes Érchinger (1825) // Mathesis. Verl. Gesch. Nat.wiss. Tech. Berlin, 2000. P. 101-118.

313. Ribenboim P. 1093 // Math. Intelligencer. 1983. Vol. 5, № 2. P. 28-34.

314. Ribenboim P. The book of prime number records. 2nd ed. NY: Springer-Verlag, 1989.

315. Ribenboim P. The new book of prime number records. NY: Springer-Verlag, 1996.

316. Ribenboim P. My numbers, my friends. Popular lectures on number theory. NY: Springer-Verlag, 2000.

317. Ribenboim P. The little book of bigger primes. 2nd ed. NY: Springer-Verlag, 2004.

318. Ribenboim P. Die Welt der Primzahlen. Geheimnisse und Rekorde. 2nd ed. Heidelberg: Springer, 2011.

319. Richelot F. J. De resolutione algebraica aequationis x257 = 1, sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata // J. reine angew. Math. 1832. Vol. 9. P. 146-161. doi:10.1515/crll.1832.9.337

320. Riesel H. A note on the prime numbers of the forms N = (6a + 1)22n-1 - 1 and M = (6a - 1)22n - 1 //Ark. Mat. 1956. Vol. 3. P. 245-253.

321. Riesel H. A factor of the Fermat number F19 // Math. Comput. 1963. Vol. 17. P. 458.

nn

322. RieselH. Some factors of the numbers Gn = 62 + 1 and Hn = 102 + 1 // Math. Comput. 1969. Vol. 23. P. 413-415.

2n

323. RieselH. Common prime factors of the numbers An = a2 + 1. Nordisk Tidskr // Informationsbehandling (BIT). 1969. Vol. 9. P. 264-269.

324. Riesel H. Lucasian criteria for the primality of M = h ■ 2n - 1 // Math. Comput. 1969. Vol. 23. P. 869-875.

325. Riesel H. Prime numbers and computer methods for factorization. Modern Birkhüauser Classics. NY: Birkhaüuser/Springer, 201.2

326. Riesel H., BjornA. Generalized Fermat numbers //Mathematics of computation, 1943-1993: a half- century of computational mathematics. Mathematics of computation 50th anniversary symposium, August 9-13, 1993, Vancouver, Canada. Providence, RI: American Mathematical Society, Proc. Symp. Appl. Math. 1994. Vol. 48. P. 583-587.

327. Robertson J., Snyder C. A simple geometric construction involving ultraradicals // J. Aust. Math. Soc. 2011. Vol. 91, № 1. P. 103-124.

328. Robinson R. M. Mersenne and Fermat numbers // Proc. Amer. Math. Soc. 1954. Vol. 5. P. 842-846.

329. Robinson R.M. Factors of Fermat numbers//Math. Tables Aids Comput. 1957. Vol. 11. P. 21-22.

330. Robinson R. M. Some factorizations of numbers of the form 2n ± 1 // Math. Tables Aids Comput. 1957. Vol. 11. P. 265-268.

331. Robinson R. M. The converse of Fermat's theorem // Amer. Math. Monthly. 1957. Vol. 64. P. 703-710.

332. Robinson R. M. A report on primes of the form k ■ 2n + 1 and on factors of Fermat numbers // Proc. Amer. Math. Soc. 1958. Vol. 9. P. 673-681.

333. Rodseth O. J. A note on primality tests for N = h ■ 2n - 1 // BIT. 1994. Vol. 34, № 3. P. 451-454.

334. Rose A. Lightning strikes mathematics: ÉNIAC // Popular Sci. 1946. Vol. 148. P. 83-86.

335. Rotkiewicz A. Remarque sur un théoréme de F. Proth // Mat. Vesnik. 1964. Vol. 1, № 16. P. 244-245.

336. Sadornil D., Tena J. A Lucas—Lehmer primality test for the numbers n = Ap1 p22 ■ ■ ■ Pt' + bJ // Proc. 5-th Conference on Discrete Mathematics and Computer Science, Ciencias (Valladolid), 23, Univ. Valladolid, Secr. Publ. Intercamb. Éd., Valladolid. 2006. P. 437-444.

337. Sandifer C. W. The early mathematics of Leonhard Éuler. Washington, D.C.: MAA Spectrum. Mathematical Association of America, 2007.

338. Sandifer C. W. How Éuler did it. Washington, D.C.: MAA Spectrum. Mathematical Association of America, 2007.

339. Sandifer C. W. How Éuler did even more. With a preface by Rob Bradley. With chapters by Bradley and Dominic Klyve. Washington, D.C.: Mathematical Association of America, 2015.

340. SchinzelA. On primitive prime factors of an - bn // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1962. Vol. 58. P. 555-562.

341. SchlaflyA., Wagon S. Carmichael's conjecture on the Éuler function is valid below 1010,000,000 // Math. Comput. 1994. Vol. 63, № 207. P. 415-419.

342. Schneider M. ContextualizingUnguru's 1975 attack on the historiography of ancient Greek mathematics //Volker Remmert, Martina Schneider, Henrik Kragh Sorensen (ed.), Historiography of Mathematics in the 19th and 20th centuries. Basel, Switzerland: Birkhüauser. 2016. P. 245-267.

343. Schoenborn W. Elementare Beweise fur einige Gleichungen, die Statt haben zwischen dem Radius eines Kreises, der Seite und der Diagonale der eingeschriebenen regularen 10-, 14-, 18-, 26-, 34-ecke. Pr. Krotoschin, 1873.

344. Schröter H. Zur v. Staudt'schen Construction des regularen Siebenzehnecks // Borchardt J. 1872. Vol. 75. P. 13-24.

345. Schwendenwein H. Das regelmä | ßige 257eck // Programm des k. k. (vereinigten) StaatsGimnasiums in Teschen fur das Schuljahr 1891/92 Teschen, 1892. P. 1-22.

346. SeelhoffP. Die Zahlen von der Form k ■ 2n + 1 // Zeitschrift fur Mathematik und Physik. 1886. Vol. 31. P. 380.

347. SeelhoffP. Die Aufläsung grosser Zahlen in ihre Factoren // Zeitschrift fär Mathematik und Physik. 1886. Vol. 31. P. 166-174.

348. SeelhoffP. Die neunte vollkommene Zahl // Zeitschrift fur Mathematik und Physik. 1886. Vol. 31. P. 174-178.

349. SelbergA. An elementary proof of the prime number theorem//Ann. Math. 1951. Vol. 85. P. 203-362.

350. Selfridge J. L. Factors of Fermat numbers // Mathematical Tables and Other Aids to Computation. 1953. Vol. 7. P. 274-275.

351. Selfridge J. L., HurwitzA. Fermat numbers and Mersenne numbers // Math. Comput. 1964. Vol. 18. P. 146-148.

352. Shanks D. Solved and Unsolved Problems in Number Theory. New York: AMS Chelsea, 2002.

353. Shevelev V., Gacría-Pulgarín G., Velasquez-Soto J. M., Castillo J. H. Overpseudoprimes, and Mersenne and Fermat numbers as primover numbers // J. Integer Seq. 2012. Vol. 15, № 7, Article 12.7.7. P. 1-10.

354. Shippee D. E. Four new factors of Fermat numbers // Math. Comput. 1978. Vol. 32. P. 941.

355. Shiu P. Fermat's method of factorisation // Math. Gaz. 2015. Vol. 99, № 544. P. 97-103.

356. Shiu P. Cyclotomy and the heptadecagon // Math. Gaz. 2016. Vol. 100, № 548 P. 288-297.

357. Shorey T. N., Stewart C. L. On divisors of Fermat, Fibonacci, Lucas and Lehmer numbers. II // J. London Math. Soc. (2). 1981. Vol. 23, № 1. P. 17-23.

358. Sierpinski W. Sur un probl'eme concernant les nombres k ■ 2n + 1 // Elem. Math. 1960. Vol. 15. P. 73-74.

359. Sierpinski W. Sur un theoreme de F. Proth // Mat. Vesnik. 1964. Vol. 1, № 16. P. 243-244.

360. Simon H. A. Unclad emperors: A case of mistaken identity //The Mathematical Intelligencer. 1988. Vol. 10. P. 1114.

361. Smith L. L. Problems and Solutions: A Construction of the Regular Polygon of Seventeen Sides // Amer. Math. Monthly. 1920. Vol. 27, № 7-9. P. 322-323.

362. Solcova A., Krízek M. Fermat and Mersenne numbers in Pepin's test // Demonstratio Math. 2006. Vol. 39, № 4. P. 737-742.

363. SomerL. My twelve years of collaboration with Michal Krízek on number theory//Applications of mathematics 2012. Prague: Acad. Sci. Czech Repub. Inst. Math., 2012. P. 267-277.

364. von Staudt Ch. Construction des regularen Siebenzehnecks // J. Reine Angew. Math. 1842. Vol. 24. P. 251.

365. Steggall. The value of cos 2n/17 expressed in quadratic radicals // Proc. Edinb. Math. Soc. 1888-89. Vol. 7. P. 4-5.

366. Stein A., Williams H. C. Explicit primality criteria for (p - 1)pn -1 //Math. Comput. 2000. Vol. 69, № 232. P. 17211734.

367. Stewart C. L. The greatest prime factor of an - bn // Acta Arith. 1974/75. Vol. 26, № 4. P. 427-433.

368. Stewart C. L. On divisors of Fermat, Fibonacci, Lucas, and Lehmer numbers // Proc. London Math. Soc. (3). 1977. Vol. 35, № 3. P. 425-447.

369. Stewart C. L. On divisors of Fermat, Fibonacci, Lucas and Lehmer numbers. III // J. London Math. Soc. (2). 1983. Vol. 28, № 2. P. 211-217.

370. Strommer Gy. Konstruktion des reguläaren Siebzehnecks mit Lineal und Streckenuäbertrager // Acta Math. Hungar. 1992. Vol. 59. P. 217-226; Corrigendum to that, ibid. 1992. Vol. 60, № 3-4. P. 269-270.

371. Strommer Gy. Konstruktion des regularen Siebzehnecks mit Lineal und Streckenäbertrager // Period. Polytech., Mech. Eng. 1992. Vol. 36, No. 3-4. P. 181-190.

372. Strommer Gy. Zur Konstruktion des regularen Siebzehnecks // Stud. Sci. Math. Hung. 1995. Vol. 30, № 3-4. P. 433441.

373. Strommer Gy. Konstruktion des regularen 257-Ecks mit Lineal und Streckenäbertrager // Acta Math. Hung. 1996. Vol. 70, № 4. P. 259-292.

374. Sun Z.-H. Primality tests for numbers of the form K ■ 2m ± 1 // Fibonacci Q. 2006. Vol. 44, № 2. P. 121-130.

375. Sze Tsz-Wo. Deterministic Primality Proving on Proth Numbers // arXiv:0812.2596v5 [math.NT], 4 July 2011. URL: https://arxiv.org/abs/0812.2596v5 (date: 07.12.2022).

376. Tannery P. Pour l'Histoire de la Science Hellene. De Thales a Empedocle 2-nd ed. Paris: Gauthier-Villars, 1930.

377. Trott M. cos(2n/257) ala Gauss// Mathematica Educ. Res. 1995. Vol. 4. P. 31-36.

378. Trott M. §1.10.2.cos(2n/257) a la Gauss // The Mathematica GuideBook for Symbolics. New York: SpringerVerlag, 2006. P. 312-321.

379. Unguru S. On the need to rewrite the history of Greek mathematics // Archive for History of Exact Sciences. 1975/76. Vol. 15, № 1-2. P. 67-114.

380. Unguru S. Fermat revivified, explained, and regained // Francia. 1976. Vol. 4. P. 774-789.

381. Unguru S. History of ancient mathematics: Some reflections of the state of the art//Isis. 1979. P. 70, № 4. 555-565.

382. Unguru S., Rowe D. Does the quadratic equation have Greek roots? A study of 'geometric algebra', 'application of areas', and related problems // Libertas Math. 1981. Vol. 1. P. 1-49.

383. Unguru S., Rowe D. Does the quadratic equation have Greek roots? A study of 'geometric algebra', 'application of areas', and related problems. II // Libertas Math. 1982. Vol. 2. P. 1-62.

384. Uspensky J. V, Heaslet M. A. Élementary Number Theory. New York: McGraw-Hill, 1939. P. 317-323.

385. de la Vallée-Poussin Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers // Ann. Soc. Sci. Bruxelles. 1896. Vol. 20. P. 183-256, 281-297.

386. Varshney A. K. An extension of Fermat's numbers // Proc. Math. Soc. 1991. Vol. 7. P. 163-164.

387. Velez P., Luis O. A Chord Approach for an Alternative Ruler and Compasses Construction of the 17-Side Regular Polygon // Geom. Dedicata. 1994. Vol. 52. P. 209-213.

388. Videla C. R. On points constructible from conics // Math. Intelligencer. 1997. Vol. 19, № 2. P. 53-57.

389. B. L. van der Waerden B. L. Defence of a 'shocking' point of view // Archive for History of Éxact Sciences. 1976. Vol. 15, № 3. P. 199-210.

390. WagstaffS. S. Computing Éuclid's primes // Bull. Inst. Combin. Appl. 1993. Vol. 8. P. 23-32.

391. WagstaffS. S.Jr. The joy of factoring. Student Mathematical Library. Vol. 168. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2013.

392. Wagstaff S. S. Jr. The Cunningham project. High primes and misdemeanours: lectures in honour of the 60th birthday of Hugh Cowie Williams // Fields Inst. Commun. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2004. Vol. 41. P. 367378.

393. WantzelP. L. Recherches sur les moyens de reconnaître si un Probléme de Géométrie peut se résoudre avec la réglé et le compas // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 1837. Vol. 1, № 2. P. 366-372.

394. Warren L.J.,Bray H. G. On the square-freeness of Fermat and Mersenne numbers //Pacific J. Math. 1967. Vol. 22. P. 563-564.

395. Weil A. Review of "The mathematical career of Pierre de Fermat", M. S. Mahoney // Bulletin of the AMS. 1973. Vol. 6,1138-1149.

396. Weil A. Who betrayed Éuclid? Éxtract from a letter to the editor // Archive for History of Éxact Sciences. 1978. Vol. 19, № 2. P. 91-93.

397. Weil A. The History of Mathematics: Why and How // Proceedings of the International Congress of Mathematics, Helsinki 1978. Academia Scientiarum Finnica. 1980. Vol. 1. P. 227-236.

398. Weil A. Number theory. An approach through history from Hammurapi to Legendre. Reprint of the 1984 ed. Modern Birkhaüuser Classics. Boston, MA: Birkhüauser Boston, Inc., 2007.

399. Williams H. C. The primality of N = 2A3n - 1 // Can. Math. Bull. 1972. Vol. 15. P. 585-589.

400. Williams H. C. Primality testing on a computer // Ars Combin. 1978. Vol. 5. P. 127-185.

401. Williams H. C. The primality of certain integers of the form 2Arn - 1 // Acta Arith. 1981. Vol. 39, № 1. P. 7-17.

402. Williams H. C. Factoring on a computer // Math. Intelligencer. 1984. Vol. 6. P. 29-36.

403. Williams H. C. Éffective primality tests for some integer of the form A5n - 1 and A7n - 1 // Math. Comput. 1987. Vol. 48. P. 385-403.

nn

404. Williams H. C. A note on the primality of 62 + 1 and 102 + 1 // Fibonacci Quart. 1988. Vol. 26, № 4. P. 296-305.

405. Williams H. C. How was F6 factored? // Math. Comp. 1993. Vol. 61. P. 463-474.

406. Williams H. C. Édouard Lucas and Primality Testing. Wiley, 1998.

407. Williams H. C., SeahE. Some primes of the form (an - 1)/(a - 1) //Math. Comput. 1979. Vol. 33, № 148. P. 13371342.

408. Williams, H. C., Shallit J. O. Factoring integers before computers. In Mathematics of Computation, 1943-1993: A Half-Century of Computational Mathematics (ed. W. Gautschi) // Proc. Symp. Appl. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1994. Vol. 48. P. 481-531.

409. Williams H. C., Zarnke C. R. Some prime numbers of the forms 2 A3n +1 and 2 A3n -1 // Math. Comp. 1972. Vol. 26. P. 995-998.

410. Witno A. Primes modulo which almost all Fermat numbers are primitive roots // Note Mat. 2010. Vol. 30, № 1. P. 133-140.

2n

411. Witno A. 0 n generalized Fermat numbers 32 + 1 //Applied Math. & Information sciences. 2010. Vol. 4, № 3. P. 307-313.

412. Witno A. Hypothetical elite primes for Mersenne numbers and repunits // J. Integer Seq. 2021. Vol. 24, № 1, Article 21.1.7.

413. Wolfart J. Primzahltests und Primfaktorzerlegung // Yearbook: Surveys of mathematics 1981. Mannheim: Bibliographisches Inst., 1981. P. 161-188.

414. Wrathall C. P. New factors of Fermat numbers // Math. Comp. 1964. Vol. 18. P. 324-325.

415. Yates S. Sylvester primes // J. Recreational Math. 1975/76. Vol. 8, № 3. P. 215-217.

416. Yates S. Prime divisors of repunits // J. Recreational Math. 1975/76. Vol. 8, № 1. P. 33-38.

417. Yates S. Cofactors of repunits // J. Recreational Math. 1975/76. Vol. 8, № 2. P. 99-107.

418. Yates S. The mystique of repunits // Math. Mag. 1978. Vol. 51, № 1. P. 22-28.

419. Yates S. Repunits and repetends. With a foreword by D. H. Lehmer. Delray Beach, Fla., 1982.

420. Young J. Large primes and Fermat factors // Math. Comp. 1998. Vol. 67. P. 1735-1738.

421. Young J., Buell D. A. The twentieth Fermat number is composite // Math. Comp. 1988. Vol. 50. P. 261-263.

422. Zeuthen H.G. Die geometrische Construction als 'Existenzbeweis' in der antiken Geometrie // Math. Ann. 1896. Vol. 47. P. 222-228.

423. Zsigmondy K. Zur Theorie der Potenzreste // Monatshefte Math. Phys. 1892. Vol. 3. P. 265-284.

424. Anderson L., Chahal J. S., Top J. The last chapter of the Disquisitiones of Gauss // Hardy—Ramanujan Journal. 2021. Vol. 44. P. 152-159.

425. Kay L. D. Felix Klein, Sophus Lie, contact transformations, and connexes // Arch. Hist. Exact Sci. 2023. doi:10.10 07/s00407-023-00305-1

426. Lützen J. Why was Wantzel overlooked for a century? The changing importance of an impossibility result // Historia Math. 2009. Vol. 36, № 4. P. 374-394. doi:10.1016/j.hm.2009.03.001

Поступила в редакцию 05.10.2022, окончательный вариант — 07.12.2022.

Вавилов Николай Александрович, доктор физико-математических наук, профессор факультета математики и компьютерных наук СПбГУ, E3nikolai-vavilov@yandex.ru

Computer tools in education, 2022

№ 4: 5-67

http://cte.eltech.ru

doi:10.32603/2071-2340-2022-4-5-67

Computers as Novel Mathematical Reality. VI. Fermat numbers and their relatives

Vavilov N. A.1, Doctor Sc., Professor, El nikolai-vavilov@yandex.ru 1 Saint Petersburg State University, 29, Line 14th, Vasilyevsky Island, 199178, Saint Petersburg, Russia

Abstract

In this part, which constitutes a pendent to the part dedicated to Mersenne numbers, I continue to discuss the fantastic contributions towards the solution o classical problems of number theory achieved over the last decades with the use of computers. Specifically, I address primality testing, factorisations and the search of prime divisors of the numbers of certain special form, primarily Fermat numbers, their friends and relations, such as generalised Fermat numbers, Proth numbers, and the like. Furthermore, we discuss the role of Fermat primes and Pierpoint primes in cyclotomy.

Keywords: Fermat numbers, generalised Fermat numbers, Proth numbers, Pierpoint numbers, cyclotomy.

Citation: N. A. Vavilov, "Computers as Novel Mathematical Reality. VI. Fermat Numbers and Their Relatives," Computer tools in education, no. 4, pp. 5-67, 2022 (in Russian); doi:10.32603/2071 -2340-2022-4-5-67

Acknowledgements: The present paper emerged as part of my work on the RFBR grant 19-29-14141.

References

2m

1. V. Y. Bunyakovsky, "On a new case of divisibility of numbers of the form 22 + 1, reported to the Academy by Father Pervushin (read at the meeting of the Physics and Mathematics Department on April 4,1878)," Zapiski Imperatorskoi Akademii Nauk, vol. 31, no. 1, pp. 223-224,1878 (in Russian).

2. N. A. Vavilov, "Numerology of square equations," Algebra iAnaliz, vol. 20, no. 5, pp. 9-40,2008; doi:10.1090/S1061-0022-09-01068-1

3. N. A. Vavilov, "Computers as novel mathematical reality. I. Personal Account," Computer tools in education, no. 2, pp. 5-26, 2020 (in Russian); doi: 10.32603/2071-2340-2020-2-5-26

4. N. A. Vavilov, "Computers as novel mathematical reality. II. Waring Problem," Computer tools in education, no. 3, pp. 5-55, 2020 (in Russian); doi: 10.32603/2071-2340-2020-3-5-55

5. N. A. Vavilov, "Computers as novel mathematical reality. III. Mersenne numbers and divisor sums," Computer tools in education, no. 4, pp. 5-58, 2020 (in Russian); doi: 10.32603/2071-2340-2020-4-5-58

6. N. A. Vavilov, "Computers as novel mathematical reality. IV. Goldbach Problem," Computer tools in education, no. 4, pp. 5-71, 2021 (in Russian); doi: 10.32603/2071-2340-2021-4-5-71

7. N. A. Vavilov, "Computers as novel mathematical reality. V. Easier Waring problem," Computer tools in education, no. 3, pp. 5-63, 2022 (in Russian); doi: 10.32603/2071-2340-2022-3-5-63

8. N. A. Vavilov and V. G. Khalin, Zadachi po kursu Matematika i Komp'yuter. Vyp. 1. Arifmetika i teoriya chisel [Exercises for the course "Mathematics and Computers". Issue 1, Arithmetics and Number Theory], St. Petersburg, Russia: OTsEiM, 2005 (in Russian).

9. N. A. Vavilov, V. G. Khalin, and A. V. Yurkov, Mathematica dlya nematematika [Mathematica for nonmathemati-cian], Moscow: MCCME, 2021 (in Russian).

10. B. L. van der Waerden, Science awakening. Egyptian, Babylonian and Greek mathematics, Moscow: GIFML, 1959 (in Russian).

11. O.N. Vasilenko, "On some properties of Fermat numbers," VestnikMoskov. Univ. Ser. 1. Mat. Mekh., no. 5, pp. 5658, 1998 (in Russian).

12. A. M. Vershik, "The asymptotic distribution of factorizations of natural numbers into prime divisors," Sov. Math. Dokl., vol. 34, pp. 57-61,1987.

13. N. Wiener, I am mathematician, Izhevsk, Russia: Nelin. Dinam., 2001 (in Russian).

14. C. F. Gauss, Disquisitiones arithmeticae, I. M. Vinorradov ed., Moscow: Iz-vo AN SSSR, 1959 (in Russian).

15. C. F. Gauss, "Explanation of the possibility of constructing a seventeenagon," E. P. Ozhigova ed., Istoriko-matematicheskie issledovaniya, vol. 21, pp. 285-291,1976 (in Russian).

16. J. L. Heiberg, Natural science and mathematics in classical antiquity, Leningrad, USSR: ONTI, 1936 (in Russian).

17. S. G. Gindikin, Stories about physicists and mathematicians, Moscow: Nauka, 1981 (in Russian).

18. J. M. Ziman, Elements of advanced quantum theory, Moscow: Mir, 1971 (in Russian).

19. G. P. Matvievskaya, E. P. Ozhigova, N. I. Nevskaya, and Yu. Kh. Kopelevich, Unpublished materials ofL. Euler on number theory, St Petersburg, Russia: Nauka, 1997 (in Russian).

20. I. G. Melnikov, "On some questions of number theory in Euler's correspondence with Goldbach," Istoriya i metodologiya estestvennykh nauk, vol. 5, pp. 15-30,1966 (in Russian).

21. I. G. Melnikov, "Questions of number theory in the works of Fermat and Euler," Istoriko-matematicheskie issledovaniya, vol. 19, pp. 9-38, 1974 (in Russian).

22. 0. Neugebauer, The exact sciences in antiquity, Moscow: Nauka, 1968 (in Russian).

23. J. Needham, A history of embryology, Moscow: Inostr. literatura, 1947 (in Russian).

24. M. M. Postnikov, Galois theory, Moscow: GIFML, 1963 (in Russian).

25. I. Braginskii ed., Poetry and prose of the Ancient East, BVL, ser. I, vol. 1, Moscow: Khudozhestvennaya literatura, 1973 (in Russian).

26. V. V Prasolov and Yu. P. Solov'ev, Elliptic Junctions and algebraic equations, Moscow: Faktorial, 1997 (in Russian).

27. E. V. Sadovnik, "Testing numbers of the form N = 2kpm - 1 for primality," Discrete Math. Appl., vol. 16:2, pp. 99-108, 2006; doi:10.1515/156939206777344610

28. E. V. Sadovnik, "Testing numbers of the form N = 2kpJ"1 pl2 • • • pln - 1 for primality," Discrete Math. Appl., vol. 18, no. 3, pp. 239-249, 2008; doi:10.1515/DMA.2008.019

29. S. B. Stechkin, "Lucas's criterion for the primality of numbers of the form N = h2n - 1," Math. Notes, vol. 10:3, pp. 578-584, 1971; doi:197110.1007/BF01464716

30. D. K. Faddeev, Algebra Lectures. Moscow, Nauka, 1984 (in Russian).

31. P. Fermat, Studies in number theory and diophantine analysis, Moscow, Nauka, 1992 (in Russian).

32. G. G. Hardy, Ramanujan: twelve lectures on subjects suggested by his life and work, Moscow: In-t Komp'yuternykh Issl., 2002 (in Russian).

33. N. G. Chebotarev, Galois theory, Leningrad, USSR: ONTI, 1936 (in Russian).

34. H. G. Zeuthen, History of mathematics in antiquity and the Middle Ages, Leningrad, USSR: GTTI, 1932 (in Russian).

35. F. Adler, Theorie der geometrischen Konstruktionen, Sammlung Schubert, vol. 52, Leipzig, Germany: Goschen, 1906 (in German).

36. F. J. Affolter, "Zur Staudt—Schroter'schen Construction des regularen Vielecks," Math. Ann., vol. 6, pp. 582-591, 1873 (in German).

37. R. C. Agarwal and C. S. Burrus, "Fast digital convolution using Fermat transforms," in Southwest IEEE Conf. Rec., Houston, Texas, pp. 538-543.1973.

38. R. C. Agarwal and C. S. Burrus, "Fast convolution using Fermat number transforms with applications to digital filtering," in IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Processing, vol. 22, pp. 87-97,1974.

39. A. Aigner, "Über Primzahlen, nach denen (fast) alle Fermatschen Zahlen quadratische Nichtreste sind," Monatsh. Math., vol. 101, no. 2, pp. 85-93,1986 (in German).

40. B. Amiot, "Memoire sur les polygones reguliers," Nouv. Annales de Math., vol. 4, pp. 264-278,1844 (in French).

41. R. C. Archibald, "The history of the construction of the regular polygon of seventeen sides," American M. S. Bull. vol. 22, pp. 239-246, 1916.

42. R. C. Archibald, "Gauss and the regular polygon of seventeen sides," Am. Math. Monthly, vol. 27, pp. 323-326, 1920.

43. J. M. Arnaudies and P. Delezoide, "Nombres (2,3)-constructibles," Adv. Math., vol. 158, no. 2, pp. 169-252, 2001.

44. S. P. Arya, "Fermat numbers," Math. Ed., vol. 6, pp. 5-6,1989.

45. S. P. Arya, "More about Fermat numbers," Math. Ed., vol. 7, pp. 139-141,1990.

46. S. Asadulla, "A note on Fermat numbers," J. Natur. Sci. Math., vol. 17, pp. 113-118,1977.

47. Z. S. Aygin and K. S. Williams, "Why does a prime p divide a Fermat number?," Math. Mag., vol. 93, no. 4, pp. 288294, 2020.

48. P. Bachmann, Die Lehre von der Kreistheilung und ihre Beziehungen zur Zahlentheorie, Leipzig, Germany: Teubner, 1872 (in German).

49. D. Bardziahin, "Finding special factors of values of polynomials at integer points," Int. J. Number Theory, vol. 13, no. 1, pp. 209-228, 2017.

50. S. Baek, I. Choe, Y. Jung, D. Lee, and J. Seo, "Constructions by ruler and compass, together with a fixed conic," Bull. Aust. Math. Soc., vol. 88, no. 3, pp. 473-478, 2013.

51. R. Baille, "New primes of the form k ■ 2n + 1," Math. Comput., vol. 33, no. 148, pp. 1333-1336,1979.

52. R. Baillie, G. Cormack, and H. C. Williams, "The problem of Sierpinski concerning k ■ 2n + 1," Math. Comp., vol. 37, no. 155, pp. 229-231, 1981.

53. R. Baillie and S. S. Wagstaff, "Lucas pseudoprimes," Math. Comp., vol. 35, no. 152, pp. 1391-1417,1980.

54. E. Bainville and B. Geneves, "Constructions using conics," Math. Intelligencer, vol. 22, no. 3, pp. 60-72, 2000.

55. R. Ballinger and W. Keller, Proth Search Page, 1997.

56. A. Baragar, "Constructions using a compass and twice-notched straightedge," MAA Month., vol. 109, pp. 151-164, 2002.

57. C. B. Barker, "Proof that the Mersenne number M167 is composite," Bull. Amer. Math. Soc., vol. 51, pp. 389-389, 1945.

58. K. Barner, "Paul Wolfskehl und der Wolfskehl-Preis," Mitt. Dtsch. Math.-Ver., vol. 5, no. 3, pp. 4-11, 1997 (in German).

59. K. Barner, "How old did Fermat become?," N.T.M., vol. 9, no. 4, pp. 209-228, 2001.

60. K. Barner, "Das Leben Fermats," Mitt. Deutsch. Math.-Ver., vol. 9, no. 3, pp. 12-26, 2001 (in German); doi:10.1515/dmvm-2001-0070

61. K. Barner, "Neues zu Fermats Geburtsdatum," Mitt. Deutsch. Math.-Ver., vol. 15, no. 1, pp. 12-14, 2007 (in German).

62. K. Barner, "Pierre Fermat. Sa vie privee et professionnelle," Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6), vol. 18, pp. 119-135, 2009 (in French).

63. N. G. W. H. Beeger, "On even numbers m dividing 2m - 2," Amer. Math. Monthly, vol. 58, pp. 553-555,1951.

64. E. Benjamin, "On the constructibility of real 5th roots of rational numbers with marked ruler and compass," ISRNAlgebra, art. ID 487275, 2012.

65. E. Benjamin, "On constructing real 5th roots by marked ruler and compass through verging between a line and a circle," JP J. Algebra Number Theory Appl., vol. 30, no. 1, pp. 35-46, 2013.

66. E. Benjamin and C. Snyder, "On the construction of the regular hendecagon by marked ruler and compass," Math. Proc. Camb. Phil. Soc., vol. 156, pp. 409-424, 2014.

67. E. Benjamin and C. Snyder, "On the construction of the regular hendecagon by marked ruler and compass," Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., vol. 156, no. 3, pp. 409-424, 2014.

68. P. Berrizbeitia and T. G. Berry, "Cubic reciprocity and generalised Lucas—Lehmer tests for primality of A-3n ± 1," Proc. Amer. Math. Soc., vol. 127, no. 7, pp. 1923-1925,1999; doi:10.1090/S0002-9939-99-04786-3

69. P. Berrizbeitia, T. G. Berry, and J. Tena-Ayuso, "A generalization of Proth's theorem," ActaArith., vol. 110, pp. 107115, 2003.

70. P. Berrizbeitia and B. Iskra, "Deterministic primality test for numbers of the form A2 ■ 3n + 1, n > 3 odd," Proc. Amer. Math. Soc., vol. 130, no. 2, pp. 363-365, 2002; doi:10.1090/S0002-9939-01-06100-7

71. I. Bethune, "PrimeGrid: A Volunteer Computing Platform for Number Theory," in Proc. of International Conference on Computational Mathematics, Computational Geometry & Statistics (CMCGS) 2015, pp. 114-120, 2015; doi:10.5176/2251-1911_CMCGS15.43

72. I. Bethune and Y. Gallot, "Genefer: programs for finding large probable generalised Fermat primes," J. Open Research Software, vol. 3, no. 1, p. e10, 2015; doi:10.5334/jors.ca

73. I. Bethune and M. Goertz, "Extending the generalized Fermat prime number search beyond one million digits using GPUs," in Proc. ofParallel processing and applied mathematics, part. I, Lecture Notes in Comput. Sci., vol. 8384, pp. 106-113, Springer, Heidelberg, 2014.

74. W. Bishop, "How to construct a regular polygon," Amer. Math. Monthly, vol. 85, pp. 186-188,1978.

75. C. E. Bickmore, "Is the number 78875943472201 prime or composite?," Ed. Times, vol. 72, pp. 99-101,1900.

76. K.-R. Biermann, "T. Clausen, Mathematiker und Astronom," J. Reine Angew. Math., vol. 216, pp. 158-198,1964; doi:10.1515/crll.1964.216.159

77. G. D. Birkhoff and H. S. Vandiver, "On the integral divisors of an - bn," Ann. Math., vol. 5, pp. 173-180,1904.

78. W. Bishop, "How to Construct a Regular Polygon," Amer. Math. Monthly, vol. 85, pp. 186-188,1978.

79. A. Björn and H. Riesel, "Factors of generalized Fermat numbers," Math. Comput., vol. 67, no. 221, pp. 441-446, 1998; Table errata, ibid, vol. 74, no. 252, p. 2099, 2005; Table errata 2, ibid, vol. 80, no. 275, pp. 1865-1866, 2011.

80. V. Blasjä, "A critique of the modern consensus in the historiography of mathematics," Journal of Humanistic Mathematics, vol. 4, no. 2, pp. 113-123, 2014.

81. V. Blasjo, "In defence of geometrical algebra," Archive for History of Exact Sciences, vol. 70, no. 3, pp. 325-359, 2016.

82. Bochow, "Eine einfache Berechnung des 17 Ecks," ZeitschriftfilrMath. u. Phys. (Schlömilch), vol. 38, pp. 250-252, 1893 (in German).

83. K. D. Boklan and J. H. Conway, "Expect at most one billionth of a new Fermat Prime!," Math. Intelligencer, vol. 39, no 1, pp. 3-5, 2017; doi:10.1007/s00283-016-9644-3

84. B. Borsos, A. Kovacs, and N. Tihanyi, "Tight upper and lower bounds for the reciprocal sum of Proth primes," The Ramanujan J., vol. 59, no. 1, pp. 181-198, 2022; doi:10.1007/s11139-021-00536-2

85. W. Bosma, "Explicit primality criteria for h2k + 1," Math. Comp., vol. 61, pp. 97-109,1993.

86. W. Bosma, "Cubic reciprocity and explicit primality tests for h-3k ±1, High primes and misdemeanours: lectures

in honour of the 60th birthday of Hugh Cowie Williams," Fields Inst. Commun., vol. 41, pp. 77-89, 2004.

2m , , ,

87. V. Ya. Bouniakowsky, "Nouveau cas de divisibilité des nombres de la forme 22 + 1 trouve par le reverend pere I. Pervouchine (Lu le 17 janvier 1878)," Bull l'Acad. St.-Petersbourg, vol. 24, no. 4, p. 559,1878; republié: Melanges math. et. astr. St.-Petersbourg, vol. 5, no. 5, pp. 505-506,1879 (in France).

88. V. Ya. Bouniakowsky, "Encore un nouveau cas de divisibilité des nombres de la forme 22 + 1 (Lu le 4/16 avril 1878)," Bull l'Acad. St.-Petersbourg, vol. 25, pp. 63-64, 1879; republié: Melanges math. et. astr. St.-Petersbourg, vol. 5, no. 5, pp. 519-520, 1879 (in France).

89. R. P. Brent, "Succinct proofs of primality for the factors of some Fermat numbers," Math. Comp., vol. 38, no. 157, pp. 253-255, 1982.

90. R. P. Brent, "Factorization of the eleventh Fermat number," Abstracts Amer. Math. Soc., vol. 10, pp. 176-177, 1989.

91. R. P. Brent, "Parallel algorithms for integer factorisation, Number theory and cryptography (Sydney, 1989)," London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 154, pp. 26-37,1990.

92. R. P. Brent, "Factorisation of the tenth and eleventh Fermat number," Technical report, Australian Nat. Univ., no. TR-CS-96-02, 1996.

93. R. P. Brent, "Factorisation of the tenth Fermat number," Math. Comput., vol. 68, pp. 429-451,1999.

94. R. P. Brent, R. E. Crandall, K. Dilcher, and C. van Halewyn, "Three new factors of Fermat numbers," Math. Comput., vol. 69, no. 231, pp. 1297-1304, 2000.

95. R. P. Brent and J. M. Pollard, "The factorisation of the eighth Fermat number", Math. Comput., vol. 36, pp. 627-630. 1981.

96. D. M. Bressoud, Factorization and primality testing, Springer, New York, 1989.

97. J. Brillhart, "Concerning the numbers 22p + 1, p prime," Math. Comput., vol. 16, pp. 424-430.1962.

98. J. Brillhart, "Some miscellaneous factorizations," Math. Comput., vol. 17, 447-450. 1963

99. J. Brillhart, "On the factors of certain Mersenne numbers. II," Math. Comput., vol. 18, pp. 87-92,1964.

100. J. Brillhart and G. D. Johnson, "On the factors of certain Mersenne numbers," Math. Comput., vol. 14, pp. 365-369, 1960.

101. J. Brillhart, D. H. Lehmer, and J. L. Selfridge, "New primality criteria and factorizations of 2m ± 1," Math. Comp., vol. 29, pp. 620-647, 1975.

102. J. Brillhart, D. H. Lehmer, and J. L. Selfridge, B. Tuckerman, and S. S. Jr. Wagstaff, Factorizations of bn ± 1, b = 2,3,5,6,7,10,11,12 up to high powers, 2nd ed., vol. 22, Providence, RI, USA: Amer. Math. Soc., 1988.

103. J. Brillhart and J. L. Selfridge, "Some factorizations of 2n ± 1 and related results," Math. Comput., vol. 21, pp. 87-96, 1967; Corrigendum, ibid. vol. 21, p. 751,1967.

104. J. P. Buhler and D. Harvey, "Irregular primes to 163 million," Math. Comput., vol. 80, no. 276, pp. 2435-2444, 2011.

105. Y. Burda and L. Kadets, "Construction of the heptadecagon and quadratic reciprocity," C. R. Math. Acad. Sci. Soc. R. Can. vol. 35, no. 1, pp. 16—21, 2013.

106. J. W. Butters, "On the solution of the equation xp - 1 = 0 (p being a prime number)," Proc. Edinb. Math. Soc, vol. 7, pp. 10-22, 1888-1889.

107. F. Cajori, "Pierre Laurent Wantzel," Bull. Amer. Math. Soc., vol. 24, no. 7, pp. 339-347,1918.

108. Ch. K. Caldwell, The Largest Known Primes, USA: University of Tennessee at Martin, 2000.

109. Ch. K. Caldwell and Y. Gallot, "On the primality of n! ± 1 and 2 x 3 x 5 x ... x p ± 1,"Math. Comp., vol. 71, no. 237, pp. 441-448, 2002.

110. I. Canals, "Fermat numbers and the limitation of computers (Spanish)," ActaMexicana Ci. Tecn., vol. 7, pp. 29-30, 1973.

111. R. D. Carmichael, "On the numerical factors of the arithmetic forms an ± ßn," Ann. Math., vol. 15, pp. 30-70, 1913.

112. H. S. Carslaw, "Gauss's theorem on the regular polygons which can be constructed by Euclid's methods," Proc. Edinb. Math. Soc., vol. 28, pp. 121-128, 1910.

113. A. Cayley, "On the equation x17 -1 = 0," Messenger of Math., vol. 19, pp. 184-188,1890; Collected Papers, vol. 13, pp. 60-63, 1897.

114. A. Chaumont and T. Müller, "All elite primes up to 250 billion," J. Integer Seq., vol. 9, no. 3, Article 06.3.8, 2006.

115. Y.-G. Chen, "On integers of the form k2n + 1," Proc. Amer. Math. Soc., vol. 129, no. 2, pp. 355-361, 2001.

116. Y.-G. Chen, "A note on the prime factors of Fermat numbers," Southeast Asian Bull. Math., vol. 28, no. 2, pp. 241242, 2004.

117. Y.-G. Chen, "On integers of the forms k ± 2n and k2n ± 1., J. Number Theory, vol. 125, no. 1, pp. 14-25, 2007.

118. H. Chepmell, "In a given circle to inscribe the regular polygon of thirty-four sides," Educ. Times,, vol. 20, pp. 5155, 1911.

119. G. Christianides and D. Dialetis, "Disputes on the history of Greek mathematics," in G. Christianides and D. Di-aletis eds., Istor. Philos. Epistem., Heraklion, Greece: Panepistem. Ekdoseis Kretes, 2006.

120. D. L. Clements, "An historical contradiction," Missouri J. Math. Sci., vol. 8, no. 2, pp. 82-88,1996.

121. E. Collignon, "Construction du polygone regulier de 17 cötes," Ass. Franc. Comptes R., vol. 8, pp. 162-169,1879 (in France).

122. G. V. CormackandH. C.Williams, "Some very large primes of the form k-2m + 1," Math. Comput., vol. 35, no. 152, pp. 1419-1421, 1980.

123. J. B. Cosgrave and K. Dilcher, "A role for generalized Fermat numbers," Math. Comp., vol. 86, no. 304, pp. 899-933, 2017.

124. J. B. Cosgrave and K. Dilcher, "Gauss factorials, Jacobi primes, and generalized Fermat numbers," Punjab Univ. J. Math. (Lahore), vol. 50, no. 4, pp. 1-21, 2018.

125. E. Costa, R. Gerbicz, and D. Harvey, "A search for Wilson primes," Math. Comput., vol. 83, no. 290, pp. 3071-3091, 2014.

126. E. Costa and D. Harvey, "Faster deterministic integer factorization," Math. Comput., vol. 83, no. 285, pp. 339-345, 2014.

127. S. Covanov and E. Thome, "Fast integer multiplication using generalized Fermat primes," Math. Comp., vol. 88, no. 317, pp. 1449-1477, 2019.

128. D. A. Cox and J. Shurman, "Geometry and number theory on clovers," Amer. Math. Monthly, vol. 112, no. 8, pp. 682-704, 2005.

129. R. E. Crandall, K. Dilcher, and C. Pomerance, "A search for Wieferich and Wilson primes," Math. Comput., vol. 66, no. 217, pp. 433-449, 1997.

130. R. Crandall, J. Doenias, C. Norrie, and J. Young, "The twenty-second Fermat number is composite," Math. Comp., vol. 64, no. 210, pp. 863-868, 1995.

131. R. Crandall and B. Fagin, "Discrete Weighted Transforms and Large-Integer Arithmetic," Math. Comp., vol. 62, pp. 305-324, 1994.

132. R. E. Crandall, E. W. Mayer, and J. S. Papadopoulos , "The twenty-fourth Fermat number is composite," Math. Comp., vol. 72, pp. 1555-1572, 2003.

133. R. Crandall and C. Pomerance, Prime Numbers: A Computational Perspective, 2nd ed., New York: Springer, 2005.

134. R. Creutzburg and H.-J. Grundmann, "Schnelle digitale Faltung mittels Fermattransformation," Elektron. Inform.-verarb. Kybernetik, vol. 21, pp. 35-46,1985.

135. T. Csajbok, G. Farkas, A. JÉirai, Z. JÉirai, and J. Kasza, "Report on the largest known Sophie Germain and twin primes," Ann. Univ. Sci. Budapest. Sect. Comput., vol. 25, pp. 181-182, 2005.

136. A. Cunningham and A. é. Western, "On Fermat's numbers," Proc. Lond. Math. Soc., vol. 1, p. 175, 1904; doi:10.1112/plms/s2-1.1.175

137. A. J. C. Cunningham and H. J. Woodall, "Factorisation of Q = (2q + 1) and (q ■ 2q + 1)," Messenger Math., vol. 47, pp. 1-38, 1917.

138. A. J. C. Cunningham and H. J. Woodall, Factorisation of yn + 1, y = 2,3,5,6,7,10,11,12 up to high powers (n), London: Francis Hodgson, 1925.

139. M. Delcourte, "Indicateur d'Éuler et nombres de Fermat," Mathesis, vol. 68, pp. 350-356,1959.

n

140. Y. Deng and D. Huang, "Primality test for numbers of the form (2p)2 +1," Acta Arith., vol. 169, no. 4, pp. 301-317, 2015.

141. Y. Deng and D. Huang, "Explicit primality criteria for h ■ 2n ± 1," Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux, vol. 28, no. 1, pp. 55-74, 2016.

142. Y. Deng and C. Lv, "Primality test for numbers of the form Apn + wn," J. Discrete Algorithms, vol. 33, pp. 81-92, 2015.

143. D. W. DeTemple, "Carlyle circles and the Lemoine simplicity of polygon constructions," Amer. Math. Monthly, vol. 98, no. 2, pp. 97-108, 1991.

144. É. Deza, "Mersenne numbers and Fermat numbers," in Selected Chapters of Number Theory: Special Numbers 1., Hackensack, NJ, USA: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2022.

145. L. É. Dickson, "Constructions with ruler and compasses," in Monographs on Modern Mathematics, 17-side: pp. 371-373, 1911.

146. L. É. Dickson, 'Divisibility and primality," in History of the theory of numbers, vol. 1, Washington, DC; Mineola, NY, USA: Dover Publications, 2005.

147. K. Dilcher and A. Énge,"Fermat numbers, Wieferich and Wilson primes: computations and generalizations," in Proc. the Conf. onPublicKey Cryptography and Computational Number Theory, Warsaw, 2000, pp. 29-48, Berlin: de Gruyter, 2001; doi:10.1515/9783110881035.29

148. F. G. Dorais and D. Klyve, "A Wieferich prime search up to 6.7 x 1015," J. Integer Seq., vol. 14, art. 11.9.2, 2011.

149. H. Dubner, "Generalized Fermat Primes," J. Recr. Math., vol. 18, pp. 279-280, 1985.

150. H. Dubner and Y. Gallot, "Distribution of generalized Fermat prime numbers," Math. Comp., vol. 71, no. 238, pp. 825-832, 2002.

151. H. Dubner and W. Keller, "Factors of generalized Fermat numbers," Math. Comput., vol. 64(209), pp. 397-405, 1995.

152. F. Dyson, "The sixth Fermat number and palindromic continued fractions," Enseign. Math., vol. 46, no. 3-4, pp. 385-389, 2000.

153. H. Éleuch, "Notes on generalized Fermat numbers," Appl. Math. Inf. Sci., vol. 6, no. 3, pp. 491-493, 2012.

154. L. Éuler, "Observationes de theoremate quodam Fermatiano aliisque ad numéros primos spectantibus," Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, vol. 6, no. 33, pp. 103-107, 1738 (in German); Reprinted in Opera Omnia I, vol. 2, pp. 1-5, 1911.

155. L. Éuler, "Theoremata circa divisors numerorum," Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, vol. 1, no. 48, pp. 20-48, 1750 (in German); Reprinted in Opera Omnia I, vol. 2, pp. 62-85, 1911.

156. L. Éuler, "Correspondence of Leonhard Éuler with Christian Goldbach," in Commercium epistolicum (EULER-QUARTA A) Leonhard Euler, Opera Omnia (EULER), vol. 4A/4.1, Springer, Basel, 2015 (in Latin and German).

157. L. Éuler, "Correspondence of Leonhard Éuler with Christian Goldbach," in Commercium epistolicum (EULER-QUARTA A) Leonhard Euler, Opera Omnia (EULER), vol. 4A/4.2, Springer, Basel, 2015.

158. G. Everest, A. van der Poorten, I. Shparlinski, and T. Ward, Recurrence Sequences, Providence, RI, USA: Amer. Math. Soc., 2003.

159. G. Everest, Sh. Stevens, D. Tamsett, and T. Ward, "Primes Generated by Recurrence Sequences," The American Mathematical Monthly, vol. 114, no. 5, pp. 417-431, 2007; doi:10.1080/00029890.2007.11920430.

160. J. Fang, "J'Accuse: A politics of mathematics," Philosophia Mathematica, vol. 12, pp. 124-148,1975.

161. P. de Fermat, "Oeuvres mathématiques diverses. Observations sur Diophante," in Œuvres de Fermat: publieees par les soins de MM. Paul Tannery et Charles Henry sous les auspices du ministeere de l'instruction publique, vol. 1, Paris: Gauthier-Villars et Fils, 1891 (in French).

162. P. de Fermat, "Oeuvres mathématiques diverses. Observations sur Diophante," in Œuvres de Fermat: publieees par les soins de MM. Paul Tannery et Charles Henry sous les auspices du ministeere de l'instruction publique, vol. 2, Paris: Gauthier-Villars et Fils, 1894 (in French).

163. P. de Fermat, "Oeuvres mathématiques diverses. Observations sur Diophante," in Œuvres de Fermat: publieees par les soins de MM. Paul Tannery et Charles Henry sous les auspices du ministeere de l'instruction publique, vol. 3, Paris: Gauthier-Villars et Fils, 1896 (in French).

164. P. de Fermat, "Oeuvres mathématiques diverses. Observations sur Diophante," in Œuvres de Fermat: publiees par les soins de MM. Paul Tannery et Charles Henry sous les auspices du ministère de l'instruction publique, vol. 4, Paris: Gauthier-Villars et Fils, 1912 (in French).

165. P. de Fermat, "Suppléments aux tomes 1-4," in Œuvres de Fermat: publiées par les soins de MM. Paul Tannery et Charles Henry sous les auspices du ministère de l'instruction publique, Paris: Gauthier-Villars, 1922 (in French).

166. P. de Fermat, "Sciences modernes," P. Tannery ed., vol. VI, in Meemoires scientifiques, Toulouse, France: Edouard Privat, Paris: Gauthier-Villars, 1926 (in French).

167. P. de Fermat, Bemerkungen zu Diophant. Aus d. Latein. Ubersetzt und mit Anmerk. hrsg. v. Max Miller, Leipzig, Germany: Akad. Verlagsges, 1932 (in German).

168. P. de Fermat, Varia opera mathematica, Bruxelles: Culture et Civilisation, 1969.

169. P. de Fermat, Œuvres de Pierre Fermat. I:La théorie des nombres, Paris: Librairie Scientifique et Technique Albert Blanchard. 1999.

170. M. Filaseta, C. Finch, and M. Kozek, "On powers associated with Sierpinski numbers, Riesel numbers and Poli-gnac's conjecture," Journal of Number Theory, vol. 128, pp. 1916-1940, 2008.

171. C. E. Finch and L. Jones, "A curious connection between Fermat numbers and finite groups," Amer. Math. Monthly, vol. 109, no. 6, pp. 517-524, 2002.

172. A. Fischer, "Resolutio algebraica aequationis x257 - 1 = 0," J. Reine Angew. Math., vol. 11, pp. 201-218,1934.

173. H. Freudenthal, "What is algebra and what has it been in history?," Archive for History of Exact Sciences, vol. 16, no. 3, pp. 189-200, 1977.

174. Fried M., "The discipline of history and the Modern consensus in the historiography of mathematics," J. Humanist. Math., vol. 4, no. 2, pp. 124-136, 2014; doi:10.5642/jhummath.201402.13

175. M. Fried, "Ways of relating to the mathematics of the past," J. Humanist. Math., vol. 8, no. 1, pp. 3-23, 2018.

176. M. Fried and S. Unguru, Apollonius ofPerga's Conica. Text, context, subtext, Leiden, Netherlands: Brill, 2001.

nn

177. E. Gabard and H. Riesel, "Corrigenda: Some factors of the numbers Gn = 62 + 1 and Hn = 102 + 1," Math. Comp., vol. 24, p. 243,1970.

178. Y. Gallot, "Proth.exe: a Windows program for finding very large primes," in utm.edu, 1997. [Online]. Available: http://www.utm.edu/research/primes/programs/gallot/

179. C. F. Gauss, Untersuchungen uber höhere Arithmetik, Berlin: Julius Springer, 1889.

180. C. F. Gauss, Untersuchungen uber hohere Arithmetik, New York: Springer, 1965.

181. C. F. Gauss, Disquisitiones arithmeticae, [Translated and with a preface by Arthur A. Clarke. Revised by William C. Waterhouse, Cornelius Greither and A. W. Grootendorst and with a preface by Waterhouse], New York: SpringerVerlag, 1986.

182. C. F. Gauss, Mathematisches Tagebuch, 1796-1814, 5-th ed., [With a historical introduction by Kurt-R. Biermann. Revised and with notes by Hans Wußing and Olaf Neumann. Translated from the Latin by E. Schuhmann. Ostwalds Klassiker der Exakten Wissenschaften], Frankfurt am Main, Germany: Verlag Harri Deutsch, 2005 (in German).

183. G. Gérard, "Construction du polygone régulier de 17 cotés," Bull de Math, eeleementaires, vol. 2, pp. 164-167,1897 (in French).

184. A. Gibbins and L. Smolinsky, "Geometric constructions with ellipses," Math. Intell., vol. 31, no. 1, pp. 57-62, 2009.

185. F. Giudice, "Sulla divisione del circolo," Periodico di mat. (3), vol. 9, pp. 161-169,1912 (in Italian).

186. A. M. Gleason, "Angle trisection, the heptagon and the triskaidecagon," Amer. Math. Monthly, vol. 95, no. 3, pp. 185-194, 1988.

187. R. Goldenring, Die elementargeometrischen Konstruktionen des regelmaßigen Siebzehnecks, Leipzig—Berfin: Teubner, 1915 (in German).

188. C. Goldstein, Un theoreme de Fermat et ses lecteurs. Histoires de Science, Saint-Denis, France: Presses Universitaires de Vincennes (PUV), 1995 (in French).

189. C. Goldstein, "L'arithmétique de Pierre Fermat dans le contexte de la correspondance de Mersenne: une approche microsociale," Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6), vol. 18, no. S2, pp. 25-57, 2009.

190. G. B. Gostin, "A factor of F17," Math. Comp., vol. 35, no. 151, pp. 975-976,1980.

191. G. B. Gostin, "New factors of Fermat numbers," Math. Comp., vol. 64, pp. 393-395,1995.

192. G. B. Gostin and Ph. B. McLaughlin Jr., "Six new factors of Fermat numbers," Math. Comput, vol. 38, no. 158, pp. 645-649, 1982.

193. Ch. Gottlieb, "The simple and straightforward construction of the regular 257-gon," Math. Intell., vol. 21, no. 1, pp. 31-37, 1999.

194. J. M. Grau and A. M. Oller-Marcén, "An 0(log2(N)) time primality test for generalized Cullen numbers," Math. Comp., vol. 80, no. 276, pp. 2315-2323, 2011; doi:10.1090/S0025-5718-2011-02489-0

195. J. M. Grau, A. M. Oller-Marcén, and S. Sadornil, "A primality test for k ■ pn + 1 numbers," Math. Comp., vol. 84, no. 291, pp. 505-512, 2015.

196. J. Grime, K. Knudson, P. Pierce, E. Veomett, and G. Whitney, "Beyond pi and e: a collection of constants," Math Horiz., vol. 29, no. 1, pp. 8-12, 2022.

197. J. A. Grunert, "Reguläre Siebzehneck im Kreise," Archiv. f. Math. u. Phys. (Grunert), vol. 42, pp. 361-374,1864.

198. R. Gäntsche, "Geometrographische Siebzehnteilung des Kreises," Archiv f. Math. u. Phys. (3), vol. 4, pp. 1-15, 1903.

199. A. Grytczuk, "Some remarks on Fermat numbers," Discuss. Math., vol. 13, pp. 69-73,1993.

200. A. Grytczuk and B. Madryk, "Lower bound for the greatest prime divisors of the generalized Fermat numbers," Southeast Asian Bull. Math., vol. 28, no. 2, pp. 265-268, 2004.

201. A. Grytczuk, Wojtowicz, and F. Luca, "Another note on the greatest prime factors of Fermat numbers," Southeast Asian Bulletin of Mathematics, vol. 25, no. 1, pp. 111-115, 2001.

202. T. A. Gulliver, "Self-reciprocal polynomials and generalized Fermat numbers," IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 38, pp. 1149-1154, 1992.

203. A. Guthmann, "Effective primality tests for integers of the forms N = k3n + 1 and N = k2m3n + 1," BIT, vol. 32, pp. 529-534, 1992.

204. J. Hadamard, "Sur la distribution des zeros de la fonction f (s) et ses consequences arithmétiques," Bull. Soc. Math. France, vol. 24, pp. 199-220,1896 (in French).

205. K. Hagge, "Einfache Behandlung der Siebzehnteilung des Kreises," Zeitschr. math. nat. Unterr., vol. 41, pp. 320325,1910 (in German).

206. K. Hagge, "Einfache Behandlung der 257-teilung des Kreises," Zeitschr. math. nat. Unterr, vol. 41, pp. 448-458, 1910 (in German).

207. J. C. Hallyburton and J. Brillhart, "Two new factors of Fermat numbers," Math. Comput., vol. 29, pp. 109-112, 1975; Correction, ibid. vol. 30, p. 198,1976.

208. G. H. Hardy and E. M. Wright, An introduction to the theory of numbers, 5th ed., Oxford, UK: Oxford University Press, 1979.

209. D. Harvey and Y. Gallot, "Distribution of generalized Fermat numbers," Math. Comp., vol. 71, no. 238, pp. 825-832, 2001.

210. D. Harvey and W. Keller, "Factors of generalized Fermat numbers," Math. Comp., vol. 64, no. 209, pp. 397-408, 1995.

211. Heath T. L., A manual of Greek mathematics, Oxford, UK: Clarendon Press, 1931.

212. L. Helm, P. Moore, P. Samidoost, and G. Woltman, "Resolution of the mixed Sierpiriski problem," Integers, vol. 8, no. A61, 2008.

213. J. G. Hermes, "Zuräckfährung des Problems der Kreistheilung auf lineare Gleichungen (fär Primzahlen von der Form 2m + 1)," BorchardtJ., vol. 87, pp. 84-114,1879 (in German).

214. J. G. Hermes, "Symmetrische und complementare Verteilung der Indexsummenreste r fur Primzahlen von der Form p = 22n + 1," Hoppe Arch. (2), vol. 4, pp. 207-218,1887 (in German).

215. J. G. Hermes, "Uber die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen," Mathematisch-Physikalische Klasse, vol. 3, pp. 170-186,1894 (in German).

216. J. G. Hermes, "Das ethische Moment im mathematischen Unterricht," Hoffmann Z., vol. 28, pp. 91-93,1897 (in German).

217. D. Hewgill, "A relationship between Pascal's triangle and Fermat's numbers," Fibonacci Quart., vol. 15, pp. 183184, 1977.

218. P. Hilton and J. Pedersen, "On folding instructions for products of Fermat numbers," Southeast Asian Bull. Math., vol. 18, no. 2, pp. 19-27, 1994.

219. J. E. Hofmann, "Pierre de Fermat. Eine wissenschaftsgeschichtliche Skizze," Scientiarum Historia, vol. 13, pp. 198-238, 1971 (in German).

220. J. Houel, "Sur le polygone regulier de 17 cotes," Nouv. Annales de Math., vol. 16, pp. 310-311,1857.

221. H0yrup, What is 'geometric algebra', and what has it been in historiography?, [Preprint], 2016. [Online]. Available: http://akira.ruc.dk/~jensh/Publications/2016_What%20is%20\T2A\textquoterightGeometric%20Algebra\ T2A\textquoteright_S.pdf

222. J. C. Hullyburton and J. Brillhart, "Two new factors of Fermat numbers," Math. Comp., vol. 29, pp. 109-112,1975.

223. R. Huron, "L'aventure mathématique de Fermat. Pierre de Fermat, Toulouse et sa region. Actes du XXIe congres d'etudes regionales tenu a Toulouse les 15 et 16 mai 1965," in Federation des Societes Academiques et Savantes de Languedoc—Pyrénées—Gascogne, Toulouse, pp. 13-34,1966 (in French).

224. K.-H. Indlekofer and A. JÉirai, "Largest known twin primes and Sophie Germain primes," Math. Comp., vol. 68, no. 227, pp. 1317-1324, 1999.

225. J. Itard, "Les méthodes utilisées par Fermat en théorie des nombres," Rev. Histoire Sci. Appl., vol. 3, pp. 21-26. 1950.

226. A. S. Izotov, "A note on Sierpiñski numbers," Fibonacci Quart, vol. 33, pp. 206-207,1995.

227. D. Jarden, "Divisibility of terms by their subscripts in sequences of sums of powers," Riveon Lematematika, vol. 12, pp. 78-79, 1958 (in Hebrew).

228. J. H. Jaroma, "Equivalence of Pepin's and the Lucas—Lehmer tests," Eur. J. PureAppl. Math., vol. 2, no. 3, pp. 352360, 2009.

229. J. H. Jaroma and K. N. Reddy, "Classical and alternative approaches to the Mersenne and Fermat numbers," Amer. Math. Monthly, vol. 114, no. 8, pp. 677-687, 2007.

230. I. Jiménez Calvo, "A note on factors of generalized Fermat numbers," Appl. Math. Lett., vol. 13, no. 6, pp. 1-5, 2000.

231. R. Jones and J. Pearce, "A postmodern view of fractions and the reciprocals of Fermat primes," Math. Mag., vol. 73, pp. 83-97, 2000.

232. S. Katayama, "The construction of a regular 17-sided polygon," The Tôhoku Math. Journal, vol. 4, pp. 197-202, 1914.

233. N. D. Kazarinoff, "On who first proved the impossibility of constructing certain regular polygons with ruler and compass alone," Amer. Math. Monthly, vol. 75, pp. 647-648,1968.

234. N. D. Kazarinoff, Ruler and the round. Classic problems in geometric constructions, Boston—London—Sidney: Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1970.

235. W. Keller, "Factors of Fermat numbers and large primes of the form k-2n +1," Math. Comput., vol. 41, pp. 661-673, 1983.

236. W. Keller, "Prime factors k ■ 2n + 1 of Fermat numbers Fm and complete factoring status," in prothsearch.com, 2023. [Online]. Available: www.prothsearch.com/fermat.html

237. W. Keller, "New Cullen primes," Math. Comput., vol. 64, pp. 1733-1741,1995.

238. W. Keller, "Vortrage äber ausgewählte Fragen der Elementargeometrie," in Ausgearbeitet von F. Tugert, Leipzig, Germany: Teubner, 1895 (in German).

239. F. Klein, Lecons sur certaines questions de geometrie élémentaire. (Possibilite des constructions geometriques; les polygones reguliers; transcendance des nombres e et n, Paris: Rédaction francaise par J. Griess, 1896.

240. F. Klein, Famous problems of elementary geometry: the duplication of the cube, the trisection of an angle, the quadrature of the circle, [An authorized translation of F. Klein's Vortrage uber ausgewählte Fragen der Elementar-Geometrie, ausgearbeitet von F. Täagert, by W. W. Beman and D. E. Smith], Boston: Ginn, 1897 (in German).

241. F. Klein, Elementarmathematik vom hoheren Standpunkte aus, Leipzig, Germany: Teil 1,1908 (in German).

242. N. Koblitz, "Mathematics as propaganda," in Mathematics tomorrow, pp. 111-120, N. Y.-Heidelberg-Berlin: Springer-Verlag, 1981.

243. N. Koblitz, "A tale of three equations; or the emperors have no clothes," The Mathematical Intelligencer, vol. 10, pp. 4-10, 1988.

244. N. Koblitz, Random curves: journeys of a mathematician, Berlin: Springer, 2008.

245. R. Kochendorffer, Einführung in die Algebra, Berlin: Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1974 (in German).

246. K. Kommerell, "Uber die Konstruktion der regularen Polygone," Math. Annalen, vol. 72, pp. 588-592, 1912 (in German).

247. J. Knauer and J. Richstein, "The continuing search for Wieferich primes," Math. Comput., vol. 74, no. 251, pp. 1559-1563, 2005.

248. M. Kraitchik, "Sur les nombres de Fermat," C. R. Acad Sci Paris, vol. 180, pp. 799-801,1925 (in French).

249. M. Kraitchik, "Sur le nombre N = 9 (1023 - 1)," Mathesis, vol. 42, pp. 386-388,1928 (in French).

250. M. Kraitchik, "Sur le nombre N = 9 (1023 - 1)," Mathesis, vol. 43, pp. 154-156,1929 (in French).

251. M. Kraitchik, "Les grands nombres premiers," Mathematica, vol. 7, pp. 92-94,1933 (in French).

252. M. Kraitchik, "Les grands nombres premiers," Sphinx, vol. 3, pp. 99-101, 1933 (in French).

253. M. Kraitchik, "Factorisation de 2n ± 1," Sphinx, vol. 8, pp. 148-150,1938 (in French).

254. M. Kraitchik, "On the factorization 2n ± 1," Scripta Mathematica, vol. 18, pp. 39-52,1952.

255. M. KMzek, O Fermatovych cislech," Pokroky Mat. Fyz. Astronom. vol. 40, no. 5, pp. 243-253,1995 (in Czech).

256. M. KMzek, "Od Fermatovych prvocisel ke geometrii," Pokroky Mat. Fyz. Astronom vol. 46, no. 3, pp. 179-191, 2001 (in Czech).

257. M. KMzek and J. Chleboun, "A note on factorization of the Fermat numbers and their factors of the form 3h2n+1," Math. Bohem., vol. 119, no. 4, pp. 437-445,1994.

258. M. KMzek and J. Chleboun, "Is any composite Fermat number divisible by the factor 5h2n + 1? Number theory (Liptovsky Jan), 1995," Tatra Mt. Math. Publ, vol. 11, pp. 17-21,1997.

259. M. Krizek and P. Krizek, "Kouzelny dvanactistén pétmhelnikovy," Rozhledy Mat.-Fyz., vol. 74, pp. 234-238,1997 (in Czech).

260. M. Krizek, F. Luca, and L. Somer, "17 lectures on Fermat numbers. From number theory to geometry," in CMS Books in Mathematics/Ouvrages de Mathematiques de la SMC, vol. 9, New York: Springer-Verlag, 2001.

261. M. Krizek, F. Luca, and L. Somer, "On the convergence of series of reciprocals of primes related to the Fermat numbers," J. Number Theory, vol. 97, no. 1, pp. 95-112, 2002.

262. M. Krizek, F. Luca, and L. Somer, "Desde los nUmeros de Fermat hasta la geometría," Gac. R. Soc. Mat. Esp., vol. 10, no. 2, pp. 471-483, 2007 (in Spanish).

263. M. KriZek and L. Somer, "A necessary and sufficient condition for the primality of Fermat numbers," Math. Bohem., vol. 126, no. 3, pp. 541-549, 2001.

264. M. KriZek and L. Somer, "17 necessary and sufficient conditions for the primality of Fermat numbers," Math. Inform. Univ. Ostraviensis, vol. 11, no. 1, pp. 73-79, 2003.

265. F. Landry, "Aux mathématiciens de toutes les parties du monde," in Communication sur la decomposition des nombres en leurs facteurs simples, Paris: Librairie Hachette, 1867 (in French).

266. F. Landry, Decompositions des nombres 2n ± 1 en leurs facteurs premiers de n = 1 à n = 64 (moins quatre), Paris: Librairie Hachette, 1869 (in French).

267. F. Landry, "Sur la decomposition du nombre 264 + 1.," C. R. Acad Sci. Paris, vol. 91, no. 138,1880 (in French).

268. J. Larras, "Sur la primarite des nombres de Fermat," C. R. Acad. Sci. Paris, vol. 242, pp. 2203-2204, 1956 (in French).

269. M. Le, "A note on the greatest prime factors of Fermat numbers," Southeast Asian Bull. Math., vol. 22, no. 1, pp. 41-44, 1998.

270. D. H. Lehmer, "Tests for primality by the converse of Fermat's theorem," Bull. Amer. Math. Soc., vol. 33, pp. 327340, 1927.

271. D. H. Lehmer, "A further note on the converse of Fermat's theorem," Bull. Amer. Math. Soc., vol. 34, pp. 54-56, 1928.

272. D. H. Lehmer, "An extended theory of Lucas' functions," Ann. of Math., vol. 31, pp. 419-448,1930.

273. D. H. Lehmer, "D. H. Lehmer, Hunting big game in the theory of numbers," Scripta Math., pp. 229-235,1933.

274. D. H. Lehmer, "The converse of Fermat's theorem," Amer. Math Monthly, I: vol. 43, pp. 347-354,1936; II: vol. 56, pp. 300-309, 1949.

275. D. H. Lehmer, "On the factors of 2n ± 1," Bull. Amer. Math. Soc., vol. 53, pp. 164-167,1947.

276. A. K. Lenstra, H. W. Lenstra, M. S. Manasse, and J. M. Pollard, "The factorisation of the ninth Fermat number," Math. Comput., vol. 61, pp. 319-149,1993.

277. S. Ligh and P. Jones, "Generalized Fermat and Mersenne numbers," Fibonacci Quart., vol. 20, no. 1, pp. 12-16, 1982.

278. J. E. Littlewood, Littlewood's miscellany, B. Bollobas ed., Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1986.

279. E. Lucas, "Sur la recherche des grands nombres premiers," in Report Association Francaise pour l'Avancement des Sciences, vol. 5, 61-68, 1876 (in French).

280. E. Lucas, "Theoremes d'arithmétique," Atti Reale Accad. Scienze Torino, vol. 13, pp. 271-284,1878 (in French).

281. J. van Maanen, "Euler en Goldbach over de getallen van Fermat: F. = 22n + 1," Euclides (Groningen), vol. 57, no. 9, pp. 347-356,1981/82 (in French).

282. M. S. Mahoney, "Fermat's mathematics: Proofs and conjectures," Science, vol. 178, no. 4056, pp. 30-36,1972.

283. M. S. Mahoney, The mathematical career of Pierre de Fermat, 1601-1665, 2nd ed., Princeton, NJ, USA: Princeton University Press, 1994.

284. M. S. Mahoney, "The histories of computing(s)," Interdis. Sci. Rev., vol. 30, pp. 119-135, 2005.

285. M. S. Mahoney, "What makes the history of software hard and why it matters," IEEE Ann. Hist. Comput., vol. 30, no. 3, pp. 8-18, 2008.

286. Martin G. E., Geometric constructions, Undergraduate Texts in Mathematics, New York: Springer-Verlag, 1998.

287. Matthew G., Williams H. C., "Some new primes of the form k ■ 2n + 1," Math. Comput., vol. 31, pp. 797-798,1977.

288. G. A. R. Maywald, "Das reguläre 34- und 514-Eck," in Vierundzwanzigster Jahresbericht uber die Realschule zu Gorlitz (Görlitz, 1861), pp. 3-19,1861 (in German).

289. R. Mcintosh, "A necessary and sufficient condition for the primality of Fermat numbers," Amer. Math. Monthly, vol. 90,no. 2, pp. 98-99, 1983.

290. H. L. Montgomery and S. Wagon, "A heuristic for the prime number theorem," Math. Intelligencer, vol. 28, no. 3, pp. 6-9, 2006.

291. J. C. Morehead, "Note on Fermat's numbers," Bull. Amer. Math. Soc., vol. 11, pp. 543-545, 1905.

292. J. C. Morehead, "Note on the factors of Fermat's numbers," Bull. Amer. Math. Soc., vol. 12, pp. 449-451,1906.

293. J. C. Morehead and A. E. Western, "Note on Fermat's numbers," Bull. Amer. Math. Soc., vol. 16, pp. 1-6,1909.

294. V. Morimoto, "On prime numbers of Fermat type," Sugaku, vol. 38, pp. 350-354,1986 (in Japanese).

295. M. A. Morrison and J. Brillhart, "The factorization of F7," Bull. Amer. Math. Soc., vol. 77, p. 264,1971.

296. O. Neugebauer, "Zur geometrischen Algebra (Studien zur Geschichte der antiken Algebra III)," Quellen undStudi-enzur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik, vol. 3, pp. 245-259,1936 (in German).

297. H. Neukom, "The Second Life of ENIAC," IEEE Ann. Hist. of Comput., vol. 28, pp. 4-16, 2006.

298. R. W. K. Odoni, "On the prime divisors of the sequence wn+1 = 1 + W1W2... wn," J. London Math. Soc., vol. 32, pp. 1-11, 1985.

299. R. Ondrejka, "More on large primes," J. Recreational Math., vol. 11, no. 2, pp. 112-113,1978/79.

300. A. Padoa, "Poligoni regolari di 34 lati, trattazione elementare," Boll, di Mat., vol. 2, pp. 2-10,1903.

301. E. Pascal, "Sulla costruzione del poligono regotare di 257 lati," Rend. Acc. Napoli (2), vol. 1, pp. 33-39,1887.

302. M. G. Pauker, "Geometrische Verzeichnung des regelmüßigen Siebzehn-Ecks und Zweyhundersi-ebenundfünfzig-Ecks in den Kreis," Jahresverhandlungen der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst, vol. 2, pp. 160-219, 1822 (in German).

303. G. A. Paxson, "The compositeness of the thirteenth Fermat number," Math. Comput., vol. 15, p. 420,1961.

304. T. Pepin, "Sur la formule 22n + 1," C. R. Acad. Sci. Paris, vol. 85, pp. 329-33,1878.

305. J. Pierpoint, "On an undemonstrated theorem of the Disquisitiones Arithmeticae," Bull. Amer. Math. Soc., vol. 2, pp. 77-83, 1895.

306. H. C. Pocklington, "The determination of the prime or composite nature of large numbers by Fermat's theorem," Proc. Cambridge Philos. Soc., vol. 18, pp. 29-30,1914.

307. C. Pomerance, J. L. Selfridge, and S. S. Wagstaff, "The pseudoprimes to 25 ■ 109," Math. Comput., vol. 35, no. 151, pp. 1003-1026, 1980.

308. L. Pomey, "Sur les nombres de Fermat et de Mersenne," Ann. Fac. Sci. Toulouse Sci. Math. Sci. Phys. (3), vol. 16, pp. 135-138, 1924.

309. P. L. A. Popelier, "The heptadecagon: a curious object...,"Math. Ed., vol. 9, no. 3, pp. 154-158,1993.

310. P. L. A. Popelier, "The heptadecagon: a curious object...,"Math. Student, vol. 66, no. 1-4, pp. 217-223,1997.

311. F. Proth, "Theoremes sur les nombres premiers," C. R. Acad. Sci. Paris, vol. 87, p. 926,1878.

312. K. Reich, "Die Entdeckung und fruhe Rezeption der Konstruierbarkeit des regelmüßigen 17-Ecks und dessen geometrische Konstruktion durch Johannes Erchinger (1825)," in Mathesis. Verl. Gesch. Nat. wiss. Tech., Berlin, pp. 101-118, 2000 (in German).

313. P. Ribenboim, "1093," Math. Intelligencer, vol. 5, no. 2, pp. 28-34, 1983.

314. P. Ribenboim, The book of prime number records, 2nd ed., New York: Springer-Verlag, 1989.

315. P. Ribenboim, The new book of prime number records, New York: Springer-Verlag, 1996.

316. P. Ribenboim, My numbers, my friends. Popular lectures on number theory, New York: Springer-Verlag, 2000.

317. P. Ribenboim, The little book of bigger primes, 2nd ed., New York: Springer-Verlag, 2004.

318. P. Ribenboim, Die Welt der Primzahlen. Geheimnisse und Rekorde, 2nd ed., Springer, Heidelberg, 2011 (in German).

319. F. J. Richelot, "De resolutione algebraica aequationis X257 = 1, sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata (Cont. diss.)," Journal fuär die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), vol. 1832, no. 9, pp. 337-358,1832, doi:10.1515/crll.1832.9.337

320. H. Riesel, "Anote on the prime numbers of the forms N = (6a + 1)22n-1 - 1 and M = (6a - 1)22n - 1," Ark. Mat., vol. 3, pp. 245-253, 1956.

321. H. Riesel, "A factor of the Fermat number F19," Math. Comput., vol. 17, p. 458,1963.

322. H. Riesel, "Some factors of the numbers Gn = 62 + 1 and Hn = 102 + 1," Math. Comput., vol. 23, pp. 413-415, 1969.

OH

323. H. Riesel, "Common prime factors of the numbers An = a2 + 1," Nordisk Tidskr. Informationsbehandling (BIT), vol. 9, pp. 264-269, 1969.

324. H. Riesel, "Lucasian criteria for the primality of M = h ■ 2n - 1," Math. Comput., vol. 23, pp. 869-875,1969.

325. H. Riesel, "Prime numbers and computer methods for factorization," in Modern Birkhaäuser Classics. New York, NY: Birkhüauser/Springer, 2012.

326. H. Riesel and A. Björn, "Generalized Fermat numbers," in Mathematics of computation, 1943-1993: a halfcentury of computational mathematics. Mathematics of computation 50th anniversary symposium, August 913,1993, Vancouver, Canada, Providence, RI: American Mathematical Society. Proc. Symp. Appl. Math, vol. 48, pp. 583-587, 1994.

327. J. Robertson and C. Snyder, "A simple geometric construction involving ultraradicals," J. Aust. Math. Soc., vol. 91, no. 1, 103-124, 2011.

328. R. M. Robinson, "Mersenne and Fermat numbers," Proc. Amer. Math. Soc., vol. 5, pp. 842-846, 1954.

329. R. M. Robinson, "Factors of Fermat numbers," Math. Tables Aids Comput., vol. 11, pp. 21-22,1957.

330. R. M. Robinson, "Some factorizations of numbers of the form 2n ± 1," Math. Tables Aids Comput., vol. 11, pp. 265-268, 1957.

331. R. M. Robinson, "The converse of Fermat's theorem," Amer. Math. Monthly, vol. 64, pp. 703-710,1957.

332. R. M. Robinson, "A report on primes of the form k ■ 2n + 1 and on factors of Fermat numbers," Proc. Amer. Math. Soc., vol. 9, pp. 673-681, 1958.

333. O. J. Rodseth, "A note on primality tests for N = h ■ 2n - 1," BIT, vol. 34, no. 3, pp. 451-454,1994.

334. A. Rose, "Lightning strikes mathematics: ENIAC," Popular Sci., vol. 148, pp. 83-86,1946.

335. A. Rotkiewicz, "Remarque sur un théoréme de F. Proth," Mat. Vesnik, vol. 1, no. 16, pp. 244-245,1964.

336. D. Sadornil and J. Tena, "A Lucas—Lehmer primality test for the numbers n = Ap^1 p^2... pstt + w," in Proc. 5-th Conference on Discrete Mathematics and Computer Science, Ciencias (Valladolid), 23, Univ. Valladolid, Secr. Publ. Intercamb. Ed., Valladolid, pp. 437-444, 2006 (in Spanish).

337. C. W. Sandifer, The early mathematics of Leonhard Euler, Washington, D.C.: MAA Spectrum. Mathematical Association of America, 2007.

338. C. W. Sandifer, How Euler did it, Washington, D.C.: MAA Spectrum. Mathematical Association of America, 2007.

339. C. W. Sandifer, How Euler did even more. With a preface by Rob Bradley. With chapters by Bradley and Dominic Klyve, Washington, D.C.: Mathematical Association of America, 2015.

340. A. Schinzel, "On primitive prime factors of an - bn," in Proc. Cambridge Philos. Soc., vol. 58, pp. 555-562,1962.

341. A. Schlafly and S. Wagon, "Carmichael's conjecture on the Euler function is valid below 1010,000,000," Math. Comput., vol. 63, no. 207, pp. 415-419,1994.

342. M. Schneider, "Contextualizing Unguru's 1975 attack on the historiography of ancient Greek mathematics," in V.Remmert, M. Schneider, H. K. Sorensen, ed., Historiography of Mathematics in the 19th and 20th centuries, Basel, Switzerland: Birkh'auser, pp. 245-267, 2016.

343. W. Schoenborn, Elementare Beweise fur einige Gleichungen, die Statt haben zwischen dem Radius eines Kreises, der Seite und der Diagonale der eingeschriebenen regulären 10-, 14-, 18-, 26-, 34-ecke, Pr. Krotoschin, 1873 (in German).

344. H. Schräter, "Zur v. Staudt'schen Construction des regulären Siebenzehnecks," Borchardt J., vol. 75, pp. 13-24, 1872 (in German).

345. H. Schwendenwein, "Das regelma| ßige 257eck," in Programm des k. k. (vereinigten) StaatsGimnasiums in Teschen fur das Schuljahr Teschen, 1891/92, pp. 1-22,1892 (in German).

346. P. Seelhoff, "Die Zahlen von der Form k ■ 2n + 1," Zeitschrift fur Mathematik und Physik, vol. 31, p. 380, 1886 (in German).

347. P. Seelhoff, "Die Auflosung grosser Zahlen in ihre Factoren," Zeitschrift fur Mathematik und Physik, vol. 31, pp. 166-174,1886 (in German).

348. P. Seelhoff, "Die neunte vollkommene Zahl," Zeitschrift fur Mathematik und Physik, vol. 31, pp. 174-178,1886 (in German).

349. A. Selberg, "An elementary proof of the prime number theorem," Ann. Math., vol. 85, pp. 203-362,1951.

350. J. L. Selfridge, "Factors of Fermat numbers," Mathematical Tables and Other Aids to Computation, vol. 7, pp. 274275, 1953.

351. J. L. Selfridge and A. Hurwitz, "Fermat numbers and Mersenne numbers," Math. Comput., vol. 18, pp. 146-148, 1964.

352. D. Shanks, Solved and Unsolved Problems in Number Theory, New York: AMS Chelsea, 2002.

353. V. Shevelev, G. Gacria-Pulgarin, J. M. Velasquez-Soto, and J. H. Castillo, "Overpseudoprimes, and Mersenne and Fermat numbers as primover numbers," J. Integer Seq., vol. 15, no. 7, Article 12.7.7, pp. 1-10, 2012.

354. D. E. Shippee, "Four new factors of Fermat numbers," Math. Comput., vol. 32, p. 941,1978.

355. P. Shiu, "Fermat's method of factorisation," Math. Gaz., vol. 99, no. 544, pp. 97-103, 2015.

356. P. Shiu, "Cyclotomy and the heptadecagon," Math. Gaz., vol. 100, no. 548, pp. 288-297, 2016.

357. T. N. Shorey and C. L. Stewart, "On divisors of Fermat, Fibonacci, Lucas and Lehmer numbers, II," J. London Math. Soc., vol. s2-23, no. 1, pp. 17-23,1981; doi:10.1112/jlms/s2-23.1.17

358. W. Sierpiriski, "Sur un probl'eme concernant les nombres k ■ 2n + 1," Elem. Math., vol. 15, pp. 73-74, 1960 (in French).

359. W. Sierpinski, "Sur un théoréme de F. Proth," Mat. Vesnik, vol. 1, no. 16, pp. 243-244,1964 (in French).

360. H. A. Simon, "Unclad emperors: A case of mistaken identity," The Mathematical Intelligencer, vol. 10, pp. 11-14, 1988.

361. L. L. Smith, "Problems and Solutions: A Construction of the Regular Polygon of Seventeen Sides," Amer. Math. Monthly, vol. 27, no. 7-9, pp. 322-323, 1920.

362. A. Solcova and M. Krizek, "Fermat and Mersenne numbers in Pepin's test," Demonstratio Math., vol. 39, no. 4, pp. 737-742, 2006.

363. L. Somer, "My twelve years of collaboration with Michal Krizek on number theory," in Applications of mathematics 2012, Prague: Acad. Sci. Czech Repub. Inst. Math, pp. 267-277, 2012 (in Czech).

364. Ch. von Staudt, "Construction des regul'aren Siebenzehnecks," J. Reine Angew. Math., vol. 24, p. 251, 1842 (in German).

365. Steggall, "The value of cos 2n/17 expressed in quadratic radicals," Proc. Edinb. Math. Soc, vol. 7, pp. 4-5,1888/89.

366. A. Stein and H. C. Williams, "Explicit primality criteria for (p -1) pn -1," Math. Comput., vol. 69, no. 232, pp. 17211734, 2000.

367. C. L. Stewart, "The greatest prime factor of an - bn," Acta Arith., vol. 26, no. 4, pp. 427-433,1974/75.

368. C. L. Stewart, "On divisors of Fermat, Fibonacci, Lucas, and Lehmer numbers," Proc. London Math. Soc. (3), vol. 35, no. 3, pp. 425-447, 1977.

369. C. L. Stewart, "On divisors of Fermat, Fibonacci, Lucas and Lehmer numbers, III," J. London Math. Soc. (2), vol. 28, no. 2, pp. 211-217, 1983.

370. Gy. Strommer, "Konstruktion des regularen Siebzehnecks mit Lineal und Streckenubertrager," Acta Math. Hungar., vol. 59, pp. 217-226, 1992 (in German); Corrigendum to that, ibid., vol. 60, no. 3-4, pp. 269-270, 1992 (in German).

371. Gy. Strommer, "Konstruktion des regularen Siebzehnecks mit Lineal und Streckenubertrager," Period. Polytech., Mech. Eng., vol. 36, no. 3-4, pp. 181-190, 1992 (in German).

372. Gy. Strommer, "Zur Konstruktion des regularen Siebzehnecks," Stud. Sci. Math. Hung., vol. 30, no. 3-4, pp. 433441, 1995 (in German).

373. Gy. Strommer, "Konstruktion des regularen 257-Écks mit Lineal und Streckenübertrager," Acta Math. Hung., vol. 70, no. 4, pp. 259-292, 1996 (in German).

374. Z.-H. Sun, "Primality tests for numbers of the form K ■ 2m ± 1," Fibonacci Q., vol. 44, no. 2, pp. 121-130, 2006.

375. T.-W. Sze, "Deterministic Primality Proving on Proth Numbers," in arXiv:0812.2596v5 [math.NT], 4 July 2011. [Online]. Available: https://arxiv.org/abs/0812.2596v5

376. P. Tannery, Pour l'Histoire de la Science Hellene. De Thalès à Empedocle, 2-nd ed., Paris: Gauthier-Villars, 1930.

377. M. Trott, "cos(2n/257) a la Gauss," Mathematica Educ. Res., vol. 4, pp. 31-36,1995.

378. M. Trott, "§1.10.2 cos(2n/257) à la Gauss," in The Mathematica GuideBookfor Symbolics, New York: SpringerVerlag, pp. 312-321, 2006.

379. S. Unguru, "On the need to rewrite the history of Greek mathematics," Archive for History of Exact Sciences, vol. 15, no. 1-2, pp. 67-114,1975/76.

380. S. Unguru, "Fermat revivified, explained, and regained," Francia, vol. 4, pp. 774-789,1976.

381. S. Unguru, "History of ancient mathematics: Some reflections of the state of the art," Isis, vol. 70, no. 4, pp. 555565, 1979.

382. S. Unguru and D. Rowe, "Does the quadratic equation have Greek roots? A study of 'geometric algebra', 'application of areas', and related problems," Libertas Math., vol. 1, pp. 1-49,1981.

383. S. Unguru and D. Rowe, "Does the quadratic equation have Greek roots? A study of 'geometric algebra', 'application of areas', and related problems. II," Libertas Math., vol. 2, pp. 1-62,1982.

384. J. V. Uspensky and M. A. Heaslet, Elementary Number Theory, New York: McGraw-Hill, 1939.

385. Ch.-J. de la Vallée-Poussin, "Recherches analytiques sur la théorie des nombres premier," Ann. Soc. Sci. Bruxelles, vol. 20, pp. 183-256 and pp. 281-297, 1896 (in French)

386. A. K. Varshney, "An extension of Fermat's numbers," Proc. Math. Soc., vol. 7, pp. 163-164,1991.

387. P. Vélez and O. Luis, "A Chord Approach for an Alternative Ruler and Compasses Construction of the 17-Side Regular Polygon," Geom. Dedicata, vol. 52, pp. 209-213,1994.

388. C. R. Videla, "On points constructible from conics," Math. Intelligencer, vol. 19, no. 2, pp. 53-57, 1997.

389. B. L. van der Waerden, "Defence of a 'shocking' point of view," Archive for History of Exact Sciences, vol. 15, no. 3, pp. 199-210, 1976.

390. S. S. Wagstaff Jr., "Computing Euclid's primes," Bull. Inst. Combin. Appl., vol. 8, pp. 23-32,1993.

391. S. S. Wagstaff Jr., "The joy of factoring," in Student Mathematical Library, vol. 168, Providence, RI, USA: Amer. Math. Soc., 2013.

392. S. S. Wagstaff Jr., "The Cunningham project. High primes and misdemeanours: lectures in honour of the 60th birthday of Hugh Cowie Williams," in Fields Inst. Commun., vol. 41, pp. 367-378, Providence, RI, USA: Amer. Math. Soc., 2004.

393. P. L. Wantzel, "Recherches sur les moyens de reconnaître si un Probléme de Géométrie peut se résoudre avec la réglé et le compas," Journal de Mathématiques Pures et Appliqueees, vol. 1, no. 2, pp. 366-372,1837 (in French).

394. L. J. Warren and H. G. Bray, "On the square-freeness of Fermat and Mersenne numbers," Pacific J. Math., vol. 22, pp. 563-564, 1967.

395. A. Weil, "Review of "The mathematical career of Pierre de Fermat", M. S. Mahoney," Bulletin oftheAMS, vol. 6, pp. 1138-1149,1973.

396. A. Weil, "Who betrayed Éuclid? Extract from a letter to the editor," Archive for History of Exact Sciences, vol. 19, no. 2, pp. 91-93, 1978.

397. A. Weil, "The History of Mathematics: Why and How," in Proc. of the International Congress of Mathematics, Helsinki 1978. Academia Scientiarum Finnica, vol. 1, pp. 227-236,1980.

398. A. Weil, Number theory. An approach through history from Hammurapi to Legendre, [Reprint of the 1984 ed.], Boston, MA, USA: Birkhüuser Boston, Inc., 2007.

399. H. C. Williams, "The primality of N = 2A3n - 1," Can. Math. Bull., vol. 15, pp. 585-589,1972.

400. H. C. Williams, "Primality testing on a computer," Ars Combin., vol. 5, pp. 127-185,1978.

401. H. C. Williams, "The primality of certain integers of the form 2 Arn -1," ActaArith., vol. 39, no. 1, pp. 7-17,1981.

402. H. C. Williams, "Factoring on a computer," Math. Intelligencer, vol. 6, pp. 29-36, 1984.

403. H. C. Williams, "Effective primality tests for some integer of the form A5n - 1 and A7n - 1," Math. Comput., vol. 48, pp. 385-403, 1987.

nn

404. H. C. Williams, "A note on the primality of 62 + 1 and 102 + 1," Fibonacci Quart., vol. 26, no. 4, pp. 296-305, 1988.

405. H. C. Williams, "How was F6 factored?," Math. Comp., vol. 61, pp. 463-474,1993.

406. H. C. Williams, Edouard Lucas and Primality Testing, Wiley, 1998.

407. H. C.Williams andE. Seah, "Some primes of the form (an - 1)/(a -1)," Math. Comput., vol. 33, no. 148, pp. 13371342, 1979.

408. H. C. Williams and J. O. Shallit, "Factoring integers before computers. In Mathematics of Computation, 19431993: A Half-Century of Computational Mathematics," W. Gautschi ed., in Proc. Symp. Appl. Math., vol. 48, Providence, RI, USA: Amer. Math. Soc., pp. 481-531, 1994.

409. H. C.Williams and C. R. Zarnke, "Some prime numbers of the forms 2 A3n +1 and 2 A3n -1," Math. Comp., vol. 26, pp. 995-998, 1972.

410. A. Witno, "Primes modulo which almost all Fermat numbers are primitive roots," Note Mat., vol. 30, no. 1, pp. 133-140, 2010.

2n

411. A Witno, "On generalized Fermat numbers 32 + 1,"Applied Math. & Information sciences, vol. 4, no. 3, pp. 307313, 2010.

412. A. Witno, "Hypothetical elite primes for Mersenne numbers and repunits," J. Integer Seq., vol. 24, no. 1, Article 21.1.7, 2021.

413. J. Wolfart, Primzahltests und Primfaktorzerlegung," in Yearbook: Surveys of mathematics 1981, Mannheim, Germany: Bibliographisches Inst., pp. 161-188, 1981.

414. C. P. Wrathall, "New factors of Fermat numbers," Math. Comp., vol. 18, pp. 324-325,1964.

415. S. Yates, "Sylvester primes," J. Recreational Math., vol. 8, no. 3, pp. 215-217,1975/76.

416. S. Yates, "Prime divisors of repunits," J. Recreational Math., vol. 8, no. 1, pp. 33-38,1975/76.

417. S. Yates, "Cofactors of repunits," J. Recreational Math., vol. 8, no. 2, pp. 99-107,1975/76.

418. S. Yates, "The mystique of repunits," Math. Mag., vol. 51, no. 1, pp. 22-28,1978.

419. S. Yates, Repunits and repetends, [With a foreword by D. H. Lehmer.], Delray Beach, Fla., USA, 1982.

420. S. Yates, "Large primes and Fermat factors," Math. Comp., vol. 67, pp. 1735-1738,1998.

421. J. Young and D. A. Buell, "The twentieth Fermat number is composite," Math. Comp., vol. 50, pp. 261-263,1988.

422. H. G. Zeuthen, "Die geometrische Construction als 'Existenzbeweis' in der antiken Geometrie," Math. Ann., vol. 47, pp. 222-228, 1896 (in German).

423. K. Zsigmondy, "Zur Theorie der Potenzreste," Monatshefte Math. Phys., vol. 3, pp. 265-284,1892 (in German). bibitemnew1 L. Anderson, J. S. Chahal, and J. Top, "The last chapter of the Disquisitiones of Gauss," Hardy— Ramanujan Journal, vol. 44, pp. 152-159, 2021.

424. L. D. Kay, "Felix Klein, Sophus Lie, contact transformations, and connexes," Arch. Hist. Exact Sci., 2023; doi:10.10 07/s00407-023-00305-1

425. J. Luätzen, "Why was Wantzel overlooked for a century? The changing importance of an impossibility result," HistoriaMath., vol. 36, no. 4, pp. 374-394, 2009; doi:10.1016/j.hm.2009.03.001

Received 05.10.2022, the final version — 07.12.2022.

Nikolai Vavilov, Doctor of Sciences (Phys.-Math.), Professor, Department of Mathematics and Computer Science, SPbU,И nikolai-vavilov@yandex.ru