CC BY
162
УДК 511 ББК 22.13 A 66
Андрухаев Х.М.
Кандидат физико-математических наук, профессор кафедры информатики и вычислительной техники факультета математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 59-39-01
О распределении простых чисел и простых чисел-близнецов в натуральном ряде до x = 400000000
(Рецензирована)
Аннотация
С помощью модифицированного решета Эратосфена составлена таблица всех простых чисел и пар простых чисел-близнецов < 400000000 с одновременным подсчетом их количества и средних частот в промежутках [1; n ■ 106] (1 < n < 400). В таблице 1 приводится фрагмент этой таблицы (последние 20 строк). Пары близнецов отмечены черточками. Полная таблица размещена в 400 файлах папки PBLIZ. Даются краткие исторические справки о таблицах простых чисел и приводятся некоторые последние результаты по проблеме простых чисел-близнецов.
Ключевые слова: простое число, простые числа-близнецы, решето Эратосфена, асимптотический закон распределения, обобщенные близнецы, криптосистема.
Andrukhaev Kh.M.
Candidate of Physics and Mathematics, Professor of Informatics and Computer Equipment Department of Mathematics and Computer Science Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 59-39-01
On distribution of prime numbers and twin primes in natural number series to x = 400000000
By using Eratosthenes's modified sieve the table is compiled of all prime numbers and pairs of twin primes < 400000000 with simultaneous calculation of their quantity and average frequencies in intervals of
[1; n -106] (1 < n < 400). The fragment of this table (the last 20 lines) is given in Table 1. Twin pairs are marked by hyphens. The full table is placed in 400 files of the PBLIZ folder. Brief historical information about tables ofprime numbers is given and the last results related to a problem of twin primes are given.
Keywords: prime number, twin primes, sieve of Eratosthenes, asymptotical law of distribution, generalized twins, cryptosystem.
Введение
В 1976 г. американцы У. Диффи, М. Хеллман и Р. Меркль показали, что некоторые проблемы прикладной теории чисел можно применить к построению так называемых криптосистем с открытыми ключами (асимметричных криптосистем). Такая возможность основывается на однонаправленности некоторых теоретикочисловых функций (операций): факторизация больших натуральных чисел, дискретное логарифмирование (индексирование), проблема оптимальной упаковки рюкзака и т.д. Взаимно-однозначная функция называется однонаправленной, если ее значения легко вычисляются, а вычисление значения обратной функции требует длительного времени даже с использованием быстродействующих вычислительных машин. Например, легко перемножить два больших числа, но трудно разложить большое натуральное число на два множителя, даже зная, что оно является произведением двух простых. При формировании открытых и секретных ключей асимметричных криптосистем используются
большие простые числа, записываемые несколькими сотнями цифр. В специальном курсе «Теоретико-числовые методы в криптографии», который читается на специальностях «Прикладная математика и информатика», «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» и «Информационная безопасность», наряду с другими криптосистемами изучаются криптосистемы RSA [1] и Эль-Гамаля [2], по которым автором разработаны учебно-демонстрационные компьютерные программы, использующие большие простые числа из базы данных. Для этого предназначены составленные нами таблицы простых чисел до границы x = 400000000 , которые хранятся в 400 файлах папки PBLIZ с общим объемом 210 Мб.
Краткая историческая справка ([3-6]). Первую таблицу простых чисел до границы x = 750 составил Катальди (1603); затем Шутен (1657) до x = 10000; талантливый русский математик-самоучка И.М. Первушин посвятил 43 года составлению таблицы простых чисел до x = 100000 (1854-1897); профессор Пражского университета Я.Ф. Кулик немного позже Первушина представил в Венскую Академию наук таблицу простых чисел до p = 10033020', но она не опубликована. В 1914 г. Д.Н. Лемер опубликовал таблицу простых чисел до p = 10006721. В 1951 г. К. Л. Бейкер и Ф.Ю. Грунбергер на микрофильме записали первые 6 миллионов простых чисел, последним из которых является p = 104395301; кстати, 104395301-104395303 - близнецы. К 1965 г. Полетти составил таблицу простых чисел 77-го миллиона. Все это было в докомпьютерное время, когда талантливые вычислители затрачивали десятки лет на составление таблиц простых чисел. В наш век компьютеров обширные таблицы простых чисел удается составить в считанные минуты. Например, для составления таблицы простых чисел в пределах первого миллиона с выделением простых чисел-близнецов обычный персональный компьютер затрачивает меньше 8 минут. При выводе таких таблиц простых чисел до x = 4000000000 нами затрачено около 50 ч машинного времени. Наибольшее простое число, не превосходящее 400000000, равно 399999959. Наибольшей парой простых чисел-близнецов <400000000 является 399999329-399999331.
Напомним, что простыми числами называются натуральные числа, большие единицы, имеющие только два делителя: единицу и само себя. Например: 2, 3, 5, 7, ..., 23, 29, .... Еще древнегреческий ученый Евклид, который жил в III-м веке до нашей эры, доказал, что в последовательности натуральных чисел простые числа составляют бесконечную подпоследовательность. Рассуждения Евклида были предельно простыми, они основываются на хорошо известном методе «от противного».
Обозначим через pn n -е простое число. Тогда по теореме Евклида последовательность
pi = ^ p2 = 3 p3 = ^ p4 = 1, p5 = 11, p, = 13, ., pi0 = 29, ., p25 = 97, ., pn , ---О)
является бесконечной. Заметим, что в (1) только p1 = 2 является четным, а остальные -нечетные. Разность между соседними простыми 3 и 2 равна 1, а дальше эта разность pk+1 - pk (k > 2) четна и не меньше двух. Если pn+1 - pn = 2, то pn и pn+1 называются
простыыми числами-близнецами. Например: 3 и 5, 5 и 7, 17 и 19, ..., 41 и 43, 57 и 59.
Предполагают, что последовательность пар близнецов бесконечна, но до настоящего времени (2013 г.) это ни кем не доказано и не опровергнуто.
Количество простых чисел, не превосходящих x (x > 2), обозначают п(x), а количество пар близнецов, не превосходящих x (x > 5), - п2( x). Например,
п(2) = 1, п(3) = 2, п(4) = 2, п(5) = 3, п(10) = 4, п(30) = 10, п(100) = 25, ...
п2(5) = 1, п2(10) = 2, п2(50) = 6, п2(100) = 8, п2(230) = 16, ...
Теорему Евклида о бесконечности множества простых чисел можно записать и так: 1ітп(х) = те . Асимптотический закон распределения простых чисел в натуральном ряде утверждает, что
Нт^г=1. (2)
1п х
При условии существования предела в (2), что он равен 1 впервые доказал в 1848 г. выдающийся русский математик Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894). Существование же указанного выше предела было доказано только спустя 48 лет в 1896 г. независимо друг от друга французским математиком Ж.С. Адамаром (1865-1963) и бельгийским математиком Валле-Пуссеном (1866-1962).
Швейцарский математик Л. Эйлер (1707-1783), который большую часть своей жизни прожил в Петербурге, доказал, что ряд
1+-+...=£-, (3)
7 11 ^р
членами которого являются числа, обратные простым, расходится. Это второй способ доказательства теоремы Евклида. В противоположность этому, как показал Норвежский математик В. Брун (1885-1978), аналогичный ряд для простых чисел р с условием, что р + 2 тоже простое число (даже если их бесчисленное множество), сходится. Из
п( х)
сказанного следует, что средняя частота —простых чисел в натуральном ряде до х
х
существенно больше, чем средняя частота П (х) простых чисел-близнецов. Из резуль-
х
татов П.Л. Чебышева следует, что п(х) < с1-^, а из результатов В. Бруна
х 1п х
п ( х) 1
2 < с
2 , 2 •
х 1п х
Фрагмент таблицы простых чисел и простых чисел-близнецов до х = 400000000 представлен в таблице 1.
Простые числа-близнецы выделены черточками между ними. В этих таблицах через каждый промежуток длины Ах = 1000000 подсчитаны п(х), п2(х) и средние час-п( х) П2( х) П2( х)
тоты: —^-, —-------и —-----. Вся таблица составила бы около 754600 книжных страниц.
х х п(х)
Самым богатым простыми числами и простыми числами-близнецами миллионным промежутком до 400000000 является 1-й. В нем 78498 простых чисел, 8169 близнецов, максимальное простое число 999983, максимальная пара близнецов 999959-
999961. С точностью до 0,001: частота простых чисел 0,079, частота пар близнецов 0,008, частота пар близнецов среди простых чисел 0,104. Общее число простых чисел, не превосходящих 400000000, равно 21342079; количество же близнецов 1508102. Зна-
п( х) п2 ( х) п2 ( х)
чения средних частот —, и —---, которые стремятся к 0 при X ^ те ; при
X X п(х)
х = 400000000 достигают соответственно: 0,053; 0,004 и 0,071, т.е. уменьшаются по сравнению с их значениями при х = 1000000 соответственно на: 0,026; 0,004; 0,033.
- 20 -
Таблица 1
Фрагмент таблицы простых чисел и простых чисел-близнецов до х = 400000000
399997243 399997259 399997349 399997373 399997387 399997421 399997427
399997453 399997469 399997483 399997523 399997529 399997541 399997561
399997583 399997597 399997603 399997613 399997621 399997651 399997687
399997693 399997721- 399997723 399997727- 399997729 399997751- 399997753
399997771 399997781 399997831 399997847 399997859 399997877 399997903
399997909 399997919 399997963 399997967 399997979 399997987 399998021399998023 399998029 399998041 399998047 399998087 399998147 399998237
399998243 399998257 399998273 399998293 399998299 399998327- 399998329
399998353 399998383 399998399 399998407 399998437 399998447- 399998449
399998461 399998471 399998519 399998531 399998561 399998569 399998603
399998617 399998647 399998671 399998693 399998699 399998707 399998713
399998759 399998813 399998839 399998861 399998867 399998873 399998909
399998927 399998941 399998953 399999007 399999023 399999031 399999053
399999071 399999101 399999121 399999133 399999211 399999217 399999221
399999227 399999247 399999317 399999323 399999329- 399999331 399999359
399999377 399999389 399999401 399999421 399999433 399999451 399999473
399999497- 399999499 399999521 399999529 399999599 399999617 399999629
399999653 399999667 399999671 399999689 399999707- 399999709 399999737
399999781 399999823 399999827- 399999829 399999839 399999857 399999869
399999893 399999907 399999931 399999937 399999947- 399999949 399999959
Примечание: До 400000000:
простых чисел - 21342079; пар близнецов 1508102; максимальное простое число 399999959; средняя частота простых чисел 0,053; максимальная пара близнецов 399999947-399999949; средняя частота близнецов 0,004; средняя частота пар близнецов среди простых 0,071.
!ЗЗМ 2074-1065 Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник ЛГУ». Выпуск 4 (125) 2013
По таблице 2 можно проследить изменение значений функций п( х ) и п2( х) при
изменении X от 1 до 400000000 с шагом Ах = 10000000, а так же изменение средних
п( х) п2( х) п2( х)
частот , и .
х х п(х)
Таблица 2
X п( X ) П2( х) п( х) п ( х) 2 п ( х) 2 ртах (P, Р + 2)тах
X X п( х)
10000000 664579 58980 0,067 0,006 0,089 9999991 9999971 - 9999973
20000000 1270607 107407 0,064 0,005 0,085 19999999 19999547 - 19999549
30000000 1857859 152891 0,062 0,005 0,082 29999999 29999549 - 29999551
40000000 2433654 196753 0,061 0,005 0,081 39999983 39999899 - 39999901
50000000 3001134 239101 0,060 0,005 0,080 49999991 49999757 - 49999759
60000000 3562115 280558 0,060 0,005 0,079 59999999 59999879 - 59999881
70000000 4118064 321466 0,060 0,005 0,078 69999989 69999911 - 69999913
80000000 4669382 361450 0,058 0,005 0,077 79999987 79999571 - 79999573
90000000 5216954 401090 0,058 0,005 0,077 89999999 89999981 - 89999983
100000000 5761455 440312 0,058 0,004 0,077 99999989 99999587 - 99999589
110000000 6303309 479129 0,057 0,004 0,077 109999993 109999859-109999861
120000000 6841648 517360 0,057 0,004 0,076 119999987 119999861-119999863
130000000 7378187 555376 0,057 0,004 0,075 129999997 129999911-129999913
140000000 7912199 593174 0,057 0,004 0,075 139999991 139999901-139999903
150000000 8444396 630392 0,056 0,004 0,075 149999957 149999879-149999881
160000000 8974458 667529 0,056 0,004 0,074 159999997 159999941-159999943
170000000 9503083 704104 0,056 0,004 0,074 169999967 169999901-169999903
180000000 10030385 740685 0,056 0,004 0,074 179999993 179999639-179999641
190000000 10555473 777052 0,056 0,004 0,074 189999989 189999839-189999841
200000000 11078937 813371 0,055 0,004 0,073 199999991 199999901-199999903
210000000 11601626 849301 0,055 0,004 0,073 209999987 209999891-209999893
220000000 12122540 884949 0,055 0,004 0,073 219999919 219999749-219999751
230000000 12642573 920527 0,055 0,004 0,073 229999981 229999697-229999699
240000000 13167297 956580 0,055 0,004 0,073 239999987 239999831-239999833
250000000 13685071 991816 0,055 0,004 0,072 249999991 249999767-249999769
260000000 14201613 1026952 0,055 0,004 0,072 259999991 259999847-259999849
270000000 14717137 1062112 0,055 0,004 0,072 269999993 269999339-269999341
280000000 15231822 1097091 0,054 0,004 0,072 279999991 279999989-279999991
290000000 15745416 1132160 0,054 0,004 0,072 289999999 289999769-289999771
300000000 16258078 1166849 0,054 0,004 0,072 299999977 299999639-299999641
310000000 16770274 1201546 0,054 0,004 0,072 309999997 309999971-309999973
320000000 17280959 1236081 0,054 0,004 0,072 319999969 319999751-319999753
330000000 17791228 1270509 0,054 0,004 0,071 329999987 329999819-329999821
340000000 18300358 1304764 0,054 0,004 0,071 339999997 339999941-339999943
350000000 18809279 1338911 0,054 0,004 0,071 349999999 349999799-349999801
360000000 19317041 1372721 0,054 0,004 0,071 359999989 359999537-359999539
370000000 19824158 1406633 0,054 0,004 0,071 369999979 369999809-369999811
380000000 20331126 1440551 0,054 0,004 0,071 379999999 379999577-379999579
390000000 20836963 1474436 0,053 0,004 0,071 389999999 389999879-389999881
400000000 21342079 1508102 0,053 0,004 0,071 399999959 399999947-399999949
Примечание: Количество простых чисел и пар простых чисел-близнецов - в интервалах от 1 до х с шагом А х = 10000000 ( х < 400000000). Обозначения: ртах - наибольшее простое число < х;
(; р + 2 )тах - наибольшая пара простых чисел-близнецов < х.
В таблице 3 приведены значения разностей п(к -107 )-п (к -1)107) и п2 (к -107 )-п2 (к -1)-107) для 1 < к < 40, т.е. количества простых и простых чисел-близнецов в 10-миллионных промежутках до 400000000.
Таблица 3
x у п( у) -п( x) П2( У) П2( x)
GGGGGGGG 1GGGGGGG 664579 5898G
1GGGGGGG 2GGGGGGG 606028 48427
2GGGGGGG 3GGGGGGG 587252 45484
3GGGGGGG 4GGGGGGG 575795 43862
4GGGGGGG 5GGGGGGG 567480 42348
5GGGGGGG 60000000 560981 41457
60000000 7GGGGGGG 555949 4G9G8
7GGGGGGG 8GGGGGGG 551318 39984
8GGGGGGG 9GGGGGGG 547572 3964G
9GGGGGGG 1GGGGGGGG 5445G1 39222
1GGGGGGGG 110000000 541854 38817
110000000 12GGGGGGG 538339 38231
12GGGGGGG 13GGGGGGG 536539 38G16
13GGGGGGG 14GGGGGGG 534G12 37798
14GGGGGGG 15GGGGGGG 532197 37218
15GGGGGGG 160000000 530062 37137
160000000 17GGGGGGG 528625 36575
17GGGGGGG 18GGGGGGG 5273G2 36581
18GGGGGGG 19GGGGGGG 525G88 36367
19GGGGGGG 2GGGGGGGG 523464 36319
2GGGGGGGG 21GGGGGGG 522689 3593G
21GGGGGGG 22GGGGGGG 52G914 35648
22GGGGGGG 23GGGGGGG 52GG33 35578
23GGGGGGG 24GGGGGGG 524724 36053
24GGGGGGG 25GGGGGGG 517774 35236
25GGGGGGG 260000000 516542 35136
260000000 27GGGGGGG 515524 35160
27GGGGGGG 28GGGGGGG 514685 34979
28GGGGGGG 29GGGGGGG 513594 35G69
29GGGGGGG 3GGGGGGGG 512662 34689
3GGGGGGGG 31GGGGGGG 512196 34697
31GGGGGGG 32GGGGGGG 510685 34535
32GGGGGGG 33GGGGGGG 510269 34428
33GGGGGGG 34GGGGGGG 5G913G 34255
34GGGGGGG 35GGGGGGG 5G8921 34147
35GGGGGGG 360000000 5G7762 3381G
360000000 37GGGGGGG 507117 33912
37GGGGGGG 38GGGGGGG 5G6968 33918
38GGGGGGG 39GGGGGGG 5G5837 33885
39GGGGGGG 4GGGGGGGG 505116 33666
Всего 21342G79 1508102
Примечание: Число простых чисел и число пар простых чисел-близнецов
< 400000000 и их распределение по интервалам длины 10000000. Обозначения: x - начало интервала; у - конец интервала.
Любопытно, что в 1-м промежутке от 1 до 10000000 значительно больше простых чисел (664579) и простых чисел-близнецов (58980), чем в последующих, причем число простых чисел от промежутка к промежутку сначала уменьшается до 23-го промежутка (520033), а в 24-м промежутке - увеличивается (524724). После этого количество простых чисел снова уменьшается до 505116 в 40-м промежутке.
Количество близнецов так же сначала уменьшается от 58980 до 36575 в 17-м промежутке, а в 18-м - увеличивается на 6 пар близнецов (36581). После этого количество близнецов снова уменьшается до 35578 в 23-м промежутке и в 24-м - увеличивается на 475 пар (36053) и т.д. (см. табл. 3). В 40-м 10-миллионном промежутке 505116 простых чисел и 33666 пар близнецов.
В промежутке от 1 до 400000000 простые числа составляют 5,3%, пары простых чисел-близнецов 0,4%, пары простых чисел-близнецов составляют 7,1% от общего числа простых чисел. Для сравнения отметим, что до 400000000 чисел, являющихся точными квадратами, 0,005%.
Возникает вопрос: встретится ли в натуральном ряде 10-миллионный промежуток [(и -1) -107; п -107 ] (и > 1), в котором нет простых чисел, а значит и близнецов? До 400000000, как видно из таблицы 3, такого промежутка нет. Однако такой промежуток при дальнейшем увеличении х встретится. Действительно: очевидно, что при любом натуральном к > 2 все числа к!+2, к!+3, ..., к\+к являются составными. Выберем к = 2 • 107 и рассмотрим составные числа
(2 •107)\+107, (2 •107)\+107 +1, (2 107)\+107 + 2, ..., (2 • 107)!+2 • 107,
которые можно переписать так:
(2 •Ю7)! ^ -----^Т~ +1
V I07 у
•107,
7
^ (2 •Ю7)! ^
-----Н" +1
V I07 у
•107+1,
(2 •Ю7)! ^
----Н" +1
107
•107+107.
Выбрав п = ( ^7 + 2, получим промежуток [(и -1) -107; п -107 ], в котором нет
простых чисел. Ясно, что найденный 10-миллионный промежуток, свободный от простых чисел, очень далек от начала натурального ряда. Возможно, что найдется более близкий к началу натурального ряда 10-миллионный промежуток без простых чисел. Чтобы пояснить сказанное, найдем промежуток длины 10 вида [(и -1) 10;п • 10], указанным выше ме-
(2-10)! „
тодом. Для этого достаточно взять п + 2 и искомым промежутком будет
[(и -1) • 10;п •Ю]= [2431228184 985600010 ; 2431228184 985600020 ],
в то время как ближайшим от начала натурального ряда промежутком вида [(п -1)10;п 10] без простых чисел является [200; 210].
В общем случае, чтобы построить промежуток вида [(и -1) •10*; п •10* ] ( 5 - нату-
(2 •Ю *)!
ральное) без простых чисел, достаточно взять п = ——--------+ 2 . Интересно было бы най-
ти для данного * меньшие значения п .
В 1845 г. известный французский математик Ж. Бертран (1822-1900) в своих исследованиях выдвинул гипотезу о том, что в любом промежутке [п; 2и] (п - натуральное) находится по крайней мере одно простое число и убедился, что она верна для всех п до 3000000, но доказать в общем виде, т. е. для любого п , он тогда не смог. Однако он пользовался этим фактом, постулировав его (постулат Бертрана). Позже П.Л. Чебы-
шев в 1852 г. доказал постулат Бертрана даже в более сильной форме. Впоследствии было доказано еще более сильное утверждение: при любом п > 6 в промежутке [п; 2п] содержится по крайней мере 2 простых числа. Аналогичные вопросы можно ставить и о простых числах-близнецах, но они очень трудные. Как уже отмечалось выше до настоящего времени вопрос о конечности или бесконечности количества близнецов остается открытым.
Упомянем еще об одном результате, полученном совсем недавно (2013). Назовем обобщенными близнецами пары простых чисел рп; рп+1), для которых pn+1 _ рп < С , где С постоянное число, не зависящее от п. Китайский математик Yitan Zhang анонсировал, что им доказана бесконечность числа обобщенных близнецов с C = 70000000. Конечно, этот результат далек от возможного доказательства бесконечности числа обычных близнецов, но с точки зрения специалистов по теории чисел является большим продвижением в проблеме близнецов. Если удастся довести С до 2, то этим будет доказана бесконечность последовательности близнецов.
Отметим так же, что наибольшей найденной парой близнецов (февраль 2013 г., Калифорния) является
(257885161 _ 1 257885161 + 1)
Интересно отметить, что простое число р = 2 5 7885161 _ 1 в десятичной системе счисления содержит 17425169 цифр. Чтобы записать эту пару простых чисел на бумажную ленту в одну строку, потребуется лента длиной 116 км.
Заключение
Публикуя эту статью, мы хотели создать базу данных для достаточно больших простых чисел, которые используются в учебных программах, реализующих алгоритмы некоторых криптосистем с открытыми ключами. Одновременно с этим, затронув некоторые классические результаты по проблемам распределения простых чисел и простых чисел-близнецов, хотели бы вызвать у студентов и учащихся классов с математическим уклоном интерес к теоретико-числовым задачам и проблемам «царицы» математики -теории чисел.
Что касается таблицы простых чисел и простых чисел-близнецов, то в ближайшее время она будет доведена нами до границы х = 500000000.
Примечания:
1. Коутинхо С. Введение в теорию чисел. Алгоритм ЯЕА. М.: Постмаркет, 2001. 323 с.
2. Основы криптографии / АЛ. Алферов, А.Ю. Зубов, А.С. Кузьмин, А.В. Черемушкин. М.: Гелиос АРВ, 2002. 480 с.
3. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Просвещение, 1966. 384 с.
4. Трост Э. Простые числа. М.: Государственное
- -
туры, 1959. 135 с.
5. Сизый С.В. Лекции по теории чисел. Екатеринбург, 2002. 194 с.
6. /
О.В. Мантуров, ЮЖ. Солнцев, ЮЛ. Соркин, Н.Г. Федин. М.: Просвещение, 1965. 540 с.
References:
1. Koutinkho S. Introduction to the theory of numbers. Algorithm RSA. M.: Postmarket, 2001. 323 pp.
2. Foundations of cryptography / A.P. Alferov, A.Yu. Zubov, A.S. Kuzmin, A.V. Cheremushkin. M.: Ge-lios ARV, 2002. 480 pp.
3. Bukhshtab A. A. Theory of numbers. M.: Prosve-shchenie, 1966. 384 pp.
4. Bukhshtab A. A. Theory of numbers. M.: Prosve-shchenie, 1966. 384 pp.
5. Sizy S.V. Lectures on the theory of numbers. Yekaterinburg, 2002. 194 pp.
6. Explanatory dictionary of mathematical terms / O.V. Manturov, Yu.K. Solntsev, Yu.I. Sorkin, N.G. Fedin. M.: Prosveshchenie, 1965. 540 pp.
