ВЕРОЯТНОСТНЫЙ ПОДХОД К ИЗУЧЕНИЮ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ И ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ-БЛИЗНЕЦОВ В НАТУРАЛЬНОМ РЯДЕ ДО jc = 1040000000 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511.3 ББК 22.13 А 66

Андрухаев Х.М.

Кандидат физико-математических наук, профессор кафедры алгебры и геометрии факультета математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета, Майкоп, (8772) 59-39-01, e-mail: [email protected]

Вероятностный подход к изучению законов распределения простых чисел и простых чисел-близнецов в натуральном ряде до jc = 1040000000

(Рецензирована)

Аннотация. Получены все простые числа и простые числа-близнецы в начальном отрезке натурального ряда до 1040000000 (программаpbotdo.bas).B таблицах близнецы выделены черточками между ними. В каждом файле подсчитаны количество простых чисел и близнецов, а также соответствующие относительные частоты. Используя полученные табличные данные и теоретико-вероятностные методы, выведена приближенная формула для средней плотности простых чисел-близнецов в промежутке от 1 до 1040000000.

Ключевые слова: простое число, простые числа-близнецы, двойное решето Эратосфена, асимптотический закон распределения.

Andrukhaev Kh.M.

Candidate of Physics and Mathematics, Professor of Algebra and Geometry Department of Mathematics and Computer Science Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 59-39-01, e-mail: [email protected]

Probabilistic approach to studying the laws of distribution of prime numbers and simple twin numbers in a natural row up to jc = 1040000000

Abstract The paper presents all prime numbers and simple twin numbers obtained in an initial piece of a natural row up to 1040000000 (pbotdo.bas program). In tables, twins are allocated with hyphens between them. In each file, the quantity of prime numbers and twins, as well as the corresponding relative frequencies are counted. Using the obtained tabular data and probability-theoretic methods, the approximate formula is derived for the average density of simple twin numbers in an interval from 1 to 1040000000.

Keywords: prime number, simple twin numbers, the double sieve of Eratosthenes, asymptotic law of distribution, average density.

Обозначения:

p - простое число;

Я"(х) - число простых чисел, < х (х > 2);

п2 (х) - число простых чисел-близнецов, < х (х > 5);

Вп - событие «случайно взятое натуральное число п окажется простым»;

Еп - индикатор события Вп;

— знак ассимтотического равенства;

(р{х) - 0(/(х)), где /(х) > 0 означает, что существует константа С > 0,

что < Cf(x); .Ртах - максимальное простое число в заданном промежутке; Ьт!а - максимальная пара близнецов в заданном промежутке; м(х) - математическое ожидание случайной величины X.

1. Введение. Статья является продолжением статьи, опубликованной в [1], и содержит результаты статистических наблюдений над распределением простых чисел и простых чисел-близнецов на начальном промежутке натурального ряда чисел до 109. Вычислены все простые числа и простые числа-близнецы этого промежутка и разме-

щены по 64 файлам, соответствующим промежуткам (а-10*, (а + 1)-10*), 1 < а < 9, 1 < к < 8 с растущим шагом к = 10,100,1000,10000,100000,1000000,10000000,100000000. Отдельно составлена таблица простых и простых чисел-близнецов промежутка (109; 1,04-109), фрагмент которой от 1,02-109 до 1,04-109 приводится в таблице 1. В таблице 2 содержатся количественные данные, полученные в процессе вычисления простых и простых чисел-близнецов. Указаны также максимальные простые и максимальные пары близнецов в промежутках. В таблице 3 указаны распределения простых чисел и простых чисел-близнецов в 1000000-х промежутках от 1031000000 до 1040000000. В следующих пунктах излагается теоретико-вероятностный подход к выводу асимптотического закона распределения простых чисел в натуральном ряде чисел. Аналогичные результаты получены для чисел-близнецов.

Таблица 1

Таблица простых чисел и простых чисел-близнецов от 1039994300 до 1040000000

1039994309 1039994321 1039994359 1039994407 1039994411 1039994419 1039994437 1039994441 1039994467 1039994471 1039994477 1039994489 1039994539 1039994597 1039994623 1039994629 1039994633 1039994647 1039994701 1039994707 1039994729 1039994759 1039994783 1039994843 1039994911 1039994929 1039994957-1039994959 1039994981 1039995023 1039995029 1039995059 1039995067 1039995079 1039995083 1039995091 1039995109 1039995127 1039995133 1039995139 1039995169 1039995193 1039995197-1039995199 1039995211 1039995251 1039995277 1039995287 1039995311 1039995337 1039995353 1039995379 1039995389-1039995391 1039995401-1039995403 1039995431 1039995443 1039995469 1039995479 1039995499 1039995503 1039995563 1039995569 1039995601 1039995611 1039995629-1039995631 1039995653 1039995661 1039995679 1039995683 1039995703 1039995731 1039995787 1039995797 1039995811 1039995821-1039995823 1039995857 1039995863 1039995871 1039995877 1039995881 1039995911 1039995949 1039995953 1039995973 1039996019-1039996021 1039996039 1039996079-1039996081 1039996093 1039996099 1039996117 1039996121 1039996169-1039996171 1039996207 1039996229 1039996249 1039996303 1039996327 1039996351 1039996357 1039996411 1039996421 1039996439 1039996469 1039996493 10399964991039996501 1039996537 1039996547-1039996549 1039996553 1039996567 1039996591 1039996609 1039996627 1039996631 1039996679 1039996759 1039996781 1039996801 1039996807 1039996813 1039996829 1039996861 1039996873 1039996883 1039996907 1039996921 1039996931-1039996933 1039996949 1039996973 1039996987 1039997047 1039997069 1039997087 1039997143 1039997149 1039997171 1039997177 1039997197 1039997227 1039997239 1039997261 1039997293 1039997311 1039997353 1039997363 1039997377 1039997381 1039997407 1039997419 1039997437 1039997447 1039997461 1039997467 1039997473 1039997557 1039997561 1039997611 1039997617 1039997659 1039997669-1039997671 1039997701 1039997711 1039997731 1039997773 1039997789 1039997843 1039997867 1039997891 1039997921 1039997939 1039997963 1039997993 1039998007 1039998031 1039998073 1039998083 1039998101 1039998119 1039998149 1039998161 1039998173 1039998287 1039998293 1039998299 1039998329 1039998367 1039998403 1039998433 1039998451 1039998461 1039998503 1039998523 1039998569 1039998587 1039998607 1039998653 1039998697 1039998709 1039998719-1039998721 1039998733 1039998737 1039998767-1039998769 1039998779-1039998781 1039998787 1039998811 1039998829 1039998847 1039998853 1039998859 1039998863 1039998887 1039998893 1039998901 1039998937 1039998941 1039998961 1039998979 1039999039 1039999043 1039999057 1039999097 1039999133 1039999141 1039999159 1039999171 1039999199 1039999223 1039999277 1039999283 1039999291 1039999307 1039999339 1039999357 1039999381 1039999427 1039999451 1039999459 1039999483 1039999511 1039999577 1039999601-1039999603 1039999619 1039999643 1039999673 1039999679 1039999703 1039999729 1039999739 1039999747 1039999757 1039999777 1039999781 1039999817 1039999823 1039999841-1039999843 1039999889 1039999913 10399999211039999931 1039999963 1039999981 1039999991

Примечание: В таблице содержатся все простые числа и простые числа-близнецы промежутка (1039994300; 1040000000);

ртт =1039999991; Ьт!а = (1039999841 -1039999843);

до 1040000000: простых чисел 52776212; пар близнецов 3547167; частота простых чисел 0,051; частота пар близнецов 0,003; частота пар близнецов среди простых 0,067

Таблица 2

Количество простых чисел и близнецов до х = 109

X я(х) *2M Р тах Ъ тах

100 25 8 97 71-73

200 46 15 199 197-199

300 62 19 293 281-283

400 78 21 397 347-349

500 95 24 499 461-463

600 109 26 599 461-463

700 125 30 691 659-661

800 139 30 797 659-661

900 154 35 887 881-883

1000 168 35 997 881-883

2000 303 61 1999 1997-1999

3000 430 81 2999 2969-2971

4000 550 103 3989 3929-3931

5000 669 126 4999 4967-4969

6000 783 143 5987 5879-5881

7000 900 162 6997 6959-6961

8000 1007 175 7993 7949-7951

9000 1117 189 8999 8969-8971

10000 1229 205 9973 9929-9931

20000 2262 342 19997 19991-19993

30000 3245 467 29989 29879-29881

40000 4203 591 39989 39839-39841

50000 5133 705 49999 49991-49993

60000 6057 811 59999 59669-59671

70000 6935 905 69997 69929-59931

80000 7837 1007 79999 79997-79999

90000 8713 1116 89989 89897-89899

100000 9592 1224 99991 99989-99991

200000 17984 2160 199999 199931-199933

300000 25997 2994 299993 299699-299701

400000 33860 3804 399989 399911-399913

500000 41538 4565 499979 499691-499693

600000 49098 5331 599999 599939-599941

700000 56543 6061 699967 699539-699541

800000 63951 6766 799999 799991-799993

900000 71274 7472 899981 899891-899893

1000000 78498 8169 999983 999959-999961

2000000 148933 14871 1999993 1999889-1999891

3000000 216816 20932 2999999 2999831-2999833

4000000 283146 26860 3999971 3999659-3999661

5000000 348513 32463 4999999 4999961-4999963

6000000 412849 37916 5999993 5999921-5999923

7000000 476648 43259 6999997 6999821-6999823

8000000 539777 48618 7999993 7999919-7999921

9000000 602489 53867 8999993 8999897-8999899

10000000 664579 58980 9999991 9999971-9999973

20000000 1270607 107407 19999999 19999897-19999899

30000000 1857859 152891 29999999 29999549-29999551

40000000 2433654 196753 39999983 39999899-39999901

50000000 3001134 239101 49999991 49999757-49999759

60000000 3562115 280558 59999999 59999981-59999983

Продолжение таблицы 2

X я{х) *2М Prosa. Ъ гаах

70000000 4118064 321466 69999989 69999911-69999913

80000000 4669382 361450 79999987 79999571-79999573

90000000 5216954 401090 89999999 89999981-89999983

100000000 5761455 440312 99999989 99999587-99999589

200000000 11078937 813371 199999991 199999901-199999903

300000000 16252325 1166480 299999977 299999639-299999641

400000000 21336326 1507733 399999959 399999947-399999949

500000000 26355867 1840170 499999993 499999319-499999321

600000000 31324703 2166301 599999971 599999429-599999431

700000000 36252931 2486868 699999953 699999401-699999403

800000000 41146179 2802751 799999999 799999799-799999801

900000000 46009215 3115262 899999963 899999741-899999743

1000000000 50847534 3424506 999999937 999999191-999999193

Примечание: Я"(х) - количество простых чисел до х; я2 (х) - количество близнецов до х; рта - наибольшее простое число до х; Ьтт - наибольшая пара близнецов до х. В таблице содержатся количества простых и простых чисел-близнецов от1до а • 10*, 1 < а < 10, 2< к <%. В 4-й колонке максимальное простое число данного промежутка, в 5-й - максимальная пара простых чисел-близнецов

Таблица 3

Число простых чисел и простых чисел-близнецов от х = 1031000000 до х = 1050000000 с шагом 1000000

X я{х) я2{х) Prosa. Ъ rosa

1031000000 52342581 3519572 1030999993 1030999859-1030999861

1032000000 52390783 3522590 1031999999 1031999201-1031999203

1033000000 52438841 3525638 1032999997 1032999479-1032999481

1034000000 52486822 3528669 1033999999 1033999961-1033999963

1035000000 52535054 3531675 1034999989 1034998499-1034998501

1036000000 52583238 3534747 1035999997 1035999749-1035999751

1037000000 52631520 3537806 1036999973 1036999349-1036999351

1038000000 52679613 3540950 1037999999 1037999861-1037999863

1039000000 52727899 3544060 1038999991 1038999989-1038999991

1040000000 52776212 3547167 1039999991 1039999841-1039999843

1041000000 52824367 3550239 1040999983 1040999819-1040999821

1042000000 52872612 3553319 1041999983 1041999599-1041999601

1043000000 52920799 3556322 1042999981 1042999931-1042999933

1044000000 52968968 3559486 1043999987 1043999951-1043999953

1045000000 53016988 3562534 1044999983 1044999971-1044999973

1046000000 53065074 3565583 1045999973 1045999961-1045999963

1047000000 53113216 3568608 1046999999 1046999801-1046999803

1048000000 53161242 3571636 1047999989 1047999611-1047999613

1049000000 53209278 3574720 1048999993 1048999361-1048999363

1050000000 53257350 3577758 1049999963 1049999957-1049999959

Примечание: В таблице представлены: значения х от 1031000000 до 1050000000 с шагом 1000000, число простых чисел, число простых чисел-близнецов, максимальное простое число и максимальная пара простых чисел-близнецов до х

2. Вероятностный подход к изучению поведения функции я(х)

При х > 2 через л(х) обозначается число простых чисел р, не превосходящих х:

= р - простое.

р<х

В [2] Я.Б.Зельдович и А.Д. Мышкис в 1965 году привели пример применения теории вероятностей к исследованию теоретико-числовой задачи нахождения асимптотического закона распределения простых чисел в отрезках [1 :х] натурального ряда чисел при растущих х Напомним этот закон:

Ит^^ = 1, т.е. я(х) ——. х 1пх

1пх

Впервые сложным аналитическим методом (без применения теории вероятностей) его доказали русский математик П.Л. Чебышев и французский математик Ж.С. Адамар в конце XIX века. Позже этот закон доказан элементарным методом норвежским математиком А. Сельбергом. Метод, использованный А. Сельбергом, хоть и называется элементарным, но очень сложный и основан он на так называемом решете Сельберга.

Идея использования вероятностного метода очень проста. Приведем ее здесь схематично (см. [2]).

Пусть х > 2 достаточно большое действительное число и п - натуральное число < х.

Из множества натуральных чисел от 2 до п наудачу возьмем натуральное число т<п. Пусть рфд - простые числа <п. Тогда может случиться, что т - кратно р, а может и нет. Обозначим через А событие «р делит т» (р/т). Противоположное

событие - Ар,т (р/т). По классическому определению вероятности имеем:

рЮ=

п Р

п

(отношение числа натуральных чисел т, кратных р, к общему числу натуральных чип р

сел до п). Так как

« —, то р{а — = — . Аналогично р{а т)« —. Следова-

р пр р q

тельно, р[арт)~\-— и p[AqJ)~ 1- —. Основное допущение при применении вероят-Р Я

ностного метода к данной проблеме состоит в том, что события Ар,т и Aq,m считаются независимыми, т.е.

s Vi4

Отсюда следует, что вероятность того, что случайно выбранное натуральное число т , не делится ни на р, ни на ^. Подчеркнем, что здесь существенно, что рфц -

простые и, следовательно, (р, #) = 1.

Из метода решета Эратосфена следует, что число п является простым тогда и только тогда, когда оно не делится ни на какое простое число р < 4п . На этом факте собственно и основан метод решета. Обозначим через Вп событие «п - простое число». Так как р{арЛ=\-— и для различных простых чисел р<4п события ар,„ неза-

р

висимы, то вероятность Р(Вп) равна:

p<4ñ

В [2] авторы вместо

р<л[п

больших п можно считать

используют Y[

р<п

VI4

в силу того, что при

п

4п<р<п

»1,

и при достаточно больших п это не влияет на окончательный результат. Далее авторы делают заключение, что средняя плотность распределения простых чисел в промежутке

[п,п + А] /(и)«П

р<п

'i-Г

и получают, что f(n) удовлетворяет дифференциальному

уравнению (подробности см. в [2]):

причем

df(t)_ dt in f(n)=W

О f

(1)

dt.

Из (1) получается, что ходят, что

/М /(2) /(») =

1 1

-In2 + Inп, и обозначив Q = -1п2, на-

/(2)

1

Сх +ln п

При достаточно больших х

/ \ xr dt dx я(х)~ j

2ln t lnx 1п2 2

2 xr dt

lnx

! 1 2 1 + — + -

lnx In2 2

3. Применение вероятностных рассуждений для исследования поведения функции я2{х) в пределах от 5 до х при больших х из промежутка (5,109) несколько отличается от приведенного выше тем, что к настоящему времени даже неизвестно бесконечно ли множество близнецов в натуральном ряде. Предполагают, что бесконечно, но это лишь предположение, которое не доказано и не опровергнуто. Отметим также, что в отличие от расходящегося ряда, члены которого обратны простым числам, аналогичный ряд чисел, обратных числам-близнецам, сходится, но это не говорит о конечности множества близнецов.

В 1918 году В. Брун доказал, что существует константа с > 0, что

Ш X

но до решения проблемы о поведении щ{х) пока далеко. Как уже отмечено выше, даже неизвестно, что

\\таж2(х) = °°,

X—>°о

хотя в этом специалисты не сомневаются.

Будем предполагать, что события Вп и Вп+2 независимы. Относительно правомерности такого предположения см. [3].

Обозначим еп - случайную величину, заданную следующим образом {п>2)\

Е. =

[1, если п-простое,

[0, если «-составное. Раннее мы обозначили через вп событие «п - простое число», а значит еп - ин-

дикатор события вп. Так как р(вп) = ]~[

Р<4п

пределения еп запишется так:

v Р;

г

Р<4п

1— V Pj

, то закон рас-

Еп 0 1

Вероятность 1-П Р<4п И 1 р) п р<4п м 1 р)

Если еп - индикатор события вп, то еп+2 - индикатор события вп+2. Очевидно, что произведение еп-еп+2 - индикатор произведения вп ■ вп+2, означающего, что (п, п + 2) - пара простых близнецов.

Мы предположили, что события вп и вп+2 независимы. В силу этого предположения еп и еп+2 так же независимы. Тогда x = ^еп ■ еп+г является случайной вели-

п+2<х

чиной, математическое ожидание которой равно я2(х), т.е.

7Г2{х) = М{х) = м[^Еп-Е1

\п+2<х

Jn+2

(2)

Так как еп и еп+2 независимы, то математическое ожидание произведения случайных величин еп и еп+2 равно произведению их математических ожиданий:

(3)

м{еп-еп+2) = м{еп).м{еп+2)= п

р<4п

где, возможно, существует простое число д такое, что 4п < ^ < л1п + 2

м п / 1- Г =п ( 1- Г 2 И

р) р<4п+2 ч Р, Р<4п ч Р, 1 я)

Будем пренебрегать множителем

v Я;

■■ 1 —!= »1 при больших п. Тогда

л]п

м{е)-м{еп+2)~ п

р<4П

ч

v

Если такое q существует, то

n<q2 <п + 2

и, следовательно, имеет место одна из возможностей: а) = п +1; б) = п + 2.

В случае а) п = -1 = - 1)(д +1) и п будет простым числом только тогда, когда ^-1 = 1, т.е. 9 = 2, и 9 + 1 = 3. Отсюда имеем, что и = 1 • 3 = 3, п + 2 = 5. Ясно, что в случае а) имеем дело с парой близнецов (3,5), и только эта пара удовлетворяет а).

В случае б) п + 2 = и п + 2 не является простым числом, а значит говорить о паре

(п,п + 2) близнецов не приходится. Таким образом, при п>5 множитель 1-— в (3)

я

можно опустить, т.е. им можно пренебречь, не используя даже приближенного равенства

у1п

Теперь, исходя из (2), можно записать, что

п+2<х р</п V Р

Дальше можно действовать так же, как и при исследовании функции тг(х), но мы воспользуемся известным неравенством, доказанным Мертенсом [4]:

.-с Г

П

р< X

lnx

1 + о

, ! ЛЛ

lnx

J J

где С = 0,5772... - постоянная Эйлера. Имеем:

*2м= I п

п+2<х р<\ п

ЕП

П<X р< п

■Z-

П< X 1

1

.2 С

In п

1 + о

г ! ЛЛ

Inn

Vi"

ч Pj 4

-I

J J

J- с

e «<jc

У — ^^ In о

n< x Г

-C

In 4n

1 + o

l + O

\Л

1пл/й

/У

,2С

г—

П< X

Заменив сумму приближенно интегралом, получим:

4

2 С

5 2х + -

In х In2 5 In х Inno

Таким образом, получается приближенная формула

1 2 1 +-+ -

е2С In2 ху lnx Ы2 X;

(4)

При х = 109 точное значение я,2(ю9)= 3424506. Формула (4) при этом дает приближенное значение я^!О9)» 3259955.

Примечания:

1. Андрухаев Х.М. О распределении простых чисел и простых чисел-близнецов в натуральном ряде до х=400000000 // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2013. Вып. 4 (125). С. 17-24.

URL: http://vestnik.adygnet.ru

2. Зельдович Я.Б., Мыпжис А.Д. Элементы прикладной математики. М.: Наука, 1965. 615 с.

References:

1. Andrukhaev Kh.M. On distribution of prime numbers and twin primes in natural number series to x=400000000 // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2013. Iss. 4 (125). P. 17-24. URL: http://vestnik.adygnet.ru

2. Zeldovich Ya.B., Myshkis A.D. Elements of applied mathematics. M.: Nauka, 1965. 615 pp.

3. Кац M. Статистическая независимость в теории 3. Kats М. Statistical independence in the theory of вероятностей, анализе и теории чисел. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. 156 с.

probability, analysis and theory of numbers. M.: Publishing House of Foreign Literature, 1963. 156 pp.

4. Бухштаб A.A. Теория чисел. M.: Просвещение, 4. Bukhshtab A.A. Theory of numbers. M.: Prosve-

1966. 378 c.

shchenie, 1966. 378 pp.