CC BY
31
DOI: 10.18454/IRJ.2016.49.073 Скворцов Г.Е.1, Перевозников Е.Н.2
1 Кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Санкт-Петербургский государственный университет,
2кандидат физико-математических наук, доцент, Санкт-Петербургский политехнический университет ТЕОРИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТИ И КРИТЕРИИ ХАОСА
Аннотация
Дается краткое содержание теории неустойчивости. Эта физическая теория рассматривает все возможные явления неустойчивости. Ее отдельные части приводились авторами ранее. Здесь дается полное представление о теории. Она состоит из трех основных разделов. Первый раздел содержит основные положения: определение неустойчивости, основные понятия, систему законов и принципов. Второй раздел составляют основные методы получения критериев неустойчивости и хаоса и применения их к модельным задачам. В третьем разделе изучаются модели реальных систем. Далее следуем этой схеме. Наряду с используемыми ранее водится новый метод нелинейного спектра. Примером является модель электронного генератора.
Ключевые слова: неустойчивость, хаос, теория неустойчивости, критерии хаоса.
Skvortsov G.E.1, Perevoznikov E.N.2
1PhD in Physics and Mathematics, St. Petersburg State University 2PhD in Physics and Mathematics, St. Petersburg polytechnik University
THE THEORY OF INSTABILITY AND CHAOS CRITERIA
Abstract
We give a summary of the theory of instability. A summary of the theory of instability is given. This physical theory considers all possible phenomena of instability. Here a complete picture of the theory is given. It consists of three main sections. The first section contains the main points: the definition of instability, the basic concepts, the system of laws and principles. The second section constitute the basic methods of obtaining criteria of instability and chaos, and their application to model problems. The third section examines models of real systems. Then we follow this scheme. Along with the previously used is found a new method of non-linear range. An example is the electronic generator model.
Keywords: instability, chaos, instability theory, chaos criteria.
1. Теория неустойчивости строится по рациональной схеме ONScMLPPr. ON- основные объекты и понятия теории, Sc- разделы, LP-системы законов и оснащающих принципов, M- основные методы, Pr- проблемы и задачи решаемые теорией.
Основное положение занимает триада LPM. Базой всех методов является сингулярно- динамическая методика (СДМ). Применение ее в конкретном виде позволяет получить достаточно простые аналитические критерии неустойчивости и хаоса. Эти результаты теории применяются для изучения динамических моделей всеаозможных систем с целью установления неустойчивых динамических режимов (в том числе взрывные явления, кризисы, катастрофы и т.д.)
Полное определение общей неустойчивости дано в работе /1/, в /2/ рассмотрены динамические модели, которые нельзя изучить традиционными методами, в /3,4/ дается полная схема СД методики и на ее основе получены аналитические критерии хаоса.
В данной статье представляются основные результаты СД- методики, а также формулируется простой и эффективный метод нелинейного спектра (НЛС) . При рассмотрении демонстрационной модели показано различие результатов численного определения показателей Ляпунова /5/ и спектрального анализа. Полностью изучена модель электронного генератора с N-образной вольтамперной характеристикой.
2. Приведем ряд законов теории неустойчивости - ТНУ (они подобны законам синергетики описывающих качественные переходы /6/) - законы реакции и законы динамики, основной из которых закон неустойчивости и хаоса.
Все нелинейные системы при достаточной степени активации становятся неустойчивыми и при размерности динамических систем не менее трех и наличии перекрестных связей имеют режимы хаоса.
Этот закон оснащается двумя принципами: принцип активации- активация системы происходит вследствие внещних воздействий или при существенном изменении
параметров системы. Принцип сингулярностей- режимы неустойчивости и хаоса при переходе от регулярных режимов сопровождаются особенностями разного рода (сингулярностями). Виды сингулярностей приведены в работе /1/.
Для количественных оценок показателей определяющих величин ( степеней активации , сингулярностей и др.) необходимы универсальные меры, которые определяются законом мер действия: показателем воздействий и реакций систем, режимов динамики, их особенностей являются универсальные величины- меры действия.
Они учитывают внешние и внутренние факторы состояний и динамики систем и имеют общий вид
G = g/gs ; A = a / as ; V = rdtA ; L = ldxA, (1)
где А- амплитудные, V- скоростные, L-градиентные меры действия, а -определяющие величины, a -их внутренние аналоги, Т и1 - характерные временные и пространственные параметры структуры системы. Меры
действия похожи на параметры подобия и иногда могут совпадать с ними, например число Маха M =vlvs, v —
скорость потока, vs -скорость звука в среде.
Проиллюстрируем указанные законы на примере модели электронного генератора с N-образной вольтамперной характеристикой. Его схема и уравнения модели приведены в /5/ , последние в безразмерной форме имеют вид
dTx = ax + y — bz , dTy = — x , dTz = e (x — g (z)). (2)
Здесь все величины имеют статус мер действия и выражаются через физические параметры ток-I, напряжение-U, характеристики контура-L,C,R
x = IlIm ; y = UIm/CL ; z = VlVm ; r = tl^LC , (3)
a = rJcIL ; b = VJI^-CL ; e = Clbc ;
i 2 \ (4)
g = z (14.4 z2 — 22 z + 8.6).
Где L- индуктивность, С,с - емкости цепи и туннельного диода, C>>c, e=5.
Общий вид границы устойчивости определяет закон границы качества:
При достижении воздействием определенной величины p ~ 1 система переходит в неустойчивое состояние.
Принцип границы качаства: при переходе к неустойчивости реакция системы R (Gc) ~ 1 приобретает сингулярность, а в случае регулярного перехода имеет экстремум и естественный критерий
(dR ldG )с= 0. (5)
Закон аномальности: в режиме неустойчивости реакция системы изменяется на обратную-аномальную, при этом демонстрирует обратную положительную связь
(dR ldG )< 0. (6)
Закон чередования режимов: с ростом воздействия за интервал аномальности система переходит в новое устойчивое состояние; границей служит минимум R (G), при дальнейшем увеличении воздействия она проходит
интервал устойчивости и снова переходит в режим НУ.
Такое чередование с увеличением воздействия происходит вплоть до разрушения системы.
Проиллюстрируем законы на примере реакции вида (4)
dp(z) = 43.2(z2 —1.02z + 0.2) , (7)
при z1=0.265 -max, z2=0.755 -min. Здесь имеем один цикл при z=1, R(1)=1.
Все приведенные соотношения относились к стационарным воздействиям и состояниям системы. Закон мер действия для динамики не изменяется. И прочие законы справедливы для динамических режимов, однако метод их применения значительно модифицируется и требует уточнений. Например, для реакции системы вида (4), где z зависит от времени, получаем
dtR ( z )= dR • dtz. (8)
Граница перехода к НУ совпадает с (5) , а критерий неустойчивого режима противоположен (6).
3. Без потери общности будем демонстрировать законы на примере системы трех уравнений с начальными условиями
dtX = G (X) , X (t = 0) = X0, (9)
члены с производными темпы, правые части -действия, а соотношение (9) представляет закон темп- действие.
Основной инструмент анализа, следующий из вышеперечисленных законов - сингулярно-динамический метод (СДМ). ОН описан в работе /3/ и дополнен обощением линейного спектрального анализа нелинейным. Основной задачей анализа является получение критериев хаоса. Неустойчивость сопровождающая наступление хаоса определяется обращением в нуль вещественной части одного из корней спектрального уравнения, для системы третьего порядка имеющего вид
Л3 + sÄ2 + рЯ + q = 0. (10)
Критерий неустойчивости сводится к одному или несколькими условиям
s < 0 , р < 0 , q < 0 , K = sp — q < 0. (11)
Однако для определения хаоса этого недостаточно, качественным отличием хаоса от простой неустойчивости является наличие в спектре особой точки седло-фокуса . Условие существования такой точки представлено в работе /4/ и обобщается в настояшей работе. Согласно физической модели хаоса для него необходимо взаимодействие неустойчивых и устойчивых мод, что равносильно критерию
—qK > 0, (12)
кроме того это должен быть колебательный режим, условием которого является К-критерий в (11). S-критерий в (11) имеет самостоятельное значение - определяет направление изменения фазового объема
S = -divG (13)
и таким образом является условием дисспативности системы.
Отметим, в отличие от общепринятой практики в спектральном анализе, линеаризация здесь осуществляется относительно любых состояний а не только стационарных. Это также расширяет возможности предлагаемых методов, так как во многих задачах стационарных состояний не существует.
Для упрощения исследования неустойчивостей приведем еще один достаточно простой и эффективный метод анализа- метод нелинейного спектра (НЛС). Он позволяет избежать линеаризации и сводит динамическую нелинейную задачу к аналитической в рамках СД-метода. Продемонстрируем НЛС метод на модельной задаче Спротта /5/для выявления режимов хаоса и получения показателей Ляпунова. Уравнения задачи /5/ равны
д(х = ху - 2 , д(у = х - у , д(2 = х + 0.32. (14)
Алгоритм метода:
а) заменяем временную производную в динамических уравнениях на спектральный параметр X;
б) разрешаем алгебраически полученные уравнения относительно динамических переменных х, у, 2;
в) определяем значение X в точках сингулярностей найденных выражений для х, у, 2;
г) анализ полученных результатов.
Таким образом, для системы (14) получаем (для переменной х)
х(Л-0.3) = (Л2 -0.31 + 1)(Л +1) . (15)
Из нуля правой части (15) ( одна из сингулярностей) находим :
Л = —1 , Л3= 0,15 ± Ю, , О« 1. (16)
Полученный результат совпадает со спектром линеаризированной системы (14) в первом стационарном состоянии (х, у, 2) = (0,0,0) и указывает на хаос, который фактически реализуется /5/.
Представляет интерес сравнить с тем, что дано ранее. Род спектра может быть различным, так как Л\'(7 = у — 0.7 . В первой стационарной точке (л*, у, г) = (0,0,0) хаос диссипативный, для у 0.7 - нейтральный, для у>0.7 - активныйДля СУ (10) и критериев (11) в этом случае получаем получаем: 5 = 0.7 , р = 0.7 , q = 1 , К = —0.51 .Как и следовало ожидать критерий К указывает на наличие хаоса. Показатели Ляпунова для этой модели равны /5/ (0,038;0;-0.89) также говорят о наличие хаоса, но очевидное различие со спектром.
4. Используем для получения критерия хаоса в модели нелинейного генератора (уравнения 2 -4) метод линейного спектра. Спектральное уравнение модели имеет вид
Л3 + (р-а)Л2 + (Ь - ар)Л + р = 0, (17)
р = е • д2£ (2), z -в пределах вольтамперной характеристики. Границы значений критерия К определяются из уравнения для р; они равны
р12= А ±(А2 - В)1/2 , А = (В -1)/2а , В = Ье +1 , (18)
Принято e=5, a=0.12-0.3, Ь=0.75-0.95 ; с учетом этих значений для р12 получаем
более простые зависимости
(= а [ 1 +1/(В -1)] , р= 2А - В/2А. (20)
Очевидно
К = -а(р-р1)(р-р2)^° . (21)
> 0
Для 2 = 0 ^ р(0) = 43.2и условия хаоса выполняются. Важное значение имеет знак p , который
определяют неравенства ((2) > В / а . Из следует , что р < 0 при р>рс= В / а и р > 0 при р<рс.
<
Из условий (21) и границы p=0 видно какой интервал по р и соответствующих 2 не дает хаоса. Картины полос хаоса, полученные из опытов авторами модели генератора /5/, частично согласуются с результатами приведенного здесь анализа.
Заметим, что более полные результаты могут быть получены из приближенных решений спектрального уравнения (17).
В заключение сделаем несколько замечаний по результатам, перспективам и проблемам теории неустойчивости. Содержание предыдущих статей [1-4] и данной в концентрированной форме представляет теорию неустойчивости для временной динамики. Использование метода нелинейного спектра позволяет распространить анализ на полевые системы. Для этого достаточно заменить производные по координатам на спектральный параметр ik и аналитически выявить и использовать сингулярности для получения критериев неустойчивости и хаоса.
Таким образом, сингулярный динамический подход сводит дифференциальную задачу к аналитической и позволит их изучить и получить критерии.
Очевидно, что переход к системам размерности более трёх заметно осложнит анализ, но не создаст препятствий для его осуществления. Необходимо отметить, что в большей мере решена проблема зависимости НУ и хаоса от
начальных условий. В определенной мере прояснен вопрос о чередовании хаоса посредством определения зависимости критериев от исходной точки анализа спектра. Обратим внимание на возможность перехода от временной динамики в автономных системах к рассмотрению особенностей системы в фазовом пространстве. В нем хаотические режимы весьма сложные в динамике имеют более простых сингулярных представителей. В целом следует оценить возможности развития теории неустойчивости и получения в ней ценных результатов как весьма перспективные. Заметим, что авторы формируют физическую теорию и оставляют для специалистов рассмотрение математических вопросов теории.
Литература
1. Перевозников Е.Н., Скворцов Г.Е., Физическая неустойчивость и качественные переходы, Materialy X miedzynarodwej naukowi-praktycznej konferencji, v30,2014, p (79-84).
2. Скворцов Г.Е., Перевозников Е.Н., Динамические качественные переходы, Materialy X miedzynarodwej naukowi-praktycznej konferencji, Европейская наука ХХ1 века"( Польша, Przemysl май 2014), v31,2014,p(82-84).
3. Скворцов Г.Е, Перевозников Е.Н., Основы общей теории неустойчивости, Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов, 2015 № 7,(85-87)с.
4. Скворцов Г.Е., Перевозников Е.Н., Сингулярно-динамические критерии
неустойчивости и хаоса, Международный научно-исследовательский журнал, физико-математические науки, 2015, №9,ч.3,(91-93).
5. Кузнецов С.П., Динамический хаос, М.,2006, 356 с.
6. Скворцов Г.Е., Полищук Е.В., Основы современной синергетики, СПб.,2010, 68 с.
References
1. Perevoznikov Е. N., Skvortsov, G. Е., Physical instability and high-quality transitions, Materialy X miedzynarodwej naukowi-praktycznej konferencji, v30,2014, p 79-84).
2. Skvortsov, G. E., Perevoznikov E. N., Dynamic high-quality transitions, Materialy X miedzynarodwej naukowi-praktycznej konferencji, European science XX1 century"( Poland, Przemysl may 2014), v31,2014,p 82-84).
3. Skvortsov G. E., Perevoznikov E. N., The General theory of instability, Journal of scientific publications graduate and doctoral students, 2015 No. 7,(85-87).
4. Skvortsov, G. E., Perevoznikov E. N., Singular-dynamic criteria
instability and chaos, international research journal of physical and mathematical Sciences, 2015, No. 9,part 3,(91-93).
5. S. P. Kuznetsov, Dynamical chaos, M.,2006, 356 PP.
6. Skvortsov, G. E., Polishchuk E. V., foundations of modern synergetics, St. Petersburg,2010, 68
DOI: 10.18454/IRJ.2016.49.113 Юрьева Т.А.1, Филимонова А.П.2
1 Кандидат педагогических наук,
2кандидат физико-математических наук, доцент, Амурский государственный университет ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В МОДЕЛИРОВАНИИ ПРОЦЕССА КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ТЕЛ
Аннотация
В статье исследуется возможность применения методов дифференциальной геометрии и вероятностно-статистических методов к моделированию технологического процесса контактного взаимодействия тел. В частности решается задача построения статистической оценки математического ожидания кривизны профиля тела, участвующего в контактном взаимодействии. При этом реальная поверхность моделируется регулярной поверхностью. Решение данной задачи находит применение в изучении процессов механической и физико-технической обработки, в технологии машиностроения.
Ключевые слова: кривизна кривой, кривизна поверхности, плотность вероятности, математическое ожидание.
Yuryeva T.A.1, Filimonova A.P.2
1PhD in Pedagogy, 2PhD in Physics and Mathematics, The Amur State University
GEOMETRIC AND STATISTICAL METHODS IN MODELING OF CONTACT INTERACTION OF BODIES
Abstract
The article explores the possibility of using methods of differential geometry and probabilistic and statistical methods to the modeling process of contact interaction of bodies. In particular, to solve the problem of constructing a statistical estimation of the expectation of the profile curvature of the body involved in contact. At the same time the real surface is simulated a regular surface. The solution to this problem finds application in the study of the processes of mechanical and physical-technical processing in mechanical engineering.
Keywords: the curvature of the curve, the curvature of the surface, the probability density, mathematical expectation.
В настоящее время широкое распространение находит совместное применение методов геометрии и математической статистики. Например, язык дифференциальной геометрии используется для описания статистической модели и построения методов обработки данных. В данной работе рассматривается прикладная задача описания реальной поверхности с опорой на геометрию и математическую статистику.
