CC BY
14
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 3 (60), 2019 von Theorien und grundlegenden Wirkprinzipien. Dabei dienen sie „ der Erforschung neuer Sachverhalte, der Überprüfung der Richtigkeit einer Erkenntnis oder Vermutung oder auch der Verfestigung des Wissens und Könnens" (Knoll 1971, S. 184). [5].
Der Computer ist heute in gewissem Sinne zu einem Standardmedium im Physikunterricht geworden. Im Physikunterricht kann der Computer den Schülern in vielfältigen Anwendungen entgegentreten. Denkbar sind bereits heute folgende Einsatzmöglichkeiten:
1. Auswertung und Berechnung (Tabellenkalkulation, Videoanalyze)
2. Modellbildung und Simulation
3. Messgerät
4. Speichermedium (Datenbankanwendungen)
5. Informations-und Kommunikationsmittel
6. Präsentation und Visualisierung
7. Interaktive Lernumgebung (Lernsoftware)
Allein diese Vielfalt von Computeranwendungen
erfordert umfassende methodische Konzepte, die sich nicht nur auf den Physikunterricht beziehen.
Schülerinnen und Schüler erzielen in Naturwissenschaften und Mathematik bessere Leistungen und sind motivierter, wenn im Unterricht digitale Medien eingesetzt werden. Allerdings hängt der Erfolg von der Gestaltung der Mediennutzung ab. Wie die Untersuchung des Zentrums für internationale Bildungsvergleichsstudien (ZIB) an der Technischen Universität München (TUM) zeigt: Schülerinnen und Schüler aus Klassen, in denen mit digitalen Unterrichtsmedien gearbeitet wird, erzielen bessere Leistungen als Kinder und Jugendliche aus Klassen, die traditionell unterrichtet werden. Außerdem sind sie motivierter für das jeweilige Fach. Dies gilt für alle Jahrgangsstufen höherer Schulen (Sekundarbereich) und für alle untersuchten Fächer, also Mathematik, Biologie, Chemie und Physik.
Allerdings garantieren digitale Materialien an sich noch keinen Erfolg. Ihre Wirkung auf Leistung und Motivation hängt davon ab, wie sie im Unterricht eingesetzt werden:
- Kinder und Jugendliche profitieren von digitalen Unterrichtsmedien stärker, wenn sie nicht allein, sondern in Paaren arbeiten. Die Forscherinnen und Forscher gehen davon aus, dass Computerprogramme in besonderer Weise Gespräche zwischen ihnen anregen, die das Lernen fördern.
- Schülerinnen und Schüler erzielen bessere Leistungen, wenn sie bei der Arbeit mit Digitalmaterial
УДК 519.6
von Lehrkräften begleitet werden. Arbeiten sie vollkommen selbstständig mit Computerprogrammen, ist deren positiver Effekt gering.
- Die erwünschte Wirkung digitaler Medien ist größer, wenn sie klassische Unterrichtsmaterialien nicht vollständig ersetzen. Erfolgversprechend ist, sie ergänzend zu analogen Methoden zu verwenden.
- Digitale Medien steigern die Leistungen stärker, wenn sie von professionell geschulten Lehrerinnen und Lehrern in den Unterricht integriert werden. [1].
Beim schulischen Computereinsatz werden folgende Vorteile, basierend auf Forschungsstudien und Praxisaussagen, hervorgehoben, die den Lernerfolg steigern können, wie Motivation, Interaktivität, Individualisierung und Lernerkontrolle.
Es zeigt sich, dass der Computer heute ein Standardmedium im Physikunterricht ist, obwohl es große Unterschiede bei den verschiedenen Einsatzarten gibt.
Damit keine Missverständnisse entstehen: Computerunterstütze Experimente können und sollen nicht den traditionellen Demonstrations- oder Schülerversuch ersetzen. Computerunterstützte Experimente werden auch nicht im Selbstlauf die Qualität des Physikunterrichts erhöhen. Vielmehr sollen sie seine Effizienz erhöhen, indem routinemäßige Handlungen dem Computer überlassen werden, um damit mehr Zeit für die physikalische Durchdringung des Experimentes, die Analyse von Randbedingungen und die Interpretation der Messergebnisse zu finden.
Referenzliste
1. Große Metastudie zur Wirkung digitaler Medien in der Schule. Prof. Dr. Kristina Reiss Zentrum für internationale Bildungsvergleichsstudien an der Technischen Universität München
2. Kircher E. et al. Physikdidaktik. Springer, 2007 pages 23-29
3. Kirschner. P.A. Epistemology, practical work and academic skills in science education. Science and Education 1, 1992. pages 273-299
4. Neumann. K. Didaktische Rekonstruktion eines physikalischen Praktikums fur Physiker.Berlin, Logos, 2004 pages 73-79
5. Reinhold. P. Offenes Experimentieren und Physiklernen.
6. Töpfer E. und Bruhn J. Methodik des Physikunterrichts. Heidelberg, Quelle und Meyer, 1976. Pages 172-175
КРИТЕРИИ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
1 Перевозников Е.Н., 2 Скворцов Г.Е.
1 Канд. физ.-мат. наук, доцент, Военно-космическая академия им. А.Ф. Можайского.
2 Канд. Физ. -мат. наук, старший научный сотрудник Санкт-Петербургского государственного университета
Представляются разрабатываемые авторами методы и критерии исследования режимов неустойчивости и хаоса динамических систем. Последние демонстрируется на моделях режима с обострением, параметрического резонанса в электронных генераторах и динамической модели экономических процессов предприятий,.
Ключевые слова: критерии и методы теории неустойчивости, модели параметрического резонанса и экономических процессов предприятий.
1. Введение
Теория неустойчивости (ТНУ) предназначена для определения режимов неустойчивости и хаоса при изучении динамики различных систем, а также с целью выявления качественных переходов в веществах и системах. Эта теория дополняет классические теории устойчивости но отличие от них нацелена не на получения условий сохранения устойчивости, а на поиск и изучение режимов неустойчивости. Поэтому методы ТНУ содержат как частные случаи методы и критерии классической теории. Методы и критерии ТНУ широко применяются в гидро и газо динамике, в теории устойчивости плазмы, в теории катастроф, фазовых переходов, синергетике и т.д. В последнее время все больший интерес приобретают процессы развития неустойчивостей, перехода в другие динамические режимы и состояния, возникновения хаоса (см.например обзоры [1-4]).
Отметим некоторые характерные свойства не-устойчивостей и связанные с ними общие условия. Феномен неустойчивости определяется рядом качественных свойств: 1) малые причины -большие следствия; 2) большие изменения за малые интервалы времени и пространства; 3) нарушение баланса внешних и внутренних противодействующих факторов; 4) наличие бифуркации; 5) качественные преобразования в результате неустойчивости и др.
Этим качественным признакам можно сопоставить следующие условия общего вида
(Ж1д&дф)и 1, □! , (дЯ1д8) = 0 ,(1)
Я (£, х)
X) - реакция системы, g -воздействие ,
g+ и g- -противодействующие факторы.
Критерии такого рода с использованием дифференциальной модели реакции применяются для конкретных систем. Например, бифуркационные условия типа (1;2,3) служат основой теории катастроф, которая составляет часть ТНУ. Большие величины производных
соответствуют резонансам, которые указывают на особые режимы и качественные переходы. Например: неустойчивость по Ляпунову может быть выражена условием (дЯ / Ы) > 0 , где Я играет роль функции Ляпунова.
Исследование динамики нелинейных систем, как правило в них наблюдаются хаотические режимы, требует более совершенных методов и критериев чем условия типа (1).
Отметим помимо классического спектрального, метод показателей Ляпунова, критерий Мель-
никова и д.р. [3-4],а также разрабатываемые авторами методы критериев нейтральности -НРИ, Ь -критерия, СД метод [6,8-10].
В настоящей работе рассмотрим сингулярно -динамический (СД) метод и продемонстрируем его и спектральные критерии неустойчивости и хаоса на достаточно простых и показательных моделях.
2.Сингулярно-динамический метод и спектральные критерии неустойчивости и хаоса
В основе СД (сингулярно - динамического)-метода лежит идея о связи математических особенностей (сингулярностей) уравнений динамики со сменой динамических режимов, с динамическими качественными переходами и сопровождающими их неустойчивостями. Алгоритм использования метода состоит в следующем:
а) сначала определяются особенности выражений описывающих модель . В нашем случае это особенности правых частей динамических уравнений: нули, бесконечности, точки бифуркации, а также нули их производных, а также особенности решений динамических уравнений - резонансы, спектры и их особенности, и т.д.;
б) упрощение динамических уравнений с использованием сингулярностей;
в) анализ и решение упрощенных уравнений, определение параметров точек сингулярностей;
г) вычисление критериев и определение условий смены режимов- возникновения неустойчивости и хаоса.
Условия (1.1,2,3) есть макроскопические условия такого рода. Условие (1.2) согласно закону меры действия [6] принимает вид
а, / а П 1
а1 = р,о,Г,... (2)
Здесь а — величины определяющие внешнюю реакцию системы - изменение плотности р,
скорости и, энергии е , силы/и т.д.; а - соответствующие внутренние структурные характеристики. Например, скорость звука - и , энергия
связи структурных элементов - е ,
где ¡1 - коэффициент вязкости. При числе Маха М=1 происходит качественный переход - образование ударной волны, при числе Рейнольдса Яе □ 1 - турбулизация движения жидкости, если
критерий Sk = (шю2 / еа) = 1 то волна теряет
устойчивость и хаотизируется (еа - энергия связи молекул) и т.д. .
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 3 (60), 2019_6.1
Классическая схема получения критериев не- условия разрешимости системы линеаризованных устойчивости в ТНУ дополняется методом СД, да- уравнений;
ющим предварительные условия неустойчивостей, 3) выявление сингулярностей динамических
критериями неустойчивости и хаоса и реализуется уравнений и спектра, как признаков возможных неследующей схемой: устойчивостей;
1) линеаризация динамической системы отно- 4) получение аналитических критериев не-
сительно произвольного начального состояния; 2) устойчивости и хаоса с помощью коэффициентов получение спектрального уравнения (СУ)- как спектрального уравнения (НРИ -метод) или динамических коэффициентов (L - критерий)- [6,8,9].
Для СУ триадной системы
Л3 + яЛ2 + рЛ + q = О , (3)
следующие из него критерии по методу по методу НРИ имеют вид
а) q < 0 или K1 = q - sp > 0 ; б) 3p - s2 > 0 ; в) q • K1 > 0 . (4)
Первые неравенства в (4) есть условия неустойчивости, второе -достаточное условие колебаний, в) третье -отражает седлообразный характер спектра (необходимое условие хаоса).
Критерии (4) становятся очевидными, если учесть связь их и коэффициентов с собственными значениями, для СУ (3) равными
q = -Л • Л2 • Лз = (vl+w2), q - sp = 2V2 [[ + V )2 +W] ,
Р = (Л • Л2 + Л • Лз + Л2 • Лз) = 2vi • V2 + (V22 + w2) , s = -(Л +Л2 +Л) = -(vi + 2V2) .
Где Л =V ; Л з = V + iw вещественный и комплексно-сопряженные корни СУ (3). Метод L - критерия состоит получении условий нейтральности (границы устойчивости-неустойчивости) через коэффициенты динамических уравнений с помощью определителя блочной матрицы L составленной из эволюционной матрицы II и ее элементов. Формула L - критерия имеет общий вид [6,9]
п НУ п
(-ir1-det(Z) = (-ir1-det[4^+/<,]= П ^ • (5)
а, /3=1 <у 0
Где II -эволюционная матрица системы динамических уравнений, еа / -комплексно сопряженные
элементы матрицы E, I - единичная матрица, n-размерность системы, Л = dt (ln|<5c/;|) - обобщенные
собственные значения эволюционной матрицы (которые являются аналогом показателей Ляпунова и совпадают с ними в случае стационарных состояний).
3. Рассмотрим модельное уравнение, демонстрирующее режимы с обострением [3].
^ = (x — a) • (x — b) , x(o) = x0 (6)
0 < a < b. На этом примере будет выявлен один из стандартных типов НУ. Из (6) следуют возможные сингулярности (sing) : х 1 =а, х 2 =b, х 3 ^ да . Определяем какие из них можно привести к НУ с учетом начального условия.
Если х 0 < b, то из анализа уравнения (6) следует, что x(t) будет стремится к величине а, достигая этого значения при t^ да. Очевидно , sing(a) не реализует НУ. Заметим, что если х 0 < а, то х возрастает, т.е . имеем неустойчивость по Ляпунову. Величина b служит границей качества; при х 0 > b реализуется sing х 3. Этот результат получается из качественного анализа. Уравнение (6) имеет решение
_ Ь(х0 — и) — и(Х0 — Ь) • exP[(Ь — и) • t]
"X — . (7)
(х0 — и) — (х0 — Ь) • exp[( Ь — и) • t]
Ясно, что х—> да при — t с, поскольку х-а > х-Ь,
1 , х 0-и
^ —--1П-0--(8)
Ь — и х0 — Ь
Из решения видна граничная роль начального условия.
Укажем, что можно не получать решения (7), а воспользоваться общей формулой
хг йх
и —
c
x0
f (x, p)
Здесь f - действие уравнения dtX — f, х с - sing, которая приводит к НУ. В рассмотренном примере очевидно f — (л — a)•(-* — b) , х с=х с3 = ж. Заметим, что выявленная НУ, аналогична режиму с
обострением, изученному в [3] для более сложных моделей.
4. Параметрический резонанс в электронных генераторах . Известно, что при определенных условиях параметрический резонанс реализуется в виде возбуждения хаотических колебаний. Рассмотрим это явление.
Возможны разные формы уравнения параметрического резонанса связанные с воздействием на различные параметры генератора. Мы выберем исходное уравнение параметрического резонанса в виде
О2q -+- а • Otq — со>2 (1 -+- %cosQt) q — 0 . (9)
Где О - производные по времени, а — R / L , (О20— 1/ LC ; q - заряд конденсатора , R,L,C - соответственно сопротивление, индуктивность, емкость (электрические характеристики генератора), Q - частота внешнего воздействия, % - параметр.
Для упрощения анализа сведем исходное уравнение (9) к системе четырех более простых уравнений первого порядка с помощью дополнительных функций
q = х , Оq = У , cos Qt = u , Qt = v . (10)
Выше указанная система примет вид
0tx — У
Оty — — ay — сс>2(1 — %u) х
О t u — —uv О t v — Qu
(11)
стационарное решение которой (dt (х.) — 0) равно
st — (х,У,u,v)s — (0,0,1,0) . (12)
Сингулярностями системы (11) являются особенности ее спектра и условие (1 + % • и) — 0 Вводя спектральный параметр дг ( X^) — Л ( Х{) и линеаризируя систему (11), получаем
Л • 5х Л • 8 у Л • 8и Л • 8у
{ег 8Хк }:
0 1 0 0 1 8x
—Р — a — Г 0 8 У >
О 0 0 — О 8и
0 0 О 0 V 8у
(13)
Спектральное уравнение системы (13) равно
ёег (Л8^ — вик ) — (Л2 + О2 ) • (Л2 + аЛ + р) — 0
где ^ — С 02%иб, , Р — 0 2(1 + %и ) . Корни СУ (14) равны
Я
(14)
Л1г — ±го
Л 3,4 —
2Х
— с2(1 + %и) .
(15)
Из (15) следует, что при (1 + % • и) > 0 в системе присутствуют два типа колебаний: классические затухающие колебания с пульсирующей частотой
С
— \С2(1 + %и ) —
( Я ^2
12Ь )
и низкочастотные колебания параметра и (t) с частотой О. При условии (1 + % • и) < 0 в системе остаются низкочастотные колебания на фоне хаотического, разнонаправленного изменения заряда и тока. Заметим, что условие сингулярности (1 + % • и) — 0 является в данном случае и условием смены устойчивости.
4..Математическая модель экономических процессов на производстве
Данная модель ПУР (производство, управление, ресурс) относится к динамическим моделям предприятий [5]. Наряду с достаточной простотой она учитывает основные факторы: динамику производства, управление и баланс внешнего и производимого в системе ресурса.
Рассматриваемая модель введена в работе [7] и представляет собой три балансных нелинейных дифференциальных уравнения соответствующая трем составляющим экономический объект подсистемам -производству, управлению и ресурсу.
Уравнения модели ПУР в безразмерном виде
д х — х (а — у + bz) д у — У (x — c + dz)
д z — z (—e + ПУ — bx) +—hx — ky + gxy + Г
(16 )
Здесь
( ^ у,z )
^ + у0 + z0
основные динамические
величины имеющие одинаковую ресурсную размерность (например денежную) отнесенные к сумме начальных значений и соответствующие динамике средств в трех подсистемах изучаемого объекта; х- производство, у - управление, г- ресурс.
t — Т / Т0 - безразмерное время, Т0 -характерный
финансовый масштаб времени (квартал, год).
В первом уравнении системы (16) описывающем динамику производства слагаемые их, bxz соответствуют прибыли в результате производства и
вводимого ресурса; слагаемое ух - убыль на управление (например на обучение, повышение квалификации, и т.д.) Во втором уравнении для управления ух, йуг приход средств от производства и вводимого ресурса; су - непосредственные расходы на управление.
Третье уравнение - баланс внутреннего и внешнего г ресурса ( г>0 - кредитование, г<0 -погашение долгов). Слагаемые Их, ку - непосредственная убыль ресурса на зарплаты в производстве и управлении; в! -затраты ресурса на погашение процентов при кредитовании или получение процентов по вкладам , Ьхг -затраты ресурса на сырье для про-
<
изводства, энергию и т.д. Слагаемые gxy, nyz соответственно - прибыль ресурса за счет производства, а также за счет инноваций в управлении и автоматизации производства.
Основная задача при исследовании динамики экономической модели состоит в определении областей стабильного функционирования системы
(16), а также областей и условий возникновения не-устойчивостей. Эта задача решается путем исследования спектра малых возмущений стационарных состояний. О характере динамики системы также
говорит соотношение сП\>(} , для системы (17) равное
сИл?<Э(д{х, д{у, = —0.7 + 0.7х — 0.8у + 0.9г .
(17)
Выражение (17) - дивергенция вектора правых частей уравнений (16) указывает области роста и уменьшения фазового объема и является одним из условий устойчивости-неусточивости. В зависимости
от знака сИ\'(1 динамика называется активной (сИ\К1 > 0 ), нейтральной (сИ \>(} = 0), диссипативной (
сИ\>(} < 0). Из (17) следует, что в зависимости от величины ресурса и стационарного состояния система может иметь разные типы динамики. В данном случае, существует пять стационарных решений соответственно равных
Stl (0,0,г/е) ; 5^2 (0 у , е/й); Stз X ,0, г) ; 5и.3 X у , г) .
Линеаризацией системы (16) получаем систему уравнений для возмущений
3 = еар3хр
(18)
где еа р элементы эволюционной матрицы равные
Е = {еар} ; е11 = а - У, + Ь5 е12 = -Х* 5 е13 = ЬХ 5 е21 = У* 5 е22 = X " С + 5 е23 = ^У* 5 е31 =-Ь2* - Ь + , ез2 = П- к + 5 е33 =-е + ПУ* - ЬХ
.(19)
В виду сложности системы (16) возможен только численный анализ спектра, для чего необходимо задать численные значения безразмерных коэффициентов и выбрать несколько (один,два) управляющих параметра, варьируя значением которых наблюдают за изменением спектра и тем самым за динамикой системы. В качестве управляющих параметров выберем параметр внешнего ресурса - г , параметр g - параметр отвечающий за прибыль ресурса за счет производства и управления . Численные значения остальных параметров в системе (16) выбираются в соответствии с реальными величинами на современных производствах и с учетом большого предварительного счета. Итак, с учетом вышесказанного, значения параметров выбраны равными
а = 0.3 , Ь = 0.3 , с = 0.8 ,с1 = 0.6 е = 0.2 , Ь = 0.2 , к = 0.4 , g е (0.2 ; 0.6) п = 0.2 , г е (-0.4; 0.4)
(20)
Наибольший практический интерес представляют стационарные состояния с ненулевыми значениями величин, т.е. , St5 , для которых соответственно с учетом (19,20), получаем
Х4,5, = С - ^4,5 = 0 8 - 06Ч 5 ; У4,5, = Ь (1 + 5 ) = 0 3 (1 + 5 ) ;
-(0.06% - 0.38) ± 0.06% - 0.38)2 - 4(0.24 - 0.18%)(0.24% - 0.28 + г)
.(21)
2(0.24% - 0.28 + г)
Из выражений (21) можно выделить 2 сингулярности :
1. (0.24g-0.28+r)=0 , 2. (0.06g-0.38)2 -4(0.24-0.18g)(0.24g-0.28+r)=0 ,
(22)
откуда следуют два значения критических параметров г
, ч ( 0.06е — 0.38)
гсг 1 — (0.28 — 0.24я) , г 2 — -Ц-?-+ 0.28 — 0.24я . (22)
сг1 ^ сг2 4 (0.24 — 0.18я)
Спектральное уравнение системы (18) имеет вид (3), где спектральные коэффициенты равны 5 — — (вц + в22 + в33 ) , Р — —в12в21 — в13в31 — в23в32 + в11в22 + в11в33 + в23в32 ,
Ч — —в11 (в22в33 — в23в32 ) + в33в12в21 + в22в13в31 — в12в31в23 — в13в21в32 .
Для анализа СУ используем как непосредственный счет корней спектрального уравнения, (3), так и спектральные критерии неустойчивости и хаоса (4). Результаты расчета корней и критериев в зависимости от параметров г и g для состояний St4, St5 приведены в таблицах 1-4.
Таблица 1. Расчетные значения корней и критериев для состояния st4 0.2, гсг,2=0.397).
г -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.397
Л1 -1.19 -1.13 -1.02 -0.924 -0.806 -0.655 -0.419 0.017
ЯеЛ2,з 0.736 0.68 0.618 0.548 0.466 0.364 0.211 -0.082
ПшЛ2,3 ±0.2541 ±0.2461 ±0.2391 ±0.231 ±0.2211 ±0.211 ±0.1951 ±0.4551
ч 0.722 0.582 0.449 0.327 0.215 0.116 0.0345 -0.0034
К1 0.401 0.337 0.274 0.213 0.153 0.093 0.0342 -0.0346
Таблица 2. Расчетные значения корней и критериев для состояния st5 0.2, гсг,2=0.397).
г -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.397
Л -0.662 -0.609 -0.532 -0.530 -0.417 -0.332 -0.225 -0.018
Л /ЯеЛ2,3 0.027 0.017 0.00068 0.00069 -0.018 -0.034 -0.053 -0.08
Л /11шЛ2,3 ±0.2891 ±0.3751 ±0.3761 ±0.4921 ±0.531 ±0.5531 ±0.4931
а 0.0162 0.0512 0.0777 0.0776 0.0801 0.0939 0.069 0.00462
К1 0.0231 0.0151 0.00597 0.00599 -0.0159 -0.0281 -0.0402 -0.0408
Таблица 3. Расчетные значения корней и критериев для состояния st4 ^=0.6, гсг,2=0.36).
г -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.36
Л1 -1.327 -1.246 -1.157 -1.055 -0.936 -0.786 -0.554 0.000014
ЯеЛ2,3 0.829 0.772 0.711 0.645 0.576 0.491 0.324 -0.039
11шЛ2,3 0.968 0.901 0826 0.739 0.63 ±0.0391 ±0.0761 ±0.231
ч 1.064 0.876 0.679 0.503 0.339 0.191 0.0616 -9.1е-5
К1 0.302 0.274 0.226 0.279 0.133 0.0866 0.0380 -0.0004
Таблица 4. Расчетные значения корней и критериев для состояния sts ^=0.6, гсг,2=0.36).
г -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.36
Л -0.661 -0.605 -0.504 -0.476 -0.398 -0.302 -0.171 -1.6е-4
Л /ЯеЛ2,3 0.028 0.022 0.0014 0.00622 -0.0030 -0.014 -0.029 -0.034
Л /11шЛ2,3 ±0.Ш ±0.286i ±0.3671 ±0.4251 ±0.4651 ±0.4841 ±0.4631 ±0.2581
ч 0.0161 0.0497 0.0734 0.0854 0.086 0.0711 0.0368 4.1е-5
К1 0.0235 0.0183 0.0119 0.0049 -0.0023 -0.0096 -0.0147 -0.0005
Из таблиц 1-4 следует, что состояние St4 независимо от параметров г и g неустойчиво
и неустойчивость реализуется в виде хаотических колебаний. Вторая сингулярность (22,2) - ( гсг,2=0.397) в состояние St4 проявляется в виде
смены знаков корней - т.е. колебательные моды будут затухать, а не колебательная расти. Это подтверждается и переменой знака критериев.
Напротив, состояние St5 более чувствительно к изменению параметров. При г<0.0 в состоянии существуют слаборастущие хаотические колебания, при г>0 все возмущения затухают - система становится стабильной. Рост параметра г (т.е.увеличение кредитования) стабилизирует систему. Из сравнения таблиц 1,2 и 3,4 видно, что увеличение параметра g (внутренние инвестиции) увеличивает скорость процессов не меняя характера динамики системы. Первая сингулярность (22,1) соответствует смене устойчивости состояния St5 в интервале
Г е (0.0 — 0.1) . Из таблиц 1 -4 также следует, что
знаки критериев К1 и чК1 соответствуют существованию неустойчивости и хаоса.
В заключении можно отметить следующее:
1. данная работа представляет собой фрагменты теории неустойчивости состоящей из формализма теории, набора методов и критериев, представительных задач;
2. сформулированные методы (НРИ, СД ) и критерии неустойчивости и хаоса дополняют классические и, как показывает непосредственный численный счет, достаточно просты и эффективны при исследовании динамики нелинейных систем;
3.хотя приведенные примеры рассматривались как демонстрации методов исследования эффектов неустойчивости и не претендуют на подробное изучение процессов параметрического резонанса и динамики экономических процессов, но могут быть полезны как при изучении явлений в электронных генераторах, так и при моделировании экономических систем.
Литература
1. Хакен Г, Синергетика, иерархия неустойчи-востей в самоорганизующихся системах,
М.Мир, 1985.
2. Мун Ф., Хаотические колебания, М. Мир,1990, с.312.
3. Режимы с обострением, Сб. М., 1998, с 273.
4. Кузнецов С.П., Динамический хаос, ФМЛ, М.,2006, с353.
5. Маркин М.П., Математические методы и модели в экономике, М. Высшая школа, 2007.422 с.
6. Перевозников Е.Н. , Методы анализа устойчивости неравновесных систем,
Изв.Вузов,Физика, №10, 2006, (34-39)с.
7. Скворцов Г.Е, Полищук Е.В., Основы современной синергетики, изд. Лема. , Санкт-
Петербург,2010.- 68 с.
8. Скворцов Г.Е., Перевозников Е.Н., Сингулярно-динамические критерии
неустойчивости и хаоса, Международный научно-исследовательский журнал, физико-
математические науки, 2015, №9, ч. 3, (91-93).
9. E. Perevoznikov, O. Mikhailova, Neutrality Criteria for Stability Analysis of Dynamical
Systems through Lorentz and Rossler Model Problems, Journal of Applied Mathematics and
Physics, 2015, №3,(8)s.
10. Perevoznikov E.N., Skvortsov H.E., Criteria for instability and Chaos in nonlinear system,
Journal of Applied Mathematics and Physics, 2018,v 6, №2,p(322-328).
ANALYSIS OF THE FORMATION AND USE OF FINANCIAL RESULTS OF ACTIVITY OF LLC
"AGROALLIANCE»
Faizov I.D.
master's student of FSBEI HE «Bashkir State University»
Kurbanaeva L.H.
Ph. D., associate Professor of «Finance and taxation», «Bashkir State University»
АНАЛИЗ ФОРМИРОВАНИЯ И ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ФИНАНСОВЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ООО «АГРО-АЛЬЯНС»_
Фаизов Ильнур Динарович
магистрант ФГБОУ ВО «Башкирский государственный университет»
Курбанаева Лилия Хамматовна
к.э.н., доцент кафедры «Финансов и налогообложения», БашГУ
SUMMARY.
The article describes the method of analysis of the formation and use of financial results. On the example of limited liability company the factor analysis of profit is carried out and recommendations on elimination of problems at the analysis of profit are offered.
АННОТАЦИЯ.
В статье раскрыта методика проведения анализ формирования и использования финансовых результатов. На примере общества с ограниченной ответственностью проведен факторный анализ прибыли и предложены рекомендации по устранению проблем при анализе прибыли.
Key words: profit formation, profit distribution, net profit, factor analysis.
Ключевые слова: формирование прибыли, распределение прибыли, чистая прибыль, факторный анализ.
