CC BY
70
УДК 519.673
В. Х. Федотов, Н. И. Кольцов МОДЕЛИ ХАОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ. ЧАСТЬ 7. КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
Ключевые слова: одномерные дискретные динамические системы, кусочно-линейные инварианты, хаос.
Построены новые простейшие одномерные дискретные кусочно-линейные отображения с хаотической динамикой.
Keywords: one-dimensional discreet dynamical systems, piecewise linear invariants, chaos. New elementary one-dimensional discrete piecewise linear mappings with chaotic dynamics were built.
Введение
В эпоху И. Ньютона в науке доминировал детерминизм и физические динамические системы традиционно описывались дифференциальными уравнениями [1]. П.С. Лаплас писал: «...мы должны рассматривать настоящее состояние Вселенной как следствие ее предыдущего состояния и причину последующего. Ум (демон Лапласа), которому были бы известны для какого-либо момента все силы ... и относительное положение всех ее составных частей, .обнял бы в одной формуле движения величайших тел Вселенной наравне с движениями мельчайших атомов: не осталось бы ничего, что было бы для него недостоверно.» [2]. П.А. Гольбах также считал, что: «Ничего в природе не может произойти случайно; все следует определенным законам; эти законы являются лишь необходимой связью определенных следствий с их причинами...» [3]. Затем наступила эра случайности и статистики, фундаментальные процессы природы стали считаться недетерминированными. И. Пригожин писал «.Мы подошли к концу пути, проложенному Галилеем и Ньютоном, которые нарисовали нам картину детерминистической Вселенной. Ныне мы стали свидетелями эрозии детерминизма и возникновения новой формулировки законов физики» [4]. В настоящее время известны многие закономерности возникновения совершенно недетерминированного (внешне случайного, нерегулярного) поведения в вполне детерминированных (не случайных) динамических системах. Появились различные модели случайности - энтропийная [5], алгоритмическая [5, 6], онлайновые Интернет-сервисы по случайности [7] и хорошие обзорные монографии [8-10].
Одним из условий возникновения нерегулярного поведения в непрерывных гладких автономных системах считается пространственный фактор (число степеней свободы) - наличие размерности не ниже трех. Это позволяет траекториям системы вести себя сложным образом, не пересекаясь при этом (скрещиваться). При нарушении гладкости (наличии сингулярности) нерегулярное поведение может наблюдаться и в непрерывных системах размерности два и даже один [11-13]. Именно сингулярные точки, в которых траектории могут пересекаться, «позволяют» двумерным системам вести себя сложнее, чем ожидается теоретически. Дискретные нелинейные
системы еще меньше «дисциплинированны» и допускают нерегулярное поведение при любой размерности и в отсутствие сингулярности. Считается, что самыми простыми, в смысле минимальной размерности, моделями
недетерминированной эволюции
детерминированных динамических систем являются одномерные дискретные отображения. Однако вопрос о том, как выглядят и устроены простейшие модели такого типа в литературе не рассматривался. Попробуем ответить на него и сконструировать такие модели.
Исследование хаотической динамики в цифровых компьютерах может быть выполнено только с помощью нелинейных, но вполне детерминированных дискретных моделей-аналогов, которые не всегда могут точно воспроизводить свойства исследуемой модели-оригинала. Любой наблюдаемый в эксперименте (реальном или численном) хаос может считаться истинным с точки зрения той модели, которая реально используется и его демонстрирует. Однако, его следует признать квазихаосом (псевдохаосом) в том случае, когда сложное поведение не должно наблюдаться по физическим или теоретическим соображениям (не удовлетворяет тем или иным критериям), но наблюдается на практике. Квазихаос обусловлен влиянием различных факторов, связанных со средой моделирования (цифровые компьютеры) [11-13]. Линейные дифференциальные уравнения всегда устойчивы и моноравновесны, т. е. не могут демонстрировать каких-либо критических эффектов. Однако для дискретных отображений это не обязательно так. В нашей работе [13] приведена линейная дискретная модель (линейный «репеллер»), демонстрирующая неустойчивое колебание вокруг равновесия типа «фокус». Для возникновения хаоса требуется более сильная неустойчивость, которая обусловлена
нелинейностью. Минимальную нелинейность наилучшим образом моделируют кусочно-линейные одномерные сплайны с множеством особых точек склейки [14]. Простейшую нелинейность порождают сплайны с одной особой (сингулярной) точкой - изломом. Близкую к ним, но более сложную нелинейность порождают кусочно-линейные функции с одной точкой разрыва. Известные одномерные модели хаоса минимальной нелинейностью, описанные в литературе [8-10 и др.], приведены в табл. 1.
Таблица 1 - Простые одномерные модели хаоса (А>1, mod 1 - дробная часть, n=0,1.....N)
Десятичные разряды иррациональных чисел представляют собой бесконечные непериодические последовательности, т.е. теоретически являются простейшими моделями хаоса. Однако, они могут быть представлены в цифровых компьютерах только приближенно с различной, но конечной точностью, в виде ограниченного множества рациональных чисел порядка ±10±300 (если не прибегать к специальным приемам увеличения точности), что не позволяет точно проверить их хаотичность на практике. Дискретные отображения являются разновидностями различных конгруэнтных отображений, простейшим из них является линейное xn+1=axn+b (mod m), и используются в цифровых компьютерах для имитации хаоса. При рациональных начальных условиях (н.у.) они дают только периодические последовательности. При иррациональных н. у. они становятся непериодическими и теоретически должны демонстрировать хаос, что вновь проверить точно невозможно из-за бесконечности знаков иррациональных чисел. В то же время нетрудно убедиться на практике, что эти модели все-таки могут считаться истинным хаосом, если использовать в качестве н.у. приближения иррациональных чисел с любой возможной точностью. При этом следует учитывать ошибки округлений, которые могут искажать результаты вычислений и проявляться в виде различных нарушений хода вычислений (срывы и т.п.), особенно на больших временах. Если точное решение неизвестно, то определить является ли наблюдаемое на больших временах численное решение корректным, - практически невозможно. Отображения «Пила» и «Тент» являются простейшими известными моделями хаоса. Отображение «Пила» описывается кусочно-линейной сингулярной функцией, определенной на полуотрезке [0,1) с разрывом в середине и непрерывной только справа. Отображение «Тент» описывается кусочно-линейной сингулярной функцией, определенной на всем отрезке [0,1] без разрыва, т.е. в отличите от «Пилы», является непрерывным отображением и справа и слева. С этой точки зрения «Тент» - это самая простая из известных моделей хаоса. Ниже построены и исследованы другие простейшие одномерные модели хаоса (инварианты), найденные с помощью численных экспериментов с непрерывными моделями и, по-видимому, не описанные ранее в литературе.
Результаты и их обсуждение
Одномерные модели реальных
динамических систем обычно записывают в виде задачи Коши для одного автономного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) первого порядка
X '= /(X), Х(/о)=Хо, (1)
где х=х(/) - решение; t - время; /=/(х) - функция эволюции; х0 н.у. Если функция /(х) гладкая, то модель (1) может демонстрировать только монотонное поведение. Аналоговая модель (1) не представима в цифровой машине и ее точное решение, как правило, не известно. Поэтому, в численных экспериментах используют различные приближенные дискретные, конечно-разностные аналоги модели (1). Эти модели могут быть построены различными способами - разложением в ряд искомой функции, заменой производных конечными разностями и др. Типовой схемой при численном решении ОДУ является запись неизвестного решения х(^ через известные производные в виде рекуррентного соотношения с теми же н. у.
хп+1 * Хп+Тк / <к)(хп)ек+1/(к+1)! , (2)
где л=0,1,2,...,М - номер итерации (дискретное время); / к - полная производная по t порядка к=0,1,2,... (к - порядок аппроксимации); е>0 -параметр (шаг дискретизации). Переходя к производным по х, соотношение (2) запишется хп+1 * хп+/(хп)б+/Х'(хп)/(хп)б2/2+{/Хх"(хп)/2(хп)б+
[/Х'(хп)]/(хп)}б3/6+.... (2')
Отметим, что к моделям вида (2) сводятся и многие другие задачи численного исследования (стационарные модели, неоднородные модели и др.). Например, равновесному режиму динамической системы (1) соответствует алгебраическое уравнение /(х)=0. При его решении на цифровом компьютере тоже используется какая-нибудь конечно-разностная аппроксимация. Простейшей типовой схемой численного решения стационарных моделей является линеаризация в окрестности предполагаемого решения х0, которая может быть выражена в виде рекуррентного соотношения (метод касательных Ньютона [15]) хл+1«хл-а/(хл)//х'(хл), где л=0,1,2,...,М - номер итерации; а>0 - параметр (коэффициент ускорения).
Кусочно-линейная эволюция. Соотношения (2) или (2 ) описывают одну и ту же дискретную динамическую модель, свойства которой могут отличаться от свойств непрерывной модели (1) и зависят от сходимости аппроксимирующего ряда на практике. Для кусочно-линейной эволюции первая производная /х' этого ряда может изменяться (например, неравнобочная «пила»), а вторая /X/ и все более старшие производные обращаются в нуль и модель (2 ) упрощается.
хл+1 = хл+/(хл) 2к /(Хп)]к8к+1/(к+1)! =
хл+Рк(хл ,в,к) = вк(Хл ,е ,к). (2 ' ' )
Следовательно, наблюдаемое равновесное и неравновесное поведение модели (2 ) полностью определяется следующими явными факторами:
№ Описание Вид и примеры
1 Иррациональные числа V2, п, e, ...
2 Пила (сдвиг Бернулли при Х=2) xn+1= Xxn (mod 1)
3 Тент (треугольник, палатка) Xn+1 = Xmin(xn,1-xn), xn+i = X(1/2-|l/2-xnl)
4 Логистическая парабола xn+1= 1-Xxn
функцией эволюции f, ее первой производной fx', шагом дискретизации е, порядком аппроксимации k и начальными условиями x0. Дополнительно неявными факторами являются различные, в том числе неустранимые, погрешности среды вычислений, которые могут существенно искажать результаты численного моделирования. В результате возможно наблюдение различных критических эффектов - множественности равновесий (н.т.), неустойчивости и колебаний. При этом некоторые из них могут быть ложными, т. е. отсутствовать в непрерывной модели (1), но остаются истинными для дискретной модели (2).
Равновесное поведение определяется числом и координатами неподвижных точек (н.т.) отображения (2"), т.е. корнями уравнения Fk=0, которое после деления на е примет вид
f(x) Zk [fx'(x)]k ek/k! = 0, k=0,1,2,... (3)
При минимальном k=0 влияние производной отсутствует и уравнение (3) запишется f(x)=0. При этом число и координаты равновесий (н.т.) кусочно-линейных моделей (1) и (2) полностью совпадают при любом е. С ростом порядка аппроксимации k>1 начинает проявляться влияние производной и шага дискретизации, что может привести к появлению дополнительных равновесий (н.т.). При этом влияние остальных факторов на равновесия сохраняется, но становится неявным.
Неравновесные свойства определяются устойчивостью траекторий динамической системы, которая может определяться по Пуанкаре или Ляпунову и др., (см., например [8-10]). Устойчивость по Ляпунову характеризует не только одну траекторию, а две (или несколько) соседних траекторий (ансамбль). Неустойчивость траекторий кусочно-линейного отображения (2") с учетом обращения в нуль второй производной, может быть записана в виде любого из следующих двух неравенств (критерий кусочно-линейной
неустойчивости)
|G'(x)|=|1+F'(x)|=|1+Zk (fx')k+1ek+1/(k+1)! |>1. (4)
Основным критерием хаотичности траекторий любого дискретного отображения xn+1 = G(xn) является положительность единственного показателя Ляпунова [8-10]
L = 1/(N+1)Zn ln|G '(xn )| > 0, n=0,...,N, (5) который обеспечивает не только неустойчивость, но и другие признаки хаоса (непериодичность, перемешивание, затухающую корреляцию, положительную энтропию и др.). Величина положительного показателя является
количественной мерой хаотичности. Для кусочно-линейных отображений (2''), в общем случае, производная G' зависит от x и может изменяться, но справедливо неравенство (критерий кусочно-линейного хаоса)
L > ln(min |G '(xn ,е)|) > 0. (6)
В простейших частных случаях, при наличии только одной сингулярной точки, производная G' (там где она существует) может принимать или два разных (несимметричное отображение) или одно единственное (симметричное отображение)
значения. В последнем случае соотношение (6) перестает зависеть от х и показатель Ляпунова вычисляется точно. Например, для кусочно-линейного симметричного отображения G=\дx+b\ оно принимает вид
I = 1п\а\>0. (7)
Из него следует, что простейший кусочно-линейный хаос может быть получен при условии
\ а \ >1. (7')
В соотношения (4)-(7) входит аналитическое выражение для производной отображения, которое может быть неизвестно. Альтернативной мерой хаоса служит энтропия Колмогорова (Н), которая связана с показателями Ляпунова, но в отличие от них, может быть вычислена непосредственно по наблюдаемой динамике фазовой переменной. В одномерном случае она равна положительному показателю Ляпунова. С [8]
Г = Н > 0. (8)
Соотношения (3)-(8) позволяют
конструировать и анализировать различные кусочно-линейные модели, инвариантные относительно знака показателя Ляпунова. При этом следует учитывать, что они правильно характеризует неустойчивость и хаос только вблизи равновесий, т.е. в линейном приближении. В общем случае они могут не работать (эффект Перрона [16]) и исследование хаоса можно провести только численно с учетом сделанных выше оговорок относительно погрешностей вычислений.
Нетрудно убедиться, что для нелинейных отображений, простейшими из которых являются конические сечения (окружности, эллипсы, параболы и др.), критерий хаоса (5) выполняется практически всегда. Бифуркационная диаграмма квадратичного отображения вида О=0^+ах+Ь, 0^0, приведенная на рис. 1.1, показывает хаос при а>0.6. Примером аналогичного отображения является логистическая парабола, табл. 1. Менее очевидным является то, что и для линейных отображений без сингулярности G=ax, а^0 при \ а\ >1 выполняются критерии хаоса (6)-(6''). Бифуркационная диаграмма этого отображения выглядит очень просто и показана на рис. 1.2. Из соотношений (6) следует, что все линейные функции вида G=ax+b, получающиеся из G=ax небольшим растяжением и (или) сдвигом, тоже являются претендентами на простейшие дискретные одномерные модели хаоса. С учетом этого, уже совсем не удивительно, что кусочно-линейное симметричное и сингулярное отображение G= \ ax+b \, и его инвариантные относительно знака показателя Ляпунова модификации, также неотличимы по критерию хаоса от линейных отображений. Отметим, что показатель Ляпунова определяется через функцию «модуль», которая служит мерой близости производной отображения к нулю. Это означает, что показатель Ляпунова одинаков и для всех функций, являющихся альтернативным выражением модуля, например \ G\ = тах = Gsgn(G) =
Обобщением понятия модуля и меры близости
является норма \^\\, которая, в отличие от модуля, может определяться еще более разнообразными способами. Соответственно, с помощью разных норм можно сконструировать другие инварианты одномерного хаоса.
Численный анализ одномерных динамических систем с использованием приведенных выше соотношений показал, что непрерывные модели вида (1) могут описывать хаос только при наличии сингулярности в знаменателе. В отличие от них, дискретные модели вида (2) могут давать хаос при любой нелинейности или сингулярности (которая является особой разновидностью нелинейности). Ниже приведены дискретные одномерные модели неустойчивости и хаоса, полученные при минимальной нелинейности и минимальном порядке аппроксимации k=0.
Пример 1 (Линейная неустойчивость). Одна из простейших моделей неустойчивости получается из одного линейного ОДУ вида (1) без сингулярности, рассмотренного нами в [13]
x'= C-x = f(x), C>0 - параметр.
(9)
Его общее решение имеет экспоненциально-затухающий вид С+С-|ехр(-(}, а любое частное решение связано с н.у. по закону x(t)=С+exp(-t)(x0-С). Истинное равновесие х=С всегда существует, единственно и устойчиво, т.к. IX= -1. Соответственно ни хаоса, ни каких либо колебаний эта модель не допускает. Простейший дискретный аналог модели (9), согласно (2) при ^0, примет вид линейного отображения без сингулярностей (л=0,1,..
xn+1= xn+(C-xn)e = axn+b,
(10)
где а=1-е, Ь=С6>0. Единственная н.т. дискретной модели (10) всегда совпадает с истинным равновесием непрерывной модели (9) и дополнительных (ложных) равновесий нет. Критерий неустойчивости (4) показывает, что эта точка устойчива только при е<2. Первые проявления неустойчивости (алгоритмическая неустойчивость, вызванная изменением знака производной) возникают уже при 1<е<2, когда монотонный режим сменяется затухающим колебанием. При е=2, т.е. а=-1, Ь=2С н.т. окончательно теряет устойчивость, и возникают автоколебания (цикл периода два, «длина» которого не зависит от н.у. Xo^-Xo+2С^Xo). При е>2 неустойчивость продолжает развиваться и при е«2.5 переходит в растущее периодическое колебание, напоминающее движение вокруг неустойчивого равновесия типа «фокус». см. рис. 1.3. Дальнейший рост е ведет к неограниченному росту амплитуды колебаний. Критерии хаоса (7) и (7 ) для модели (10) выполняются одновременно с неустойчивостью при е>2. Численный анализ этой модели на больших временах, как объективный критерий истины, подтверждает только неустойчивость, но не подтверждает хаос, см. рис. 1.4.
1) Зависимость L(a), G=ax2-x-1, Хо=1/3 Dependence L(a), G=ax2-x-1, x0=1/3
.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
2) Зависимость L(a), G=ax, x0 - любое Dependence L(a), G=ax, x0 - any
10 12 14 16 18
3) Модель 10, е=2.1, зависимость x(n), рост
Model 10, е=2 .1, dependence x(n), growth
4) Модель 10, зависимость L(e)
Model 10, dependence L(e)
Рис. 1 - Бифуркационные диаграммы 1), 2) и 4) полиномиальных отображений и численное решение х(п) для модели 10 при С=1/2, Хо=0
Пример 2 (двухпараметрический кусочно-линейный хаос). Усилим нелинейность модели (9), добавив минимальную кусочно-линейную сингулярность и сохраняя непрерывность, с помощью функции абсолютное значение
x'= |C-x| = f(x), C>0.
(11)
Явное решение этого уравнения неизвестно. Неявное решение имеет вид t+Сonst= Чод^-С) при х<С и t+Сonst =1од(х-С) при х>С. При х=С решение не существует (не определено), т.е. единственное равновесие становится сингулярным и невычислимым. Устойчивость траекторий вблизи него изменяется ^' = +1. Слева от равновесия траектории ведут себя устойчиво, а справа -неустойчиво (полуустойчивость). Простейший дискретный аналог модели (11) согласно (2) при k=0 примет вид линейного двухпараметрического отображения с сингулярностью
Xn+1 = I Xn+(С—Xn)е| = | axn+b |, (12)
где а=1-е, Ь=С6>0. Модель (12) может иметь уже две н.т. x*=b/(1-a)=С и x**=-b/(1+a)=Се/(е-2), первая из которых существует всегда, а вторая только при е>2. Согласно критерию (4), обе эти точки неустойчивы при е>2 или | а | >1, т.е. при тех же условиях, что и предыдущая модель. При е<2 существует и устойчива только первая из них. При е=2, т.е. а=-1, Ь=2С рождается вторая неустойчивая точка, а первая одновременно меняет устойчивость на противоположную. При этом, как и в предыдущем примере, возникают автоколебания (цикл периода два, длина которого не зависит от н. у. Xo^\-Xo+2С\^\Xo\^\-\Xo\+2С\^\Xo\). При е>2 неустойчивость продолжает развиваться и при е«2.1 переходит в апериодическое, нерегулярное колебание между двумя неустойчивыми равновесиями с «размазанным» периодом. Критерии хаоса (7) и (7 ) для модели (12) принимают вид
L=!п(| 1-е|)>0 и 11 -е| >1 или 6>2, т.е. не изменяются по сравнению с (10) и также совпадают с критерием неустойчивости. Следовательно, модель (19), при одних и тех же условиях, должна описывать не только неустойчивость, но и хаос. Численный анализ этой модели на больших временах подтверждает наличие неустойчивости и хаоса, см. рис. 2. Действительно, например при 6=2.5, С=1/2 существуют две неустойчивые н.т. х*=0.5, х**=2.5 и наблюдается хаос, не отличимый от истинного (рис. 2.1). При этом бифуркационная диаграмма для моделей (10) и (12) также остается одинаковой (рис. 2.2). Интересно, что при 6>3 или С<0.2 хаос исчезает, что не «чувствует» диаграмма показателей Ляпунова. Отличия этой модели от описанных в литературе состоят в том, что функция Э тоже непрерывна, имеет всего одну точку излома, но другое расположение прямых. В координатах хп, хп+1 это отображение представляет собой перевернутый «Тент», растянутый по вертикали, см. рис. 2.2. Назовем это отображение «Яма» (по А. И. Куприну) или «Воронка» (житейски) или «Набла» (научно).
Пример 3 (упрощенный
двухпараметрический кусочно-линейный хаос). Анализ показал, что с помощью замены переменных из (12) можно получить еще более простую двухпараметрическую модель хаоса, инвариантную относительно знака показателя Ляпунова
Хл+1 = |(С-Хл)б|, Х0б[0,1], (13)
Модели (13) соответствуют значения а=-б<0, Ь=Сб>0. Она также может иметь две н.т. х*=Ь/(1 -а)=Сб/(1+б), х**=-Ь/(1+а)=Сб/(б-1), свойства которых (с учетом преобразований координат) аналогичны описанным в предыдущем примере. Согласно критерию (4), обе эти точки неустойчивы при б>1. При б<1 существует и устойчива только первая из них. При 6=1, т.е. а=-1, Ь=С рождается вторая неустойчивая точка, а первая одновременно меняет устойчивость на противоположную. При этом, как и в предыдущем примере, возникают автоколебания (цикл периода два, длина которого не зависит от н.у. х0—|-х0+С|—|х0| — |-|х0|+С| —>|Хо|). При б>1 неустойчивость продолжает развиваться и при 6*1.1 переходит в апериодическое, нерегулярное колебание между двумя неустойчивыми равновесиями с «размазанным» периодом. Критерии хаоса (7) и (7 ' ) для модели (12) принимают вид б>1, т.е. не изменяются по сравнению с (10) и также совпадают с критерием неустойчивости. Следовательно, модель (13), при одних и тех же условиях, должна описывать и неустойчивость и хаос. Численный анализ на больших временах подтверждает наличие неустойчивости и хаоса, см. рис. 2.3.
Действительно, например при 6=1.5, С=1/2 существуют две неустойчивые н.т. х*=3/10, х**=3/2 и наблюдается хаос, аналогичный предыдущей модели 12 (рис. 2.1). При б>2 хаос исчезает (аналогично предыдущей модели), что не также «чувствует» бифуркационная диаграмма модели
(13), которая по сравнению с моделью (12) (рис. 1.4) сдвигается на единицу влево. Как видно, в целом свойства этой модели аналогичны модели (12) и в координатах хп, хп+1 представляют собой симметричное отображение «Яма», сжатое по вертикали, см. рис. 2.4.
0 1 0 2 0 3 0 40 5 0 6 0 7 0 8 0 90 1СС
1) Модель 12. х(п) при 6=2.5, истинный хаос Model 12, х(п) at 6=2.5, real chaos
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
2) Модель 12, x„+i(xn), «Яма» растянутая по вертикали Model 12, xn+i(xn), "Pit" is stretched vertically
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
3) Модель 13, х(п) при 6=1.5, истинный хаос Model 13, х(п) at 6=1.5, real chaos
4) Модель 13, xn+:(xn), симметричная «Яма» со сдвигом сжатая по вертикали Model 13, xn+i(xn), symmetrical "Pit" with a shift vertically compressed
Рис. 2 - Зависимости х(п) и Хп+1 (Хп) и соответствующие отображения при С=1/2, Хо=0
Пример 4 (однопараметрический кусочно-линейный хаос). Еще более простую, однопараметрическую модель хаоса, сохраняющую соотношения (6), можно получить, если полностью зафиксировать произведение двух параметров С6, например так Сб=1:
Хл+1=| 1-Хлб|, 6=1.5. (14)
Модели (14) соответствуют значения а=-6<0, Ь=1. Она также может иметь две н.т. х*=1/(1-а)=1/(1+6), х**=-1/(1+а)=1/(6-1), которые, согласно критерию (4), неустойчивы при 6>1. При 6=1, как и в предыдущем примере, возникают автоколебания (цикл периода два, длина которого не зависит от н.у. х0—|-х0+С|—|Хо|—|-|х0|+С|—|х0|). При 6>1 неустойчивость продолжает развиваться и при 6*1.1 переходит в апериодическое, нерегулярное колебание между двумя неустойчивыми равновесиями с «размазанным» периодом. Критерии хаоса (7) и (7') для модели (12) принимают вид 6>1, т.е. не изменяются по сравнению с (10) и также совпадают с критерием неустойчивости. Следовательно, модель (14), при одних и тех же условиях, должна описывать неустойчивость и хаос. Численный анализ на больших временах
подтверждает наличие неустойчивости и хаоса, см. рис. 3. Действительно, например при е=1.5 существуют две неустойчивые н.т. x*=2/5, x**=2 и наблюдается хаос, аналогичный предыдущим моделям (рис. 3.1). Бифуркационная диаграмма модели (14) не изменяется по сравнению с моделью (13). Все остальные свойства этой модели также аналогичны предыдущим моделям и в координатах xn, xn+1 она представляет собой нормированное к единице симметричное отображение «Яма» со сдвигом вправо, см. рис. 3.2.
0 20 40 60 80 100 120 140 100 180 200
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
2) Модель 14, хи+1(хи), 1) Модель 14, х(п) при симметричная «Яма»
6=1.5, истинный хаос Model 14, х(п) at 6=1.5, real chaos
со сдвигом нормированная Model 14, xn+i(xn), symmetrical "Pit" with a shift normalized
0 1 0 20 30 40 50 60 70 80 90 100
3) Модель 15, х(п) при 6=1.5, истинный хаос Model 15, х(п) at 6=1.5, real chaos
4) Модель 15, xn¥i=(xt), стмметричная «Яма» сжатая по горизонтали Model 15, xn+i=(xn),
symmetric "Pit" compressed horizontally
Рис. 3 - Зависимости х(п) и Хп+1 (Хп) и соответствующие отображения при е=1.5, Х0=0
Пример 5 (простейший
однопараметрический кусочно-линейный хаос). Самую простую, однопараметрическую модель хаоса, сохраняющую соотношения (6), можно получить из предыдущей, если минимизировать выражение под знаком модуля
Xn+1=|xnе|-1 = a|xnI-1, е=1.5, (15)
Модели (15) соответствуют значения а=е>0, Ь=-1. Она также сохраняет все основные свойства предыдущих моделей: 1) может иметь две н. т. x*=1/(a-1)=1/(е-1), x**=—1/(а+1)=-1/(е+1); 2) обе эти точки неустойчивы при е>1 согласно критерию (4); 3) при е=1 возникают автоколебания (цикл периода два, длина которого не зависит от н.у. XoЧ-Xo+СHx0H-|x0|+СHx0|); 4) при е>1 неустойчивость продолжает развиваться и при е«1.1 переходит в апериодическое, нерегулярное колебание между двумя неустойчивыми равновесиями с «размазанным» периодом; 5) критерии хаоса (7) и (7 ' ) выполняются при е>1 и совпадают с критерием неустойчивости. Численный
анализ на больших временах подтверждает наличие неустойчивости и хаоса, см. рис. 3.3. Действительно, например при е=1.5 существуют две неустойчивые н.т. x*=2, x**=-2/5 и наблюдается хаос, аналогичный предыдущим моделям (рис. 3.3). Бифуркационная диаграмма не изменяется по сравнению с предыдущими моделями. В координатах xn, xn+1 это отображение представляет собой симметричную сжатую «Яму», см. рис. 3.4.
Пример 6. Рассмотрим более детально еще одно из простейших нелинейных ОДУ с сингулярностью, приведенное нами в [12] добавив квадратичную точность, а также бифуркационную диаграмму Ляпунова
X'= ^(С^), x(0)= х0, С - параметр. (16.1)
Точное решение этого ОДУ имеет две
2 2 1/2
параболические ветви x(t)=С+(С -2t-2Сxo+Xo ) %
вид
принимают
которые при х0=1
x(í)=С+[(С-1)2-2t)]1/2. Каждая из этих ветвей монотонно зависит от времени и существует (вещественна) только при (С-1)2>2^ Равновесий нет. Подвижная особая точка имеет координату x=С. Собственное число Х^/С^) >0 при любых X и С. Это значит, что непрерывная модель всегда неустойчива (не равновесна), но все-таки не должна демонстрировать хаос (т.к. решение монотонно). Линейный и квадратичный дискретные аналоги запишутся
xn+1= xn+е/(С-xn), п=0,1.....N. (16.2)
xn+1 = xn+е/(С-xn)+е2/[2(С-xn)3], п=0,1.....N. (16.3)
Неподвижных точек нет при любой точности, т.е. ложных равновесий нет. Мультипликатор дискретной модели (16.2) ц=1+е/(С-х)2>0, т.е. она тоже всегда неустойчива. Однако, при численном решении по этой модели комплексная ветвь наблюдается как квазихаос. Показатель Ляпунова (5) принимает вид L=(1/N)Znln 11+е/(С-xn)21 и зависит от двух параметров С и е. Как видно, на бифуркационной диаграмме при С=1/2 он всегда положителен, что соответствует дискретному хаосу, но противоречит точному решению. С точки зрения непрерывной модели (16.1) наблюдаемый при численном решении квазихаос является ложным, но с точки зрения дискретной модели (16.2) -сингулярным и истинным, см. рис. 4.1. Численное решение исходного уравнения (16.1) с различной точностью стандартными программами МАТЛАБ [14], которые больше соответствуют аппроксимациям более высокого порядка, также подтверждало наличие сингулярного квазихаоса.
Общим свойством кусочно-линейных дискретных хаотических отображений является их пилообразный характер, обусловленный нерегулярными колебаниями динамической системы между неустойчивыми репеллерами. Отличительной особенностью описанных моделей типа «Яма» является то, что они аналогичны перевернутому и деформированному отображению типа «Пила», но обнаружены не по аналогии с ним или другими известными дискретными отображениями, а в процессе численного решения дифференциальных и алгебраических уравнений и
первоначально воспринимались как некорректные разностные схемы, см. табл. 2.
Модель 16.1, точное решение x(t), кривая Model 16.1, exact solution x(t), curve
°0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Модель 16.2, зависимость x(n) при 6=0.001, N=1000 Model 16.1, dependence x(n) at 6=0.001, N=1000
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Модель 16.2,
Модель 16.2, зависимость зависимость L(C) при )
6=0.01 L(6)
Model 16.2, dependence Model 16.2, dependence '
L(C) at 6=0.01 L(6)
Рис. 4 - Модель 16, зависимости x(n) и
бифуркационные диаграммы при С=1/2, x0=1
Таблица 2 - Новые простые одномерные модели неустойчивости и хаоса при С=1/2, Х0=0 (показатель Ляпунова и энтропия Колмогорова L+= Н »0.4)
Модель Описание Параметры
10 Xn+1=Xn+(C-Xn)6 = axn+b 6=2.5, a=—1.5, b=1.25
12 Xn+1=|Xn+(C-Xn)6| = | aXn+b | 6=2.5, a=—1.5, b=1.25
13 Xn+1=|(C-Xn)6| 6=1.5, a=—1.5, b=0.75
14 Xn+1 = | 1 —Xn6 | a=—6=—1.5, b=1
15 Xn+1 = | Xn61 —1 =a | Xn |— 1 a=6=1.5, b=—1
16 Xn+1 = Xn+6/(C—Xn), 6=0.001
В заключение отметим, что существуют, конечно, и другие кусочно-линейные хаотические
модели. Например, кусочно-линейные отображения, полученные, как половины (верхние или нижние) вписанных в эллипс (окружность) многоугольников (кроме квадрата и, возможно, некоторых других), также дают хаос. Модель (15) является простейшей (по числу мономов) не описанной ранее в литературе одномерной моделью хаоса.
Литература
3
И. Ньютон, Математические начала натуральной философии. М., Наука, 1989.
С. Г. Гиндикин, Рассказы о физиках и математиках. М., МЦНМО, 2001, 448 с
П. Гольбах, Система природы // Избранные произведения, т.1, М., 1963.
4. И. Пригожин, Конец определенности. Время, хаос и новые законы природы, Ижевск, НИЦ «РиХД», 2000, 308 с.
5. А.Н. Колмогоров, Теория информации и теория алгоритмов, М., Наука, 1987, 304 с.
6. Д. Кнут, Искусство программирования. Получисленные алгоритмы, М., Мир, 1977, т. 2, 724 с.
7. www.random.org/,http://randstuff.ru/number/
8. Г. Шустер, Детерминированный хаос, М., Мир, 1988, 240 с.
9. М. Шредер, Фракталы, хаос, степенные законы. Ижевск, НИЦ «РиХД», 2001, 528 с.
10. С.П. Кузнецов, Динамический хаос. М., Физматлит, 2006, 356 с.
11. В.Х. Федотов, Н.И. Кольцов, Вестник Казан. технол. 17, 13, 24-28 (2014).
Федотов, Н.И. Кольцов, Вестник Казан. технол. 17, 14, 68-74 (2014).
Федотов, Н.И. Кольцов, Модели хаотической динамики. Часть 6. Квазиинварианты, Вестник Казан. технол. ун-та, 2014 (в печати).
14. В. Дьяконов, В. Круглов, Математические пакеты расширенияМАТЬАВ, СПб., Питер, 2001, 592 с.
15. Г.Корн, Т. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, М., 1974, 832 с.
16. Г.А. Леонов, Хаотическая динамика и классическая теория устойчивости движения, Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2006, 216 с.
ун-та,
12. В.Х. ун-та,
13. В.Х.
© В. Х. Федотов - канд. хим. наук, доц. каф. информационных систем ЧувГУ, fvh@inbox.ru; Н. И. Кольцов - д-р хим. наук, проф. каф. физической химии и ВМС ЧувГУ, koltsovni@mail.ru.
© V. Kh. Fedotov - Ph.D., associate professor of information systems department, Chuvash State University, fvh@inbox.ru; N. I. Koltsov - doctor of chemistry, professor, managing chair of physical chemistry and macromolecular compounds department, Chuvash State University, koltsovni@mail.ru.
