Одномерные модели сложного поведения простых динамических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.942:[517.938] ББК В 162.7

Н.В. НОВОЖИЛОВА, В.Х. ФЕДОТОВ

ОДНОМЕРНЫЕ МОДЕЛИ СЛОЖНОГО ПОВЕДЕНИЯ ПРОСТЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Ключевые слова: динамические системы, неустойчивость, одномерные модели, сложное поведение, странные аттракторы, хаос.

Поведение динамических систем зависит от их размерности. В гладких трехмерных системах возможны различные сложные хаотические колебания (странные аттракторы). В гладких двухмерных системах возможны только более простые регулярные колебания (предельные циклы). В гладких одномерных системах возможны только монотонные режимы. Примером гладких трехмерных моделей хаоса являются модель прогноза погоды Лоренца, которая описывается трехмерной системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В негладких системах, содержащих особые (сингулярные) точки, в которых производные не существуют, предельное поведение может быть более сложным и при размерности меньшей трех. Примером таких систем являются модели Диксона, которые описывают хаотическую динамику сингулярными автономными двухмерными системами ОДУ. В сингулярных одномерных системах хаос до настоящего времени не обнаружен. В данной статье приведены примеры сингулярных одномерных динамических систем, описываемых одномерными ОДУ, демонстрирующими непредсказуемую динамику при их численном решении. Наблюдаемое при этом квазихаотическое поведение решений таких ОДУ связано не с потерей устойчивости алгоритма, а с отсутствием устойчивых равновесий в некоторой сингулярной области фазового пространства с неустойчивыми границами. На практике это означает, что если некоторые технические устройства используют алгоритмы численного решения ОДУ, то они могут быть причиной непредсказуемого динамического поведения технической системы. Полученные результаты могут быть использованы при разработке технических устройств, способных демонстрировать сложное поведение, а также соответствующих систем защиты и подавления хаотических режимов.

Из качественной теории динамических систем на плоскости известно, что предельные движения (аттракторы) двухмерных динамических систем могут быть только равновесиями или периодическими колебаниями (автоколебаниями) [1]. При этом понятие динамической системы предполагает, что она не содержит сингулярных точек, т.е. ее правые части определены на всей или части фазовой плоскости (аналитичны/регулярны в окрестности некоторой точки). Этих условий достаточно для того, чтобы динамическая система удовлетворяла условиям теоремы существования и единственности и не допускала более сложных аттракторов. При нарушении этих условий, т.е. при наличии сингулярностей, даже двухмерная динамическая система может демонстрировать более сложное поведение, которое может быть интерпретировано как хаос.

Малоизвестным примером таких систем являются сингулярные модели Диксона, которые описывают сложную апериодическую динамику непрерывными автономными двухмерными системами обыкновенных дифференциальных уравнений [5] вида

х '= ху / (х2 + у2) - ах, у'=у2 / (х2 + у2) - Ь - с. Эта сингулярная система имеет одну особую точку (0,0), в которой производные не определены, и допускает до трех равновесий

х1 = 0, у1 = (1 - с) / Ь, х2 3 = ±[с (а - Ь - ас) / а]0,5 / (а - Ь), у2 3 = с / (а - Ь).

Хаос в модели Диксона возникает вблизи сингулярной точки при отсутствии устойчивых равновесий и устойчивых бесконечностей. В сингулярных одномерных системах хаос до настоящего времени не обнаружен. Представляет интерес вопрос о том, могут ли демонстрировать хаотическую динамику непрерывные автономные одномерные системы сингулярного типа?

Как известно из теории, динамика таких систем при отсутствии сингу-лярностей может быть только монотонной. В работе [2] приведены и исследованы две одномерные (1Б) непрерывные модели хаоса, представляющие собой автономные обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) с одной независимой переменной и недифференциируемой особенностью (сингулярностью) в знаменателе.

Первая из этих моделей характеризуется кубической нелинейностью в числителе

х' = х (х2 - 1) / (х - с),

где с - параметр.

Эта модель имеет три равновесия х1 = 0, х23 = ±1 и может демонстрировать нерегулярные колебания даже тогда, когда одно из них устойчиво.

Вторая отличается квадратичной нелинейностью в числителе

х'= (х2 - 1) / (х - с),

допускает только два равновесия х12 = ±1 и демонстрирует нерегулярные колебания тогда, когда они оба неустойчивы. Такое квазихаотическое поведение наблюдается на графике зависимости от времени х(0 при численном решении этих ОДУ различными методами и с различной точностью в некоторой области фазового пространства (фазовой прямой) при определенных начальных условиях (н.у.) х(0) = х0.

Кроме этих моделей до настоящего времени не найдено других Ш-непре-рывных моделей с непредсказуемым поведением. Ниже сконструированы и исследованы еще более простые Ш-квазихаотизаторы с меньшей нелинейностью (в числителе) и, соответственно, меньшим числом равновесий. Сформулированы условия существования сингулярных Ш-квазихаотизаторов.

Модель 1. Линейный хаотизатор с одним неустойчивым равновесием. Рассмотрим сингулярное ОДУ с линейным числителем и линейным знаменателем

х / = (х - 1) / (х - с) = Р(х), с Ф 1. (1)

Качественный анализ. Это уравнение имеет одно равновесие х = 1 и одну сингулярную особую точку (о.т.) х = с, в которой производная не существует. Устойчивость решений (в линейном приближении) определяется знаком собственного числа X = Рх = (1 - с) / (х - с)2. Если с < 1, то X > 0 и равновесие х = 1 неустойчиво, иначе, т.е. при с < 1, - равновесие устойчиво. На бесконечности X > 0 и решения возрастают (траектории идут вверх), т.е. плюс бесконечность (+да) устойчива, а минус бесконечность (-да) - неустойчива. Рассмотрим два случая:

1) если с < 1, то единственное равновесие х = 1 неустойчиво и о.т. х = с расположена в области фазового пространства между этим неустойчивым равновесием и неустойчивой минус бесконечностью. Тогда при выборе н.у. внутри этой области, т.е. «ниже» равновесия х0 < 1, траектории решений обязатель-

но попадут в окрестность о.т. и можно ожидать непредсказуемого поведения на графике зависимости х(У). При н.у. вне этой области, т.е. «выше» равновесия х0 > 1, траектории решений не попадут в окрестность о.т. и будут монотонно двигаться от неустойчивого равновесия к устойчивой плюс бесконечности;

2) если с > 1, то единственное равновесие х = 1 устойчиво и о.т. расположена между устойчивым равновесием и устойчивой плюс бесконечностью. В этом случае сингулярность не оказывает влияния на траектории решений и происходит только вполне предсказуемое монотонное движение к устойчивому равновесию или к устойчивой плюс бесконечности в зависимости от выбора н.у.

Примеры. Пусть с = 1/2, тогда равновесие х = 1 неустойчиво. Если при этом выбрать н.у выше равновесия х0 > 1, система не попадает в сингулярную область и монотонно удаляется от неустойчивого равновесия к устойчивой плюс бесконечности.

При н.у. выше о.т. с < х0 < 1 система вначале удаляется от неустойчивого равновесия, затем попадает в сингулярную область и не может уйти из нее из-за отталкивающего действия минус бесконечности. В результате возникают сложные колебания около особой точки х = с, ограниченные сверху неустойчивым равновесием и неустойчивой минус бесконечностью - снизу (рис. 1, а).

б

Рис. 1. Модель 1. Зависимость х(?) при разных н.у.: а - х0 = 0,9; б - х0 = 0

При н.у. ниже особой точки х0 < с система испытывает отталкивающее влияние минус бесконечности и движется вначале в сторону неустойчивого равновесия, затем также попадает в сингулярную область и не может уйти из нее. В результате возникают сложные колебания около особой точки х = с, ограниченные сверху неустойчивым равновесием и неустойчивой минус бесконечностью - снизу (рис. 1, б). Если н.у. близки к о.т., то монотонный начальный период отсутствует и нерегулярные колебания начинаются сразу.

Аналитическое решение. Уравнение (1) интегрируется в квадратурах при любых с. Так, при с = 1/2 его решение имеет вид

х(0 = 1/2 Ж (2 (хо - 1) ехр(2хо - 2) / ехр(-2) ехр(2^ - 2)) + 1, где Ж - специальная функция Ламберта [4].

Это решение вещественно в интервале [0,5; 1], монотонно и не допускает колебаний. В момент времени ^срыва вещественная ветвь становится мнимой.

Модель 2. Хаотизатор нулевого порядка с одним неустойчивым равновесием

х'= -1 / (х + с) + а = Р(х), а Ф 0. (2)

Качественный анализ. Это ОДУ имеет одно равновесие хш = 1 / а - с (существует при а Ф 0) и одну особую точку х* = -с (существует, если н.у. не находятся в точке равновесия). Производная Рх = 1 / (х + с)2 > 0 при любых с, т.е. система неустойчива при любых н.у. во всей области определения. Следовательно, единственное равновесие тоже всегда неустойчиво. При этом х а при х ^ ±<х>, т.е. при а > 0 плюс бесконечность всегда притягивает траектории (устойчива), а минус бесконечность отталкивает их (неустойчива). Поэтому если выбрать н.у. ниже неустойчивого равновесия х0 < хш, то траектории системы обязательно «встретятся» с особой точкой и начнется непредсказуемое поведение.

Если же выбрать н.у. выше равновесия, то траектории не встретятся с о.т. и будут двигаться к устойчивой плюс бесконечности «без помех». При а < 0 устойчивость бесконечностей и поведение траекторий меняются на противоположные, но качественное поведение не меняется.

Примеры. При с = -1/2, а = 1 неустойчивое равновесие хш = 3/2, а особая точка х* = 1/2. При этом х' ^ 1 при х ^ ±<х>, т.е. плюс бесконечность притягивает траектории (устойчива), а минус бесконечность отталкивает их (неустойчива). Тогда при х0 < 3/2 (ниже неустойчивого равновесия) должны наблюдаться сложные колебания около о.т. х = 1/2 между неустойчивым равновесием хш = 3/2 и неустойчивой минус бесконечностью. При х0 = 3/2 система должна оставаться в покое. При х0 > 3/2 система должна двигаться к устойчивой плюс бесконечности. Результаты численного решения уравнения (2) при разных н.у. и положениях о.т. приведены на рис. 2.

Аналитическое решение. Уравнение (2) интегрируется в квадратурах и его решение

х(0 = (Ж((ас+х0а-1)ехр(+ас+х0а+^а2-1))+1+ас)/а содержит одну монотонную вещественную ветвь и не допускает колебаний. Срыв на мнимую ветвь происходит при х* = -с в момент времени ^ = ¿срыва.

б

Рис. 2. Модель 2. Зависимость х(^ при разных н.у.: а - х0 = 0 < х = 1/2; б - х0 = 1 > х = 1/2

Модель 3. Хаотизатор нулевого порядка без равновесий (ранее в [3] исследован дискретный аналог этой модели). Рассмотрим частный случай модели 3 при а = 0:

-1/(х + с) = Р(х), х Ф -с.

(3)

Аналитическое решение. Решение этого ОДУ х(0 = -с ± [(с + х0)2 - 2^]1/2 имеет две монотонных ветви, существует только при ^ < (с + х0)2 / 2 = ¿срыва и не допускает колебаний. При ^ > ^срыва решение становится мнимым. График решения представляет собой параболу, ветви которой направлены влево вдоль оси времени (рис. 3, а).

Качественный анализ. Это ОДУ совсем не имеет равновесий (они смещаются на плюс-минус бесконечность!) при любом с и имеет одну особую точку х = -с. Производная Рх = 1 / (х + с) > 0 всегда положительна, т.е. система неустойчива при любых с и н.у. во всей области определения (как и в предыдущем примере). При этом и плюс, и минус бесконечность отталкивают все траектории, т.е. обе всегда неустойчивы (х'< 0 при х ^ да и х'> 0 при х ^ -да). Поэтому при любых н.у. траектории системы обязательно «встретятся» с особой точкой и в окрестности о.т. должно наблюдаться непредсказуемое поведение между двумя неустойчивыми бесконечностями.

Примеры. При с = 1/2 срыв на колебания происходит в момент времени ^срыва = (1/2 + х0)2 / 2 вблизи вершины параболы, которая соответствует особой

х

точке х = -0,5. Дальше с ростом ^ вещественные решения ОДУ перестают существовать (становятся мнимыми) и ведут себя непредсказуемо (в зависимости от алгоритма численного решения ОДУ). Сложные нерегулярные колебания наблюдаются около о.т. между двумя неустойчивыми плюс и минус бесконечностями. Результаты численного интегрирования уравнения (3) показаны на рис. 3, б.

а

б

Рис. 3. Модель 3. Зависимость х(^: а - точное решение: х0 = 0, ^рь1ва = 1/8 (горизонтальная линия - мнимая); б - численное решение (квазихаос около о.т. х* = -1/2)

Отличительная черта модели 3 состоит в том, что сложная динамика наблюдается здесь при любых н.у. при движении по времени в положительную сторону. Аналогичное поведение будет при движении по времени в отрицательную сторону, если парабола направлена вправо. Например, ОДУ х' = 1/(х+с) также демонстрирует непредсказуемую динамику, аналогичную уравнению (3), но при движении по времени в отрицательную сторону.

Модель 4. Простой хаотизатор нулевого порядка без равновесий. Рассмотрим ОДУ

х' = — 1/х = Р(х), х Ф 0. (4)

Эта модель является частным случаем модели 3 и обладает аналогичными ей свойствами. Как и предыдущая модель, она не имеет равновесий и имеет одну о.т. х* = 0. Аналитическое решение х(0 = ±(х02 - 2^)1/2 существует только при ^ < х02/2 = ¿срыва и становится мнимым иначе. График этого решения также представляет собой параболу, направленную вдоль оси времени. При н.у. х0 > 0 реализуется верхняя ветвь (плюс), а при н.у. х0 < 0 реализуется нижняя ветвь (минус). Производная Рх = 1/х2>0 всегда положительна, т.е. система всегда неустойчива во всей области определения. При этом и плюс и минус бесконечность отталкивают все траектории, т.е. обе всегда неустойчивы (х'< 0 при х ^ да и х'> 0 при х ^ -да). Поэтому при любых н.у. траектории системы обязательно встретятся с особой точкой и около нее должна наблюдаться непредсказуемая динамика между двумя неустойчивыми бесконечностями.

Примеры. Выберем х0 = в Ф 0 << 1 близко к особой точке, чтобы быстрее выйти на хаос. Результаты численного интегрирования при разных н.у. показаны на рис. 4 (счет идет на малых временах быстро, но на больших временах очень долго).

х Ю'в

б

Рис. 4. Модель 4. Зависимость х(^: а - точное решение: х0 = 0,001 (горизонтальная линия - мнимая); б - численное решение (квазихаос около о.т. х = 0)

Отличительная черта модели 4 состоит в том, что сложная динамика наблюдается здесь всегда (как и в модели 3) при движении по времени в положительную сторону, но амплитуда колебаний очень мала (заметна только при большом увеличении). Аналогичное поведение будет при движении по времени в отрицательную сторону, если парабола направлена вправо. Например, решения ОДУ х/= 1/х демонстрируют сложную динамику, которая наблюдается при движении по времени в отрицательную сторону.

Рассмотренные выше непрерывные сингулярные ID-модели описываются простыми одномерными ОДУ и способны демонстрировать непредсказуемую динамику только при их численном решении. Условиями возникновения нерегулярного поведения решений таких моделей являются: 1) отсутствие устойчивых равновесий в этой области; 2) неустойчивость границ этой области; 3) наличие сингулярной особой точки внутри этой области; 4) начальные условия расположены внутри этой области; 5) численное решение ОДУ. Эти условия выполняются тогда, когда решение ОДУ существует только на ограниченном временном интервале t < ¿срыва. Специфика численного решения таких ОДУ связана не с потерей устойчивости алгоритма, а с отсутствием устойчивых равновесий при t > ¿срыва в некоторой сингулярной области фазового пространства. Наблюдаемое при этом нерегулярное динамическое поведение следует рассматривать как квазихаос (не истинный хаос), так как соответствующие аналитические решения не описывают хаотических режимов.

Приведенные в работе модели и результаты их исследования показывают, что если некоторые технические устройства используют алгоритмы численного решения сингулярных ОДУ, то они могут быть причиной непредсказуемого динамического поведения технической системы. Особенности решения таких ОДУ необходимо учитывать при разработке технических устройств, способных демонстрировать сложную апериодическую динамику, а также соответствующих систем защиты и подавления хаотических режимов.

Литература

1. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966. 588 с.

2. Федотов В.Х., Кольцов Н.И. Модели хаотической динамики. Часть 4. Одномерные инварианты // Вестник Казанского технологического университета. 2014. Т. 17, № 13. С. 24-28.

3. Федотов В.Х., Кольцов Н.И. Модели хаотической динамики. Часть 5. Дискретные инварианты // Вестник Казанского технологического университета. 2014. Т. 17, № 14. С. 68-74.

4. Corless R.M., Gonnet G.H., Hare D.E., Jeffrey D.J., Knuth D.E. On the Lambert W function. Adv. Computational Maths., 1996, vol. 5, pp. 329-359.

5. Dixon D.D., Cummings F.W., Kaus P.E. Continuous chaotic dynamics in two dimensions, Phys. NonlinearPhenom, 1993, vol. 65, pp. 109-116.

НОВОЖИЛОВА НИНА ВАСИЛЬЕВНА - кандидат экономических наук, доцент кафедры бухгалтерского учета и электронного бизнеса, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (mallin@mail.ru).

ФЕДОТОВ ВЛАДИСЛАВ ХАРИТОНОВИЧ - кандидат химических наук, доцент, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары.

N. NOVOZHILOVA, V. FEDOTOV ONE-DIMENSIONAL MODELS OF COMPLICATED BEHAVIOR OF SIMPLE DYNAMIC SYSTEMS

Key words: dynamic systems, instability, complicated behavior, one-dimensional models, strange attractors, chaos.

The behavior of dynamic systems depends on their dimension. Different complicated chaos vibrations (strange attractors) are possible in smooth three-dimensional systems. In smooth two-dimensional systems there can be only simpler regular vibrations (limiting cycles). Smooth one-dimensional systems allow only monotonic regimes. Lorenz weather monitoring model can be served as an example of smooth three-dimensional models of chaos; the model is described by three-dimensional system of common differential equations (CDE). In non-smooth systems, containing particular (singular) points, where there are no derivatives, limiting behavior can be more complicated and in the dimension of less than three. Dickson models can be served as an example of such systems; these models describe chaos dynamics through singular autonomous two-dimensional systems (CDE). There is no chaos in singular one-dimensional systems. The article under review gives examples of singular one-dimensional dynamic systems, being described by one-dimensional CDE; demonstrating unpredictable dynamics when they are numerically solved. Quasi-chaos behavior of CDE equations solution, observed in this case is not connected with the loss of algorithm stability but with the absence of stable equilibriums in some singular zone of phase space with unstable borderlines. In practice, this means that if some engineering appliances use algorithm of numerical solution CDE, they can cause unpredictable dynamic behavior of engineering system. Received results can be used while developing engineering appliances, capable to demonstrate complicated behavior as well as corresponding systems to protect and suppress chaos regime.

References

1. Andronov A.A., Leontovich E.A., Gordon 1.1., Maier A.G. Kachestvennaya teoriya dinamicheskikh sistem vtorogo poryadka [Qualitative theory of second-order dynamical systems]. Moscow, Nauka Publ., 1966, 588 p.

2. Fedotov V.Kh., Kol'tsov N.I. Modeli khaoticheskoi dinamiki. Chast' 4. Odnomernye invarianty [Models of chaotic dynamics. Part 4. One-dimensional invariants]. Vestnik Kazanskogo tekhnologicheskogo universiteta, 2014, vol. 17, no. 13, pp. 24-28.

3. Fedotov V.Kh., Kol'tsov N.I. Modeli khaoticheskoi dinamiki. Ch ast' 5. Diskretnye invarianty [Models of chaotic dynamics. Part 5. Discrete invariants]. Vestnik Kazanskogo tekhnologicheskogo universiteta, 2014, vol. 17, no. 14, pp. 68-74.

4. Corless R.M., Gonnet G.H., Hare D.E., Jeffrey D.J., Knuth D.E. On the Lambert W function. Adv. Computational Maths., 1996, vol. 5, pp. 329-359.

5. Dixon D.D., Cummings F.W., Kaus P.E. Continuous chaotic dynamics in two dimensions, Phys. Nonlinear Phenom, 1993, vol. 65, pp. 109-116.

NOVOZHILOVA NINA - Candidate of Economics Sciences, Associate Professor, Department of Accounting and E-Business, Chuvash State University, Russia, Cheboksary (mallin@mail.ru).

FEDOTOV VLADISLAV - Candidate of Chemical Sciences, Associated Professor, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.

Ссылка на статью: Новожилова Н.В., Федотов В.Х. Одномерные модели сложного поведения простых динамических систем // Вестник Чувашского университета. - 2018. - № 1. -С. 153-161.