CC BY
21
Международный научно-исследовательский журнал ■ № 9(40) ■ Часть 3 • Октябрь
Скворцов Г.Е.1, Перевозников Е.Н.2
1 Кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник,
Санкт-Петербургский государственный университет,
2кандидат физико-математических наук, доцент, Санкт-Петербургский торгово-экономический университет СИНГУЛЯРНО - ДИНАМИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ НЕУСТОЙЧИВОСТИ И ХАОСА
Аннотация
Представлен сингулярно-динамический метод получения критериев неустойчивости и хаоса в неравновесных системах. Приводятся примеры, демонстрирующие метод и даются аналитические условия возникновения хаоса. Ключевые слова: неустойчивость, сингулярно-динамический метод, критерии хаоса.
Skvortsov G.E.1, Perevoznikov E.N.2
1PhD in Physics and Mathematics, St. Petersburg State University 2PhD in Physics and Mathematics, St. Petersburg State University of Trade and Economics SINGULARLY DYNAMIC CRITERIA OF INSTABILITY AND CHAOS
Abstract
The singularly dynamic method for obtaining instability and chaos criteria in nonequilibrium systems is submitted. The examples demonstrating the methods and the analytical conditions for the occurrence of chaos are given.
Keywords: Instability, Singularly Dynamic Method, Chaos Criteria.
1Содержание статьи является одним из основных разделов физической теории неустойчивостей, начало создания которой было положено в /1/. Она развивалась при рассмотрении ряда важных задач и методов их решения /2,3,4,5,6/. Здесь формулируется основной сингулярно-динамический метод (СД-метод) получения критериев неустойчивости и ее особого вида-хаоса. При этом главное внимание уделяется хаотическим режимам, для которых раньше не было простых аналитических критериев /6/. В данной работе даются такие критерии.
В работе используется определение общей неустойчивости данное в /6/. Такое определение отражает и сингулярное и динамическое качества общей неустойчивости.
2. Схема СД- метода. Исходной для реализации схемы СД является динамическая модель - система дифференциальных уравнений с начальными условиями
dtX = Ег (x, ,п) . x, (О = -X-,o (1)
Здесь x - определяющая величина, g - действие, п - набор параметров. Первый шаг СД метода - определение
аналитических особенностей - сингулярностей действий. Ими могут быть изломы, скачки, нули и бесконечные значения. Нули действий являются особыми точками системы уравнений (2). Им соответствуют стационарные или бифуркационные состояния по времени. Обычно вторым шагом является попытка аналитически точного или приближенного решения исходной системы (1). Точное удается редко, а приближенное локальное возможно всегда.
Для его осуществления представим функцию g в виде ряда вблизи произвольного начального значения
Si (Х,) = Si (х,о) + 'ZSijtej + -> (2)
j
x.
Ч = Xj - Xj.0 ■
Ограничиваясь линейными членами, получаем
Ег.j =djgi (Xj,0) -пр°изводные по -j
линейную систему. В качестве начального значения обычно берут стационарные значения, хотя это не обязательно.
Третий шаг СДМ заключается в анализе динамики возмущений с целью установления неустойчивостей разного рода и, в частности, хаоса. Он осуществляется посредством анализа корней спектральных уравнений, соответствующих выбранным начальным условиям. На его основе формулируются критерии неустойчивости и хаоса. Покажем на примерах реализацию СД метода.
3. Первоначально рассмотрим модель с характерными аналитическими и динамическими особенностями
X (0) = -1. (3)
dtx = x
Согласно принятой схеме отмечаем излом функции действия при х=0 .
Другим показателем особенности является дивергенция вектора действия divG. В данном случае имеем dx |x| = +1 при x > 0(< 0) т.е. получается скачек. В общем случае дивергенция указывает изменение фазового
объема.
Решение задачи (3)
x (t)
-exp(-t) exp (t)- 2
x < 0 x > 0
(4)
дает следующую картину динамики. При t < In 2 реализуется отрицательная ветвь решения, при t = In 2 включается положительная ветвь. Происходит качественный переход и, следовательно, имеет место неустойчивость.
4. Динамическая часть СД-метода основана на изучении спектра системы (2), носителем которого является спектральное уравнение (СУ). Для системы с тремя динамическими величинами СУ имеет общий вид
Л + sA + рЛ + q = 0 (5)
91
Международный научно-исследовательский журнал ■ № 9(40) ■ Часть 3 • Октябрь
Коэффициенты s,p,q зависят от исходного состояния, линеаризации и параметров п Интерес представляют колебательные режимы, чтобы выделить их, используем способ РИМ - разделение СУ на вещественные и мнимые части, исключения и мнимости. В результате получаем для мнимой части выражение ( A = v + iG )
G2 = 3v2 + 2sv + p > 0, (6)
которое справедливо для любых v при условии
s2 - 3p < 0. (7)
В случае нейтрального состояния (v=0) должно быть p>0 . Условие (7) часть критерия хаоса. Важным условием хаоса является наличие собственных значений с вещественными частями разных знаков т.е. должно быть седло. Феномен хаоса заключается в переходах скачками от устойчивой моды к неустойчивой и наоборот. Аналитически условие седла получается следующим образом. Согласно соотношениям Виета вещественное собственное значение при наличии колебательных мод имеет знак величины —q , а знак v такой как у (q-sp). Таким образам вторая часть критерия хаоса
q (q - sp)> 0. (8)
Прямое численное решение ряда различных по своим свойствам динамических моделей подтверждает, что критерий, состоящий из условий (7,8) является необходимым и достаточным условием хаоса.
На основании анализа можно выделить 3 вида хаоса, которые соответствуют двум знакам коэффициента s и нулевому его значению. При s>0 хаос диссипативный, при s<0 - активный, при s=0 хаос нейтральный. Все эти виды проявляются, согласно указанным условиям, при численном решении разных задач. В случае, если локальные
значения divG (л'0) могут изменить знак в зависимости в зависимости от выбора точки х0, вид хаоса будет зависеть
от начальных значений. Он будет определятся знаком s и критериями (7,8). Также есть ряд сопутствующих вопросов, которые были решены: какой из стационарных режимов брать при линеаризации; что делать если нет стационарных состояний; какова роль внешнего воздействия гармонического и постоянного. Ответы на эти вопросы целесообразнее показывать на примерах.
5. Рассмотрим по схеме СД -метода модель заданную уравнениями
dtx = y + ax ,dty = ,z - x ,dtz = r - y2. (9)
Сингулярности: 1) бесконечности при у, z —> со ; 2) стационарные состояния
ys = — axs, xv = yszs , ys = ±r1/2 ; 3) divG = a + z = 0=>za=—a из последней связи ясно, что za - граница
областей роста и убывания фазового объема. Поскольку divG = — S , то при наличии хаоса он может быть всех трех видов.
При любом исходном состоянии после линеаризации для коэффициентов СУ получаем
s = -(a + z) , p = az + Y, q = -2ay2, (10)
Y = 1 + 2y2. Для упрощения анализа будем считать а малой величиной, которая может быть как положительной так и отрицательной. При указанных возможных значениях а удается проверить все варианты и установить условия хаоса. Например, при а>0 условия хаоса (7,8) принимают вид
z2 < 3Y
z < 0 . Хаос при этом диссипативный.
(13)
Как правило, основной интерес сосредотачивается на динамике возмущений стационарных состояний. В данном случае для стационарных значений коэффициенты СУ равны
s =(1/ a - a) , p = 2r , q = -2ar. (11)
Тогда критерии хаоса (7,8) соответственно принимают вид (при а=0.2)
1/a2 - 0.6r < 0 , r > 25/6. (12)
Очевидно, критерий появления хаоса для данной модели - r > rc = 25/6.
Дополним анализ модели еще одной возможностью определения сингулярностей. Она заключена в рассмотрении производной по параметру п
dx s'А2 + p’A + q’
dn ЗА2 + 2 sA + p
Ноль знаменателя приводит к критерию (7), а ноль числителя указывает бифуркационное значение А(ж^). В
данной модели ноль числителя дает собственное значение А = a .
В заключении сделаем два замечания: первое- внешнее воздействие в рассмотренной системе определяется величиной г, и чем оно больше, тем сильнее неравновесность системы. И с некоторого уровня неравновесности в динамической системе возникает хаос. Второе связано с влиянием начальных условий. Его можно выяснить,
используя условие хаоса z 2 < 3Y для стационарных значений величин.
Литература
1. Перевозников Е.Н., Скворцов Г.Е., К теории устойчивости неравновесных систем, ЖТФ, вып.12,№ 52, 1982, с (2353-2361).
2. . Скворцов Г.Е.,О закономерностях неравновесных процессов, Письма ЖТФ, т.16вып.17,1990,с.(15-17).
92
Международный научно-исследовательский журнал ■ № 9(40) ■ Часть 3 • Октябрь
3. Перевозников Е.Н., Скворцов Г.Е., К теории возмущений заряженной подсистемы в сильном электрическом поле, ЖТФ, т.61, №9, 1991, (1-8)с.
4. Перевозников Е.Н., Условия формирования зарядовых неустойчивостей в потоках слабоионизованных плазм , Изв. Вузов, Физика, №11, 2004,(27-31)с.
5. Перевозников Е.Н., Методы анализа устойчивости неравновесных систем, Изв. Вузов, Физика, №10, 2006, (34-39)с.
6. Перевозников Е.Н. , Скворцов Г.Е., Динамика возмущений и анализ устойчивости неравновесных систем , СПТЭИ, 2010, (137)с.7.
7. Кузнецов С.П., Динамический хаос, М.,2006, 356 с.
8. Перевозников Е.Н., Скворцов Г.Е., Физическая неустойчивость и качественные переходы, Materialy X miedzynarodwej naukowi-praktycznej konferencji, v30,2014, p (79-84).
References
1. Perevoznikov E.N., Skvorcov G.E., K teorii ustojchivosti neravnovesnyh sistem, ZhTF, vyp.12,№ 52, 1982, s (2353-2361).
2. Skvorcov G.E.,O zakonomernostjah neravnovesnyh processov, Pis'ma ZhTF, t.16vyp.17,1990,s.(15-17).
3. Perevoznikov E.N., Skvorcov G.E., K teorii vozmushhenij zarjazhennoj podsistemy v sil'nom jelektricheskom pole, ZhTF, t.61, №9, 1991, (1-8)s.
4. Perevoznikov E.N., Uslovija formirovanija zarjadovyh neustojchivostej v potokah slaboionizovannyh plazm , Izv. Vuzov, Fizika, №11, 2004,(27-31)s.
5. Perevoznikov E.N., Metody analiza ustojchivosti neravnovesnyh sistem, Izv. Vuzov, Fizika, №10, 2006, (34-39)s.
6. Perevoznikov E.N. , Skvorcov G.E., Dinamika vozmushhenij i analiz ustojchivosti neravnovesnyh sistem , SPTJeI, 2010, (137)s.7.
7. Kuznecov S.P., Dinamicheskij haos, M.,2006, 356 s.
8. Perevoznikov E.N., Skvorcov G.E., Fizicheskaja neustojchivost' i kachestvennye perehody, Materialy X miedzynarodwej naukowi-praktycznej konferencji, v30,2014, p (79-84).
АРХИТЕКТУРА / ARCHITECTURE Наумкин Г.И.
Доцент кафедры архитектуры Государственного университета по землеустройству, канд. архитектуры ЗДАНИЯ УПРАВЛЕНИЙ ИСПОЛНИТЕЛЬНОЙ ВЛАСТИ
Аннотация
В организации зданий управлений функции управления подразделяются на основные, вспомогательные и обслуживающие блоки. В многофункциональной структуре зданий управлений должна обеспечиваться координация подразделений учреждений управлений.
Ключевые слова: функция, управление, структура, блок, композиция.
Naumkin G.I.
Associate Professor, Department of Architecture of the State University of Land Management, PhD architecture MANAGEMENT BUILDING OF EXECUTIVE POWER
Abstract
In the organization of the control building management functions are divided into main, auxiliary and service units. The multi-functional structure of the building should ensure the coordination of the agencies offices.
Keywords: function, control, structure, unit, composition.
Здания учреждений управлений исполнительной власти предпочтительно размещать: в градостроительном образовании общественного центра города; в зоне профессиональной деятельности с развитой инфраструктурой и инженерной коммуникацией.
В градостроительном аспекте в планировании строительства зданий управлений следует учитывать основной градостроительный критерий: сохранение сложившегося исторически планировочного каркаса. В новых социальноэкономических условиях на переуплотненной территории существующий фонд учреждениях управлений может быть подвергнут структурной переорганизации: аппарат управления остается в исторической части города, а административная часть учреждения управления переносится в новое градостроительное структурное образование.
Для нового строительства зданий управлений должна обеспечиваться развитая сеть инженерных и транспортных коммуникаций. К обязательным условиям привязки зданий управлений должна быть предусмотрена 30-ти минутная пешеходная доступность, а также связь со скоростной магистралью [2].
В существующих нормативных документах: «Градостроительство. Планировка и застройка городских и сельских поселений» СНиП 2.07.01-89; (СП 44. 13330. 2011) «Административные и бытовые здания» СНиП 2.09.04-87 не представлены учреждения управлений, к которым следует отнести и здания парламентского центра, а также и исполнительной власти.
Отсутствие нормативных материалов дают возможность рассматривать предложения по структурной организации зданий управлений. В системе учреждений управлений функция управления является определяющей, которую следует учитывать при архитектурном проектировании, так как:
- функция управления - главная функция учреждений управлений;
- функция аппарата управления воздействует на социально-экономическое развитие общества, отрасли производства и на все государственные учреждения;
93
