CC BY
21
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО Том 78 ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА 1955 г.
ТЕОРИЯ МЕТОДА НАИВЫГОДНЕЙШЕГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ НА ОДНУ ПЛОСКОСТЬ И ПРИЛОЖЕНИЕ ЕГО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Л. С. СКРИПОВ Введение
Настоящая статья излагает метод наивыгоднейшего проектирования на оде у плоскость, предложенный автором для более простого и быстрого решения метрических задач по курсу начертательной геометрии. Метод введен в курс лекции начертательной геометрии Томского политехнического института и не приводится ни в одном из существующих учебников.
Настоящая статья имеет целью устранить этот пробел и оказать помощь при изучении метода-
Метод наивыгоднейшего проектирования положен в основу прибора Аксонографа, созданного автором для механического построения аксонометрических изображений в 1940 году.
Теория начертательной геометрии предлагает три метода для решения метрических задач, а именно: .Метод вращения.
2. Метод совмещения.
3. Метод перемены плоскостей проекций.
С помощью этих методов решаются задачи на определение натуральных величин.:
Г) отрезков прямых линий,
2) площадей плоских фигур,
3} плоских и двугранных углов,
4) расстояния между точкой и прямой, между прямыми линиями, между точкой и плоскостью и между плоскостями.
Автор настоящей статьи предложил четвертый метод, преследующий те же цели, но дающий во многих случаях более простые и быстрые решения перечисленных задач, чем указанные выше три метода начертательной геометрии.
Метод назван автором методом наивыгоднейшего проектирования на одну плоскость потому, чтоб основу его положено проектирование искомого элемента на одну плоскость так, чтобы на этой плоскости и получить необходимый ответ.
Сущность метода состоит в следующем.
к Представим себе первый октант (черт. 1) с расположенными в нем плоскостью () — общего положения и точкой А (а, а').
Если спроектировать ортогонально на плоскость <2 данную точку А{а, а% т. <е. опустить из точки А перпендикуляр на плоскость <3, то точка аи его встречи с плоскостью и будет искомой проекцией точки А. Если через перпендикуляр провести две плоскости /? и 7, перпендикулярные соответственно к плоскостям проекций Н и V, то проведенные плоскости
на
пересекут плоскости И и V, дав следы RH и Tv на плоскостях H и V и следы Rq и Tq на плоскости Q.
Следы Ru и Rq будут перпендикулярны к горизонтальному следу QH данной плоскости Q, как к ребру двугранного угла, образованного плоскостями H и Q. С другой стороны, след RH должен совпадать с горизонтальной проекцией перпендикуляра Аа как след горизонтально проектирующей плоскости R, проведенной через перпендикуляр А а.
Следовательно, линии aaq и Rq располагаются под углами 90° к следу Qh (черт. 1).
Проводя аналогичное рассуждение относительно вертикально-проектирующей плоскости Т, заключаем, что линия а'а'л (направление вертикальной проекции перпендикуляра Ааг) и след Tq располагаются под углами 90° к вертикальному следу Qv плоскости Q. Наконец, делаем заключение, что следы Rq и Tq обязательно пересекаются в точке а1—проекции точки А на плоскости Q.
Из сказанного вытекает простое правило для построения проекции ах точки А на плоскости Q:
Чтобы построить ортогональную проекцию точки А на плоскости Q, произвольно расположенной в пространстве, достаточно:
1. Из горизонтальной а и вертикальной а' проекций точки А опустить перпендикуляры на соответствующие следы QH и Qz. плоскости Q-
2. Из точек их встречи aq и а\ со следами QH и Qv продолжить проведение перпендикуляров уже на плоскости Q д.") их взаимного пересечения.
3. Полученная в, пересечении точка а{ и будет искомой проекцией точки А на плоскости Q.
Подобное построение проделано на эпюре (черт. 2), на котором представлена плоскость общего положения Q(QH, Qv) и точка (a, a'). Проектируя точку А ортогонально на плоскость Q, проводим из проекций точки а и а? перпендикуляры на соответствующие следы QH и Qt,.
Отмечаем точки встречи их ая и .а/ со следами. Совмещаем далее плоскость Q с горизонтальной плоскостью //.вращением около горизонтального следа Qh по известному методу начертательной геометрии.
При таком совмещении вертикальный след займет положение Qv\. Вместе с рлоскостью Q совмещается с H и точка занимая положение а2\ получаемое в пересечении Qvi с дугой окружности, проведенной из центра Qx (точка схода следов), радиусом, равным Qv^/. Продолжаем далее перпендикуляры по совмещенной плоскости из точек aq и а2* до их взаимного пересечения в точке аи которая и будет искомой проекцией точки А на эпюре плоскостей Q и //.
Изложенное простое правило для проектирования точки следует положить в основу подобного проектирования линии, фигуры и тела.
Рассмотрим применение метода на ряде примеров, разрешаемых, обычно одним из трех известных способов начертательной геометрии, и .убедимся в простоте и быстроте получаемых результатов, доказывающих преимущество предлагаемого метода.
Пример 1, Определйть натуральную величину треугольника ABC (abc, a'b'c') (черт. 3).
Фигура треугольника может быть спроектирована в натуральную величину на плоскость Q, параллельную плоскости треугольника ABC. Для построения такой плоскости проводим в плоскости треугольника ЛВС горизонталь (al, а'Г) и фронталь (с2, с'2').
Из любой точки Qjc, взятой на оси ОХ, проводим следы Qh и Qv параллельно соответствующим проекциям горизонтали н фронтали треугольника,
Плоскость Q будет, как известно, параллельна плоскости треугольника ABC.
Проектируем ортогонально па плоскость Q вершины треугольника .А, Б, С по изложенному выше правилу предлагаемого метода.
Совместив плоскость Q с плоскостью Н, строим проекции вершин треугольника на совмещенной плоскости Q, как это было выполнено на •->пч< г>е (черт. 2).
Соединив полученные проекции aíf b{, с{ вершин треугольника на плоскости Q (или, что все равно, на плоскости Н) прямыми линиями, получим искомый ответ—натуральную величину avbsCx треугольника ABC.
Пример 2. Определить натуральную величину двугранного угла пирамиды SА ВС (sabe9 s'a'b'c') при ребре SC (se, s'c'), (черт. 4).
Как иззестно, двугранный угол сяроектируется в натуральную величину ий плоскость Q, если плоскость Q будет расположена перпендикулярно i-, ребру заданного двугранного угла.
Взяв произвольную точку Qx по оси ОХ, проводим через нее горизонтальный QH и вертикальный Qv следы плоскости Q перпендикулярно х соответствующим проекциям se и s'c' ребра SC двугранного угла ASCB данной пирамиды.
Опускаем перпендикуляры на построенные следы из соответствующих проекций вершин двугранного угла a, s, с, b и а', s', с', Ь'.
Отмечаем на следе Qv точки встречи проведенных перпендикуляров» к именно аи bfu с\.
Совмещаем плоскость Q с плоскостью И и находим совмещенное положение Qvi вертикального следа
Принадлежащие следу Qv точки а/, bi, с/ переносим на Qv-в точки
• Ь2 , с2 .
Продолжаем перпендикуляры на плоскости Q из полученных точек до пересечения их с перпендикулярами к следу Q«, проведенными из горизонтальных проекций вершин пирамиды s, a, b, с. Отмечаем точки переселения одноименных перпендикуляров аи su си b¡ и соединяем их прямыми линиями. Замечаем, что ребро SC спроектировалось в одну точку sx (ct), грани ASC и BSC—в прямые линии, а искомый двугранный угол ASCB— y угол alsictbl = a, выражающий натуральную величину искомого угла.
Пример 3. Определить величину двугранного угла RXMNSX, образо" ванного двумя пересекающимися плоскостями R и S (ч^рт. 5).
Плоскости /? и 5, пересекаясь по линии МЫ, образуют двугранный угол RXMNSX с ребром по линии МЫ(тп, т'п') и гранями Rx У1Ы и SXMN.
Двугранный угол RXMNSX спроектируется в натуральную величину на плоскость Q, если плоскость Q будет перпендикулярна к ребру МЫ данного угла.
В силу этого из произвольной точки на оси ОХ проводим следы Q* и Qv плоскости Q, перпендикулярные к соответствующим проекциям ребра МЫ, а именно Проектируем на построенную плоскость
Q точки Rx (mt т!), (п, п')% Sx, опуская перпендикуляры на соответствующие следы, например, из Rx на QH и Qv (точка Rxl).
Совмещаем плоскость Q с плоскостью Н и , строим совмещенный след QVt на который и сносим все точки концов перпендикуляров, получая точки Rx2t т./, я/, Sx2.
Из полученных точек продолжаем перпендикуляры по плоскости Q {или, что все разно, по плоскости Н) до пересечения с соответствующими, проведенными из горизонтальных, проекций тех же точек к горизонталь-лому следу QH.
Oí меч;.ем точкя Rxz, ти rtu SX3 пересечения их, которые соединяем прямыми линиями, замечая, что ребродвугранного угла (тп, т п!) спроек-
тировалось в точку (ти па грани Rx M N и SxMN~-b прямые линии к.^т^щ) и Sxzmx(nx).
Таким образом, двугранный угол спроектировался на плоскости Q j натуральную величину в виде линейного угла Rxz ml (rtt) Sx$
Пример 4- Определить расстояние точки О ([d, dr) до прямой АВ (ab, а'6') •(черт. 6).
Расстояние точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Для решения задачи проектируем прямую (ab, а'Ь') и точку (d, df) на плоскость Q(QH, Qv), перпендикулярную к данной прямой (ab, а'Ь')9 в результате чего то 1ка D и прямая АВ спроекти-оуются в точки dx и ах.
Расстояние между найденными проекциями и будет расстоянием ^ежду точкой и прямой в натуральную величину. Все построения ясны m ч рт. 6.
Пример 5. Определить расстояние точки D(d> d!) до плоского треугольника ABC (abc, a'b'c■'), (черт 7).
Д ня определения искомого расстояния достаточно опустить из точки D перпендикуляр'на плоскость треугольника ABC и найти точку встречи '¿so с плоскостью треугольника.
Для решения поставленной задачи строим плоскость Q(Q«, Qi), перпендикулярную к плоскости треугольника tabe, ábcr).
Выбираем на о:н ОХ произвольною точку QXt через которую проводим диа следа плоскости QH и Qv перпендикулярно к одной (любой) из сторон треугольника, например (be, b'dí.
Такое положение плоскости Q должно быть выбрано для того, чтобы плоский треугольник спроектировался на нее в одну прямую линию, как на плоскость ему перпендикулярную.
Проектируем точку D и вершины треугольника ABC на построенную плоскость Q, опуская перпендикуляры на следы Q„ и Qv из соответствующих проекций точек-d,"а, Ь, с и d\ а\ Ь\ сг.
Отмечаем точки встречи перпендикуляров со следом QVt—¿V, аЛ &Л схг.
Совмещаем затем плоскость Q с плоскостью //, находим совмещенное положение вертикального следа QV\, на которое и переносим найденные точки концов перпендикуляров, получая точки d%\ а2b-¿, с2\
Из найденных точек продолжаем перпендикуляры по плоскости Q под углом 90° к Qvu до встречи с одноименными перпендикулярами, проведенными из горизонтальных проекций тех же точек к следу Q«.
Отмечаем точки пересечения du ai9 bl9 сх и замечаем, что точки Ьх и сх сливаются в одну (blt сt).
Соединяем полученные проекции вершин треугольника aíf Ьи сх прямыми линиями и получаем проекцио данного треугольника в виде прямой линии ai61(í;1), что и следовало ожидать по условиям выбора плоскости проекций Q.
Опускаем далее перпендикуляр из точки dx на проекцию треугольника ахЬхсх и отмечаем точку его встречи k с плоскостью треугольника. Отрезок перпендикуляра dxk и будет искомым расстоянием точки D до плоскости треугольника ABC.
Пример 6. Определить рассто шие точки А (а, а') до плоскости Q, заданной следами QH, Qv, (черт. 8).
Расстояние точки до плоскости опоеделяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки Л на пл iCKJCTb Q.
Проводим через данную точку ^а, а ) горизонтально проектирующую ялоскость (RH> Rv), одновременно перпендикулярную и к данной плоскости (Q* Qvh
Проектируем на выбранную плоскость R данную точку А и плоскость Q.
При таком выборе плоскости А? плоскость спроектируется на /? в внд^ прямой линии в силу их взаимной перпендикулярности.
Опускаем перпендикуляр из точки а' на; след /?£г и отм еч о ем то ч к у е г о встречи а/ со следом. Отмечаем также точки пересечения одноименных следов: т—пересечения следов и <3*, я'—пересечения следов и
Совмещаем затем плоскость Я с плоскостью Н вращением около следа /?н, определяем совмещенное положение следа вместе с точками на нем а^ и я/. Из точки а2' продолжаем перпендикуляр к до встречи его с одноименным перпендикуляром, проведенным из точки а к следу
и отмечаем точку их встречи ах как проекцию точки А на выбранной плоскости Л?.
Точку пх соединяем с точкой т, оставшейся неподвижной, и получаем проекцию (след) плоскости (2 на плоскости
Опускаем из точки а3 перпендикуляр на линию (след) шя/ и отмечаем точку к встречи его с линией тп' (с плоскостью <3).
Отрезок перпендикуляра ахк и будет искомой величиной расстояния точки А до плоскости <2.
Пример 7. Определить расстояние между двумя параллельными прямыми АВ и СО (черт. 9).
Для определения расстояния между данными прямыми спроектируем их на плоскость С}, перпендикулярную к ним, в силу чего прямые спроектн-руются в точки, а расстояние между ними—в натуральную величину.
Порядок решения задач и ход построения ясен из черт. 9 и не нуждается в особых пояснениях.
Пример 8. Определить кратчайшее расстояние между двумя скрещивающимися прямыми АВ и СО (черт. 10).
Кратчайшее расстояние между двумя скрещивающимися прямыми измеряется длиной перпендикуляра к обеим прямым.
Для решения задачи достаточно спроектировать обе прямые АВ и СО на плоскость <?, перпендикулярную к одной из прямых, например, АВ.
При таком расположении плоскости <2 прямая АВ спроектируется на нее в точку (а,—Ьх), а другая прямая СС> — в некоторую прямую Теперь достаточно из точки (ах— Ьх) опустить перпендикуляр на проекцию прямой схйх отметить точку встречи к с прямой схйх и отрезок ах(Ьх)к определит в натуральную величину кратчайшее расстояние между прямыми. Прямая аг (Ьл)к будет именно искомым перпендикуляром поэтому, что она оказывается параллельной плоскости <3, как сторона прямого угла, образованного с прямой ахЬ1У а следовательно, даст прямой угол и в точке к с другой прямой схйх.
Подробности построения ясны из черт. 10.
Примера 9. Определить расстояние между двумя паралельными плоскостями <2 и НУ заданными следами (<3«, <3^) и (/?«,/?*) (черт, 11).
Расстояние между параллельными плоскостями определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки, взятой на одной плоскости, до точки встречи этого перпендикуляра с другой плоскостью.
Для решения задачи спроектируем данные плоскости (<2*, и (/?«, на плоскость Т(ТН9 ТУ), перпендикулярную к данным плоскостям и к плоскости проекций Н.
Отмечаем точки пересечения одноименных следов пь (следов и Тн), тх (следов /?н и 7"«), пх (следов и 7^), я/ (следов и Ть).
Совмещаем затем плоскость Т с плоскостью Н, строим совмещеиный след Т0у вместе с точками на нем п{ и я/, которые и соединяем соответственно с неподвижными точками тп и тх прямыми линиями.
Полученные прямые тщ и тп* являются проекциями плоскости (2 (следами) на выбранной плоскости Т.
Взяв произвольную точку k на линии тп{ и опустив из нее перпендикуляр на линию тщ* в точку р, найдем искомое расстояние между' плоскостями Q и R в натуральную величину, равную kp. I
Пример 10. Повернуть данную точку k около оси АВ, произвольно расположенной в пространстве, до положения k69 находящегося на данном расстоянии Е от вертикальной плоскости проекций V (черт. 12).
Для решения задачи строим вспомогательную плоскость Q(Q«( проходящую через данную точку K(k,kf) и в то же время перпендикулярную к заданной оси вращения АВ (ab,a'bf).
Проектируем на выбранную плоскость Q данную точку (k, к') и ось вращения (ab,a'b'), в результате чего имеем две точки (аг — Ьх) и kx.
Вращаем точку kx около точки {ах — Ьх), как около центра, в направлении стрелки (черт. 12) до положения k2 на фронтали плоскости Q, проведенной на расстоянии Е (е) от плоскости V. Затем возвращаем плоскость Q в прежнее положение (Q*, точка кг переместится в направлении перпендикулярном' к следу QH в точку k3, расположенную на горизонтальной проекции заданной фронтали.
Вертикальная проекция точки kd! найдется на вертикальной проекции фронтали.
Решение подобной задачи другими методами начертательной геометрии получается более сложным.
Пример 11. Повернуть данную точку К около оси АВ, произвольно расположенной в пространстве, до положения /С3, находящегося на данном расстоянии D от горизонтальной плоскости проекции Н (черт. 13).
Порядок решения задачи аналогичен решению предыдущего примера с той только разницей, что вращение точки производится до совпадения ее с горизонталью плоскости Q, проведенной на данном расстоянии D(d') от плоскости проекции Н. Подробности произведенного построения ясны из черт. 13.
Призер 12. Повернуть отрезок прямой линии АВ около заданной оси JJf произвольно расположенной в пространстве на заданный угол (черт, 14)[
Предположим, что ось вращения JJ проходит через точку А прямой АВ.
Проводим плоскость Q (QHt Qv), перпендикулярную к направлению оси вращения JJ и проходящую через точку В.
Проектируем на выбранную плоскость QH ось JJ и прямую АВ.
Получаем на плоскости Q спроектированными ось J J и точку Л (а, а!), слившимися в одну точку аи iu ¿и а точку В (b,b') в точку Ьх.
Прямая АВ спроектировалась на плоскость Q в виде отрезка агЬх.
Поворачиваем отрезок ахЬх на угол равный заданному углу поворота, по направлению стрелки, около точки аи ix> ¿г, как центра вращения, в силу чего точка Ьх переместится в положение Ь2. Для нахождения нового положения точки В после поворота на угол оР на первоначальном эпюре, возвращаем плоскость Q в исходное положение. Точка Ь2 при этом также переместитсй в новое положение bZf располагаясь на соответствующей горизонтали Ь2пг\ проведенной через точку Ьг и занявшей положение bz, п, bz' п! в первоначальном положении плоскости Q.
При таком повороте точка Ь2 перемещается по линии b2bdJ перпендикулярной к горизонтальному следу Qh.
Проекции угла поворота будут а и а' {<Ьо1 ЬЪУ b'oi &'3), где (О^О/) точка встречи оси вращения JJ (ii, iri') с плоскостью Q.
Пример 13. Построить основание прямого кругового конуса при заданной высоте его SO(so, s'o') (черт. 15).
Строим плоскость Q (QHt Qv), проходящую через основание высоты конуса 0(0,0') и перпендикулярную к высоте конуса (so, s'o!).
Совмещаем плоскость Q с плоскостью проекций Н шнаходим проекции
.10 Изв. 1 ПИ, т. 78. 145
совмещенного центра Ои около которого описываем окружность данного радиуса, как натуральную величину основания кругового прямЛю конуса.
Делим окружность на равные части, например 12, через точки деления проводим горизонтали и перпендикуляры к совмещенному положению вертикального следа плоскости (?.
Возвращаем плоскость <2 в первоначальное положение, проводим в ней построенные горизонтали и перпендикуляры к первоначальному положению следа (¿V через те же точки.
Отмечаем точки пересечения вертикальных проекций горизонталей с перпендикулярами к <3*,— I7, 2', 3', 4', 5', 6', 7', 8', 9', 10', 11', 12', которые и соединяем плавной кривой, получая эллипс, как вертикальную проекцию основания конуса.
Отмечаем далее точки пересечения горизонтальных проекций горизонталей с перпендикулярами к следу (2«, проведенными из тех же точек деления круга 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
Соединяем найденные точки плавной кривой, получая горизонтальную проекцию (эллипс) основания конуса.
Пример 14. Построить аксонометрическое изображение призматического тела, данного в ортогональных проекциях на черт. 16.
Построение аксонометрических проекций с любыми, наперед заданными коэффициентами искажения, выбор направления проектирования, расположение аксонометрических осей при заданных коэффициентах разобрано подробно в работе автора „Аксонограф" (прибор для механического построения аксонометрических изображений механическим путем по двум ортогональным проекциям тела).
В указанной работе дана теория прибора, с помощью которого построение аксонометрических проекций ускоряется до 5 раз сравнительно с обычным построением.
Описание и пользование прибором изложено в библиотечке ТЭХСО за № 939/21 — 1942, серия 26. В настоящей статье дается только пример построения аксонометрических изображений на произвольно выбранн'ой ПЛОСКОСТИ <2.
Построение такого изображения ясно из черт. 16, на котором представлены две проекции угольника. Из всех точек данного тела проведены проектирующие лучи ортогонально к плоскости <2, как и в предыдущих примерах.
Проекции точек на плоскости <3 получены в виде точек пересечения перпендикуляров к соответствующим следам, опущенных из точек данных проекций тела.
Построение аксонометрического изображения тела легко уясняется при рассмотрении черт. 16 на примере построения проекций точек 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Соединяя полученные проекции точек прямыми линиями, получаем искомую аксонометрическую проекцию тела на плоскости (}.
Пример 15, 11остроить аксонометрическую проекцию тела произвольного очертания (черт 17).
В случае тела произвольного очертания, например, цилиндрической формы с ребрами, построение аксонометрического изображения производится по точкам, взятым в достаточном количестве на ортогональных проекциях тела. На черт. 17 показано подробно построение аксонометрии окружности основания цилиндра.
Для этой цели взят ряд точек на круге и по правилам, нам уже из вестньш, спроектирован на произвольно взятую плоскость (2.
Проекции точек на плоскости <2 затем соединяем плавной кривой дающей эллипс, как аксонометрическую проекцию круга.
Интересующихся теорией и подробностями построения таких изображений отсылаем к упомянутому выше труду автора—Аксонограф.
Пример 16. Построить собственную тень на шаре при заданном направлений лучей света 5(5,5') (черт. 18).
Для построения собственной тени на шаре при данном направлении лучей света (5,5') строится плоскость (2 перпендикулярная к на-
правлению лучей, на которую проектируется центр данного шара (01,0/) в точку о2.
Около точки ог описывается окружность радиусом данного шара, которая и будет проекцией линии на эпюре, разделяющей освещенную половину шара от неосвещенной, иначе линию касания проектирующего цилиндра к поверхности шара.
Разделим окружность на несколько равных частей, например 12, и переносим полученные точки на проекции шара.
Среди взятых точек необходимо иметь точки 1 и 7, на концах диаметра круга, параллельного вертикальному следу как дающие крайние верхнюю и нижнюю переходные точки тени вертикальной проекции шара. Точно так же точки 3 и 9 на диаметре окружности, параллельном горизонтальному следу плоскости как дающие крайние левую и правую переходные точки на горизонтальной проекции контура шара.
Имея в виду, что контур тени на шаре будет изображаться на проекциях в виде эллипсов, можно, кроме найденных четырех характерных точек 1, Г 3,3', 7,7', 9,9', легко отметить на проекциях шара симметричные, а именно точки 11, 11', 5,5'.
Найденных точек уже достаточно для построения контуров эллипсов теневой линии.
Если желательир определить и малые диаметры теневых эллипсов, то можно прибегнуть к построению дополнительной плоскости /?, которую рекомендуем провести как горизонтально проектирующую и на нее спроектировать шар в виде окружности диаметра 6', 12', равного диаметру данного шара с центром в точке о2.
На плоскости /? следует спроектировать также и направление светового луча в я/ и параллельно ему провести касательные линии к окружности 6/ и 12/ в точках 6/ и 12/, которые затем перенести на горизонтальную проекцию шара в точки 6 и 12 пересечения с продолжением линии 61 и 12ь параллельной направлению горизонтальной проекции луча 5. Подобным же образом находим точки 4' и 10' по вертикальной проекции теневого эллипса.
В случае необходимости получить еще ряд точек очертания теневых эллипсов, следует рассечь шар рядом горизонтально проектирующих плоскостей, проходящих через намеченные ранее точки на окружности плоскости (}. Спроектировать окружности, получившиеся от таких сечений шара, на плоскость /?, провести к ним касательные линии параллельна направлению 5/, а точки касания перенести на горизонтальную и вертикальную проекции шара, как показано на черт. 18.
Пример 17. Построить линию пересечения призмы ОЕЕО^^х и пира-миды БАВС (черт. 19).
Для решения поставленной задачи строим плоскость СЦС^н^), перпендикулярную к ребрам призмы ОЕРО^Е^.
Точку схода С}х следов можно взять произвольно на оси ОХ.
Проектируем данную призму и пирамиду на выбранную плоскость Р и получаем проекцию призмы в виде треугольника (12е2/г и пирамиды в виде фигуры 5\<хлЬ{сх.
Отмечаем на полученных фигурах точки входа и выхода ребер пирамиды в теле призмы:
у ребра —точки 1, и 2Ь у ребра 5! Ъх — точки Зх и 41? у ребра 51с1— точки 5! и 6Х.
Переносим найденные точки на горизонтальную проекцию пирамиды в точки 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Далее замечаем по проекциям тел на плоскости Q, что ребро призмы DO (точка d2) пересекает грани пирамиды SAB^a^) и SAC^a^). Для нахождения точек встречи ребра DDX с указанными гранями пирамиды продолжаем плоскость грани призмы DDX ЕХЕ до пересечения с ребром пирамиды 5хаг в точке 7, что выполнено на плоскости Q.
Переносим полученную точку на горизонтальную проекцию ребра sa и соединяем точку 7 с точками 3 и 5 ребер sa>sc, получая, таким образом, линии пересечения грани призмы DDXEXE с гранями пирамиды SAB и SAC - 37 и 57-
Отмечаем на этих линиях точки 8 и 9 встречи ребра со сторонами 37 и 57 фигуры сечения, которые и будут искомыми точками входа и выхода ребра призмы DDX в гранях пирамиды.
Теперь соединяем по общеизвестным правилам полученные точки входа и выхода ребер каждого тела на гранях другого и получаем две замкнутые фигуры линий пересечения тел 2—4—6 и 1—8—3—5—9.
Остается найденные точки перенести на вертикальные проекции фигур и получить очерки 2'—4'—б' и Г—8'—3'—5'—9', линии пересечения на плоскости V.
Пример 18. Построить линию пересечения конуса и цилиндра, заданных своими проекциями на плоскостях Н и V (черт. 20).
Как и в предыдущем примере, строим вспомогательную плоскость Q(QM, располагая ее перпендикулярно к оси цилиндра ОхО^ На плоскость Q проектируем цилиндр и конус, получая проекцию цилиндра в виде эллипса гх тх их qx tx gx п1у проекцию круга основания конуса в виде эллипса ах кг dx fx сх 1г Ъх ех и проекцию вершины конуса в виде ТОЧКИ Si.
Для построения линии пересечения поверхностей - цилиндра и конуса проводим на новой проекции конуса ряд образующих и пересекающих фигуру эллипса rx тг их qx tx gx nt.
Переносим затем эти образующие на горизонтальную проекцию конуса, например образующие $х 10, sx bu sx lXf sx clt sx ft ,sx di9 sx kx> причем обязательно следует брать образующие на конусе, касательные к контуру проекции цилиндра на, плоскости Q, как например, образующую sxt0) касающуюся эллипса rx тх их qx tx gx пх в точке li.
Точка 1 важна потому, что в ней должен произойти поворот кривой линии пересечения (точка 1—на горизонтальной проекции конуса).
Далее точки 1 образующих на конусе проводить не следует, так как они не пересекают уже тела цилиндра.
Таким образом найдены точки входа и выхода ряда образующих конуса на поверхности цилиндра, например, I t—2Х—3i и т. д., которые затем перенесены на соответствующие образующие конуса на горизонтальной, проекции, а после уже и на вертикальную проекцию.
Полученные точки соединены плавной кривой с учетом ее видимости и в предположении, что цилиндр остается неповрежденным.
Применение метода наивыгоднейшего проектирования на одну плоскость значительно упрощает построение линий пересечения тел во многих случаях практики.
Приведенных примеров вполне достаточно, чтобы можно было судить о положительных сторонах предложенного метода, имеющего преимущества перед существующими до сих пор в теории начертательной геометрии.
Остается только предложенный метод применить к решению и других задач, не разобранных еще в настоящей статье и исследовать его выгодность более широко.
¿/ергп, &
©
