CC BY
7ТЕОР1Я I ПРАКТИКА НАБЛИЖЕНИХ ОБЧИСЛЕНЬ В ЕКОНОМ1ЧНИХ РОЗРАХУНКАХ
О.Б.Шевельова, ст. викладач,
Буковинська державна фтансова академiя,
м.Кшв, УКРА1НА
Обхрунтовуеться необх1дн1сть знань фахгвцями-економгстами теорИ та практики наближених обчислень.
EKOHOMi4Ha шформащя виражаеться в OTcreMi показниюв. Показники, як i поняття, неповно вiдображають реальш процеси, лише наближаючись до ютин-ного вiдображення дiйсностi. Здебшь-шого рiзноманiтнi економiчнi дисципль ни розглядають перебiг економiчних явищ якiсно. Але математичш методи все бiльше i бiльше проникають в нема-тематичш економiчнi науки.
Вiдомий такий факт, що переважна частина Нобелевських премш з економь ки, що вперше стали присуджуватись i3 1969 року, надана саме за роботи еконо-шко-математичного спрямування, а дос-лщження характеру робiт з економiчноi теорп, що реферувалися в "American Economic Review" у 70-т роки та на початку 80-их рокiв, показало, що роботи з математично'1' економши та економет-рики зайняли пашвне становище у науко-вих дослщженнях в порiвняннi з минули-ми часами. В той же час статей емтрич-ного характеру або статей, де дослщжу-ються конкретш проблеми iз звичайним iнструментально-описовим тдходом, зяв-ляеться все менше.
Широке використання математики для розвязання рiзноманiтних задач практики - характерна риса нашого часу. Там, де панував якiсний аналiз, зараз застосову-ють математичнi методи, i результатом цього е бiльш глибоке проникнення в процеси природи, техшки, економiки, оргаш-зацп виробництва.
Як результат зявляеться можливiсть тзнати явище не тiльки якiсно, але i кiлькiсно. Числом та вимiром. Як зазна-чав Б.В.Гнеденко, «теперь, когда чело-
вечество подходит к пониманию того, как ограничены природные ресурсы, во весь рост встает проблема экономичного (оптимального) их использования. Но как найти самый экономичный путь. Одними качественными соображениями этого вопроса не решить. Здесь необходим точный количественный под-ход.»[2; с.174].
Щоб можна було математичними методами проводити дослщження еконо-мiчних явищ, вводяться певш математичш величини - показники. З цими по-казниками при побудовi та дослщженш математичних моделей виконують вели-ку кшьюсть обчислень.
Знання точносгi та надшносп резуль-татiв обчислень, якщо вони використо-вуються для прийняття рiшень, необхiдно для:
1) вибору ршення з урахуванням достовiрностi отримано'' шформацп;
2) створення необхiдних резервiв та надлишкiв в звязку з ймовiрною похиб-кою результату обчислень;
3) оцiнки важливосп переваг мiж показниками (при виборi варiантiв, ана-лiзу динамiки та ш.);
4) розмежування вiдхилень вщ нормативного рiвня, якi знаходяться в межах допуску розрахунку або вказують на т або iншi порушення цього рiвня;
5) порiвняння рiзних методiв розра-хунюв та вибору методу, який забезпе-чуе економiчно обгрунтоване для задано'' задачi точнiсть та надшшсть розра-хункiв, якщо результат мае велику похибку;
(во)
6) рацiонального проектування та завантаження технiчних засобiв вимiрю-вання, прийому, передачi, обробки та збереження економiчноi шформацп.
Зрозумiло, що якщо результат обчис-лень використовусться в науковому дос-лiдженнi, зокрема економiчному, то його точнiсть та надшшсть е одним з показ-никiв не протирiччя гiпотез i теорiй реальним даним.
Крiм цього в економщ ж будь якi вiдхилення вщ необхiдних реальних показникiв повязаш з економiчними втратами. Недостатня точнiсть розра-хункiв може привести до диспропорцп в економiцi краши. Надлишкова точшсть здорожуе економiчнi обчислення.
Отже, в економiчних розрахунках як i в техшчних, за влучним висловленням О.М.Крилова: кожна не правильна цифра - це помилка, будь-яка зайва цифра -це тв помилки.
Як вщомо застосування математич-них методiв до розвязання практичних задач складаеться з трьох етатв:
1) побудова математично'' моделi, яка повинна бути адекватна задач^ що розв'язуеться;
2) внутрiшньомодельне розвязан-ня, для цього потрiбно вибрати необхщ-ш математичнi методи, якi б надали можливють рацiонально та правильно розвязати побудовану модель;
3) iнтерпретацiя одержаного мате-матичного результату, тобто встанов-лення його зв'язку з вихщними даними.
Для побудови вщповщно'' матема-тично'' моделi потрiбно здшснити вибiр множини показникiв (параметрiв), яю впливають на перебiг процесу, що дослщ-жуеться, вони е не точними значениями величин, а наближеними. Крiм цього дос-лiджения математично'1' моделi в явному виглядi в бшьшосп випадюв неможлива, тому застосовують наближенi методи розвязання.
При цьому виникае ряд питань. Як вибрати наближений метод розвязання поставлено'1 задачi? Яка буде при цьому похибка отриманого наближеного роз-вязку, тобто на сюльки адекватний вiн буде дшсносп? Як охарактеризувати
похибку наближених значень величин, тобто мiру 1'х вiдхилення вiд вщповщ-них точних значень? Як оцiнити похиб-ку результат обчислень? Яку можна допустити похибку наближених значень чисел, щоб в результатi виконання арифметичних операцiй над ними отри-мати похибку не дуже велику? Як най-бшьш рацiонально виконувати дп з наближеними значеннями чисел i величин?
При застосуванш математичних ме-тодiв до розв язання задач можуть ви-никнути похибки рiзного характеру:
1) при складанш математичних моделей якого-небудь явища, процесу шо-дi потрiбно приймати деякi умови, яю спрощують задачу. Тобто, математичне формулювання задачi не точно вщобра-жае дiйснi явища, а лише дае деяку щеа-лiзовану картину, при цьому виникае похибка постановки задача
2) бувае, що в юнуючш постановщ задачу розв'язати важко, а iнодi i немож-ливо. Тодi застосовують методи наближеного розв'язання задачi, тобто дану задачу замiнюють iншою задачею, розв'язання яко'1 в деякому змют близьке до розв'язання дано'1 задачь Похибку, яка вини-кае при цьому, називають похибкою методу. Вказати величину або дати оцшку похибки методу в загальному випадку не можна. Це питання повинно дослщжува-тись в кожному конкретному методi для розвязання того чи шшого по можливос-тi широкого класу задач, а iнодi i в застосуванш до розв'язання окремо'1 задачь
3) похибка може бути викликана тим, що при обчислюваннях виникае потреба виконувати дп над наближеними, а не точними значеннями параметрiв, яю вхо-дять в математичну формулу. Похибка таких початкових даних (початкова по-хибка) звичайно частково буде перенесена на результат. Таку похибку усунути не можна, 11' називають - похибкою дiй. За допомогою методiв математичного аналiзу можливо знайти величину абсолютно'' та вщносно! похибок, якi харак-теризують похибку дш.
4)похибка виникае при округленш нескiнчених i скiнчених десяткових дро-бiв, якi мають велику юльюсть значу-
©
щих цифр або десяткових знаюв, шж потрiбно при тдрахунках. Така похибка називаеться - похибкою округлення (обчислювальною похибкою).
Таким чином, похибка результату складаеться з похибок, яю виникають з рiзних причин.
Серед перелiчених похибок тшьки похибка округлення е такою яку можна усунути.
Тому, при застосуванш математич-них методiв до дослiдження рiзноманiт-них економiчних процесiв та явищ, потрiбно намагатися зменшити похибку округлення так щоб вона не домiнувала над похибками шших видiв, а складала по можливосп меншу частину вiд вае! похибки.
В дiяльностi економiста, фiнансиста, його основна робота аналiз, прогнозу-вання, висновки. При цьому рiзноманiт-ш пiдрахунки можливо та потрiбно вщ-дати на виконання компьютеру.
Подготовка фахiвцiв з економiки вклю-чае вивчення певних програмних продук-■пв, яю використовуються в бухгалтер^', банювськш справi i т.п. Використання комп'ютер1в - це допомога в оргашзаци рiзноманiтних розрахункiв.
При цьому, якщо пам ятати, що компьютер не вмiе працювати з наближеними значеннями величин, виникае необхщ-нiсть, що б фаивець володiв знаннями оцшки похибок обчислень, шг проанаш-зувати точнють результатiв.
В сучасних програмах юнуе функцiя, де можна встановити необхщну точ-нiсть обчислень. Хоча на практищ бшь-шiсть користувачiв цiею можливiстю не користуеться, тому що не знають або не розум^ть важливосп врахування точ-ност обчислень.
Досить рiдко, але зус^чаються по-вiдомлення, про помилки в комп'ютер-них розрахунках, наслiдками яких були авари та катастрофи. На сайт [3] наведений список аварш та катастроф з багатомшардними збитками та людсь-кими жертвами, яю доведено повязаш з недолшами юнуючо'' технологи комп'ю-терних обчислень (вибух ракети
„ApiaH" пiд час запуску, загибель норвежсько'1 платформи та ш.).
Як може зявитися помилка? При об-pобцi числових даних компютер вико-ристовуе цiлi або ращональш числа (скiнченi десятковi дроби). А дшсш числа, а тим бшьше нaближенi значения величин - розглядае як знову ж цш або paцiонaльнi, не враховуючи точност округлення, або точностi вимipювaння. I тому можливi тaкi ситуаци (помилки).
Якщо розглянути числа a = 2.500 та b = 2.5, то за теоpiею наближених обчислень a Ф b, а для компьютера цi числа piвнi.
Ще приклад. Число 1.5(0) е перю-дичним десятковим дробом, а для компьютера - це ращональне число -
1.5(0) = 1.5 = —.
10
Розглянемо iншi ситуаци.
Нехай a = 0.1 та b = 0.3 наближеш значення з одним значущим розрядом. Знайдемо ix частку допомогою програ-ми «Калькулятор» яка е стандартною програмою Windows IP:
a = — = 0,333333333333333333333333333333333 b 0.3
Застосуемо теор^ наближених обчислень для знаходження ща частки. Як вщомо a = 0.1 ± 0.05, b = 0.3 ± 0.05 .
За методом меж маемо:
0.05 < a < 0.15, 0.25 < b < 0.35.
„.111
Тодi-<-<■
0.35 Ь 0.25
0.05 а 0.15
-< — <-,
0.25 Ь 0.25
0.(142857) < ЬЬ < 0.6.
Отже отриманий результат за допо-могою компьютера не мае жодно'' правильно'' цифри.
Такий приклад м^ виникнути i в реальнiй практичнш задачi, i стати основою подальших складних обчис-лень i дати остаточно результат, який не мае нi якого змiсту.
Розглянемо ще одну компьютер ну помилку яку не можна знайти. Ця по-милка виникае при знаходженш рiзницi близьких чисел. Задаш два числа
а = 3.00, Ь = 3.01 (похибка мiж ними на рiвнi похибки вимiрювання або розра-хункiв). Знайдемо 'х рiзницю Ь - а = 0.01.
Ощнимо отриманий результат.
а = 3.00 ± 0.005,
ва = - 0.1 7% .
а 3.00
Ь = 3.01 ± 0.005,
вь = 0.005 - 0.17»%. ь 3.01
а - Ь = 0.01 ± 0.01,
ва _ь = О-ОО = 100%. ь 0.01
Отже помилка збiльшуеться в 5,9 раз.
Тобто отриманий результат шякого реального змюту не несе. Потим це число входить в склад коефщенпв рiвнянь, в дiльник i т.п. - використовуеться в iнших обчисленнях. Можливо ^льки уявити який результат, в юнщ можна отримати, та яке вiдношення вiн буде мати до реальность
Крiм цього необхщно пам ятати, що сучасна компьютерна технология не дае можливосп вщслщковувати та знаходити таю помилки, таю числа (0,01) зразу ж перетворюються компьютером в стандар-тний вигляд 1,00 -10-2 (число з плаваю-чою комою) [4].
Як вщомо, людина працюе ефектив-шше, якщо вона озброена сучасними iнформацiйними технологиями.
Але iнодi щ технологи можуть й пiдвесги.
Отже економiст повинен бути знайо-мий з теорiею наближених обчислень, щоб вiн шг реально оцiнити точнiсть результата обчислень.
Основна мета вивчення наближених обчислень у вузах, яю готують фахiвцiв -економiстiв - забезпечити оволодiння знаннями i умшнями виконувати рацю-нально i правильно наближеш обчислення i оцiнювати точнють одержаного результату.
Безперечно, студенти повиннi з самого початку привчатися до ращонального проведення обчислень. Крiм того основнi принципи й правила теори наближених
обчислень являють собою конкретну базу, яка при правильному використанш 'й викладачем може ютотно полегшити студентам засвоення фундаментальних понять математичного аналiзу (поняття iрра-цiонального числа та гранищ функцй, поняття еквiвалентних несюнченно малих, поняття диференцiала та ^еграла то що). Важливо також щоб на старших курсах при вивченш фахових дисциплiн зверта-лась увага на правила виконання обчис-лень з показниками та аналiзувалась точ-нють отриманих результат1в.
Важливим фактором необхщносп досконалого володiння навичками i умшнями наближених обчислень е i те, що це значно скорочуе та спрощуе обчислення, забезпечуе належну точ-шсть одержаного результата.
Пщготовка спецiалiстiв економiчно-го спрямування передбачае грунтовш знання з математики в цшому, та зокре-ма високу обчислювальну культуру, яка включае в себе мщш знання та навички теорп i практики наближених обчислень, вмшня 'х застосовувати в май-бутнiй професiйнiй дiяльностi.
Коли б студенти ще з школи були знайомi на належному рiвнi з елемен-тами наближених обчислень хоча би в тому обсяз^ який визначений шкшьною програмою з математики. Але констату-ючий експеримент засвiдчив, що рiвень знань i умiнь випускникiв загальноос-вiтньоi школи незадовiльний, що зава-жае формувати високий рiвень обчис-лювально'' культури в закладах вищо'' освiти.
Як наслiдок такого стану вивчення наближених обчислень в штш, сьогод-нi студенти ВНЗ, зокрема спещальнос-тей економiчного спрямування не мають необхщних знань з теорп та практики наближених обчислень. Мож-на додати, що не тшьки студенти, а i викладачi загальноекономiчних та про-фесiйно спрямованих дисциплш не звертають уваги на правильшсть вико-нання наближених обчислень, не аналь зують точнiсть (похибку) результа^в. I причина не в не бажанш це робити, а в незнанш.
Дисциплша "Вища математика" е нормативною в тдготовщ спещалютв економiчного профшю. Традицiйно про-грама курсу дисциплши включае роздь ли: лшшна алгебра, аналiтична геомет-рiя, диференщальне числення, ште-гральне числення, диференщальш рiв-няння, ряди. В програмi майже не згаду-ються та не передбачаються наближеш обчислення при розвязуванш не тiльки математичних задач, але i задач еконо-мiчного змiсту.
На даний момент в кура "Вищо' математики" для студенпв економiчних спецiальностей розглядаються еконо-мiчнi змiсти математичних понять, приклади застосування математичних моделей до економiчних процесiв (без штерпретаци числових розвязюв).
Разом з тим нще не вiдмiчаеться, що необхiдно тдвищувати обчислювальну культуру студентiв економiчних спе-цiальностей, дати 1'м мiцнi знання з теорп та практики наближених обчис-лень. Адже показники в економiчних розрахунках е наближенi величини. Наукових роб^, грунтовних дослiджень з цього питання на рiвнi сучасних вимог немае.
Сьогодш можна сказати, що зм^ i методи навчання студенпв ВНЗ економiч-них спецiальностей наближеним обчис-ленням залишаеться недостатньо роз-робленою. Вщсутня цiлiсна методична
система навчання студентiв економ1чних спещальностей методам i засобам наближених обчислень, яка б включала: мету, зм^, методи, прийоми, оргашзацшш форми i засоби навчання, враховувала наступнють при вивченнi наближених обчислень в школi та ВНЗ.
Враховуючи вищевикладене можна зазначити, що юнуе протирiччя мiж ви-могами сьогодення до тдготовки спеща-лiстiв економiчних спецiальностей наближеним обчисленням з одного боку, з шшо-го вщсутносп цшюно! методично! систе-ми навчання наближеним обчисленням, яка б вщповщала сучасним вимогам. Саме юнування цього протирiччя обумовило тему дослщження „Методична система навчання наближених обчислень бакалав-рiв та мапстрв з економiки".
Як зазначав А.М.Крилов ".. .в приложениях обыкновенно интересует не процесс вычисления, а результат его; поэтому и стараются получить этот результат с достаточной точностью при наименьшей затрате труда и времени"[1].
1. Крылов А.Н. Лекции о приближенных вычислениях. -М., 1954.
2. Гнеденко Б.В. Математическое образование в вузах. - М. : Высшая школа, 1981.
3. www. ima. umn. edul/~arnold/disasters. html.
4. www.yur. ru/science/computer/TakoiKomput er.htm.
Резюме. Шевелёва О.Б. ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЕКОНОМИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ. В работе обосновывается необходимость знания теории и практики приближенных вычислений студентами экономических специальностей.
Summary. Sheveljova O. THEORY AND PRACTICE OF APPROXIMATE CALCULATIONS IN ECONOMIC RECKONING. The necessity of theory and practice knowledge of approximate calculations by economists is grounded in the paper.
Надшшла до редакцп 13.07.2006р.
