CC BY
11Теоретическое обоснование расчета металлических резервуаров, используемых в строительстве
и ы
а
а
«
а б
Антоненко Надежда Александровна,
к.т.н., зав. кафедрой «Промышленное и гражданское строительство» Рязанский институт (филиал) Московского политехнического университета, nadegdaantonenko@yandex.ru
Иванкина Ольга Петровна,
к.т.н., доцент кафедры «Промышленное и гражданское строительство», Рязанский институт (филиал) Московского политехнического университета
Кущев Иван Евгеньевич,
д.т.н., преподаватель кафедры Бронетанковой техники, Рязанское высшее воздушно-десантное командное училище им. генерала армии В.Ф. Маргелова
В статье приведена краткая характеристика тонкостенных резервуаров, используемых в строительстве. В качестве основных гипотез при проектировании прочностных моделей стенок контейнера используют две стандартные, которые основываются на том, что толщина стенок мала по сравнению с их размерами в плане. Первая гипотеза, принадлежащая Кирхгофу, утверждает, что нормаль к срединной поверхности оболочки остаётся нормалью к ней и после деформации. Вторая гипотеза утверждает, что напряженное состояние в точках пластинки является двуосным; нормальными и касательными напряжениями в площадках, перпендикулярными оси z, можно пренебречь Рассмотрен пример определения прогиба прямоугольной крышки резервуара. Получено разрешающее уравнение, решение которого позволяет определить неизвестные параметры задачи. Краевые условия определены в отсутствии прогибов и изгибающих моментов по краям крышки.
Резервуары прямоугольной формы наиболее удобные с точки зрения их складирования, поэтому изучение деформаций прямоугольных оснований, крышек и боковин является наиболее актуальным.
Ключевые слова: строительство, резервуар, деформация, напряженное состояние, пластина, основание, сварочный шов, гипотеза.
В строительстве для хранения нефти и нефтепродуктов, технических спиртов, аммиачной воды, жидкого сырья, сжиженных газов, воды широко используются цилиндрические вертикальные или горизонтальные резервуары различного поперечного сечения и объема (рис. 1).
а - резервуар вертикальный стальной цилиндрический, б - резервуар квадратный.
Рисунок 1 - Резервуар вертикальный стальной цилиндрический, квадратный
Популярность резервуаров обусловлена их приемлемой стоимостью, быстротой изготовления и простотой в эксплуатации. Конструкции рассчитаны на различное рабочее давление и изготавливаются из качественных сталей. Форма резервуаров для той или иной системы выбирается с учетом требуемого объема, удобства изготовления, перевозки и монтажа, эксплуатационных особенностей и др.
Верхний, нижний и боковые элементы резервуаров могут использоваться в качестве датчиков технологического процесса, который происходит внутри ёмкости. В процессе теоретических исследований эти поверхности следует рассматривать как тонкостенные пластины, толщина которых мала по сравнению с шириной и высотой. В состояние покоя (без материалов) срединная поверхность такого элемента - плоская, но при выполнении технологического процесса она может деформироваться, как наружу -при укладке материалов, так и внутрь - при ва-кууммировании для хранения.
Резервуары различают по форме срединной поверхности основания или крышки, которые в плане бывают круглые и прямоугольные (рис. 2).
Рисунок 2 - Расчетные модели круглых и прямоугольных оснований резервуаров
Значительно реже используются модели в виде треугольных, шестиугольных, овальных и других форм.
Наиболее слабым местом, как показала практика, у тонкостенных резервуаров является основание.
В зависимости от относительной толщины основания контейнеров (h/R, h/a) различают тонкие (h/R < 0,1) и толстые пластинки (плиты) (h/R > 0,4).
Учитывая незначительную величину сварочных швов по отношению к величине стенок, в расчете будем рассматривать прочностные модели тонких стенок. В качестве основных гипотез при проектировании прочностных моделей стенок контейнера используют две стандартные, которые основываются на том, что толщина стенок мала по сравнению с их размерами в плане.
Первая гипотеза, принадлежащая Кирхгофу, утверждает, что нормаль к срединной поверхности (плоскости) оболочки остаётся нормалью к ней и после деформации [1].
Вторая гипотеза утверждает, что напряженное состояние в точках пластинки является дву-осным; нормальными и касательными напряжениями в площадках, перпендикулярными оси z, можно пренебречь [1].
Рассмотрим прямоугольное основание резервуара, отнесенное к системе координат х, y, z (рисунок 3). Элемент поверхности после деформации показан на рисунке 4. Точка А0 до
деформации лежит в срединной плоскости, после деформации она получает смещения и0, v0, ^о = w. Точка А, отстоящая на расстояние г от точки А0, после деформации переместится и точку А*. Угол поворота «жесткости нормали» (гипотеза Кирхгофа) имеет составляющие фх и фу в координатных плоскостях.
Рисунок 3 - Изгиб прямоугольного основания
Рисунок 4 - Деформации изгиба прямоугольного основания при вакуумировании емкости
Перемещения произвольной точки основания (точка А) равны
и = и0 + zçx, V = v0 + 2pv, w = w0,
(1)
*0 ' "У Фу, " —
где и0, и0, w0 - смещения точки А0, лежащей в срединной плоскости.
Ввиду малости деформацией в направлении нормали пренебрегаем. В соответствии с формулами для деформаций имеем:
ды дфх ду дфу
Г.
Sx ~ Sx + ' -
dx dx
du dv xy =~ty +~dx =Yxy 0 + Z'
dy dy
dVx. + db
dy dx
(2)
где
£x0
du0
£y 0
dv0
Yxy0
du0 + dv0
dx dy dy dx
- деформации в срединной плоскости пластинки.
О В
£
В
m fi H
Ы
а
Учитывая,что:
8 w
Px =
8w
Py ■
8x ' 'y 8y получим следующие зависимости:
(3)
sx = sx0 -z■-
Уxy Уxy0
- 2 ■ z ■-
82w ~8хГ'' 82 w
82 w
s = s 0 - z ■
y y0
8y2
8x8y'
(4)
Предполагается, что напряженное состояние является плоским. Пренебрегая для простоты температурной деформацией, получим:
= ~Е2 { + М- е у I = £ +М-ех)
1-M¿
1-M¿
!■ (i) Внося в (5) равенства (4), получим:
(5)
a=a„n- z ■
E i 82w 82w
И T-Т +
i - л у 8x E
f 82 w
i-Л
8у 2
8y2 82 w ^
8x2
= Txy0 -z-л)-
82 w
(6)
i - ¡л2 8x8y ' где ax0, oy0, тху0 - нормальные и касательные напряжения в срединной плоскости пластинки, которые определяются по равенствам (5) для значений txo, £yo, Yxyo.
Рассмотрим силовые факторы в сечениях прямоугольной пластинки.
В слое dz (рисунок 5) действуют нормальные (стх, ay) и касательные (тху) напряжения, которые создают усилия и моменты на единицу длины:
Рисунок 5 - Силовые факторы в сечении основания
Nx = j*x ■ dz, Ny = ¡ay ■ dz,
h 2
h 2
s
«
a б
= a
h 2
N = ¡t ■ dz,
xy J xy ' h
(7)
2 2 Mx = - ¡ax ■ z ■ dz, My = -¡ay ■ z ■ dz,
My =¡
Txy ■ z ■ dz,
Ny = ay ■ h = Ny0,
Подставляя значения ох, оу и тху из формул (6), найдём формулы для определения усилий в срединной плоскости:
N = °хо • И = Ях0-. Хху = *хуо • И = Ххуо,
Для изгибающих и крутящих моментов получим:
24 (8)
т., г, i 82w 82w
МУ = D ■
f82w
82w ^
8y■
Mxy =(i-/u)D
2 +Л 8x2
f 8 ? >
(9)
/
8x8y
(10)
где жесткость (единицы длины) пластинки определяется из выражения:
И
" ЕИ3 (11)
12-{1-у ''
D =■
E ¡ z2 <k= Eh
i-Л2 {z ^ 12 )
Отметим очевидное свойство парности касательных напряжений:
Т
т,
ху ух
и вытекающие из него условия для касательных усилий и крутящих моментов: Ыху = Ыух
Му = мух
Рассмотрим условия равновесия элемента прямоугольной пластинки. На рисунке 5 показаны усилия и моменты, действующие на грани элемента пластинки. Рассматривая равновесие сил по осям X и У, приходим к следующим уравнениям [4]
8Nx 8N
8x
+
xy
8N.
xy
8y
8Ny
= 0
+-
= 0
(12)
(13)
дх ду
Условие равновесия сил по оси 2 определяет уравнение:
8a, 8Qy
+ —y = q,
8x 8y
(14)
h
h
cry=cry 0- z
Условие равновесия для моментов приводит к двум уравнениям:
дМ дМ,
дх
дМу
- + -
ху
ду дМ
+ 0* = 0
+О=0
(15)
(16)
дх ду
Пять условий равновесия (12 + 16) характеризуют равновесие элемента пластинки. Шестое уравнение равновесия относительно оси 7 приводит к уже известному результату:
= Хух (17)
Рассмотрим разрешающие уравнения для крышки прямоугольного резервуара при вакуу-мировании. Ранее были рассмотрены три группы уравнений: геометрические уравнения (1 + 4), описывающие геометрию деформации пластинки; физические уравнения (5, 6), устанавливающие связь деформаций и напряжений; статистические уравнения равновесия (12 + 16).
Первая группа параметров: и0, ч0, £0, £уо, YXvo, №хо, Ny0, Мху0 - характеризует усилия и деформации в плоскости крышки, Уравнения равновесия будут удовлетворены, если будут выполнены равенства:
д Р д F х сх2' Уу Уху
д 2 Р д х д у
(18)
Используя уравнение совместности деформаций
д2Уху0
(19)
д2£х0_ +р2£х0
ду2 дх2 дхду
приходим к бигармоническому уравнению для функции усилий Р.
Усилия, напряжения и деформации в плоскости крышки определяются независимо от деформации изгиба.
Вторая группа параметров: Мх, Му, Мху, Ох, Оу - характеризует изгиб пластинки.
Разрешающее уравнение (уравнение, решение которого позволяет определить неизвестные параметры задачи) получается следующим образом. Дифференцируя уравнение (14) по х, уравнение (15) по у, затем складывая их, с (13) получим:
2
д2Мх 2 • дМ д М
ду2
- + -
дхду
-+-
дх2
■ = -д.
(20)
С учетом зависимостей (8 + 10) определяем равенство для крышки постоянной толщины:
д4 а + 2 •д4 А + д4 А ду4 дх 2ду2 дх4
Л
Б
(21)
Получим разрешающее уравнение изгиба крышки постоянной толщины. Представим его в упрощенном виде:
V4
Л
• w =--,
Б
(22)
5 4 „ 5 V д4 . где У = —- + 2—2—2 +--4- бигармониче-
ду дх ду дх
ский оператор.
Для определения прогибов и напряжений в крышке используем вариационный метод «Га-лёркина», в соответствии с которым прогиб определяется из выражения:
т
А2, у)=2 •£с щ (х у\
(23)
г=\
где ф, (х,у) - заранее выбранные функции, удовлетворяющие краевым условиям задачи;
с, - коэффициенты, подлежащие определению.
Коэффициенты, с ,найдем из системы уравнений:
а Ъ
Ц((4 • а)+ Б• щ .• dy = 0
0 0 Б
(,' = 1, 2, ..., т). (24)
Также система уравнений может быть представлена и в матричной форме:
А Ы={/ IА=11 ( 4 щ У^^у-
0 0
а Ъ
/у = Цл •щ •^•ф.
(25)
0 0
Точность вычислений возрастает при увеличении числа членов ряда.
В качестве примера определим прогиб крышки, шарнирно опертой по четырем сторонам (рисунок 6), при действии равномерно распределенного давления вакуума.
Рисунок 6 - Прямоугольная крышка, шарнирно опертая по четырем сторонам, под действием равномерно распределённого вакуума.
О
в
I» £
в
т П Н
+
Ы
а
Краевые условия определяем в отсутствии прогибов и изгибающих моментов по краям крышки. Этим условиям удовлетворяет функция [3]:
. Ж . Ж
w = c1 ■ sin--sin ■
, (26)
a b
При одном параметре из уравнений (26) определяем
Ц q ■ щ -dx-dy
С =
1 a b
(27)
DJ -V-dx-dy
В результате вычислений получим равенство:
а b а b ^ a ^ b 4 ^ ^
íí P ■dx^dy = íí sin — ■ sin — ■dx^dy = ísin — ■dx ísin — dx = —-r— 0 0 0 0 а b 0 а 0 b 77
Я" b _ , , f 7 7 )-ЬГ . 7x . 7У , , f 72 7 ) -■b PPP ■dx^dy = 1 — + — II Isin--sin — ■dx^dy = 1 — +— [ ——
00 У а b J 0 Ь а b Уа b J 4
(28)
Производим вычисления и получаем уравнение для прогибов крышки прямоугольного резервуара
16-q-a4 ■b4 . жх . жх w =--т-—--sin--sin—, (29)
a
b
ж8-(а2 + Ь2 )2-В
Знак минус означает, что прогиб направлен противоположно оси 2.
5
«
a
6
Вывод:
1. Резервуары прямоугольной формы наиболее удобные с точки зрения их складирования, поэтому изучение деформаций прямоугольных оснований, крышек и боковин является наиболее актуальным.
2. Расчет основания и крышки резервуара сводится в основном к решению к решению линейного дифференциального уравнения изогнутой упругой поверхности пластинки (21). Литература
1. Биргер И.А., Мавлютов Р.Р. Сопротивление материалов: Учебное пособие. - М.: Наука, 1986. -500 с.
2. Антоненко Н.А. Диссертация на тему: «Обоснование технологии и параметров вакууми-рованного контейнера для приготовления и хранения силоса» Рязанский институт (филиал) университета машиностроения, 2013. - С 256: ил.
3. Теребушко О. В. Основы теории упругости и пластичности. - М.: Высш. шк. 1989.
4. Варданян, Г.С. Сопротивление материалов с основами строительной механики / Г.В. Варданян, Н.М. Атаров, А.А. Горшков; под ред. Г.С. Варданяна -.М.: ИНФА - М.: Высшая школа, 2004. - 462 с.
Theoretical substantiation of calculation of metal tanks used in construction
Antonenko N.A., Ivankina O.P., Kushhev I.E.
Ryazan Institute (branch) of the Moscow Polytechnic University, Ryazan higher airborne troop command College. General of the Army V.f. margelov
The article gives a brief description of thin-walled tanks used in construction. As the main hypotheses in designing the strength models of container walls, two standard ones are used, which are based on the fact that the wall thickness is small in comparison with their plan dimensions. The first hypothesis, owned by Kirchhoff, asserts that the normal to the middle surface of the shell remains normal to it after deformation. The second hypothesis states that the stress state at the points of the plate is biaxial; normal and tangential stresses in areas perpendicular to the z axis can be neglected. An example of determining the deflection of a rectangular tank cover is considered. A resolving equation is obtained, the solution of which allows one to determine the unknown parameters of the problem. The boundary conditions are defined in the absence of deflections and bending moments along the edges of the cover.
Rectangular tanks are the most convenient from the point of view of their storage, so the study of deformations of rectangular bases, covers and sidewalls is most relevant.
Key words: construction, reservoir, deformation, stress state, plate, base, welding seam, hypothesis.
References
1. Birger I.A., Mavlyutov of R.R. Soprotivleniye of materials: Manual. - M.: Science, 1986.-500 pages.
2. Antonenko N.A. The thesis on a subject: "Justification of technology and parameters of the vacuumized container for preparation and storage of a silo" the Ryazan institute (branch) of the university of mechanical engineering, 2013. -With 256: silt.
3. Terebushko O. V. Bases of the theory of elasticity and plasticity. - M.: Vyssh. wk. 1989.
4. Vardanyan, G.S. Soprotivleniye of materials with fundamentals of construction mechanics / G.V. Vardanyan, N.M. Atarov, A.A. Gorshkov; under the editorship of G.S. Vardanyan -. M.: INFORMATION - M.: The higher school, 2004. - 462 pages.
0 0
