Теоретическое обоснование критерия эффективности извлечения ферромагнитных частиц из потока жидкости в электромагнитном сепараторе УМС-4М Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

но резкое снижение ее наблюдается при увеличении коэффициента сцепления до 1,2;

- расчет усилия прижима вальцов к поверхности лесоматериала следует выполнять с учетом силы самоприжима. Для исключения самоотжима во время обработки бревен максимальной толщины необходимо расстояние между центрами поворота рычагов назначать с учетом формулы (2);

- предложенные расчетные параметры могут использоваться при проектировании новой гаммы станков с гидроприводом.

Библиографический список

1. Побединский В.В., Берстенев А.В. Пневмо- и гидропривод в роторных окорочных станках // Вестник КрасГАУ. — 2012. — № 6(69). — С. 138-143.

2. Симонов М.Н. Теоретические основы механической окорки лесоматериалов и оптимизация параметров гаммы роторных окорочных станков: дис. ... д-ра техн. наук: 05.21.01. — М.: МЛТИ, 1980. — 389 с.

3. Симонов М.Н., Торговнинков Г.И. Окорочные станки. Устройство и эксплуатация. — М.: Лесн. пром-сть, 1990. — 182 с.

УДК 621.928 А.А. Евдокимов,

В.И. Чарыков

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ КРИТЕРИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИЗВЛЕЧЕНИЯ ФЕРРОМАГНИТНЫХ ЧАСТИЦ ИЗ ПОТОКА ЖИДКОСТИ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ СЕПАРАТОРЕ УМС-4М

Ключевые слова: критерий эффективности, дифференциальное уравнение, сила, ферромагнитная частица, жидкость, сетчатый фильтр, сепаратор.

Введение

Спрос на энергосберегающие технологии по утилизации и переработке отработанных жидкостей растет из года в год. В настоящее время на ремонтно-технических предприятиях (РТП) и станциях технического обслуживания сельскохозяйственной техники ежегодно вырабатывается большое количество смазочно-охлаждающей жидкости (СОЖ). В процессе функционирования СОЖ загрязняется механическими примесями (ферромагнитными частицами), соответственно, ухудшается стойкость инструмента и качество обрабатываемых деталей

[1].

В Курганской ГСХА разработан комплекс машин на основе электромагнитной сепарации для очистки пластичных, отработанных жидких материалов [2]. Отличительной осо-

бенностью этих установок является то, что зоны сепарации в них располагаются в замкнутых магнитных системах, работающих на постоянном токе. Для извлечения механических примесей (ферромагнитных частиц) используются концентраторы магнитного поля, имеющие различные конфигурации.

Последним изобретением является малогабаритная установка под условным названием УМС-4М, предназначенная для очистки отработанных СОЖ. В данной установке концентраторы магнитного поля выполнены в виде плотно спрессованных сетчатых фильтров.

Цель исследования — разработать теоретические положения по определению конструктивных параметров концентраторов магнитного поля (фильтров) в электромагнитном сепараторе УМС-4М.

Методика исследования

Для определения оптимальных параметров концентраторов магнитного поля

(фильтра) необходимо знать, какие силы действуют на ферромагнитную частицу в электромагнитном сепараторе. Под действием этих сил частица должна перемещаться к полюсным наконечникам и тот концентратор (фильтр), в котором это время перемещения к полюсным наконечникам наименьшее и будет оптимальным. Для определения этого времени необходимо составить дифференциальные уравнения движения частицы к полюсным наконечникам, на основе которых можно определить путь перемещения, а затем и время перемещения частицы под действием сил (рис.).

Рис. Принципиальная схема установки для очистки СОЖ и сил, действующих на ферромагнитную частицу:

1 — желоб (лоток); 2 — концентратор;

3 — ферромагнитная частица;

Fс — сила сопротивления среды;

Fк — сила сопротивления концентратора;

Fа - архимедова сила; Fм — магнитная сила; тд — сила тяжести

Жидкость течет тонким слоем И вдоль наклонного желоба 1 длиной I и шириной а. В желобе на концентраторе 2, выполненном в виде набора плоских ферромагнитных сеток, создается магнитное поле. Эффективность сепарации зависит от скорости течения жидкости и величины магнитного поля желоба.

Критерии эффективности выражаются в следующем виде:

іі > 2 (1) где і1 — время нахождения частицы в желобе, с;

і2 — время притяжения частиц, с.

Для использования критерия (1) необходимо знать закон движения частиц вдоль осей ОХ и ОУ.

Движения ферромагнитных частиц в магнитном поле вдоль оси ОХ. Известно, что существуют два различных вида движения жидкости: ламинарное и турбулентное.

Для определения режима течения жидкости в желобе используем критерий Рейнольдса [3]:

хар

К -

П (2) где рж — плотность жидкости, кг/м3;

V — скорость течения жидкости, м/с; ахар — характерный для поперечного сечения линейный размер, м;

П — коэффициент динамической вязкости, Н-с/м2.

Будем считать, что в желобе имеется установившийся режим течения жидкости, т.е. ламинарный. При установившемся режиме через любое поперечное сечение желоба с поперечным сечением 5 = Ьа за 1 с будет протекать одно и то же количество жидкости:

Q = Рж ■ Я ^ = Рж ■ Л • а ^ . (3)

Определяем скорость течения жидкости «V» из формулы (3):

б

V

Рж ■ И■а

(4)

Так как длина желоба равна I, то время притяжения ферромагнитной частицы в желобе при движении ее вдоль оси ОХ будет:

V

I рж ■ И ■ а ■ I

Q

(5)

Это значение времени пребывания частицы при ее движении вдоль оси ОХ мы и будем использовать.

Дифференциальное уравнение движения частиц в магнитном поле вдоль оси ОУ. При движении частиц вдоль оси ОУ на ферромагнитную частицу действуют: магнитная сила Fм, создаваемая магнитным полем в желобе и на концентраторе; сила сопротивления движению частиц Fс, создаваемая жидкостью, или, другими словами, внутреннее трение; сила сопротивления концентратора Fк, создаваемая ферромагнитными плотноспрессованными сетками концентратора; сила тяжести тд и архимедова сила Fa.

Магнитная сила Fм является основной силой, за счет которой происходит удаление ферромагнитных частиц из жидкости, определяется исходя из знания потенциальной энергии [4]:

К = - 8™^ > (6)

где \У — потенциальная энергия, Дж.

Потенциальная энергия магнитного поля, действующая на частицу объемом V, определяется по следующей формуле:

V ■ в2 2А ■М

(7)

где V,. — объем частицы, находящейся в магнитном поле, м3;

В — магнитная индукция, Тл; д — магнитная постоянная вакуума, Гн/м;

U — относительная магнитная проницаемость жидкости, Гн/м.

С учетом формулы (7) магнитная сила, действующая на частицу в магнитном поле, определяется следующим выражением:

V ■B2

FM = — grad ■ W = — grad-

2• Ао •А

У„

- grad • E2.

2 • д •д (8)

Поскольку нас интересует значение магнитной силы, действующей в направлении оси ОУ, то имеем следующее выражение:

V ёВ2 V - В ёВ

F =--

2 • До Д ёу д0 • д ёу (9)

Известно, что магнитная индукция в рабочей зоне электромагнитного сепаратора изменяется по экспоненциальному закону

[5]:

- ё1±

В = В • е ^

тах > (10)

где Втах — максимальное значение магнитной индукции, Тл;

61 — расстояние от точки измерения магнитной индукции до активного полюса, м;

6п — эмпирический коэффициент, м. Поскольку нас интересует значение магнитной силы ^м), действующей в направлении оси ОУ, подставив выражение магнитной индукции (10) в формулу (9), получим:

в_

2

У

dn • Ао А

•в:

_2У

dn

(11)

Определим остальные силы, действующие на ферромагнитную частицу.

Сила сопротивления среды ^с) проявляется как сила жидкого трения.

Опытами установлено, что при малых числах Рейнольдса Rе, т.е. при небольших скоростях движения, сопротивление среды, движущейся стационарно со скоростью, можно определить с помощью формулы Стокса [6]:

К = (12)

где п — коэффициент вязкой жидкости;

гг — характерный для поперечного сечения тела размер. Для тела круглой формы, т.е. для шара гг — радиус шара, м;

V — скорость движения тела в жидкости, м/с.

(14)

Помимо силы сопротивления среды действует еще одна сила сопротивления Fк — сила сопротивления движению частиц от концентратора магнитного поля. Эту силу разумно описывать формулой, аналогичной формуле Стокса:

К = к•п Ь и (13)

где к — коэффициент пропорциональности;

I — длина ячейки концентратора, м;

V — скорость движения частицы, м/с; При движении частицы вдоль оси ОУ на нее кроме силы сопротивления среды и силы сопротивления концентратора действуют еще сила тяжести частицы тд и архимедова сила Fа. Результирующая сила от силы тяжести и архимедовой силы равна:

т8 - Ка = К \Рг-Рж ) где V, — объем частицы, м3;

р , — плотность частицы, кг/м3; рж — плотность жидкости, кг/м3; д — ускорение свободного падения тела, д = 9,81 м/с2.

Проекция результирующей силы тяжести и архимедовой силы на ось ОУ будет:

(т8 - Ка )• С0а = К \Р-Рж )• £• С0а (15)

На основании второго закона Ньютона составим дифференциальное уравнение всех сил, действующих вдоль оси ОУ:

тЖу = -Кс -Кк + Уг(Р-Рж)8сада. (16)

Подставив все силы, действующие вдоль оси ОУ, в уравнение (16) и учитывая, что

Ж = у V = у

, а , получим следующее

дифференциальное уравнение:

my =

У

Ао 'А'd,

+К \Рг — Рж )g C0s«- (17)

После несложных преобразований уравнение (17) приводится к следующему виду:

У

- 2у

-•в2 •е dn +

max

ту + б • п • п • г • у + к п • I • у = ■

До Д

+ К '(Рг-Рж )) •С0аа (18)

Разделив правую и левую части уравнения (18) на массу частицы т и учитывая, что

Кг§ т , получим следующее дифференциальное уравнение:

E2

- 2У dn , •е n +

.. б пп •' . к п •[ .

у +------—- •у + —-—у =----—

т т т • д0 • д •ёп

+ (рг -РжУс^а- (19)

Дифференциальное уравнение (19) не имеет точного решения. Поэтому, чтобы можно было в дальнейшем анализировать

полученные результаты, разложим ряд и возьмем первые два члена ряда Получим следующее выражение:

_ 2у

е йп

е ЛП =

V

У у=0

Уу=0

У) + ••• =1 _~г у й

. (20)

2 У

йп

е п

Подставляя значения из формулы

(20) в уравнение (19), получим:

.. 6 пп ■ г . k п ■І .

У +-------— ■.у + —-—.У =

В2

_ 2У

а.

т ■ Мо ■ М ■ йп

1 _ Ту

+ (Рг _ Рж )-С08«.

(21)

После несложных преобразований получим:

.. 6^пп■г + кп■І . У +----—-------—У-

2вт

т

т ■ м0 ■ А ■ йп

■У =

в:

■ + {рг _РжУС°^а.

т ■ м0 ■ А ■ й Введем обозначения:

6■ п п • гг + к П'І

(22)

2Ь

2 в:

= с

в.

т

2

’ тМо •йп ■ + (Рг _Рж ) ' С0Э а = р.

т • До Д ёп Мы получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение:

у + 2 ь^у + у = р. (23)

Как известно, общее решение неоднородного дифференциального уравнения представляется как сумма общего решения

у

соответствующего однородного уравнения:

(24)

у + 2 •Ъ^у + су = 0, и какого-нибудь частного решения уравнения (23) у :

у =у + у' _ (25)

Найдем общее решение у однородного уравнения:

у + 2•Ъ^у + с2 • у = 0.

Для этого составим характеристическое

уравнение:

А2 + 2 ■ЬА + с2 = 0.

Найдем корни этого уравнения:

(26)

Лу2 =_ь ±л/Ь2_

(27)

Здесь возможны 3 случая:

1. Возможен случай, когда с > Ь, т.е. корни характеристического уравнения являются комплексными числами. В этом случае

\2 =-Ъ ± V с2 — Ъ2 =-Ъ ± 1г ,

=4сг_Ь2.

(28)

где

Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения (24) будет иметь вид:

У

е Ь [с1 ■ 8ЇП ■ ( г ■І ) + с2 ■ С08 ■ (г • І )] •

(29)

Величины с1 и с2 являются постоянными интегрирования и определяются из начальных условий.

2. Возможен случай, когда Ь = с.

В этом случае корни характеристического уравнения будут действительными крат-

Л2 =±ъ

ными числами, т. е. .

Общее решение однородного дифференциального уравнения (24) в этом случае будет иметь следующий вид:

У = е~Ы ■(с1 + с2 ^)•

'2 (30)

Как и в предыдущем случае постоянные интегрирования с1 и с2 находятся по начальным условиям.

3. Возможен случай, когда Ь > с.

Ъ2 — 2 = 2 Вводя обозначение Ъ — с = г , найдем,

что в этом случае корни характеристическо-

Ху2 = —Ъ ± г б

го уравнения равны 1,2 , т.е. оба

действительны и отрицательны, т. к. г < Ь. Следовательно, решение дифференциального уравнения (30) в этом случае будет иметь вид:

?—(Ъ—гу

. (31)

Величины с1 и с2 являются постоянными интегрирования и определяются по известным начальным условиям.

Общее решение уравнения (24), после ряда математических выкладок будет иметь вид:

— _(Ь+г)і ,

У = с1 ■^ > + с2

— _(Ь+ г ) _(Ь _ г )

У = с ■е [ ; + С2 ■ е [ ;

(г_ Ь )-И

_(Ь + г)

еК ’ +

2-г 2^г (32)

Найдем частное решение дифференци-

ального уравнения (24):

у= СР=

= — й + 2 п

в:

- + {Рг _ Рж У

т ■ м0 ■ А ■ йп т(рг _Рж)-созам0 ■ • ■

2вГ„

2в:

т ■ ц0- м • йп

(33)

в

Общее решение дифференциального уравнения (24) имеет вид:

у , , (г—Ъ ~(ь+г)) ,(Ъ +г -а—г у ,

у = у + у =±----------------------1 ек ’ + -- вк ’ +

2 ■ г

2 ■ г

+1 ё + т \Рг —Рж ) До Д ^'С0^

2 П ^ ^ ' (34)

Упростим дифференциальное уравнение

_ (Ъ + г)

(34). В нашем случае величина 4 ' очень

-(Ъ+г) _ о

велика. Поэтому е _ о. Следова-

тельно, решение дифференциального уравнения (34) примет вид:

у =( + г .е—(Ъ-г) + 1. ё +

2^ г 2

т

(Рг _Рж)• ■• йп 'С0за

2^ в.

2

тах

(35)

Решая это уравнение, относительно времени «t», получим:

( Ь + г )■ И

_(Ь+г у

2 ■ г

1 й т ■( _Рж )• ■•■ йп -С03а +

= 2 п 2-в2 У'

е

2 йп'г 2^ (Ь + г )И

2 т■ ( _ Рж )/У 2соза + 2^ г^У

2 втах •(ъ+г\л (ъ+г)л

или подставив вместо у = И, получим:

е-(Ъ+г) = — <Т т• (г -Рж ) До • Д^п^^ С0а +

(ъ+г)к вт*х •(ъ+г)к

2-г +----- .

(+г) (36)

Логарифмируя выражение (36), найдем:

_(Ь + г )• / = 1п

йп'г _

(Ь+г)-И

т■ (рг _Рж)•■ •■ йп'г^С0за 2^г в2« ■(Ь + г)И Ь + г

(37)

Искомая величина времени притяжения частиц t2 находится из этого выражения:

І2 = —

Ь + г

-1п

йп'г _

(Ь + г )И

т■ (г _ Рж )■•>■ •■ С0^

в2ах ■(Ь + г )И

2-г Ь + г

(38)

Вывод

Разработанная методика расчета критерия эффективности процесса сепарации позволяет определить рациональные параметры концентратора магнитного поля (фильтра) для сепаратора УМС-4М.

При выполнении данного условия t1 > t2 ферромагнитная частица будет притягиваться к полюсным наконечникам магнитной системы. При t1 < ^2 ферромагнитная частица будет вытекать вместе с жидкостью, не успев задержаться в желобе. Следовательно, величина магнитной силы, действующей на желоб и концентратор, а также скорость течения жидкости будут основными критериями эффективной очистки СОЖ от ферромагнитных частиц.

Библиографический список

1. Евдокимов А.А., Чарыков В.И. Очистка смазочно-охлаждающих жидкостей на машинно-технологических станциях электромагнитным сепаратором // Достижение науки — агропромышленному производству: матер. LII Междунар. науч.-техн. конф. — Челябинск: ЧГАА, 2013. — С. 253-256.

2. Чарыков В.И., Копытин И.И., Евдокимов А.А., Митюнин А.А. Электромагнитные железоотделители для агропромышленного комплекса // Вестник КрасГАУ. — 2012. — № 6. — С. 168-174.

3. Альтшуль А.Д., Кисилев П.Г. Гидрав-

лика и аэродинамика (основы механики жидкости). — М.: Стройиздат, 1975. —

С. 149-150.

4. Сумцов В.Ф. Электромагнитные же-

лезоотделители. — М.: Машиностроение,

1981. — 212 с.

5. Зуев В.С., Чарыков В.И. Электромагнитные сепараторы: теория, конструкция. — Курган: Зауралье, 2002. — 178 с.

6. Хаппель Дж., Бренер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. — М.: Мир, 1976. — 624 с.

1