Теоретическое исследование влияния диссипации и точечных внешних воздействий на динамику ДНК Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.2

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ДИССИПАЦИИ И ТОЧЕЧНЫХ ВНЕШНИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ НА ДИНАМИКУ ДНК

Ф.К. Закирьянов, Т.А. Киселева

Рассмотрена модель двухцепочечной ДНК, основной вклад в динамику которой вносят вращения оснований вокруг сахаро-фосфатных цепочек. С помощью обобщенного метода Ван-дер-Поля были получены два разных типа решения - в виде бризеров и пар кинк-антикинк, описывающие соответственно начальные процессы тепловой денатурации молекулы ДНК и образование открытого состояния в процессе транскрипции. Исследовано влияние двух видов сил на динамику модели.

Ключевые слова: нелинейная динамика ДНК, бризеры, метод Ван-дер-Поля.

Локализованные возбуждения, математическими образами которых являются кинки, бризеры и другие нелинейные волны, играют большую роль в физике конденсированного состояния, в том числе в динамике полимеров [1]. В частности, с помощью кинков описываются процессы конформационных В-А-переходов в молекуле ДНК, а также её взаимодействие с внешними ли-гандами в процессах транскрипции [2, 3]. Бризеры часто используются для описания начальных стадий образования открытого состояния в процессах денатурации и плавления ДНК [4]. Как правило, для теоретического описания указанных процессов используются модификации так называемой РВ-модели, предложенной Пейярдом и Бишопом (рис. 1). В этой модели учитываются только поперечные смещения нуклеотидов в направлении, перпендикулярном оси молекулы ДНК. Уравнения динамики такой системы преобразуются в нелинейное уравнение Шрёдингера, которое имеет решения в виде бризеров [4, 5].

Вместе с тем, существует большая группа моделей, в которых основной вклад в динамику вносят повороты оснований вокруг сахаро-фосфатного остова молекулы ДНК [3]. Такие модели условно объединяются термином У-модели (рис. 2) и успешно применяются для описания различных нелинейных эффектов в ДНК [3, 6]. Поскольку упомянутые повороты приводят к разрыву водородных связей между комплементарными основаниями и, как следствие, к образованию открытого состояния, то появляется еще одна возможность описания начальных стадий плавления ДНК. В настоящей работе представлены результаты исследования одной из модификаций У-модели, решения которой в виде бризеров и пар кинк-антикинк используются для описания упомянутых выше процессов.

Предполагая, что основной вклад в динамику вносят вращения оснований вокруг сахаро-фосфатного остова, рассмотрим модель [7] (рис. 2):

Рис. 1. РВ-модель Рис. 2. У-модель

В континуальном приближении динамика рассматриваемой модели описывается системой уравнений [2]:

dV

Щ - + — = О,

д(1

dV

12Ф2 -е2Рг+^ = 0

(i)

где 11, 12 - моменты инерции оснований в цепочках 1 и 2, е1,е2 - жесткость сахаро-фосфатного остова в обеих цепочках. Точками обозначена вторая производная по времени, а штрихами - вторая производная по координате х (ось х параллельна оси молекулы ДНК). Потенциальная энергия взаимодействия оснований берется в виде [2, 7, 8]:

V (<Pl, P2) = k1(1 - C0s P1) + k1(1 - C0s P2) + k2 (1 - c0s(1 - P2)),

(2)

где к1,к2 характеризуют взаимодействие оснований в одной и разных цепочках соответственно. Подставляя (2) в (1) после обезразмеривания в приближении однородной ДНК получим следующую систему:

(3)

(ф - р' + sinр1 - a sin(p1 - р2) = 0,1

р2 - Ф2 + sin (2 + a sin(Pi - (2) = 0J ' где безразмерный параметр a = к2 /k1 - константа связи цепочек. Этот параметр в большинстве моделей принимается малым (0 < a < 0,1).

В частном случае р1 = р2 мы переходим от (3) к уравнению синус-Гордона, решение которого в виде кинка [9, 10] и интерпретация его для нелинейной динамики ДНК хорошо известны [11].

Заметим, что рассматриваемая модель может быть модифицирована с целью учета эффектов диссипации, неоднородности молекулы ДНК и влияния внешних воздействий. Некоторые из этих модификаций рассмотрим ниже.

В частном случае р1 = -р2 с учетом диссипации мы переходим от (3) к двойному уравнению синус-Гордона (ДУСГ)

Ptt - Pxx + slnP = а sin 2P - ß(Pt ■

Решение уравнения (4) ищем обобщенным методом Ван-дер-Поля [12] в виде:

Г Г-,—— . Л

р = 4 arctg

V

1 -а

i

а + е2 ch(xV 1 -а) (

У

pt = -2е sin—, rt 2

(4)

(5)

(6) (7)

е = -yßä ctg х ,

где х t + хо ; Хо = const; -е2 < а < 1.

При наличии возмущения a sin 2р - ßpt, стремящегося к нулю на бесконечности, в (5)-(7) полагаем параметры решения a = a(t), е = e(t) неизвестными функциями времени. Причем а считаем медленно изменяющейся с течением времени.

Следуя [12], получаем систему уравнений для определения эволюции параметров а и е со временем

2е(1 -а)

а{ =

1 + е2

е{ = а + е - еß -

^ß[1 + F] + а ■ R}, а ■ R

1 + F

(8)

где F =

а + е

2

(1

+ е2)(1 -а)

rln

V1 -а+лЯ + е

а

+е

R =

(П + е2)3

6(1 + £2)3

1 -П

21 - 58-- + 26

2

' 1 -П

П + е2

+ е2 )

(П + е2)4

2(1 + е2)7/2л/1 -П

1 -12

1-П

П + е

+18

i \2 ' 1 -П

П + е

2

-4

( 1 -П л3

П + е2 )

ln

л/1 -П + 4

+ V1 + ех

Л

П+е

2

Решение уравнения (4) можно представить в виде (5), где параметры П и е находятся из системы (8), решение которой проводилось численно. Эти решения имеют качественно различный вид в разных областях значений параметра П (рис. 3, 4). При положительных значениях параметра П любое начальное возмущение затухает с течением времени (рис. 3). Такие решения не являются интересными с точки зрения описания динамики ДНК, поскольку характерные времена рассматриваемых процессов намного меньше, чем характерные времена реальных конформаци-онных изменений в молекуле ДНК [11]. При отрицательных значениях П начальное конформа-ционное возмущение приводит к появлению пары кинк-антикинк (рис. 4), которая соответствует образованию открытого состояния в процессе транскрипции ДНК (рис. 5). Как видно из рис. 5, а, поворот оснований вокруг сахаро-фосфатного остова приводит к разрыву водородных связей между комплементарными парами и образованию так называемых начальных «пузырей денатурации» - denaturation bubbles [4] (рис. 5, б). Анализ результатов приводит к выводу о том, что ширина области такого локального раскрытия пар оснований уменьшается с ростом как коэффициента диссипации, так и параметра а, который соответствует интенсивности взаимодействия двух комплементарных цепочек.

а) б)

Рис. 3. Вид решения (5) в области 0 < П < 1:

а) р = 0, а = 0,02, П(0) = 0,04, е(0) = 0 ; б) в = 0,1, а = 0,02, П(0) = 0,001, е(0) = 0,005

Рис. 4. Вид решения (5) в области -е2 <П< 0:

а) в = 0,1, а = 0,1, П(0) = -0,6, е(0) = -1,5 ; б) в = 0,05, а = 0,05, П(0) = -0,3, е(0) = -1,2

+

а)

Рис. 5. Интерпретация решений: а) поворот оснований приводит к образованию открытого состояния; б) образование и развитие пузырей денатурации [4]

Для получения решения уравнения (4) в виде бризера преобразуем рассматриваемую систему. Полагая Q = w2 , получим из (7) s = -w ctg x . После подстановки система уравнений (8) переходит в следующую систему:

(w2 - 1)cos xsin х i г, г, ,-л т, 1 ^--{-wßctgх[1 + Fl] + а ■ Rj

t (1 - w2)sin2 х + w2

2 3

_ . (1 - w )ß cos xsinX ri ,-л Xt = w + ß cos xsin x + ^-2 . 2-T- [1 + F1 ] +

(1 - w2)sin2 x + w2

а ■ R1 sin x

w

(w2 - 1)cos2 x

(1 - w2)sin2 x + w2 1 + F

где

F =

w

^JT-

2 "yj(1 -w2)sin2 x + w2

ln

R1 =

w sin x

w6

JT-

ow1 sinx +V(1 -w2)sin2 x + w2

w

6((1 - w2) sin2 x + w2)3

21 -58(1 -°2)7sin2 x + 26 w

(1 - w2)sin2 x Л

2 Л

w

(9)

w

2sin x((1 - w2)sin2 x + ю2)1'Ч1 - w2

1 -12 (1 -w2)2sin2 x +18

w

(1 -w )sin x

w

- 4

(1 -w ) sin x

f/i -2)„:„2 x V ((1 w2)s„2 x Л3 Л (.^Г

w

x ln

w2 sin x + V(1 - w2)sin2 x + w2 w

А формула (5) примет вид

р = 4 arctg

1 - w2

sin x

ch( W 1 - w2)

(10)

Решение системы уравнений (9), как и в случае системы (8), проводилось численно. Решение (10) в отсутствие затухания имеет вид бризера (рис. 6, а). При наличии диссипации (рис. 6, б) амплитуда бризера уменьшается пропорционально в , т.е. начальное возмущение затухает с течением времени.

При малых начальных значениях ю решение (10) предстает в виде пары кинк-антикинк. Такая начальная локальная неоднородность также затухает с течением времени при наличии диссипации (рис. 6, в, г).

Обоснованность применения обобщенного метода Ван-дер-Поля была подтверждена путем прямого численного интегрирования уравнения движения (4).

1

+

+

x

Большой интерес для описания динамики ДНК представляет моделирование ее взаимодействия с внешними силами, источниками которых могут служить молекулы раствора, в котором происходит ее функционирование, макромолекулярные белковые комплексы, осуществляющие считывание генетической информации, и, наконец, внешние поля. В этом случае в рассматриваемое уравнение (4) добавляется слагаемое, описывающее действие указанных внешних сил:

Фи - Фхх + ^ = а вШ2^ - М + У (Х О . (11)

ЗУ'

в) г)

Рис. 6. Вид решения (10):

а) р = 0, а = 0,01, ю(0) = 0,332039, х(0) = 1.57 ; б) р = 0,02, а = 0.01, ю(0) = 0,332039, х(0) = 1,57 ; в) р = 0, а = 0,01, ю(0) = 0,008, ^(0) = 0,5 ; г) р = 0,01, а = 0,01, ю(0) = 0,008, ^(0) = 0,1

Нами было исследовано два типа сил /(х, I).

I. У(х,I) = Асоз(7?)5(х-х0). Эта сила соответствует периодическому воздействию с частотой у и амплитудой А, приложенному в точке х0 рассматриваемой модели.

Следуя методу Ван-дер-Поля, описанному выше, получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения эволюции параметров решения О и е. Как и в случае (8), решение соответствующей системы проводилось численно. При 0 < О <1 в зависимости от значений параметров уравнения начальное возмущение либо довольно быстро затухает с течением времени, либо приводит к появлению пары кинк-антикинк (рис. 7). При отсутствии внешней силы в области положительных значений О наблюдались только решения первого типа.

При отрицательных значениях параметра О (-е2 < О < 0) решения уравнения предстают в виде пары кинк-антикинк (рис. 8). Значения частоты и амплитуды внешней силы не влияют на качественный вид решений, наблюдаются лишь количественные изменения.

Проведя преобразование системы уравнений для эволюции параметров по аналогии с (9) и численно решив ее, получим решения уравнения в виде бризеров (10), затухающих при наличии диссипации (рис. 9). При малых значения параметра в на рисунке явно видно действие внешней силы (рис. 9, б). При увеличении амплитуды внешней силы это влияние становится более заметным (рис. 9, в).

б) в)

Рис. 7. Вид решения (5) в области 0 < П < 1:

а) а = 0,02, в = 0, А = 1, х0 = 1, у = 0,1, П(0) = 0,04, е(0) = 0 ;

б) а = 0,01, в = 0,01, А = 1, х0 = 1, у = 0,1, П(0) = 0,0332, е(0) = 0 ;

в) а = 0,02, в = 0,05, А = 1, х0 = 1, у = 0,1, П(0) = 0,2, е(0) = -1,0

Рис. 8. Вид решения (5) в области -е < П < 0 :

а) а = 0,1, в = 0,1, А = 1, х0 = 1, у = 0,1, П(0) = -0,6, е(0) = -1,5; б) а = 0,1, в = 0, А = 3, х0 = 1, у = 0,2, П(0) = -0,1, е(0) = -1,0

в) г)

Рис. 9. Вид решения (10):

а) а = 0, в = 0, А = 1, х0 = 1, у = 0.1, ю(0) = 0,9, ^(0) = -п/4 ;

б) а = 0,02, в = 0,01, А = 1, х0 = 1, у = 0,1, ю(0) = 0,5, ^(0) = п/2 ;

в) а = 0,05, в = 0,01, А = 5, х0 = 1, у = 0.1, ю(0) = 0,9, ^(0) = п/2 ; г) а = 0,05, в = 0.1, А = 1, х0 = 1, у = 0,1, ю(0) = 0,9, ^(0) = п/4

При приближении частоты внешнего воздействия к собственной частоте колебаний бризера наблюдаются биения (рис. 10).

При малых начальных значения ю, х решения предстают в виде пары кинк-антикинк (рис. 11). Заметим, что в отсутствие внешней силы решения такого типа не наблюдались.

а) б)

Рис. 10. Вид решения (10) при частоте внешнего воздействия близкой к собственной частоте колебаний бризера:

а) а = 0,05, р = 0,01, А = 1, х0 = 1, у = 1,0, ю(0) = 0,9, х(0) = п/4 ;

б) а = 0,02, р = 0,01, А = 1, х0 = 1, у = 1,0, ю(0) = 0,5, х(0) = -п/4

Рис. 11. Вид решения (10) при малых начальных значениях ш, х:

а) а = 0,02, р = 0,01, А = 1, х0 = 1, у = 0,1, ю(0) = 0,001, х(0) = 0,01 ;

б) а = 0,1, р = 0,05, А = 1, х0 = 1, у = 0,2, ю(0) = 0.008, х(0) = 0,01

II. Следующий тип внешней силы описывает точечное, ограниченное во времени постоянное воздействие:

ГС, 0 < г < Т

У (х, г) = У (г) 8(х - х0), где У (г) = \ ' . (12)

[0, г £ (0;Т)

Следуя методу Ван-дер-Поля, получим систему уравнений для параметров О. и е , аналогичную системе (8). Решение этой системы также проводилось численно. В области положительных начальных значений О (0<О< 1) при С = -п любое начальное возмущение затухает с течением времени (рис. 12), а при С = п в зависимости от значений параметров решение либо затухает, либо имеет вид пары кинк-антикинк (рис. 13). При -е2 < О < 0 вне зависимости от знака силы получаются и затухающие решения, и решения в виде пары кинк-антикинк (рис. 14).

а) б)

Рис. 12. Вид решения (5) в области 0 < О < 1 при С = -п :

а) а = 0,02, р = 0,0, х0 = 1, Т = 50, С = -п, П(0) = 0,01, е(0) = -0,3 ; б) а = 0,02, р = 0,0, х0 = 1, Т = 50, С = -п, П(0) = 0,1, е(0) = 1,0

а) б) в)

Рис. 13. Вид решения (5) в области 0 < П < 1 при С = п :

а) а = 0,02, в = 0,05, х0 = 1, Т = 50, С = п, П(0) = 0,01, е(0) = -0,3 ; б) а = 0,02, в = 0,1, х0 = 1, Т = 50, С = п, П(0) = 0,2, е(0) = 0,0 ; в) а = 0,02, в = 0, х0 = 1, Т = 50, С = п, П(0) = 0,5, е(0) = 1,5

Проведя преобразование системы уравнений для эволюции параметров по аналогии с (9) и численно решив ее, получим решения уравнения в виде бризеров (10), затухающих при наличии диссипации (рис. 15). При малых значениях коэффициента диссипации (в = 0,01) на рисунках явно видно действие внешней силы, которое заканчивается при I = Т (рис. 15, а-в). Качественный вид решения не зависит от знака силы. При малых начальных значения ш, х в случае С = п решения предстают в виде пары кинк-антикинк (рис. 16).

в) г)

Рис. 14. Вид решения (5) в области -е2 <П< 0:

а) а = 0,02, в = 0,05, х0 = 1, Т = 50, С = п, П(0) = -0,99, е(0) = -1,0 ;

б) а = 0,02, в = 0,05, х0 = 1, Т = 50, С = -п, П(0) = -0,01, е(0) = -1,0 ; в) а = 0,02, в = 0, х0 = 1, Т = 50, С = -п, П(0) = 0,99, е(0) = -1,0 ;

г) а = 0,02, в = 0, х0 = 1, Т = 50, С = п, П(0) = -0,5, е(0) = 1,0

в) г)

Рис. 15. Вид решения (10):

а) a = 0,1, ß = 0, x0 = 1, T = 50, C = п, ю(0) = 0,9, ^(0) = п/4 ;

б) a = 0, ß = 0,01, x0 = 1, T = 50, C = п, ю(0) = 0,9, ^(0) = п/2 ;

в) a = 0, ß = 0, x0 = 1, T = 50, C =-п, ю(0) = 0,9, x(0) =-п/4 ;

г) a = 0,01, ß = 0,1, x0 = 1, T = 50, C = п, ю(0) = 0,9, *(0) = п/4

а) б)

Рис. 16. Вид решения (10) при малых начальных значениях ш, х:

а) a = 0,05, ß = 0,01, x0 = 1, T = 50, C = п, ю(0) = 0,008, ^(0) = 0,001 ;

б) a = 0,02, ß = 0, x0 = 1, T = 50, C = п, ю(0) = 0,008, ^(0) = 0,001

Итак, в настоящей работе рассмотрена модель двухцепочечной ДНК, основной вклад в динамику которой вносят вращения оснований вокруг сахаро-фосфатных цепочек. Получены уравнения движения для модели. Рассмотрены частные случаи уравнений движения. С помощью обобщенного метода Ван-дер-Поля были получены два разных типа решения, представляющих интерес с точки зрения описания динамики ДНК: решения в виде бризеров и пар кинк-антикинк, описывающие соответственно начальные процессы тепловой денатурации молекулы ДНК и образование открытого состояния в процессе транскрипции. При ( = -(2 исследовано влияние двух видов сил на динамику модели. Прямое численное интегрирование уравнений движения подтвердило обоснованность применения обобщенного метода Ван-дер-Поля для нашего случая.

Литература

1. Маневич, Л.И. Солитоны в физике полимеров / Л.И. Маневич // Высокомолекулярные соединения. Сер. С. - 2001. - Т. 43, № 12. - С. 2215-2288.

2. Якушевич, Л.В. Методы теоретической физики в исследованиях свойств биополимеров / Л.В. Якушевич. - Пущино: НЦБИ. - 1990. - 123 с.

3. Yakushevich, L.V. Nonlinear Physics of DNA / L.V. Yakushevich. - John Wiley & Sons, Chichester, 1998. - 204 c.

4. Peyrard, M. Nonlinear dynamic and statistical physics of DNA / M. Peyrard // Nonlinearity. -2004.- 17.-R1-R40.

5. Zdravcovic, S. Peyrard-Bishop-Dauxois Model of DNA Dynamics and Impact of Viscosity / S. Zdravcovic, J.A. Tuszynski, M.V. Sataric // J. Comput. Theor. Nanosu. - 2005. - V. 2, № 2. - P. 1-9.

6. Gaeta, G. Results and limits of the soliton theory of DNA transcription / G. Gaeta // Journal of Biological Physics. - 1999. - V. 24, № 2-4. - P. 81-96.

7. Yakushevich, L.V. On the nonlinear dynamics of topological solitons in DNA / L.V. Yakushevich, A.V. Savin, L.I. Manevitch // Phys. Rev. E. - 2002. - V. 66.

8. Zhang, C. Soliton excitations in DNA double helices / C. Zhang // Phys. Rev. A. - 1987. -V. 35.-P. 886-891.

9. Солитоны и нелинейные волновые уравнения / Р. Додд, Дж. Эйлбек, Дж. Гиббон, Х. Моррис. - М.: Мир, 1988. - 694 с.

10. Новокшенов В.Ю. Математические модели в естествознании (Введение в теорию солито-нов) / В.Ю. Новокшенов. - Уфа: изд. УГАТУ, 1999. - 98 с.

11. Рубин, А.Б. Биофизика: в 2 т. / А.Б. Рубин. - М.: Изд. МГУ: Наука, 2004. - Т. 1 - 448 с.

12. Ферро- и антиферромагнитодинамика. Нелинейные колебания, волны и солитоны / М.А. Шамсутдинов, И.Ю. Ломакина, В.Н. Назаров и др. - Уфа: Гилем, 2007. - 368 с.

Поступила в редакцию 19 марта 2009 г.

THEORETICAL STUDY OF INFLUENCE OF DISSIPATION AND POINT EXTERNAL IMPACT ON DNA DYNAMICS

Two-chained DNA model the basic contribution to which dynamic is given by rotation of the bases around sugar-phosphate backbone is presented. Two types of solutions - breathers and kink-antikink pairs - are obtained using generalized Van der Pol method. These solutions describe initial stages of thermal DNA denaturation and open state formation during transcription respectively. The influence of two types of external forces on the model dynamics is also investigated.

Keywords: nonlinear dynamics of DNA, breathers, Van der Pol method.

Zakiriyanov Farit Kabirovich - Associate professor, Theoretical Physics department, Bashkir State University.

Закирьянов Фарит Кабирович - доцент, кафедра теоретической физики, Башкирский государственный университет.

e-mail: farni@rambler.ru

Kiseleva Tatyana Aleksandrovna - undergraduate of the Theoretical Physics department of Bashkir State University.

Киселева Татьяна Александровна - магистрант кафедры теоретической физики, Башкирский государственный университет.