Исследование влияния внешних сил на динамику молекулы ДНК Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.2

раздел ФИЗИКА

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ВНЕШНИХ СИЛ

НА ДИНАМИКУ МОЛЕКУЛЫ ДНК

© Т. А. Семенова*, Ф. К. Закирьянов

Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450074 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Тел./факс: +7 (34 7) 273 6 7 23.

E-mail: tatianas21@yandex.ru

Рассмотрена модель двухцепочечной ДНК, в динамику которой основной вклад вносят вращения оснований вокруг сахаро-фосфатных цепочек. С помощью обобщенного метода Ван-дер-Поля получены различные типы двухсолитонных решений, дана интерпретация некоторых из них применительно к описанию функционирования молекулы ДНК. Исследовано влияние трех видов сил на динамику модели.

Ключевые слова: ДНК, солитоны, метод Ван-дер-Поля.

Привлечение методов нелинейной физики к изучению биополимеров привело к значительному прогрессу в понимании механизмов их функционирования. Использование солитонов для описания динамики молекулы ДНК на данный момент является практически общепринятым. В частности, бри-зеры используются для описания эффектов денатурации ДНК и конформационных изменений, возникающих в процессе белок-нуклеинового узнавания [1], а с помощью кинков описываются процессы кон-формационных В-А-переходов в молекуле ДНК, а также ее взаимодействие с внешними лигандами в процессах транскрипции [2, 3].

В работе рассматривается модель двухцепочечной ДНК, в динамику которой основной вклад вносят вращения оснований вокруг сахаро-фосфатных цепочек (рис. 1).

Рис. 1. Модель ДНК.

В континуальном приближении динамика рас сматриваемой модели описывается системой урав^ нений [2]:

/1(р1 - г1ф1 + k1 sin ф1 - k2 sin(j1 - ф2) = 0,

/2(р2 - eф + k1 sin ф2 + k2 sin(j1 - ф2) = 0

где ф ф2 - углы поворотов оснований вокруг сахаро-фосфатного остова, I , I - моменты инерции

(1)

(^)

оснований в 1-ой и 2-ой цепочках, e1, e2 - жесткость сахаро-фосфатного остова в обеих цепочках, k , & характеризуют взаимодействие оснований в

одной и разных цепочках соответственно. Точками обозначена вторая производная по времени, а штрихами - вторая производная по координате x (ось х параллельна оси молекулы ДНК).

Рассматривая приближение однородной ДНК, положим I1 = I2 = I, e1 = e2 = e и, используя замену переменных t = yj&JI t и y = yjkje x, перейдем от системы (1) к следующей системе:

ф1 - ф1 + sinф1 - asin(j1 - ф2) = 0, ф2 - ф2 + sinф2 + asin^ - ф2) = 0 где безразмерный параметр a = &2 / & - константа

связи цепочек. Этот параметр в большинстве моделей принимается малым (0 < a < 0.1).

В частном случае ф = ф мы переходим от (2)

к уравнению синус-Гордона, решение которого в виде 2п-кинка [4, 5] и интерпретация его для нелинейной динамики ДНК хорошо известны [6].

В частном случае ф = -ф мы переходим от

(2) к двойному уравнению синус-Гордона:

фтг-ф yy + sin ф-a sin2ф = 0. (3)

В дальнейшем для удобства, подразумевая y и т, будем использовать старые обозначения x и t соответственно.

Добавим в правую часть уравнения (3) дополнительное слагаемое, учитывающее влияние диссипации:

ф«-фхх + sin ф=a sin2ф-Pфt. (4)

Методом Маклафлина-Скотта [7] было получено решение уравнения (4) в виде 2п-кинка:

j = 4arctg

x - st

exp(± /---------r )

VT-

где s =

VT

+ e

-2pt

скорость 2п-кинка.

Большой интерес для описания динамики ДНК представляет моделирование ее взаимодействия с внешними силами, источниками которых могут

bt

e

* автор, ответственный за переписку

служить молекулы растворителя, в котором происходит ее функционирование, макромолекулярные белковые комплексы, осуществляющие считывание генетической информации, и, наконец, внешние поля. В этом случае в рассматриваемое уравнение (4) добавляется слагаемое, описывающее действие указанных внешних сил:

Ф» - Ф** + «¿п ф = а вЬ2ф - Рф( + /(х 0 . (5)

Нами было рассмотрено три вида внешних сил:

1) /(х,/) = А соб(у/ ) 5(х - х0) - периодическое воздействие с частотой у и амплитудой А, приложенное в точке х0 рассматриваемой модели.

ГС, 0 < / < Т

2) /(х,/) = /(/) 8(х - хо), где /(/) = |0 /^ (&Т)

- точечное, ограниченное во времени постоянное воздействие.

3) /(х,/) = Асоб(7/) - периодическое воздействие с частотой у и амплитудой А, приложенное ко всей молекуле ДНК.

Решение уравнений (4) и (5) ищем обобщенным методом Ван-дер-Поля [8] в виде:

1

(

j = 4arctg

1-W

Л

W + e2 ch(W 1 - W)

ф, = -2 e sin — ’ ‘ 2

e = -/Wctgc,

(6)

(7)

(8)

где х = л/01 + X0; Co = const; -£2 <W< 1В (6-8) полагаем параметры решения W = W(t), £ = £(t) неизвестными функциями времени. Причем Q считаем медленно изменяющейся с течением времени. Следуя [8], получим систему уравнений для определения эволюции параметров Q и е со временем:

W, = 2e(1 W [Ф[1 + F ]+aR},

1 + є

(9)

є, = W + є2 -є/3-

aR 1 + F ’

где

F =-

W + e2

V(1 + e 2)(1 -W)

- ln

л/і - W + л/1 + e2

+ e

R =

(W + e2)3 6(1 + є2)3

1 -W I 1 -W

21 - 58--------- + 26І

W + e

2

W+e

(W + e2)4

2(1 + є2)7/2-Л -W

W+e

2

W+e

1-W

W+e

3 "\

x ln

v W + є

2

Решение системы (9) проводилось численно.

Этот же метод мы применили и к уравнению (5) для всех трех видов сил.

Полученные нами решения можно условно разделить на четыре типа. Следует сразу отметить, что появление решений разных типов обусловлено, в первую очередь, начальными условиями, накладываемыми на W и e, а не параметрами уравнения.

На рис. 2 показаны решения первого типа, из них случаи (а-в) имеют место как в отсутствии, так и при действии любой из трех внешних сил, а случаи (г-е) - лишь для третьей силы. Какой-либо явной зависимости от значений а и в не наблюдается. Однако действие внешней силы в некоторых случаях приводит к тому, что такое решение не затухает, а развивается в пару кинк-антикинк, которая будет рассмотрена ниже. Решения подобного типа существуют обычно на временах не больше 10 пс, но при исследовании действия силы третьего типа были получены решения такого же вида, незатухающие на временах порядка 100 пс (рис. 2г). Амплитуда солитона (угол ф) бывает разной (примерно от 1 до 2п) и зависит только от начальных условий. Кроме того, в случае действия третьей силы наблюдаются решения с «колеблющимся» профилем (рис. 2д) и повторяющиеся «всплески» (рис. 2е).

Мы предлагаем интерпретировать такие решения как «пузыри» денатурации (dénaturation bubbles, по терминологии Пейярда [1]) в молекуле ДНК. Действительно, такие пузыри, возникнув, могут достаточно быстро затухать, не приводя к дальнейшим конформационным изменениям, но могут и развиваться до полной денатурации молекулы ДНК.

Решения второго типа наблюдаются только для третьей силы в случае, когда A = 0.1, у = 0.1 и в = 0.1, то есть при относительно большой диссипации (рис. 3). Мы также предлагаем интерпретировать их как «пузыри» денатурации.

Решения третьего типа представляют собой пары 2п-кинк-антикинк (рис. 4). В отсутствие внешней силы ширина области такого локального раскрытия пар оснований уменьшается с ростом как коэффициента диссипации b, так и параметра а, который соответствует интенсивности взаимодействия двух комплементарных цепочек. В случае силы третьего типа наблюдается аналогичная зависимость только для диссипации. В остальных случаях каких-либо закономерностей обнаружить не удалось. Интерпретировать эти решения на данный момент мы затрудняемся.

Решения четвертого типа существуют на относительно больших временах порядка сотен, а иногда и тысяч пикосекунд (рис. 5). Какой-либо закономерности в появлении этих решений и их зависимости от параметров модели обнаружить не удалось. Интерпретация полученных решений применительно к молекуле ДНК также в настоящий момент затруднительна.

+

x

/

\

д е

Рис. 2. Решения системы (9) первого типа: а - а = 0.01, Р = 0.01, 0(0) = 0.0332, е(0) = 0; б - а = 0.1, Р = 0.01, А = 1, х0 = 1, 7 = 0.1, 0(0) = 0.02, е(0) = 0.8; в - а = 0.02, Р = 0.05, х0 = 1, Т = 50, С = р 0(0) = 0.9, е(0) = -1.5; г -а = 0.02, Р = 0.1, А = 0.5, 7 = 1.0, 0(0) = 0.0001, е(0) = 0; д - а = 0.1, Р = 0.05, А = 0.5, 7 = 1.0, 0(0) = -0.0001, е(0) = -1.5; е - а = 0, Р = 0.1, А = 0.5, 7 = 0.1, 0(0) = 0.9, е(0) = 0.

а б

Рис. 3. Решения системы (9) второго типа: а - а = 0.1, Р = 0.1, А = 0.1, 7 = 0.1, 0(0) = 0.01, £(0) = 0; б - а = 0.0, Р = 0.1, А = 0.1, 7 = 0.1, 0(0) = -0.01, е(0) = -1.5.

б

в

г

Рис. 4. Решения системы (9) третьего типа: а - а = 0.05, Р = 0, W(0) = -0.3, £(0) = -1.2; б - а = 0, р = 0, A = 0.1, g = 0.1, W(0) = -0.01, e(0) = -1.5; в - a = 0.02, P = 0, x0 = 1, T = 50, C = -p W(0) = -0.99, e(0) = -1.0; г - a = 0, p = 0, ,4 = 0.5, 7 = 1.0, Q(0) = 0.1,e(0) = -1.5.

Этим же методом нами были получены и решения в виде бризеров [9]. При действии различных сил наблюдались биения, незатухающие (вынужденные) колебания и некоторые другие колебательные режимы.

Прямое численное интегрирование уравнений движения подтвердило обоснованность применения обобщенного метода Ван-дер-Поля для нашего случая.

Таким образом, в работе рассмотрены частные случаи уравнений движения для модели двухцепочечной ДНК, получены различные типы двухсоли-тонных решений, дана их частичная интерпретация для динамики молекулы ДНК.

ЛИТЕРАТУРА

1. Реуга^ М. // МопНпеагйу. 2004. V. 17. Р. 1-40.

Рис. 5. Решения системы (9) четвертого типа: а - a = 0.02, P = 0.1, x0 = 1, T = 50, C = p, W(0) = 0.2 £(0) = 0; б - a = 0.02, P = 0.1, A = 1, x0 = 1, g = 0.1, W(0) = 0.001, £(0) = 0.005

2.

Якушевич Л. В. Методы теоретической физики в исследованиях свойств биополимеров. Пущино: НЦБИ. 1990. 123 с.

3. Якушевич Л. В. Нелинейная физика ДНК. М.: Ижевск: НИЦ «РХД». 2007. 252 с.

4. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир. 1988. 694 с.

5. Новокшенов В. Ю. Математические модели в естествознании (Введение в теорию солитонов). Уфа: изд-во УГАТУ. 1999. 98 с.

6. Рубин А. Б. Биофизика: в 2 т. Т. 1: Теоретическая биофизика. М.: изд. МГУ; Наука. 2004. 448 с.

7. McLaughlin D. W., Scott A. C. // Phys. Rev. A. 1978. V. 18. P. 1652-1680.

8. Шамсутдинов М. А., Ломакина И. Ю., Назаров В. Н., Харисов А. Т., Шамсутдинов Д. М. Ферро- и антиферромаг-нитодинамика. Нелинейные колебания, волны и солитоны. Уфа: Гилем. 2007. 368 с.

9. Закирьянов Ф. К., Семенова Т. А. // Структурные и динамические эффекты в упорядоченных средах: межвузовский сборник научных трудов. Уфа: РИЦ БашГУ. 2009. С. 222-233.

в

г

а

Поступила в редакцию 26.10.2009 г.