CC BY
56
Структурно-скейлинговые переходы и локализованные моды дисторсии в двойной спирали ДНК
О.Б. Наймарк
Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, 614013, Россия
Представлен обзор структурный динамических моделей ДНК и также роли нелинейных локализованный неустойчивостей в механизмах денатурации в цепи двойной спирали. Развита статистическая теория, описывающая эволюцию локализованных мод дисторсии, и показана возможная связь структурно-скейлинговык переходов в ансамблях локализованных мод дисторсий с явлениями транскрипции и репликации.
Structural-scaling transitions and localized distortion modes in DNA double helix
O.B. Naimark
Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS, Perm, 614013, Russia
The paper reviews structural dynamic models of DNA and the role of nonlinear localized instabilities in the double helix denaturation. A statistical theory is developed to describe the evolution of localized distortion modes. Possible relations of structural-scaling transitions in ensembles of localized distortion modes with the replication and transcription phenomena are discussed.
1. Введение
В знаменитой книге Шредингера [1], которая, по-видимому, была одной из первых попыток провести физический анализ основных проявлений «жизни» и, в частности, свойств ДНК, отмечалось: «Малые группы атомов, слишком малые, чтобы проявлять точные статистические законы, играют главенствующую роль в весьма упорядоченных и закономерных процессах внутри организма. Они управляют видимыми признаками большого масштаба, которые организм приобретает в течение своего развития; они определяют важные особенности его функционирования, и во всем этом проявляются весьма отчетливые и строгие биологические законы». Спустя 50 лет после открытия структуры двойной спирали Уотсоном и Криком [2] ДНК по-прежнему завораживает как физиков, так и биологов, которые пытаются разгадать ее замечательные свойства. Поскольку реальные механизмы многих биологических процессов, связанных с ДНК, до настоящего времени не понятны, биологи обращают все большее внимание на структурные аспекты с целью объяснения основных механизмов
функционирования ДНК — транскрипции и репликации. По сравнению с другими биологическими объектами, например протеинами, ДНК может рассматриваться как относительно простая «сложная система», т.к. обладает упорядоченной структурой, которую Шре-дингер назвал «биологическим кристаллом».
В настоящее время широко обсуждается, что исследования статической структуры биологических молекул недостаточны для познания их функций. Это особенно справедливо для ДНК, которая претерпевает значительные конформационные изменения в процессе транскрипции, т.е. при считывании генетического кода, или при репликации. Именно поэтому представляется важным исследование динамических свойств молекулы ДНК. Однако чисто динамические исследования недостаточны, т.к. термические флуктуации играют исключительную роль в функционировании ДНК. Таким образом, представляется естественным развитие статистической механики ДНК.
Принимая во внимание тот факт, что симметрия ДНК при ее формировании может быть связана с де-
в Наймарк О.Б., 2006
фектами, эффекты дисторсии, обусловленные дефектами в структуре двойной спирали ДНК, могут играть существенную роль. В развиваемых в настоящее время моделях [3, 4] микроскопические параметры порядка структуры ДНК вводятся, в том числе, как характеристики так называемых открытых комплексов, представляющих собой локализованные дисторсии, распределенные на малых сегментах 2d (приблизительно 15-20 оснований). В настоящей работе сделана попытка на основе решения статистической задачи о поведении ансамбля дефектов предложить уравнение движения в виде специальной формы уравнения Гинзбурга-Ландау для параметра порядка, отражающего поведение локализованных дисторсий в структуре ДНК, и исследовать динамические свойства данной системы. Показано, что динамика локализованных мод дисторсии может быть связана с новым типом критических явлений — струк-турно-скейлинговыми переходами [5, 6], которые характерны для неравновесных систем с «медленной динамикой». Установлен вид дополнительного параметра порядка для данных систем — структурный параметр скейлинга, который играет роль «эффективных температур» неравновесной системы. Проведенный анализ автомодельных решений показал существование трех типов коллективных мод в ансамблях дефектов в соответствующих интервалах структурного параметра скей-линга. Показано соответствие характерных коллективных мод трем типам универсальных статистических распределений в суперстатистике неравновновесных систем с медленной динамикой. Обсуждается возможная связь динамики коллективных мод с механизмами транскрипции и репликации.
2. Структура и физические свойства двойной спирали ДНК
Ориентируясь на цели, поставленные в данной статье, приведем некоторые сведения о ДНК как функциональном биологическом объекте [7].
2.1. ДНК в биологии
Существуют два основных класса биологических молекул — протеины и нуклеиновые кислоты. Протеины реализуют основные функции в живом организме, являясь активными механизмами и катализаторами химических реакций, инициируют перенос других молекул, в том числе кислорода (перенос гемоглобина), контролируют проникание ионов через мембраны, выстраивают некоторые жесткие структуры в клетках, активируют деятельность молекулярных «моторов», например растяжение мышц.
Сценарий строительства протеинов дается генетическим кодом, который сохраняется в структуре ДНК. ДНК выстраивает геном организма, например, человеческий геном состоит из 46 фрагментов, размещенных в каждой клетке и хромосомах. Эксперименты показы-
вают, что каждая хромосома формируется одной молекулой ДНК, имеющей длину 4...5 см. Геном же, сохраненный в каждой нашей клетке, имеет длину около 2 м.
2.2. Структура ДНК
ДНК является полимером или, более точно, представляет собой два сплетенных полимера. Каждый из мономеров-нуклеотидов, составляющих данный полимер, включает три элемента: фосфатную группу, пятиатомную атомную группу и основание, которое представляет собой сложную органическую группу.
Важнейшее наблюдение, которое привело Уотсона и Крика к знаменитому открытию структуры двойной спирали ДНК, было связано с пониманием, что основания объединяются в пары с помощью водородных связей и что пары, образуемые пурином и пиримидином, имеющие всегда один размер, дают регулярную структуру двойной цепи нуклеотидов, скрепляемой водородными связями.
Понимание того, почему две связанные цепи нуклео-тидов формируют двойную спираль, имеет отношение к рассмотрению взаимодействия между группами, формирующими нуклеотиды. Пары оснований представляют собой вытянутые плоские группы, имеющие форму достаточно больших плато, скрепленных друг с другом жесткими сахаро-фосфатными связями, допускающими, однако, ротационную подвижность относительно связей.
Таким образом, основная топология группы и их взаимодействие определяют структуру ДНК как геликоидальную. При этом традиционно отмечается, что длина молекул всегда существенно превышает диаметр, что является основанием для модельных представлений, в которых молекула описывается как деформируемая струна, когда ее поведение не ассоциируется с изменением ее внутренней структуры.
Существенны также два типа сил, которые стабилизируют структуру двойной спирали:
1) водородные связи между дополняющими основаниями, которые, следуя Уотсону и Крику, объединяются в пары А(аденин)-Т(тимин) и G(гуанин)-C(цитозин), скрепленные соответственно двумя и тремя водородными связями;
2) ковалентные связи, которыми основания соединены вдоль цепи ДНК. При этом существенно, что водородные связи являются значительно более слабыми по сравнению со связями вдоль цепи.
В соответствии с результатами Уотсона и Крика структура ДНК, имеющая так называемую 5-конфор-мацию, обладает следующими признаками:
- ДНК образуется двумя полинуклеотидными цепями (рис. 1), обвивающими с правосторонним поворотом общую ось, образуя двойную спираль с диаметром ~20 А. Двойные цепи являются антипараллельными и обернуты таким образом друг относительно друга, что
Рис. 1. Структура двойной спирали
не могут быть разделены без взаимного расплетения. Основания покрывают поверхность спирали, которая обвита сахаро-фосфатными цепями на периферии таким образом, что достигается минимизация сил отталкивания между заряженными фосфатными группами.
- Плоскости оснований почти перпендикулярны оси спирали и каждая пара расположенных друг против друга оснований имеет водородную связь и образует при этом плоскую пару оснований. Идеальная В-ДНК-спи-раль содержит 10 пар оснований (base pairs, pb) на один поворот (поворот спирали на 1 pb составляет 36°), что обеспечивает шаг спирали и пространственную периодичность угла закрутки соответственно h = 34 Á и ш0 = 2п/h = 1.85 нм-1. Ароматические основания меют ван-дер-ваальсовский масштаб 3.4 Á и, как следствие этого, наблюдается эффект частичного перекрытия.
- Персистентные длины поворотных и изгибных мод представляют естественные масштабы для термических флуктуаций (~ 15...20h). ДНК является достаточно жестким полимером вследствие растяжения соответствующих пар аминокислот химическими и водородными связями. Термические персистентные длины ДНК на изгиб и вращение составляют соответственно 150 bp (50 нм) и 220 bp (75 нм).
- При пространственных масштабах в тысячи пар оснований (~0.5 мкм) ДНК in vivo организованы в топологически независимые петли. Молекулы ДНК с размерами 2...10 kbp представляют собой «связанные» множества. Основная часть генов (prokariotic cells) организована как единичные замкнутые ДНК с размерами ~2 Mbp.
2.3. Чтение генетического кода
Последовательность пар оснований в ДНК кодирует информацию для синтеза протеинов. Чтение генетического кода является достаточно сложной процедурой, т.к. основания, содержащие информацию, обнаруживают
эффект перекрытия («укладки»). Как следствие, считывание кода предполагает наличие дисторсий, «проявляющих» основания, скрытые до этого за счет «укладки». Считывание реализуется молекулой РНК, которая сканирует длину молекулы ДНК, определяя место ее инициирования, т.е. зарождения гена. После этого происходит «расплетание» двойной спирали на участке ориентировочно в 20 пар оснований и формирование дисторсии (рис. 2). Основания, которые себя проявили при образовании дисторсии, копируются молекулой РНК, которая выполняет функцию «template» для синтеза протеинов. Образовавшаяся «считывающая дистор-сия» движется вдоль ДНК, замыкая основания после процедуры считывания и размыкая новые до завершения движения по двойной цепи.
Процесс транскрипции включает дисторсию молекулы, которая имеет настолько большую длину, что ей естественно проявить нелинейную природу силового взаимодействия различных молекулярных групп.
2.4. ДНК как динамический объект
Открытие структуры двойной спирали подтвердило определение, что «форма есть функция», но очевидным является также тот факт, что чтение генетического кода предполагает большие конформационные изменения в структуре ДНК. Поэтому ДНК является, в высшей степени, динамическим объектом [8], в котором наблюдаются термически активируемые раскрытия участков ДНК, сопровождающие процесс транскрипции. Попытки описания динамики этих процессов предпринимаются последнее время с физических позиций и могут рассматриваться как первые шаги в этом направлении. На «дыхание» ДНК биологи обращают пристальное внимание последнее десятилетие, отмечая, что это явление сопровождается двенадцативременным раскрытием пар оснований. Эксперименты показывают [9], что средняя продолжительность «жизни» связанной пары оснований
Рис. 2. Формирование открытого комплекса и механизм считывания
~ 10 мс, что свидетельствует о существенных конфор-мационных изменениях, которые приводят к локализации раскрытия пар оснований, сопровождающих механизм транскрипции.
3. Структурные модели ДНК
3.1. Структурные переходы в ДНК
Имеет место формальная аналогия между механизмами неустойчивости в структуре ДНК и фазовыми переходами в однородных системах. Эффекты плавления-распада в растягиваемой двойной цепи ДНК (рис. 3) являются одной из фундаментальных проблем в статистической физике биологических систем, которые обнаруживают различные типы критического поведения, наблюдаемые в других нелинейных системах [10].
Ранние модели термического распада ДНК, т.е. разделения двух цепей при нагреве, были основаны на моделях типа Изинга, в которых параметр порядка, характеризующий взаимодействие оснований, сводился к расстоянию между последними. Современные исследования связывают эти переходы с нелинейными механизмами зарождения конечно-амплитудных флуктуаций [4, 11-13]. Анализ закономерностей скейлинга указанных переходов был проведен в [4] с использованием асимметричного потенциала, содержащего пологий участок для больших значений перемещений, что соответствует распаду двойной спирали при повышенных температурах. Этот тип потенциала включал также взаимодействие между последовательными основаниями в длинноволновом приближении. В соответствии с этим описанием локальная неустойчивость плавления возникает в «мягком» режиме, что не подтверждается экспериментальными наблюдениями динамики переходов, которые носят резкий характер.
Обобщение данной модели было предложено в [1113] введением параметра жесткости, который, учитывая взаимодействие последовательных пар оснований, позволил описать резкий характер перехода. Исследования однородных ДНК также показали, что данная модель дает возможность описания последовательного распада
(плавления), наблюдаемого в эксперименте [14]. В дополнение показано, что в рамках модели возможна генерация «энтропийного барьера», с которым связывается «сужение» перехода. При некоторых значениях параметра жесткости модель демонстрирует признаки переходов первого рода с конечным значением энтропии плавления, нарушение непрерывности для части связей (что типично для ДНК), расходимость продольных и поперечных корреляционных масштабов [11].
3.2. Степени свободы
Степени свободы, описывающие дисторсии в молекуле ДНК, могут быть разделены на переменные, определяющие конформации центральной оси, и переменные, определяющие внутренний поворот двойной спирали. Положение оси ДНК может быть описано пространственной кривой, заданной параметром длины s вдоль оси ДНК и радиусом-вектором точки r(s). Касательная t = дsr задается единичным вектором, положение которого в пространстве определяется двумя углами или локальной кривизной и дисторсией [3].
Поворот измеряется как пространственная интенсивность поворота пар оснований относительно центральной оси, которая для неискаженной структуры ДНК задается как ш0. Отклонение в интенсивности поворота от w0 может быть описано с использованием скалярного поля ^ (s). Это дает в целом три степени свободы для каждой координаты s, что необходимо для описания поворотов координатных осей, связанных с парами оснований при перемещении последних вдоль молекулы.
3.3. Модель Пейрара-Бишопа (Peyrard-Bishop model) [4, 12, 13]
Проблема распада ДНК вызывает большой интерес в контексте процессов, лежащих в основе механизмов транскрипции — важнейшего свойства молекулярных биологических систем. Эксперименты на разбавленных растворах ДНК демонстрируют существование термически инициируемых процессов денатурации, сопровождающихся разрывом связей пар оснований и образованием локализованных мод дисторсии при некоторой критической температуре Tm [15]. Показано, что процесс денатурации может быть описан в рамках переходов первого рода при контролируемых внешних параметрах — температуре и внешнем закручивающем моменте. Для описания поведения однородной ДНК в [11] используется потенциал
н = Е
2
IpL + w (y„, yn _,) + V (yn) + Dhayn 2m
(1)
Рис. 3. Распад ДНК
где т — приведенная масса пар оснований; уп определяет трансляционную моду, обусловленную растяжением водородных связей, соединяющих два основания п-й пары; рп = т(&уп/ &). Связь между последовательными парами оснований описывается соотношением
W (Уп> Уп-1) =
= К[1 + рехр(-5(Уп + Уп-1))](Уп -Уп-1)2.
Этот выбор потенциала взаимодействия обусловлен выводом, что энергия упаковки в основном определяется свойством пар оснований, а не свойствами одиночных оснований. Эффективная константа связи изменяется от значения (1 + р)К до К, когда одна из двух взаимодействующих пар оснований раскрывается. Это предположение находится в качественном соответствии с реальными признаками взаимодействия оснований в ДНК.
Третий член представляет собой одноточечный потенциал, который описывает взаимодействие двух оснований в паре.
V (Л) = D(e
-ayn
-1)2.
Последний член описывает влияние продольных внешних усилий h. Относительная простота постановки позволяет выполнить моделирование в широком временном интервале, что необходимо для оценки экспериментальных условий.
Оценка основных параметров модели принимается для единиц длины в ангстремах и энергии в электрон-вольтах. За единицы измерений времени и силы приняты 1.021 -10-14 с и 1602 пН, в соответствии с которыми параметры модели оценивались как D = 0.04эВ, K = = 0.04 эВ/Ä2, а = 4.5 Ä, а = 0.35 Ä-1, m = 300 а.е.м., р = = 0.5, 8 = 0.35 и давали значение температуры денатурации 360 K.
3.4. Вращательная мода в ДНК
Реакция молекулы ДНК на внешнее закручивающее напряжение интенсивно исследуется последние десятилетия [3, 16, 17] с целью более глубокого понимания механизмов денатурации. С биологической точки зрения появление закручивающих напряжений в живой клетке не является необычным и может существенно влиять на функционирование ДНК. Было показано, что денатурация может быть описана в рамках фазового перехода первого рода, когда контролирующими параметрами являются температура и приложенная величина внешнего вращения. Эта теория дает объяснение BDNA-dDNA фазового перехода в экспериментах с единичными молекулами [18, 19].
Эта модель воспроизводит спираль Уотсона-Крика (B-DNA) и схематически представлена на рис. 4. В плоскости, перпендикулярной к оси спирали, для каждой пары оснований (n = 1, ..., N) вводится полярная система координат rn и фn. Сахаро-фосфатное основание моделируется жесткими стержнями с фиксированной длиной L, в то время как расстояние hn между плоскостями оснований (n - 1) и n может флуктуировать.
Потенциальная энергия Vв переменных rn, фn записывается в форме
V = Е [Ут (Гп ) + V (Гп, Гп-1) + УЬ (Гп , Гп-1, 0п ) + ^ (0п )], (2)
п
где 0п = фп - фп-1 — угол закручивания спирали.
1. Первый член Vm (гп) = Б(е-а(Г-Я) -1)2 представляет энергию водородной связи для заданной пары оснований. В данной модели пара оснований с диаметром г > гd = Я + 6/а рассматривается как открытая. Глубина потенциала D, обычно порядка 0.1 эВ, зависит от типа пары оснований (АТ — аденин-тимин или GC — гуа-нин-цитозин), а также от прочности ионной связи.
2. Сдвиговые усилия, которые оказывают сопротивление скольжению одного основания относительно другого, характеризуются потенциалом упаковки
К(Гп, Гп-,) = Ее-(г"г"-2Я)(гп -гп-,)2.
Вследствие уменьшения молекулярной упаковки с появлением открытых пар, сдвиговой фактор экспоненциально уменьшается и становится пренебрежимо малым на расстояниях, превышающих ~ 5Ъ-1 = 10 А, которые близки к диаметру пар оснований
3. Флуктуации аксиального расстояния Нп между соседними парами оснований описываются упругим потенциалом
Vъ (Гп , Гп-„ 0 п) = К [Нп - н ]2 =
--K
-ГП - rn-1 + 2rnrn-1c0s 0n - H
Геликоидальные структуры возникают при Н < L: в 5-конформации г < ^ минимум потенциала Vъ (= 0) достигается при ненулевом угле поворота (рис. 3).
3.5. Нелинейные локализованные моды дисторсии в структуре ДНК
Модель Пейрара-Бишопа позволила провести разнообразные исследования локализованных мод в структуре ДНК. Приближенное решение, полученное на основе данной структуры гамильтониана для одномерной
Рис. 4.
ДНК-решетки, показало существование пространственно-локализованных решений, получивших название бризеры Пейрара-Бишопа (PB-бризеры). Эти коллективные моды исследуются применительно к механизмам термической денатурации ДНК и проявляются на кривой «плавления» в виде локализованных мод тонкой структуры, с динамикой которых связываются основные механизмы транскрипции. Данные моды, являясь устойчивыми в малоамплитудном пределе, могут распространяться вдоль молекулярной цепи в течение конечного интервала времени с незначительным изменением их энергии и без изменения формы. Имея малую амплитуду, движущиеся РВ-бризеры играют роль предвестников, формирующих считывающие домены в термали-зованной цепи со спонтанно локализованной энергией и обеспечивают переход к активирующим дисторсиям и связанным с ними механизмами транскрипции и репликации. Бризеры обладают способностью к росту, аккумулируя энергию малых возмущений до возникновения больших доменов денатурации и в завершение — полному разделению цепей. Природа этих флуктуаций связана с широкой вариацией скоростей, с которыми растет число денатурированных пар оснований. Такие большие флуктуации, соответствующие «дыханию ДНК», наблюдаются экспериментально [10]. Важным следствием этих экспериментов является установление факта, что изолированный бризер останавливается, если его фронт достигает «холодной» области. Таким образом, настоящий результат показывает, что разрывы водородных связей не являются чисто механическим процессом и важную роль играют термические флуктуации.
PB-модель является удачным базовым приближением, позволяющим интерпретировать ряд механизмов, связанных с динамикой энергетических флуктуаций в ДНК. Однако наблюдаемые при растяжении ДНК локальные вращения спиральной молекулы играют также важную роль в различных биологических функциях ДНК. Вращательная мода (constraining local twist) может быть введена как локальная степень свободы в рамках рассматриваемой «одномерной модели» ДНК.
Численный эксперимент, основанный на использовании PB-модели, позволил установить связь микроскопических механизмов денатурации с конечно-амплитудными флуктуациями растягивающих усилий. Аналогичные сценарии нелинейной динамики были исследованы в [20], также экспериментально и теоретически в [21] при возбуждении колебаний в струнах никелида титана при температурах и уровнях напряжений, соответствующих переходам в режим сверхупругости.
4. Эволюция дефектов и механизмы дисторсии в структуре двойной спирали ДНК
Последовательность переходов в структуре ДНК может быть рассмотрена как свойство эволюции дефектов при структурно-скейлинговых переходах в полимерном
кристалле двойной спирали в соответствующем температурном интервале. Роль дефектов представляется важной при формировании полинуклеотидной цепи, если последняя рассматривается как непериодический одномерный кристалл, для которого наиболее устойчивое состояние может быть достигнуто вследствие поворотов, обусловленных дисклинациями, расположенными между соседними парами оснований. Именно с диск-линационной частью дисторсии связан эффект закручивания спирали (рис. 3) на определенный угол, приходящийся на шаг спирали и, возможно, напряженное состояние молекулы ДНК. Данный факт подчеркивался Уотсоном при обсуждении устойчивости структуры двойной спирали B-DNA и в [11-13] при обсуждении роли структурных деформаций в реализации биологических механизмов транскрипции, длиннокорреляци-онных активационных эффектах и, в том числе, при формировании открытых комплексов. Например, имеются многочисленные данные по усилению эффектов в последовательностях геликоидальных мод, т.е. в областях, где повороты между соседними парами оснований, или углы поворота, изменяются с учетом величин, характеризующих условия равновесия. Деформации, обусловленные вращениями, жестко связаны геометрическими соотношениями с условиями формирования открытых комплексов.
Локализованные моды дисторсии в цепи двойной спирали ДНК могут рассматриваться как дислокационные субструктуры.
4.1. Параметры порядка структуры ДНК с локализованными дисторсиями
Структурные параметры порядка в «кристалле» ДНК могут быть введены с использованием теории калибровочных полей, следствия которой универсальны по отношению к континуумам различной природы, когда имеют место локализованные дисторсии, связанные с нарушением локальной симметрии среды, обусловленные дефектами [22]. Основой для приложений теории калибровочных полей является установление внутренней группы симметрии для среды с дефектами. Так, основные механические модели деформируемого континуума инвариантны относительно однородной группы трансляций T(3) и вращений 50(3), что означает инвариантность лагранжиана системы относительно преобразований
х ^ X = g(£, t) + т(£, t), где x и £ — текущие и начальные координаты; g(£, t) и т(£, t) — операторы вращения и трансляции соответственно.
Дифференциальные операторы должны быть также инвариантными по отношению к преобразованиям T(3) и 50(3), что учитывается видом ковариантной производной:
D х = Э,д х + Г х + >
где Г и — дифференциальные операторы вращения и трансляции. Для среды с дефектами однородность преобразований 7(3) и £0(3) нарушается, т.к. в этом случае локальные вращения и трансляции привносятся дефектами. Внутренняя группа симметрии такой среды определяется так называемым полупрямым произведением групп £0(3)7(3), которые, являясь функциями координат и времени, определяют структуру калибровочного поля.
Важным результатом теории калибровочных полей является установленная структура лагранжиана среды с дефектами. С учетом введенных дополнительных переменных Г и Р^ лагранжиан может быть записан в виде
ь = -2с4я-2С2^ел, (3) где = - + ГА - ГуГц > = д А -
+ Г^Р^, -ГуР^ + 6^х — интенсивности калибровочного поля, относящиеся к локальным ротациям и трансляциям, привносимым дефектами; gik — компоненты метрического тензора. Феноменологические параметры С и С2 в лагранжиане £ являются константами дислокационного (дисклинационного) взаимодействия. Представление лагранжиана в форме (3) будет использовано в дальнейшем при статистическом анализе поведения ансамбля дефектов.
Структурные параметры, ассоциированные с локализованными дисторсиями, могут быть введены в виде, аналогичном переменным интенсивностям калибровочного поля. Открытые комплексы, локальная дисторсия которых охватывает сегмент 2d (приблизительно 15-20 пар оснований), могут быть описаны микроскопическим параметром порядка sik для нормальной трансляционной моды В = В V к характерной площади раскрываемого сегмента = Sd V:
^к = ^к > (4) где 5 = SdB.
Для сдвиговой моды локализованной дисторсии микроскопический параметр порядка имеет вид
sik=2 s(viik+iivk х
(5)
где 1 — единичный вектор в направлении сдвига; 5 = SdB — интенсивность сдвига с величиной вектора Бюргерса В = В1. Оба параметра порядка характеризуют трансляционные степени свободы для выделенной ячейки двойной спирали ДНК.
Дисклинационные моды ДНК могут быть представлены как антисимметричная мода дисторсии, индуцированная дефектами
sik=2 s(viik - iivk )•
(6)
ческие аргументы для рассмотрения в первую очередь поведения симметричных мод дисторсии в структуре ДНК.
4.2. Статистическая модель структуры ДНК с локализованными дисторсиями
Микроскопическая кинетика для параметров , характеризующих локализованные дисторсии, может быть описана на основе уравнения Ланжевена
sik - Kik (slm ) - Fik,
(7)
Выше введенные степени свободы не являются независимыми и поэтому могут быть приведены физи-
где Kik -дБ/dsik; E — энергия дефектов; Fik — случайная 8-коррелированная часть случайного поля, удовлетворяющая соотношениям:
(Fik(0) - 0 и F(t')Fik(t)) - QS(t -1'). Параметр Q характеризует дисперсионные свойства системы и в нашем случае соответствует средней энергии зародышей дефектов. Принимая во внимание данные о роли исходной «скрученности» в структурных превращениях ДНК, величина Q может быть связана со значениями начальной скрученности цепей двойной спирали, что, в свою очередь, может соответствовать предположению о существовании исходных дефектов дисклинационного типа между соседними парами оснований вдоль двойной спирали.
Выражение для изменения энергии системы, связанной с формированием локализованных мод дисторсии может быть представлено в виде:
E - Бо =- HikSik +as2k, (8)
который является частным случаем лагранжиана (3). Квадратичный член представляет «собственную» энергию дефекта [23], слагаемое Hiksik описывает в приближении «эффективного поля» взаимодействие между дефектами, а также внешним полем усилий ст1к • Вид эффективного поля предполагается следующим:
Hik -стik + XnPik > (9)
где а, X — константы взаимодействия, определяемые структурой двойной спирали; n —концентрация локализованных дисторсий. Среднее значение тензора дистор-сии pik - (sik) для открытого комплекса дается процедурой усреднения
Pik -J SikW (s, v, l)dsik, (10)
где функция распределения принимается в виде
W - Z-1 exp(- E/Q),
Z - J exp(-E/Q)dsik — нормирующий фактор.
Переход к безразмерным переменным
„ - 1 [а „ - [а „ - стгг
pik - _ J— pik, sik - . — sik, ik - I-
позволяет представить соотношение (10) в виде уравнения самосогласования
Р ¡к
¡к = | 1
//
ехр
° ¡к +"5 р ¡к
- -2 5 ¡к ¿¡к
, (11)
которое включает единственный безразмерный параметр 5 = а/(Ап). Размерностный анализ величин, входящих в (8), позволяет получить оценку
а
—, А ~ в, п ~ Я~3,
где G — эффективная характеристика упругости двойной спирали при образовании открытого комплекса; V0 ~ г0 — характерный объем зародыша данного дефекта; Я — расстояние между открытыми комплексами. В результате мы получаем для 5 значение 5 ~ (Я/г0)3, что отражает так называемую «статистическую автомо-дельность» в поведении дефектов различных структурных уровней. Решение уравнения самосогласования (11) приведено на рис. 5 [5].
Решение установило существование трех характерных нелинейных режимов, соответствующих различным областям значений параметра структурного скей-линга 5 (5 > 5* ~ 1.3, 5с < 5 < 5*, 5 < 5с ~ 1), разделенных точками бифуркации решений 5с и 5*. Точки бифуркации 5*, 5с играют роль, аналогичную критическим температурам в теории фазовых переходов Ландау. Параметр структурного скейлинга 5 имеет смысл второго параметра порядка, величина которого связана, что будет показано в дальнейшем, с новыми условиями тер-мализации мезоскопической системы, которые не определяются обычной температурой. Роль последней заключается в формировании критических зародышей (начального значения 5), приводящих при соответствующих условиях к формированию открытых комплексов, обладающих различной динамикой в структуре двойной спирали ДНК, с которыми могут быть связаны различные механизмы функционирования последней. Появление структурного параметра, который выполняет роль эффективной температуры, представляется важным, т.к. это обеспечивает независимость динамического поведения системы от обычных условий термали-
зации, которые инициировали процессы «медленной динамики» в рассматриваемых системах, например, формирование бризеров.
С учетом физического смысла параметра структурного скейлинга представляется естественным введение обобщенной функции распределения, учитывающей «независимую» статистику для 5, связанную с естественной вариацией структурных масштабов Я и г0 в цепи ДНК:
N (Е) = / (5)
1
^ (5)
ехр
-1Е 5
(12)
где /(5) — функция распределения значений восприим-
чивости; Е = 5(а
%) + Р к5 к. Пр°цедура усреднения в этом случае будет включать интегрирование по всем параметрам порядка рассматриваемой мезоскопи-ческой системы
Р 1к =
= | / (5) 1-1 ехр
5 ¡к 5 ¡к
¿5. (13)
Рис. 5. Характерные реакции системы на рост дефектов
Представление функции распределения в форме (О) соответствует концепции «эффективного поля», предложенной Леонтовичем [24] для построения неравновесных термодинамических потенциалов (неравновесной свободной энергии) и представляющей собой вариант обобщения статистики Больцмана-Гиббса на неравновесные состояния. Определение «эффективного поля» предполагает введение вспомогательного многокомпонентного поля, сконструированного таким образом, что гамильтониан системы с учетом структуры эффективного поля соответствует условиям равновесия для данного текущего состояния. В соответствии с этим подходом произвольное неравновесное состояние термически однородной системы, которое описывается некоторыми параметрами порядка, может соответствовать этим же параметрам порядка в случае равновесия системы в присутствии некоторого эффективного силового поля. Аналогичная по сути идея была позднее предложена Тсаллисом [25] и Беком [26] и получила название неэкстенсивной статистики или суперстатистики.
Отметим, что зависимость статистического интеграла от единственного безразмерного комплекса 5, составленного из характерных масштабов, отражающих фундаментальные свойства нелинейных неоднородных сред с дефектами — размер зародышей новой фазы (коллективных мод) и корреляционный радиус взаимодействия этих фаз, можно связать с фундаментальными чертами параметров порядка, характеризующих дефекты — локализацию соответствующей группы симметрии пространства. Установленные в ходе статистического усреднения с данной функцией распределения типы нелинейностей, возможно, отражают универсальные свойства пространства с локальными нарушениями симметрии при зарождении локализованных взаимо-
действующих дисторсий. Типы нелинейностей дают возможность рассмотреть виды коллективных мод, которым может быть подчинено поведение всей системы в целом, что связано с группами симметрии уравнений движения, соответствующих установленным нелиней-ностям.
Статистическое описание позволило предложить вид мезоскопического неравновесного потенциала, описывающего эволюцию открытых комплексов в зависимости от эффективных характеристик двойной спирали ДНК. Представленные на рис. 5 зависимости соответствуют решениям уравнения дF/др = 0, где F — мезоско-пический потенциал системы. Для одномерного случая (Р = Рхх, а = , е = е22) «минимальное разложение» для F дается полиномом 6-го порядка по переменной р и имеет вид, аналогичный разложению Гинзбурга-Ландау [5]:
Е = - А(8,8»)р2 - -Вр4 +
+ -С(8, 8С)р6 - Dap + Х(^/Р)2-6
(14)
Градиентный член в (14) описывает эффекты нелокальности при взаимодействии дефектов («диффузию» мод дисторсии — открытых комплексов); А, В, С, D и X — параметры, характеризующие структуру ДНК. Отметим, что с учетом вида энергии дислокационного дефекта (9) разложение (13) отражает вклад основных слагаемых в выражении для гамильтониана (1) при формулировке модели Пейрара-Бишопа.
Кинетика введенных параметров порядка соответствует эволюционному неравенству [5]
8Е _ дЕ др дЕ ё8
- + —— < 0, 8t др dt д8 dt
(15)
из которого следуют уравнения движения для параметра дисторсии, характеризующего открытые комплексы, и параметра структурного скейлинга, характеризующего текущую восприимчивость структуры ДНК к формированию открытых комплексов, и, как это будет показано ниже, их динамику
Ф =-Г
(
А(8,8»)р - Връ + С(8, 8с)р5 -
- Da--
дх1
др ' дх1
У\
/У
= -Г
- дА 2 - - дС 6 81 2 Э8 р 4 Э8 р
(16) (17)
4.3. Локализованные моды дисторсии, индуцированные дефектам
Как следует из решения уравнения (11), представленного на рис. 5, переходы через точки бифуркации 8С и 8» приводят к резким изменениям в функции рас-
пределения и формированию коллективных мод тензора дисторсии р1к. Тип перехода через критические точки определяется видом бифуркации — групповыми свойствами уравнений эволюции (10), (11) в различных областях значений параметра структурного скейлинга 8 (8 > 8», 8С < 8 < 8», 8 < 8С). Качественные изменения в поведении системы представлены на рис. 6 в виде семейства гетероклиник, соответствующих решениям правой части уравнения (17) для различных 8:
А(8,8»)р - Вр3 + С(8, 8с)р5 -
- Dст--
д
дх1
X
др
дх1
= 0.
(18)
В области 8 > 8» это уравнение имеет эллиптический тип, которому соответствуют собственные формы в виде пространственно-периодических мод дисторсии на некоторых масштабах Л со слабой анизотропией формы, определяемой величиной усилия (или анизотропии свойств цепи ДНК). При 8^8» и пересечении сепарат-риссы 32 собственные формы уравнения (17) претерпевают качественные изменения, связанные с вырождением пространственного периода Л при его стремлении к значениям Л = - 1п(8 - 8»). Решение в этом случае трансформируется к виду бризеров при 8^8» и авто-солитонных волн р(0 = р(х - Vt) при появлении мета-стабильности при 8 < 8». Амплитуда волны, ее скорость и ширина волнового фронта определяются в этом случае условиями неравновесного перехода
р = 2 ра[1 - л(С хв1)],
(19)
Ьв =
4 ' 2 X
А
—2
ра
Скорость волновых фронтов определяется соотношением V = %А(ра - рш)/Г2 , где ра - рт — скачок в значении р в области метастабильности.
Остановимся более подробно на деталях этого перехода, представляющего интерес для сопоставления результатов исследования нелинейных систем, описываемых гамильтонианом вида (1), и поведения ДНК как динамического объекта. Моделирование на основе методов молекулярной динамики, проведенное в [13], обнаружило зарождение нелинейных локализованных возмущений, получивших название дискретных бризеров. Это свойство является особенностью «нелинейных решеток» и невозможно в «однородных решетках», в которых начальное возмущение распространяется на всю систему. Локализация энергии в нелинейных решетках может быть инициирована, например, модулированной неустойчивостью плоской волны, однако модулирование неустойчивостью — это только первый шаг к зарождению бризеров. Моделирование динамики бризеров позволило выделить три основные стадии. Первая — это модулирование плотности энергии в системе, кото-
д
рая изначально однородна. Эта динамика скоротечна и приводит к формированию максимумов плотности на некоторых расстояниях. Данные моды соответствуют «малым бризерам» и их распределение в среднем может быть оценено на основе теории малых возмущений. Малые бризеры определяются наиболее быстрыми модуляциями начальной волны. Но модулированные неустойчивости не могут привести к «большим бризерам», потому что характерная энергия бризеров дается произведением средней энергии на «длину модуляции». Результаты расчетов показывают, что «большие бризеры» возникают на второй стадии, которая требует значительного времени, и их зарождение происходит при столкновении малых бризеров, зарождающихся на первой стадии. Когда наблюдается соударение двух из них они не ведут себя как солитоны в континуальной среде. Как правило, наиболее «мощный» бризер поглощает энергию «слабого». В результате множественных соударений, которые происходят на второй стадии, некоторое небольшое количество бризеров собирает основную энергию начальной плоской волны. Затем, в течение третьей стадии распределения плотности энергии в решетке остается стационарным с резким максимумом в местах расположения больших бризеров, которые не двигаются в решетке. Это происходит потому, что при их росте бризеры становятся уже, пока ширина их не достигнет нескольких размеров решетки. На этой стадии бризеры начинают чувствовать дискретность и оказываются «пришпиленными» к решетке. Данный эффект аналогичен «закреплению» кинков или дислокаций барьерами Пайерлса [27], хотя для бризеров, имеющих внутренние осцилляции, рельеф Пайерлса, зависящий только от позиции бризера, не может быть определен. Третья стадия очень устойчива, и даже при больших временах не наблюдается затухание сильно локализованных бризеров вследствие взаимодействия с «подложкой» из малоамплитудных возмущений. Для системы, контактирующей с термостатом, другие бризеры могут возникнуть вследствие флуктуаций. В этом случаев в течение времени, которое очень велико по сравнению с периодом фононов, наблюдается равнораспределение энергии по решетке, однако на временных масштабах порядка 105 периодов колебаний фононов может наблюдаться локализация энергии в малых областях решетки [13].
Аналитические исследования роста бризеров вследствие соударения представляют большие трудности, т.к. включают анализ обмена малыми энергиями. В целом, как отмечается в [13, 27], ситуация с зарождением нелинейных локализованных возмущений естественным образом соотносится с описанием движения дефектов в потенциале Пайерлса-Набарро с образованием соответствующих кинков. Однако решения для нелинейных локализованных возмущений нетопологические, т.е. не существует специальной структуры, пред-
полагающей существование соответствующего многочастичного потенциала. Достаточным при этом является существование нелинейного потенциала. Исследование данной проблемы в терминах «коллективных мод», которые описывают движение нелинейных локализованных возмущений, показало эквивалентность с постановками Ферми-Пасты-Улама [27], при этом существование аналога барьера Пайерлса связано с энергией, которая необходима для преодоления сепа-ратриссы колебаний. Эта сепаратрисса разделяет периодические моды колебаний от поворотных [29]. Именно этот результат следует из статистической модели, которая показала существование данной сепаратриссы при значении параметра структурного скейлинга 8», соответствующего формированию ориентационно-выра-женной моды в интервале 8» < 8 < 8c, реализуемой при повороте локализованной дисторсии и имеющей ненулевую скорость фронта. Закреплению «больших бризеров» на решетке соответствует формирование локализованных нелинейных мод дисторсии при локальных значениях параметра структурного скейлинга, определяемых критическим значением 8».
Переход через точку бифуркации 8c (сепаратрисса S3) сопровождается появлением пространственно-временных структур качественно нового типа, характеризующихся резкой кинетикой роста дефекта (blow-up режим) при t ^ tc на спектре некоторых пространственных масштабов [5, 22].
Предполагая степенной вид зависимостей интенсивности источника и коэффициента нелокальности при 8<8c и p > pc, кинетическое уравнение (15) может быть записано в форме
f « S (Pc) (хо( Pc)/f-
дt дхI dx
(20)
где S, х0, ю, в — параметры разложения.
В [10] показано, что для данного вида уравнений развитая стадия кинетики р в пределе некоторых характерных времен г ^ гс соответствует автомодельному решению вида
Р( х, г) = ф(г)/(О, (21)
C = f-, <|>(t) = Фо
(
Y
1 --
где т > 0, Ф0 > 0 — параметры, определяемые типом нелинейности уравнения (16); Lc и гс — характерные пространственные и временные масштабы автомодельного решения. Вид функции /(£) определяется решением соответствующей проблемы на собственные формы и собственные значения данной задачи. Например, для случая ю = в +1 автомодельное решение уравнения (15) имеет вид
p(х, t) = [S(t - tc)]
4/ в
(
2(в +1) в(в + 2)'
(
sin
пх „ — + п6
(22)
/у
где 0 — случайное значение в интервале (0, 1). Масштаб ЬС, так называемая фундаментальная длина [29], имеет смысл пространственного периода решения (22)
Ьс = у ((в+1)х 0 S-7/2.
Автомодельное решение (22) описывает кинетику режима роста величины дисторсии в так называемом режиме с обострением при I ^ tc на спектре пространственных масштабов Ьн = кЬС, к = 1,2,..., К. В этом случае на масштабах Ьн = кЬС развиваются сложные диссипативные структуры обострения, представляющие каскады простых диссипативных структур этого типа (рис. 6).
Рис. 6. Типы гетероклиник и соответствующие собственные формы
Возможные сценарии эволюции локализованных мод дисторсии, зарождающихся первоначально в форме бризеров при некоторых характерных температурах Тт, когда 8^8», представлены на рис. 6. Появление новых структурных масштабов (соответствующих бри-зерам) приводит к резкому изменению значений структурного параметра скейлинга 8, переходу системы в область метастабильности и зарождению автосолитонных мод, способных к перемещению вдоль двойной спирали ДНК. Данная способность локализованной моды дисторсии — открытого комплекса — может лежать в основе важнейших функций ДНК — транскрипции и репликации. Механизм транскрипции в этом случае связывается с движением уединенной волны в выделенном направлении, механизм репликации может быть обусловлен движением волновых фронтов в противоположных направлениях вдоль двойной спирали, обеспечивая разделение ее цепей. Устойчивость данных механизмов связана с особенностями кинетики для структурного параметра скейлинга, играющего роль структурной восприимчивости двойной спирали к росту локализованной дисторсии. Достижение структурным параметром скейлинга критического значения 8С должно приводить к неограниченному росту локализованных мод дисторсии и нарушению функций ДНК.
Описанный на основе уравнений (16), (17) сценарий эволюции коллективных мод дисторсии в структуре двойной спирали ДНК носит характер «самоорганизованной критичности» [30] в зависимости от значений текущей структурной восприимчивости — структурного параметра скейлинга — и позволяет исследовать поведение биологической системы на основе спектрального анализа [31] типов коллективных мод, контролирующих поведение последней.
Учитывая роль, которую может играть структурный параметр скейлинга в механизмах, происходящих в двойной спирали ДНК, представляется важным более детальное исследование влияния данного параметра на статистическое поведение реальных биологических объектов, характеризующихся различной «восприимчивостью» к зарождению и эволюции коллективных мод дисторсии.
5. Динамика ДНК и суперстатистика систем с «медленной динамикой»
Динамические процессы, происходящие в структуре двойной спирали ДНК, учитывая существенную неравновесность последних, можно отнести к процессам с так называемой «медленной динамикой» [32]. Идеи, впервые высказанные Леонтовичем об обобщении статистики Больцмана-Гиббса на случай систем, далеких от равновесия и обнаруживающих черты «медленной динамики», получили развитие в последние годы в [25, 26] и известны как неэкстенсивная статистическая меха-
ника и термодинамика, а также как суперстатистика. Как оказалось, областью приложений этих подходов является описание широкого класса сложных систем, поведение и свойства которых являются аномальными с точки зрения термодинамики и статистики равновесных или близких к равновесию систем. Основной проблемой при изучении таких сложных систем, к которым относятся и биологические системы, является описание связи между статистическими и динамическими (флуктуа-ционными) закономерностями поведения в ситуациях, когда предположение об эргодичности систем в общем случае не выполняется при развитии неустойчивостей, приводящих к стохастической динамике с высокой чувствительностью макроскопического поведения систем к флуктуациям и, как следствие, развитию пространственно-локализованных коллективных мод с большими временами динамики. Сложная пространственно-временная структура таких систем приводит к тому, что нарушается принцип аддитивности для такой важнейшей термодинамической величины, как энтропия.
Формализм Т-статистики аналогичен статистике Больцмана-Гиббса за исключением определения энтропии и специальных преобразований Лежандра, необходимых для формулировки соответствующей термодинамики. На уровне описания динамики систем с «медленной динамикой» предположение об эргодичности заменяется неэргодичностью Т-статистики. Отметим, что теория Больцмана-Гиббса охватывает системы с экспоненциальным видом вероятности распределений интенсивных величин, Т-статистика описывает степенные законы распределений, которые наблюдаются для большинства неравновесных состояний в системах с «медленной динамикой».
Формализм Т-статистики, а также предложенной в [33] суперстатистики, можно рассматривать как попытку суперпозиции двух различных статистик, относящихся к неравновесным системам под действием медленно меняющихся или постоянных внешних сил и обнаруживающих макроскопически состояния, близкие к стационарным или с «медленной динамикой», но сопровождающихся флуктуациями интенсивных параметров. Таким образом, формализм суперстатистики можно определить как статистику статистик, суть которой заключается в следующем. Рассматриваются системы с «медленной динамикой» как совокупность доменов, статистика величин для которых может быть охарактеризована известным больцмановским фактором ехр(-РЕ), где Е — эффективная энергия данного домена; Р — интенсивный флуктуирующий параметр — обратная эффективная температура, значения которого принимаются постоянными по результатам усреднения для каждого домена на характерном масштабе времени. Предполагается существование независимой статистики для интенсивного параметра Р и вводится в рассмотрение усредненный больцмановский фактор
В( Е) = / / (р)ехр(-рЕ)ёр, (23)
0
где /(Р) — функция распределения для р. Условие нормировки эффективного больцмановского фактора для стационарной (длинновременной) функции распределения имеет вид:
Р(Е) = 1 В(Е), (24)
где 2 = | В( Е) &Е.
Частным случаем суперстатистики является вариант с определением процедуры нормализации в виде:
р(Е) = } / (р) 2- е"рЕ&р, (25)
0 2 (р)
где Z(Р) — нормализующий коэффициент для е_рЕ при заданном р.
Сопоставляя результаты развитого статистического описания и динамики коллективных мод дисторсии в структуре ДНК, представляется естественным обобщение соотношения (25) на случай конкретных типов распределений начальных значений структурного параметра скейлинга. Данное обобщение может быть предложено на основе введения функции распределения, имеющей вид:
"(Е)=[г (5) 1^5)ехр (" 5 Е)
где /(5) — функция распределения начальных значений восприимчивости; Е = Е/5. Предложенное обобщение дает возможность более реалистического описания возможных сценариев развития локализованных мод дис-торсии в структуре ДНК, для которых не исключается присутствие всех обсуждаемых выше коллективных мод в представительном объеме, содержащих ансамбли ДНК. Эволюция данных коллективных мод и их взаимодействие формируют в течение заданного интервала времени «флуктуационный рельеф», характеризующий состояние системы в присутствии всех коллективных мод, являющихся степенями свободы системы, по отношению к которым может быть определено понятие «эффективных температур» неравновесной системы.
5.1. Суперстатистика и классы универсальности статистического поведения неравновесных систем с «медленной динамикой»
Стационарные функции распределения систем, рассматриваемых в суперстатистике (в дальнейшем S-сис-тем), обычно обнаруживают негауссово поведение с широкими «хвостами», которые могут затухать по степенному закону, или как «растянутые» распределения, или же более сложные. Важный признак S-моделей — существование интенсивного параметра р, флуктуирующего на больших пространственно-временных масшта-
бах. В [33] показано, что многочисленные экспериментальные данные достаточно хорошо описываются тремя универсальными типами S-распределений: X , обратное X и Log-нормальное распределения. Указанные типы S-распределений, по-видимому, представляют универсальный статистический предел для широкого класса динамических систем. Рассмотрим эту особенность данных распределений более детально применительно к обсуждаемым классам неравновесных систем с «медленной динамикой».
Данные неравновесные неоднородные системы содержат много пространственных доменов (ячеек), характеризующихся различными значениями интенсивного параметра в (обратной температурой). Размер домена определяется его корреляционной длиной в непрерывно изменяющемся поле в. Предполагается, что в каждой ячейке достигается состояние локального равновесия, т.е. времена соответствующих релаксационных процессов предполагаются малыми. Параметр в предполагается постоянным в каждой ячейке на временном масштабе Т, а затем он принимает другие значения. Для больших времен т > Т стационарные распределения таких неоднородных систем возникают как суперпозиция распределений Больцмана ехр(-вЕ), «взвешенного» с плотностью вероятности /(в) наблюдаемой переменной в в случайно выбранной ячейке:
Р(Е = / / (в) Р(Е кв£ dв. 0 2 (в)
(26)
Здесь Е—эффективная энергия каждой ячейки; р(Е) — плотность состояний; Z(в) — нормирующий коэффициент для р(Е)е_вЕ для данного в. Строго говоря, распределение /(в) определяется пространственно-временной динамикой распределенной системы. Однако ряд содержательных выводов может быть получен при следующем рассмотрении. Так как по смыслу в — величина положительная, распределение /(в) не может быть гауссовым. Типичные распределения /(в) для распространенных экспериментальных ситуаций следующие:
1. В случае множественных независимых микроскопических случайных переменных , i = 1, ..., I, определяющих в в «аддитивном» смысле, нормированная сумма
х =+£ ^
47 ы г
приближается в соответствии с центральной предельной теоремой к гауссовому распределению Х1 для больших значений I. Так как в общем случае может существовать много различных случайных переменных, содержащих микроскопические случайные переменные, то имеет место совокупное гауссово распределение переменных Х1,...,Хп, соответствующее макроскопическим степеням свободы системы. Так как в является величиной положительной, то ее значение получается
возведением в квадрат этих случайных по Гауссу переменных. В результате
в=£х2
г=1
дается X - распределением п степеней свободы
/ (в) =-
1
(
Г| П
\п/ 2
2во
^п/ 2-1е-(пв)/(2во)
где в0 есть среднее значение в. В [26, 34] показано, что данный вариант S-статистики соответствует Т-ста-тистике и обнаруживает степенные «хвосты» для больших значений переменных. Таким образом, Т-статис-тика возникает как универсальный динамический предел, т.е. когда детали поведения микроскопических случайных переменных (а также их распределений вероятности) несущественны.
2. Аналогичное вышеприведенному рассмотрение может быть проведено, если «температура» в-1, более чем сама величина в, представляет сумму множества квадратов гауссовых случайных переменных, возникающих в ансамбле микроскопических степеней свободы Ъ,г. В результате /(в) представляет обратное X -распределение вида
/ (в) = -
1
Г
( \ п
2во
п2
в
п/ 2-1 -(пв)/(2во) е 1
Последнее производит S-распределение, которое характеризуется экспоненциальным затуханием микроскопических переменных и обладает признаками универсальности, т.к. детали поведения также не существенны.
3. В отличие от ситуации, когда величина в дается суммой многочисленных вкладов, для других систем, в частности для турбулентности, случайная переменная в может быть генерирована мультипликативными случайными процессами. В этом случае мы имеем дело с локальными каскадами случайных переменных
X=п ^,
г=1
где I — число «участников» каскада и — положительные микроскопические случайные переменные. В соответствии с центральной предельной теоремой для больших I случайные переменные
тгх1=тт р* ^
имеют гауссово распределение. Как следствие, Х1 имеет Log-нормальное распределение. В общем случае в в имеет вклад п произведений переменных X
в=Пх,
г=1
n
и, как следствие, log в = X X представляет собой сум-
i =1
му гауссовых случайных распределений. Таким образом, в имеет вид Log-нормального распределения:
f(в) = ' exp {- 1,
<j2ns в [ 2s2 J
где ц и s 2 — соответствующие величины среднего значения и дисторсии. Очевидно, что этот Log-нормальный результат для в также независим от деталей случайного каскада микроскопических переменных и, таким образом, Log-нормальная статистика является также универсальной.
Несмотря на то, что могут быть рассмотрены более сложные случаи, в [28] утверждается, что большинство экспериментальных данных соответствуют трем рассмотренным типам универсальности или простым их комбинациям.
В [33] отмечается, что формализм суперстатистики связан с необходимостью определения функций распределения для интенсивного параметра в, что является следствием недостаточного понимания поведения неравновесных систем с «медленной динамикой». Поскольку системы с дефектами обнаруживают яркие черты «медленной динамики» вследствие зарождения коллективных мод различного типа, то естественно провести сопоставление сценариев эволюции динамических систем этого класса с обсуждаемыми выше типами универсальных статистических распределений.
Периодические возмущения при значениях интенсивного параметра 8 >8», переходящие в бризерные моды при 8^8», инициируются термическими флук-туациями. Тип собственных форм, определяемый нелинейностью неравновесного потенциала и эффектами нелокальности, формирует в системе пространственно-распределенные возмущения, соответствующие признакам аддитивности случая 1 и х - статистики, когда в приближении больших времен микроскопические переменные подчиняются коллективным модам установленного для 8 > 8» типа.
Переход системы в интервал «эффективных температур» 8» > 8 > 8c, связанный с увеличением энергии дефекта при появлении зародыша с размерами, соответствующими масштабам бризера при 8», приводит, как это показано выше, к формированию локализованных автосолитонных конечно-амплитудных мод. При этом наблюдается вырождение пространственных и временных масштабов возмущений, существовавших в интервале 8 >8». Данный переход сопровождается резким изменением симметрии неравновесной системы в смысле числа значимых динамических координат системы, поведение которой, однако, также контролируется системой макроскопических переменных, представляющих собой коллективные (автосолитонные) моды. По
отношению к данной системе автомодельных переменных, которые допускают аддитивность выше рассмотренного типа, естественной является аналогия с обрат-
2
ной х -статистикои.
Зарождение каскадов диссипативных обостряющихся структур в интервале 8 < Sc естественно связать с мультипликативностью случайного процесса при подчинении динамики системы спектру коллективных мод (автомодельных решений) данного типа и Log-нормаль-ной статистикой, характеризующей поведение неравновесной системы.
Установление соответствия динамических свойств биологических систем со статистическими закономерностями, которые могут быть исследованы экспериментально, представляется важным для возможных приложений.
6. Обсуждение результатов
В литературе обсуждается, что важным для понимания динамики ДНК представляется наблюдение локализованных мод, аналогичных тем, которые имеют место в кристаллических решетках и которые возникают при термической активации. Имея в виду эту аналогию и поведение дефектов дислокационного типа в реальных кристаллических решетках [22], можно высказать предположение, что локализованные моды в ДНК существуют, как и бризеры, механизм зарождения и динамика которых объясняется в рамках модели Пейрара-Бишо-па.
В реальных ДНК, содержащих генетический код, неоднородность и нелинейность являются естественным источником для неоднородности флуктуаций и их развития в коллективные моды различной природы, с которыми могут быть связаны уникальные свойства ДНК. Значимость данных эффектов в настоящее время окончательно не определена для биологии, однако ряд экспериментов определенно указывает на то, что флук-туационно-индуцированные эффекты локального раскрытия в структуре двойной спирали ДНК имеют место.
Другим важным направлением исследований, которое может ярко проявиться в ближайшее время, является изучение свойств и применение ДНК для чисто физических приложений, имея в виду замечательное свойство ДНК демонстрировать высокоселективную самосборку. Основанием для такого оптимизма является уровень экспериментальных исследований, реализуемых с единичными ДНК, допускающий контроль за их кон-формационной способностью. Понимание закономерностей денатурации и самосборки ДНК может служить основой для создания наномеханизмов, а также для построения объектов с нанометрической точностью.
Автор благодарит Michel Peyrard и Alain Arneodo за содержательные и стимулирующие дискуссии по обсуждаемой проблеме.
Литература
1. Schr^inger E. What is Life? - Cambridge: Cambridge University Press, 1944. - 263 p.
2. Watson J.D., Crick F.H.C. Molecular structure of nucleic acids: A structure for deoxiribose nucleic acid // Nature. - 1953. - V. 171. -P. 737-738.
3. Marco J.F., Siggia E.D. Statistical mechanics of supercoiled DNA // Phys. Rev. E. - 1995. - V. 52. - No. 3. - P. 2912-2938.
4. Peyrard M., Bishop A.R. Statistical mechanics of a nonlinear model for DNA denaturation // Phys. Rev. Lett. - 1989. - V. 62. - No. 23. -P. 2755-2758.
5. Наймарк О.Б. Неустойчивости в конденсированных средах, обусловленные дефектами // Письма в ЖЭТФ. - 1998. - T. 67. - № 9. -C. 751-757.
6. Наймарк О.Б., Баяндин Ю.В., Леонтьев В.А., Пермяков С.Л. О термодинамике структурно-скейлинговых переходов при пластической деформации твердых тел // Физ. мезомех. - 2005. - Т. 8. -№ 5. - С. 23-29.
7. Adams R.L.P., Knowler J.T., Leader D.P. The Biochemistry of the Nucleic Acids. - London: Chapman & Hall, 1992. - 675 p.
8. PeyrardM. Nonlinear dynamics and statistical physics of DNA // Non-
linearity. - 2004. - V. 17. - No. 2. - P. R1-R40.
9. Frank-Kamenetskii M. How the double helix breathes // Nature. -1987. - V. 328. - P. 17-18.
10. WartellR.M., Benight A.S. Thermal denaturation of DNA molecules: A comparison of theory with experiments // Phys. Rep. - 1985. -V. 126.- No. 2. - P. 67-107.
11. Dauxois T., Peyrard M. Entropy-driven transition in one-dimension system // Phys. Rev. E. - 1995. - V. 51. - No. 5. - P. 4027-4040.
12. Peyrard M. Using DNA to probe nonlinear localized excitations? // Europhys. Lett. - 1998. - V. 44. - No. 3. - P. 271-277.
13. Peyrard M. The pathway to energy localization in nonlinear lattices // Physica D. - 1998. - V. 119. - No. 1. - P. 184-199.
14. Cule D., Hwa T. Denaturation of heterogeneous DNA // Phys. Rev. Lett. - 1997. - V. 79. - No. 12. - P. 2375-2378.
15. Saenger W. Principles of Nucleic Acid Structure. - New York: Springer-Verlag, 1984. - 556 p.
16. Barbi M., Cocco S., Peyrard M., Ruffo S. A twist opening model for DNA // J. Biolog. Phys. - 1999. - V. 24. - Nos. 2-4. - P. 97-114.
17. Cocco S, Monasson R. Statistical mechanics of torque induced denaturation of DNA // Phys. Rev. Lett. - 1999. - V. 83. - No. 24. -P. 5178-5181.
18. Austin R.H., Brody J.P., CoxE.C., Duke T., Volkmuth W. Stretch genes // Physics Today. - 1997. - V. 50. - No. 2. - P. 32-38.
19. Strick T., Allemand J.-F., Bensimon D., Lavery R., Croquette V. Phase coexistence in a single DNA molecule // Physica A. - 1999. - V. 263. -Nos. 1-4. - P. 392-404.
20. Krumhansl J.A., Schrieffer J.R. Dynamics and statistical mechanics of a one-dimensional model Hamiltonian for structural phase transitions // Phys. Rev. B. - 1975. - V. 11. - No. 9. - P. 3535-3545.
21. Наймарк О.Б., Филимонова Л.В., Баранников В.А., Леонтьев В.А., Уваров С.В. Нелинейная динамика обратимой пластичности в сплавах с эффектом памяти формы // Физ. мезомех. - 2001. - Т.4.-№ 5. - С. 13-27.
22. Naimark O.B. Defect Induced Transitions as Mechanisms of Plasticity and Failure in Multifield Continua // Advances in Multifield Theories of Continua with Substructure / Ed. by G. Capriz, P. Mariano. - Boston: Birk^user, 2004. - P. 75-114.
23. Наймарк О.Б. Коллективные свойства ансамблей дефектов и некоторые нелинейные проблемы пластичности и разрушения // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. - № 4. - С. 45-72.
24. Леонтович М.А. О свободной энергии неравновесного состояния // ЖЭТФ. - 1938. - Т. 8. - № 7. - С. 844-854.
25. Tsallis C. Possible generalization of Boltzmann-Gibbs statistics // J. Stat. Phys. - 1988. - V. 52. - Nos. 1-2. - P. 479-487.
26. BeckC, CohenE.G.D. Superstatistics // Physica A. - 2003. - V. 322. -P. 267-275.
27. Flach S., Willis C.R. Movability of localized excitations in nonlinear discrete systems: A separatrix problem // Phys. Rev. Lett. - 1994. -V. 72. - No. 12. - P. 1777-1781.
28. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1971. - 239 с.
29. Kurdjumov S.P. Evolution and self-organization laws of complex systems // Int. J. Modern Phys. - 1990. - V. 1. - No. 4. - P. 299-327.
30. Bak P., Tang C., Wiesenfeld K. Self-organized criticality // Phys. Rev. A. - 1988. - V. 38. - No. 1. - P. 364-374.
31. Arneodo A., Bacry E., Graves P. V., Muzy J.F. Characterizing longrange correlations in DNA sequences from wavelet analysis // Phys. Rev. Lett. - 1995. - V. 74. - No. 16. - P. 3293-3296.
32. Cugliandolo L.F., Kurchan J., Peliti L. Energy flow, partial equilibration and effective temperatures in systems with slow dynamics // Phys. Rev. E. - 1997. - V. 55. - No. 4. - P. 3898-3914.
33. Tsallis C. What should a statistical mechanics satisfy to reflect nature? // Physica D. - 2004. - V. 193. - Nos. 1-4. - P. 3-34.
34. Beck C., Cohen E. G.D., Swinney H.L. From time series to superstatistics // Phys. Rev. E. - 2005. - V. 72. - Article 056133. - 8 p.
