CC BY
20
УДК 538.913
Захаров П.В.1, Ерёмин А.М.1, Манаков Н.А.2, Старостенков М.Д.3, Маркидонов А.В.4
1Алтайская государственная академия образования им. В.М. Шукшина 2Оренбургский государственный университет 3Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова 4Филиал Кузбасского государственного технического университета им. Т.Ф. Горбачева
E-mail: [email protected]
ПОВЕДЕНИЕ КВАЗИ-БРИЗЕРНОЙ МОДЫ В КРИСТАЛЛЕ PT3AL ПРИ НАЛИЧИИ ТОЧЕЧНЫХ ДЕФЕКТОВ
В настоящее время локализованные колебания атомов или отдельных групп атомов интенсивно исследуются в идеальных бездефектных кристаллах, что затрудняет использование полученных результатов при изучении реальных кристаллов с дефектами.
Поэтому в настоящей работе методом молекулярной динамики изучено влияние точечных дефектов на поведение квази-бризерной моды в кристалле стехиометрии А3В, на примере Pt3Al. В качестве точечных дефектов выступали бивакансии, тривакансии Pt в кристалле Pt3Al, а также межузельные атомы Al, помещенные в тетраэдрические пустоты. Рассматриваемая модель представляла собой объемный кристалл стехиометрии A3B, атомы которого взаимодействовали посредством парного потенциала Морзе. Установлено, что точечные дефекты в сплаве Pt3Al оказывают существенное влияние на квази-бризерные моды в случае близкого к ним расположения. Воздействие проявляется в разрушении высокоамплитудных локализованных колебаний с последующим рассеиванием энергии по кристаллу. Однако стоит отметить, что в процессе деградации колебаний большой амплитуды, рассеивание преимущественно происходит в подрешетку Al, где энергия остается локализованной за счет наличия запрещенной зоны в фононном спектре кристалла Pt3Al в течение продолжительного времени. Установлено наличие области повышенной устойчивости квази-бризерной моды вблизи бивакансии и тривакансии Pt. В случае рассмотрения точечного дефекта в виде межузельного атома Al, внедренного в тетраэдрическую пустоту, такой области не наблюдалось.
Полученные результаты следует учитывать при изучении влияния точечных на свойства реальных кристаллов стехиометрии A3B.
Ключевые слова: молекулярная динамика, квази-бризерная мода, точечный дефект, дискретный бризер, нелинейная динамика.
Концепция локализации колебательной энергии, возникающей благодаря ангармонизму в нелинейных моделях решеток различных размерностей, за три десятка лет с момента появления первых публикаций [1], [2], испытала интенсивное развитие. В настоящее время локализованные колебания атомов или отдельных групп атомов интенсивно изучаются многими исследователями в бездефектных кристаллах, что приводит к идеализации условий компьютерных экспериментов и отдаляет модель от реальных кристаллов.
Решения нелинейных дифференциальных уравнений, описывающие динамику кристаллических решеток различных размерностей и дающие локализованные в пространстве и строго периодические по времени колебания многих или отдельных атомов решетки, называют дискретными бризерами (ДБ), внутренними локализованными модами, нелинейными локализованными возбуждениями или нелинейными локализованными колебательными модами [3]. Возможность существования нелинейных локализованных колебательных мод
или дискретных бризеров была доказана строго математически [2] и получено множество результатов численными методами [4]. ДБ были инициированы экспериментально в различных областях физики: в нелинейной оптике [5], [6], джозефсоновских сверхпроводящих контактах
[7], в антиферромагнетиках [8]. Возможность существования ДБ в трехмерном кристалле со структурой NaCl исследовалась методом молекулярной динамики в работах [9]—[11]. Активно изучается возможность существования ДБ в кристаллах с составом А3В [12]-[16]. В цитируемых работах подчеркивается значимость таких процессов в кристаллах и допустимость их влияния на структуру и свойства кристалла. В свою очередь, одним из актуальных направлений исследования является изучение солитонных объектов в различных средах, к которым относится ДБ, и процессов связанных с их движением и взаимодействием с другими объектами среды существования солитонов. Данные задачи, рассматриваемые в кристаллических телах, имеют прямое, непосредственное отношение к проблемам плас-
38 ВЕСТНИК Оренбургского государственного университета 2015 № 9 (184)
Захаров П.В. и др.
Поведение квази-бризерной моды в кристалле...
тичности и прочности твердых тел. Наряду с этим большое значение имеет понятие точечных топологических солитонов, которое представляют собой вакансии, атомы замещения, краудионы и межузельные атомы [17]-[19].
В данной работе методом молекулярной динамики изучается взаимодействие нелинейной локализованной колебательной моды в кристалле Pt3Al с точечными дефектами. В качестве точечных дефектов выступала бивакансия и тривакансия Pt, а также межузельные атомы Al, помещенные в тетраэдрические пустоты. Строго говоря, в рассматриваемых моделях полученные колебательные моды нельзя назвать дискретными бризерами или даже квази-бризерами [20], [21]. Такие локализованные моды будем называть квази-бризер-ными модами (КБМ) решетки, так как они обладают рядом признаков ДБ, таких, как попадание их частоты в запрещенную зону фононного спектра, они являются пространственно локализованными и квази-периодическими по времени, но при этом располагаются в решетке с нарушенной трансляционной симметрией из-за наличия точечных дефектов. В тоже время при отсутствии дефектов в кристалле нелинейные локализованные моды большой амплитуды будем называть квази-бризерами в соответствии с работами [20, 21] или просто дискретными бризерами. Говоря о ДБ, получаемых в модельных ячейках, нужно отметить, что они не являются строгими решениями соответствующих теоретических уравнений, в силу объективных причин. Во-первых, начальные условия возбуждения ДБ в реальных моделях кристаллов приводят к частичному рассеиванию энергии на начальных этапах эксперимента. Во-вторых, нагрев ячейки приводит к естественным флуктуациям соседних атомов, которые оказывают влияние на атомы, участвующие в согласованных колебаниях ДБ. В-третьих, в нашем случае рассеивание энергии ДБ происходит в силу близости его частоты к нижней границе оптической ветви фононного спектра кристалла.
Описание модели и методика
эксперимента
Рассматриваемая модель представляла собой объемный кристалл стехиометрии A3B (рис. 1), атомы которого взаимодействовали посредством парного потенциала Морзе:
upq (r) = DfqрРе exp(-aPery Xppe exp(-aPery) - 2) ,
(1)
где D - энергетический параметр, соответствующий глубине потенциальной ямы, а - параметр, определяющий жесткость межатомных связей, ro - некоторое усредненное равновесное расстояние по координационным сферам, в которых учитывается взаимодействие между атомами. Для сплава Pt3Al его параметры взяты из [15]: Dmi=0,318 эВ, pA/A/=27,4979, aA1A1=1,02658 A-1, Dptpt=0,710 эВ, pppt=102,89, aptpt=1,582 A-1, Dm/=0,5048 эВ, PPtA/=63,124, aPtA1=1,3501 A-1, вычислялись по стандартной методике [15], [16] из условий:
~2Xn,'Uv=Vo = Es ,
2 i=i
1X n
-V
dU
dV
dV
= 0
V=Vo
= K
(2)
Здесь - энергия сублимации атомов кристалла при нуле Кельвин; - объемный модуль упругости; Ps - давление изоэнтропического сжатия; V0 и V - удельные объемы в начальном и деформированном состоянии; п - число атомов в i-ой координационной сфере; массы атомов платины и алюминия: mPt= 195,23 а.е.м., mA/=26,97 а.е.м.; постоянная кристаллической решетки: a0=3,99 A. Трехмерная расчетная ячейка Pt3Al содержала 7200 атомов.
=i
Рис. 1. Трехмерная элементарная ГЦК ячейка Pt3Al с указанием направления отклонения атома Al из положения равновесия
ВЕСТНИК Оренбургского государственного университета 2015 № 9 (184) 39
Физико-математические науки
Как показано в работах [15], [16] возбуждение ДБ наблюдалось при отклонении атома Al вдоль направления [100], или под углом не больше, чем 5 градусов к указанному направлению. При начальном отклонении атома на 0.7 A минимальная кинетическая энергия атома, несущего ДБ, имеет значение около 0,8 эВ, частоты колебаний ДБ в этом случае могут лежать в широком диапазоне в зависимости от параметров потенциала и решетки, в данном случае возбуждались колебания с периодом 0,085 пс. Внедрение точечных дефектов, в виде бивакансии и тривакансии Pt, осуществлялось в плоскость (111) трехмерного кристалла Pt3Al. После внедрения проводилась релаксация расчетной ячейки в течение 100 пс с последующим ее охлаждением до 0 К. Межузельный атом Al внедрялся в тетраэдрическую пустоту и подвергался релаксации.
Для изучения процессов, возникающих при взаимодействии квази-бризерной моды с точечными дефектами в Pt3Al, нами проводились эксперименты путем задания начальной скорос-
Рис. 2. Зависимость времени существования квази-бризерной моды отрасстояния до внедрённой бивакансии Pt (ось абсцисс - расстояние S в A от бивакансии Pt до атома Al, где осуществлялось возбуждение КБМ; ось ординат - время существования t КБМ в пикосекундах).
t, ПС 6000 5000 4000 3000 2000 yf м /> у/ \ :Ж]
1000 // У*
0 5 15 25 35 S.A
Рис. 3. Зависимость времени существования по кристаллографическим направлениям квази-бризерной моды от расстояния до внедрённой тривакансии Pt (ось абсцисс - расстояние S в A от тривакансии Pt до атома Al, где осуществлялось возбуждение КБМ; ось ординат - время существования t КБМ в пикосекундах).
ти одному из атомов Al вдоль направления [100] порядка 63,64 A/пс.
Результаты и обсуждение
Дефект в виде бивакансии и тривакансии Pt, локально исказив структуру кристалла Pt3Al, оказывает влияние на условия существования квази-бризерной моды. В качестве примера на рис. 2 показана зависимость времени существования КБМ от расстояния до внедрённой бивакансии Pt. На рис. 3 показана зависимость времени существования КБМ от расстояния до внедрённой тривакансии Pt по кристаллографическим направлениям решётки в кристалле Pt3Al. Как видно из рис. 3 наиболее оптимальное направление для квази-бризер-ной моды является направление. По направлению максимума, как по остальным направлениям, не наблюдается, что связано с различными искажениями решетки по разным направлениям.
Предполагается, что существует некоторая область, окружающая бивакансию и три-вакансию Pt, в которой время существования квази-бризерной моды максимально. Возможной причиной увеличения времени жизни высокоамплитудной локализованной моды может быть локальное уширение запрещенной зоны в фононном спектре модельного кристалла. Об этом свидетельствуют максимумы на графиках рис. 2 и рис. 3. Также к возможным причинам полученной аномалии можно отнести тот факт, что в данной области КБМ имеет более широкий профиль, т. е. большее количество атомов вовлечено в процесс согласованных колебаний.
При рассмотрении точечного дефекта в виде внедрённого межузельного атома Al в тетраэдрическую пустоту, наблюдаемая зависимость времени существования КБМ от расстояния до этого точечного дефекта по кристаллографическим направлениям решётки в кристалле Pt3Al показана на рис. 4. Как видно из данного рисунка, максимума, который имеет место в случае рассмотрения бивакансии и тривакан-сии Pt не наблюдается, наиболее оптимального кристаллографического направления с точки зрения времени жизни КБМ здесь выделить нельзя. Начиная с S=15 A разброс по времени жизни КБМ по кристаллографическим направлениям составляет порядка 100-150 пс. Если
40 ВЕСТНИК Оренбургского государственного университета 2015 № 9 (184)
Захаров П.В. и др.
Поведение квази-бризерной моды в кристалле...
сравнивать время жизни КБМ в случае бивакансии и тривакансии Pt, например, для S=28 A, то для бивакансии Pt - это порядка 2400 пс, для тривакансии Pt - 4500 пс, а для внедрённого межузельного атома Al в тетраэдрическую пустоту - это порядка 1500 пс. Это говорит о том, что точечный дефект в виде межузельного атома Al, помещённый в тетраэдрическую пустоту, оказывает большее влияние на КБМ, чем бивакансия или тривакансия Pt, он наиболее сокращает время существования квази-бризер-ной моды. Очевидно, это связано с тем, что внедрённый межузельный атом Al в тетраэдрическую пустоту более сильно искажает кристаллическую решётку Pt3Al, чем бивакансия и три-вакансия Pt. В самом деле, например, для бивакансии Pt межатомное смещение до внедрения и после внедрения бивакансии на расстоянии S=28 A от дефекта будет порядка 0,0014 A, а для межузельного атома Al, помещённого в тетраэдрическую пустоту, порядка 0,0021 A.
Квази-бризерные моды способны сосредотачивать значительную энергию. Это может влиять на структурные и энергетические трансформации, происходящие в кристалле. На рис. 5 для примера показана характерная зависимость энергии КБМ от времени при возбуждении атома Al на расстоянии 15 A от дефекта. В течение всего периода жизни КБМ медленно излучают энергию. Конечная величина энергии, которая локально рассеивается при ее разрушении, составляет величину порядка 0,8 эВ. Таким образом, выброс в решетку таких объемов энергии может приводить к активации различных процессов, например, движению дислокаций, аннигиляции пар Френкеля, изменению ориентации дефектов в пространстве и т. д.
На расстоянии 11,7 A от бивакансии Pt, именно для этого значения S наблюдался максимум на графике рис. 2, проводилось исследование на устойчивость КБМ, для этого атом Al в начальный момент эксперимента отклонялся в различных направлениях от положения равновесия относительно своей оси поляризации.
На рис. 6 показана зависимость времени существования квази-бризерной моды от малых вариаций угла отклонения от направления поляризации колебаний КБМ.
Из рис. 6 видно, что максимальное, наиболее устойчивое время существования КБМ наблюдается тогда, когда отклонение атома Al
происходит строго к ближайшему соседу атома Al, т. е. в направлении, совпадающем с направлением поляризации КБМ. Незначительное отклонение направления возбуждения КБМ даже на угол а = 0,018 рад. (1,030) снижает время существования КБМ с 2550 пс до 2200 пс. Если отклонение производится на угол больший чем а = 0,108 рад. (60), то КБМ сравнительно не устойчива и имеет время существования порядка 10-15 пс.
Для описания искажений кристаллической структуры, содержащей точечные дефекты, возможно использование тензора дисторсии и визуализации атомных смещений атомов [24]-[25].
Рис. 4. Зависимость времени существования квази-бризерной моды по кристаллографическим направлениям от расстояния до точечного дефекта в виде внедрённого межузельного атома Al в тетраэдрическую пустоту (ось абсцисс - расстояние S в A от точечного дефекта до атома Al, где осуществлялось возбуждение КБМ; ось ординат -время существования t КБМ в пикосекундах)
Е, эВ
1.40
1-15 ' ---------
0.80
0.50
0.20
0 О 400 800 1200 1600 2000 t, ПС
Рис. 5. Зависимость энергии КБМ от времени
Рис. 6. Зависимость времени существования t в пикосекундах квази-бризерной моды от малых вариаций угла отклонения ? в градусах от направления поляризации колебаний КБМ.
ВЕСТНИК Оренбургского государственного университета 2015 № 9 (184) 41
Физико-математические науки
Для рассматриваемой геометрически нелинейной задачи одним из ключевых моментов является задание линейной связи между дисторсией и смещением узлов кристаллической решётки Pt3Al. В свете этого, нами рассматривалось две кристаллические решётки {X} и {X'}, которые получаются из деформации решётки {P} после внедрения точечных дефектов. {P} - это решетка кристалла Pt3Al, содержащая 7200 атомов, до внедрения точечного дефекта. {X} - это решетка кристалла Pt3Al с внедренным точечным дефектом, соответственно содержащая 7198, 7197 или 7201 атомов, а {X/} - это решетка данного кристалла с внедренным точечным дефектом после ее релаксации.
Рис.7. Зависимость атомных смещений по кристаллографическим направлениям при внедрении межузельного атома Al в тетраэдрическую пустоту (?г - смещение атомов Al после внедрения дефекта и релаксации расчетной ячейки в A, S - расстояние в A от точечного дефекта до атома Al, где осуществлялось возбуждение КБМ)
С математической точки зрения можно рассмотреть два отображения F и L, где x,. = F ■ р и X/ = F ■ р , здесь векторы трансляции кристаллических решёток {X}, {X1}, {Р} соответственно. Тогда изменение расстояния между решётками {X} и {X1} будет метрикой между тензорами p(F, L). Причём метрика p(F, L) удовлетворяет условиям: p(F, F)=0 , p(F, L)>0(F#L) , P(F, L)=p(L, F), p(F, L) <p(G, F)+p(G, L). Тензоры F и L имеют второй ранг и представляются в матричной форме наборами {Fin} и {Lin}, где
i,n=1,2,3. Тогда P(F>L) = -^Х(F> - )2 по анало-
гии с расстоянием между точками в трёхмерном пространстве. На основе этих рассуждений, рассматривались координаты атомов кристаллической решётки до внедрения точечных дефектов, затем происходило внедрение точечного дефекта, релаксация кристаллической решётки и получались новые координаты атомов. Вычислялось расстояние, на которое происходило смещение атомов, что и давало тензор дистор-сии при данной деформации кристаллической решётки, связанное с внедрением точечных дефектов.
Наглядно это можно представить графиком зависимости атомных смещений после внедрения дефектов и релаксации расчетной ячейки (рис. 7, рис. 8).
Полученные атомные смещения позволяют судить о различных искажениях кристаллической структуры для разных кристаллографичес-
а) b)
Рис.8. Визуализация атомных смещений при внедрении точечных дефектов, а) тривакансия из атомов Pt, б) межузельный атом Al в тетраэдрическую пустоту. Отображено четыре плоскости (111) трехмерного кристалла Pt3Al. Атомные смещения увеличены в 20 раз
42 ВЕСТНИК Оренбургского государственного университета 2015 № 9 (184)
Захаров П.В. и др.
Поведение квази-бризерной моды в кристалле...
ких направлений, что дает объяснение изменению времени существования КБМ от места его внедрения в кристалле. Из рис. 7 видно, что при приближении к межузельному атому Al, помещённому в тетраэдрическую пустоту, атомные смещения резко возрастают. Это связано с тем, что внедрённый точечный дефект оказывает существенное влияние на узлы кристаллической решётки и на поведение КБМ. Детальное изучение влияния атомных смещений по кристаллографическим направлениям на КБМ, а также получение явного вида дисторсии, будет предметом дальнейших исследований в этом направлении.
Заключение
Таким образом, методом молекулярной динамики установлено, что точечные дефекты в сплаве Pt3Al оказывают существенное влияние на квази-бризерные моды в случае близкого к ним расположения. Воздействие проявляется в разрушении высокоамплитудных локализован-
ных колебаний с последующим рассеиванием энергии по кристаллу. Однако стоит отметить, что в процессе деградации колебаний большой амплитуды, рассеивание преимущественно происходит в подрешетку Al, где энергия остается локализованной за счет наличия запрещенной зоны в фононном спектре кристалла Pt3Al в течение продолжительного времени. Установлено наличие области повышенной устойчивости КБМ вблизи бивакансии и тривакансии Pt. В случае рассмотрения точечного дефекта в виде межузельного атома Al, внедренного в тетраэдрическую пустоту, такой области не наблюдалось. В рамках исследования устойчивости КБМ получена зависимость времени существования КБМ от угла отклонения от направления поляризации колебаний. Данная зависимость является важной с точки зрения оценки вероятности возбуждения КБМ в условиях термодинамического равновесия или при облучении кристалла высокоэнергетическими частицами.
Исследование выполнено при финансовой поддержке грантов РФФИ в рамках научного проекта 15-58-04033 Бел_мол_а и 14-08-90416 Укр_а.
Список литературы:
1. Марадудин А., Монтролл Э., Вейсс Дж. Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении. Пер. с англ. Н.В. Абаренкова, Е.Д. Трифонова под ред. М.Н. Петрашень: М., Мир. - 1965. - 384 с.
2. Flach, S., Gorbach A.V. Discrete breathers advancer in theory and application // Phys. Rep. - 2008. - 467. - P. 1-116.
3. Sievers A.J., Takeno S. Intrinsic Localized Modes in Anharmonic Crystals // Phys. Rev. Lett. - 1988. - V. 61. - № 8. - P. 970973.
4. Eisenberg H.S., Silberberg Y., Morandotti R., Boyd R. and AitchisonJ.S. Discrete Spatial Solitons in Waveguide Arrays // Phys. Rev. Lett. - 1998. - V.81. - P. 3383.
5. Kivshar Yu.S., Agrawal G.P. Optical solitons // Academic Press. Amsterdam. - 2003. - 540 p.
6. Miroshnichenko, A.E. Flach S., Fistul M.V., Zolotaryuk Y., Page J.B. // Phys. Rev. - 2001. - E 64. - P. 600-601.
7. Schwarz U.T., English L.Q., and Sievers A.J. Experimental Generation and Observation of Intrinsic Localized Spin Wave Modes in an Antiferromagnet // Phys. Rev. Lett. - 1999. - V.83. - P. 223.
8. Kiselev S.A., Sievers A.J. Phys. Rev. - 1997, B 55, P. 5755.
9. Дмитриев С.В., Хадеева Л.З. Характеристики щелевых дискретных бризеров в кристаллах со структурой NaCl // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 2010. - Т. 18. - №6. - C. 85-92.
10. Khadeeva L.Z., Dmitriev S.V. Discrete breathers in crystals with NaCl // Phys. Rev. - 2010. - B 81. - P. 214306.
11. Дмитриев С.В., Хадеева Л.З. Щелевые дискретные бризеры в двухкомпонентном двумерном кристалле в состоянии теплового равновесия // Физика твердого тела. - 2011. - Т. 53. - №7. - С. 1353-1358.
12. Медведев Н.Н., Старостенков М.Д., Захаров П.В., Маркидонов А.В. О локализации энергии нелинейных и линейных колебаний атомов в модельной кристаллической решетке состава А3В // Письма о материалах. - Т. 3. - Вып. 1. - 2013. - С. 34-37.
13. Медведев Н.Н., Старостенков М.Д., Захаров П.В., Пожидаева О.В. Локализованные колебательные моды в двумерной модели упорядоченного сплава Pt3Al // Письма в журнал технической физики. - 2011. - Т. 37. - Вып. 3. - С.7-15.
14. Medvedev N.N., Starostenkov M.D., Potekaev A.I., Zakharov P.V., Markidonov A.V., Eremin. A.M. Energy Localization in the
Ordered Condensed Systems: A3B Alloys With L12 Superstructure // Russian Physics Journal. - July 2014. - Volume 57, Issue
3. - P. 387-395. 3 2
15. Захаров П.В., Старостенков М.Д., Ерёмин А.М., Маркидонов А.В. Поведение нелинейной локализованной моды вблизи комплексов вакансий в кристалле Pt3Al // Фундаментальные проблемы современного материаловедения. - 2014. - Т. 11, № 2. - С. 260-264.
16. Захаров П.В., Старостенков М.Д., Медведев Н.Н., Ерёмин А.М., Маркидонов А.В. Антисимметричный дискретный
бризер в кристалле Pt3Al // Фундаментальные проблемы современного материаловедения. - 2014. - Т. 11, № 3. - С. 388393. * 3
17. Захаров П.В., Старостенков М.Д., Медведев Н.Н., Ерёмин А.М., Маркидонов А.В. Влияние низких температур на характеристики дискретного бризера в кристалле Pt3Al // Фундаментальные проблемы современного материаловедения. - 2014. - Т. 11, № 4. - С. 533-536.
ВЕСТНИК Оренбургского государственного университета 2015 № 9 (184) 43
Физико-математические науки
18. Zakharov P.V., Medvedev N.N., Starostenkov M.D., Eremin A.M. Prospects for the Use of Dynamic Discrete Breathers in Nanofibers Crystals Stoichiometry A3B With the Structure of L12 // 2015 International Siberian Conference on Control and Communications (SIBCON). Proceedings. - Omsk: Omsk State Technical University. Russia, Omsk, May 21?23, 2015. IEEE Catalog Number: CFP15794-CDR. ISBN: 978-1-4799-7102-2.
19. Захаров П.В., Ерёмин А.М., Старостенков М.Д., Маркидонов А.В., Луценко И.С. Квазибризерные состояния в кристалле A3B при наличии точечных дефектов // Фундаментальные проблемы современного материаловедения. - 2015. - Т. 12, № 2. - С. 146-152.
20. Захаров П.В., Старостенков М.Д., Дмитриев С.В., Медведев Н.Н., Ерёмин А.М. Моделирование взаимодействия дискретных бризеров различного типа в нановолокне кристалла Pt3Al // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2015. - Т. 148. - Вып. 2(8). - С. 252-257.
21. Тетельбаум Д.И., Курильчик Е.В., Менделева Ю.А. Эффект дальнодействия при малоинтенсивном облучении твердых тел // Поверхность. Рентгеновские синхротронные и нейтронные исследования. - 2009. - №3. - С. 94 - 103.
22. Гончаров П.П., Джелаухова Г.С., Чечин Г.М. Дискретные бризеры в моноатомных цепочках // Известия вузов: Прикладная нелинейная ди намика. - 2007. - Т. 6. - С. 57-74.
23. Безуглова Г.С., Гончаров П.П., Гуров Ю.В., Чечин Г.М. Дискретные бризеры в скалярных динамических моделях на плоской квадратной решетке // Известия вузов: Прикладная нелинейная динамика. - 2011. - Т. 19. - С. 89-103.
24. А.А. Ильюшин. Механика сплошной среды. М., изд-во МГУ. - 1990. - 310 с.
25. Л.И. Седов. Механика сплошной среды. Т. 1. М., Наука. - 1984. - 492 с.
Сведения об авторах:
Захаров Павел Васильевич, доцент кафедры физики и информатики Алтайской государственной академии образования им. В.М. Шукшина, кандидат физико-математических наук
Ерёмин Александр Михайлович, доцент кафедры математики и методики обучения математике Алтайской государственной академии образования им. В.М. Шукшина, кандидат физикоматематических наук, доцент
Манаков Николай Александрович, профессор кафедры общей физики Оренбургского государственного университета, доктор физико-математических наук, профессор
Старостенков Михаил Дмитриевич, заведующий кафедрой физики Алтайского государственного технического университета им. И.И. Ползунова, доктор физико-математических наук, профессор
Маркидонов Артем Владимирович, заведующий кафедрой математических и естественнонаучных дисциплин филиала Кузбасского государственного технического университета им. Т.Ф. Горбачева в г. Новокузнецке, кандидат физико-математических наук, доцент
460018, г. Оренбург, пр-т Победы, д. 13
44 ВЕСТНИК Оренбургского государственного университета 2015 № 9 (184)
