CC BY
11
УДК 538.913
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КВАЗИ-БРИЗЕРА С МЯГКИМ ТИПОМ НЕЛИНЕЙНОСТИ В КРИСТАЛЛАХ СТЕХИОМЕТРИИ А3В
1 ерёмин а. м., Захаров п. в., 2старостенков м. д.
1 Алтайский государственный гуманитарно-педагогический университет им. В.М. Шукшина, 659333, Алтайский край, г. Бийск, ул. Короленко, 53 2Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова, 656038, Алтайский край, г. Барнаул, пр. Ленина, 46
АННОТАЦИЯ. В работе методом молекулярной динамики проводится исследование статистических характеристик квази-бризера в модельном кристалле стехиометрии А3В, на примере Р13А1. Получен фононный спектр данного модельного кристалла, получены зависимости среднеквадратичного отклонения, коэффициента вариации и средней частоты модельного квази-бризера от времени его существования. Анализ статистических данных позволяет сделать вывод о том, что в рассматриваемой модели с использованием потенциала межатомного взаимодействия, полученного методом погружённого атома (БАМ), квази-бризерное модельное решение незначительно отличается от соответствующего ему точного бризера.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: молекулярная динамика, дискретный бризер, квази-бризер, среднеквадратичное отклонение, фононный спектр.
ВВЕДЕНИЕ
В последние годы большой интерес вызывает исследование дискретных бризеров в конденсированных средах. Дискретный бризер - это пространственно-локализованные, строго периодические колебательные моды большой амплитуды в нелинейных решёточных системах [1 - 3]. Существуют экспериментальные свидетельства возникновения таких локализованных возбуждений в различных физических системах, включая решетки спинов в антиферромагнетиках [4], решетки связанных нелинейных оптических волноводов [5], ансамбли микромеханических осцилляторов [6]. Применение подобных систем в качестве элементной базы перспективных радиочастотных фильтров, магнетометров и других устройств [7] обусловливает не только фундаментальный, но и прикладной интерес к бризерам.
Дискретные бризеры можно разделить на два типа по характеру зависимости их частоты от амплитуды [8]. У дискретных бризеров мягкого типа частота уменьшается с увеличением его амплитуды (такие дискретные бризеры могут существовать только в кристаллах имеющих щель в фононном спектре: их частота лежит в щели фононного спектра и поэтому их называют щелевыми), а у дискретных бризеров жесткого типа происходит обратное (они могут иметь частоты, как в щели, так и выше фононного спектра). Дискретные бризеры с мягким типом нелинейности могут возбуждаться в биатомных кристаллах, например, в №С1 [8], Р13А1 [9 - 16], а также в графене и графане [8]. Бризеры с жестким типом нелинейности существуют в чистых металлах с ГЦК-, ОЦК-, ГПУ- структурах.
В зависимости от постановки задачи говорят о дискретных бризерах либо с бесконечным временем жизни, в этом случае решение всегда периодично во времени [17], а соответствующее семейство траекторий имеет нулевую меру, либо с конечным временем жизни, так называемые квази-бризеры, такие решения имеют ненулевую вероятностную меру и могут быть реализованы в физических системах или статистическом численном эксперименте [18]. Дискретный бризер, как строго периодический во времени объект, получается при численном моделировании лишь в случае идеальной настройки начальных условий задачи Коши на некоторое многообразие малой размерности в многомерном пространстве всех возможных начальных значений координат отдельных частиц и их
скоростей. Такую точную настройку трудно осуществить даже при проведении вычислительного эксперимента. Тем более это практически невозможно сделать при постановке любых физических экспериментов, особенно в тех случаях, когда бризероподобные объекты возникают спонтанно [19 - 21].
В связи с этим, в работе [18] была выдвинута концепция квази-бризеров, как некоторых локализованных в пространстве, но не строго периодических во времени динамических объектов. При этом был сформулирован определенный критерий близости квази-бризера к соответствующему ему точному бризеру, основанный на вычислении среднеквадратичного отклонения r¡(tk) частот колебаний отдельных частиц бризера, найденных на некотором интервале в окрестности момента tk, и вычислении среднеквадратичного отклонения частот колебаний выделенной j-й частицы бризера на различных временных интервалах.
Целью данной работы является проведение статистической оценки характеристик квази-бризеров в модельных решетках состава А3В. В данной формулировке будем отождествлять понятие квази-бризера и квази-бризерного модельного решения. В качестве метода исследования в нашей работе выбран метод молекулярной динамики. Выбор метода обусловлен рядом фактором. Дискретные бризеры весьма затруднительно наблюдать в натурном эксперименте в виду того, что они не являются топологическими дефектами, имеют время жизни порядка нескольких тысяч периодов атомных колебаний, что составляет около 0,1 нс, кроме того, в металлах они могут перемещаться со значительными скоростями. В то же время, компьютерное моделирование стало весьма продуктивным методом исследования в физике конденсированного состояния и в материаловедении. Этот факт обусловлен постоянным ростом мощности и доступности вычислительных машин, разработкой и программной реализацией численных методов. Одним из наиболее эффективных методов изучения ДБ является метод молекулярной динамики, опирающийся на хорошо апробированные межатомные потенциалы. Говоря более подробно о методе молекулярной динамики, следует отметить, что он позволяет решать задачи, касающиеся проблем структурно энергетических трансформаций, как в кристаллических, так и в некристаллических материалах. Кроме того, данный метод позволяет рассчитать многие свойства системы, как термодинамические (например, энергию, давление, энтропию), так и кинетические (коэффициенты диффузии, частоты колебаний атомов). Причем в данном методе динамика процессов исследуется в реальном времени.
ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
Моделирование проводилось с использованием пакета молекулярной динамики LAMMPS Molecular Dynamics Simulator [22]. Исследуемая модель представляла собой объёмный ГЦК кристалл стехиометрии A3B. Как частный случай рассматривался кристалл Pt3Al, содержащий 50000 атомов (рис. 1).
Рис. 1. Вид объемной модели расчетной ячейки кристалла Р13А1 с указанием кристаллографических направлений, черным цветом обозначены атомы Р1, серым - А1
Сплавы стехиометрии А3В со сверхструктурой L12 являются самыми многочисленными, поиск известных в настоящее время систем, обладающих L12 структурой, позволил выявить порядка 190 таких фаз в области состава А3В. Также сплавы с данной структурой являются наиболее часто модельными и выбираются для фундаментальных исследований с целью разработки структурно-физических основ создания новых конструкционных и функциональных материалов с различными уникальными свойствами. Сплавы с L12 структурой являются основой разработки существующих в настоящее время суперсплавов [23].
Для моделирования межатомного взаимодействия использовался потенциал полученный методом погруженного атома (EAM (англ. Embedded Atom Model)) [24]. В вычислительной химии модель погружённого атома используется для приближенного описания энергии взаимодействия между двумя атомами. Энергия - это функция F от суммы функций p^Tij), зависящих от расстояния между рассматриваемым i-м атомом и его j-ми соседями. Функция р представляет собой электронную плотность.
ГЦРа( rtj )l + 2 rrj ) , (1)
E = F„
a
V iф J J ^ iф J
где г/}. - расстояние между /-м иу-м атомами, <рар - функция парного потенциала, ра - вклад
в плотность заряда электронов от у-го атома в месте расположения /-го атома, ¥ - это функция «погружения», которая представляет энергию, необходимую для помещения /-го атома типа а в электронное облако. Метод БАМ является многочастичным потенциалом и, поскольку плотность электронного облака - это сумма вклада от большого количества атомов, на практике для уменьшения сложности и, соответственно, времени расчетов, часто ограничивают количество соседей так называемым «радиусом обрезания». В нашем случае он составил 8 А.
Возбуждение модельного квази-бризера наблюдалось при отклонении атома А1 вдоль направления <100>.
В отличие от точных дискретных бризеров, квази-бризеры являются не строго периодическими во времени динамическими объектами, хотя и локализованными в пространстве. Они возникают при любых достаточно малых отклонениях от точных бризерных решений в многомерном пространстве всех возможных начальных условий при решении задачи Коши для исходных дифференциальных уравнений, поскольку в этом случае не происходит полного подавления вкладов от колебаний периферийных частиц со своими собственными частотами. Таким образом, «ослабление диктатуры» со стороны ядра бризера (в случае рассматриваемого нами симметричного бризера, также ядро образует одна центральная частица, а в случае антисимметричного бризера - две его центральные частицы) приводит к наличию в бризерном решении малых вкладов, имеющих разные частоты. Эти малые вклады можно обнаружить в колебаниях всех частиц цепочки, в частности, и центральных. Если найти достаточно точно частоты колебаний всех частиц квази-бризера, вычисленные на некотором временном интервале вблизи I = то они не будут строго одинаковыми. В свете этого найдём среднеквадратичные отклонения г/^к) частоты колебаний различных частиц бризера от средней бризерной частоты со:
_ 1 N w(tk )=Т7X W (tk ),
Лк'г (2)
h(tk )=
X (w (tk )-w(tk ))2
N (N -1) ' (3)
Чем больше величина /Д), тем больше отличается квази-бризерное решение от точного бризерного решения, для которого /к)=0 в любой момент времени tk.
i=1
РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ
Для существования квази-бризера в первую очередь важно распределение фононных мод, т.е. фононный спектр кристалла. На рис. 2 приведена плотность фононных состояний ячейки кристалла Р1зА1.
0,8 0,7 0,6
§0,5
0
§ 0,4 я
1
Рч
0,2 0,1 0
0 2 4 6 8 10 12 СО (ТГц)
Рис. 2. Плотность фононных состояний кристалла Р1зА1
На рис. 3 приведена зависимость среднеквадратичного отклонения 1] модельного квази-бризера от времени его существования 4-,
Л
0,08
0,07
0,06
0,05
50 250 450 650 850 1050 tk
Рис. 3. Зависимость среднеквадратичного отклонения h модельного квази-бризера от времени его существования tk (в пикосекундах (пс))
Среднеквадратичное отклонение характеризует меру рассеяния данных. В нашем случае это отклонение частот периферийных атомов модельного квази-бризера от частоты ядра квази-бризера. Из рис. 3 видно, что среднеквадратичное отклонение квази-бризера варьируется от 0,05351804 до 0,07872487, что соответствует незначительному рассеянию частоты периферийных атомов от частоты ядра модельного квази-бризера.
Среднее квадратическое отклонение дает абсолютную оценку меры разброса. Поэтому чтобы понять, насколько разброс велик относительно самих значений (т.е. независимо от их масштаба), требуется относительный показатель. Такой показатель называется коэффициентом вариации и рассчитывается по следующей формуле:
У • (4)
По этому показателю можно сравнивать однородность самых разных явлений независимо от их масштаба и единиц измерения. В таблице приведены показатели коэффициента вариации V от времени существования квази-бризера tk.
Таблица
Показатель коэффициента вариации V от времени существования квазибризера 4 (в пс)
tk V
100 0,689459925361401
200 0,752950272577516
300 0,873516406716849
400 0,875836488305596
500 0,946565916395520
600 0,902535478775530
700 0,750485304014620
800 0,869189010023149
900 0,871400568687749
1000 1,018222324483890
На рис. 4 приведена зависимость средней частоты соср модельного квази-бризера. от времени его существования 4-, 0)Ср 7,85
7,8
7,75
7,7
7,65
О 200 400 600 800 1000 1020 1к
Рис. 4. Зависимость средней частоты тср (в ТГц) модельного квази-бризера от времени его существования 4 (в пс)
Из рис. 3 и 4, табл. видно, что отклонение частоты периферийных атомов модельного квази-бризера от частоты ядра квази-бризера крайне незначительно. Причём средняя частота варьируется в пределах от 7,68688603 ТГц до 7,83960979 ТГц, что соответствует щели фононного спектра кристалла Р1:3А1 (см. рис. 1). Следовательно, в рамках данной модели кристалла Р13А1 можно говорить о близости модельного квази-бризера к соответствующему ему точному бризеру.
Также в рамках данной модели были рассчитаны следующие статистические характеристики и зависимости: группированный статистический ряд абсолютных и относительных частот, полигон абсолютных и относительных частот, гистограмма относительных частот, эмпирическая функция распределения, оценка математического ожидания и дисперсии исходной выборки. Об анализе этих статистических зависимостей пойдёт речь в дальнейших наших работах.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Методом молекулярной динамики установлено, что в рассматриваемой модели кристалла стехиометрии A3B на примере Pt3Al с использованием потенциала межатомного взаимодействия, полученного методом погружённого атома (EAM), квази-бризерное модельное решение незначительно отличается от соответствующего ему точного бризера. Это свидетельствует об устойчивости полученного дискретного бризера в модельных ячейках и возможности возбуждения в реальных сплавах рассмотренного состава.
Захаров П. В. благодарит за финансовую поддержку РНФ проект № 16-12-10175; Ерёмин А. М. благодарит за финансовую поддержку РФФИ проект № 16-42-220002 р_а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Flach S., Willis C. R. Discrete breathers // Physics Reports, 1998, vol. 295, iss. 5, pp. 181-264. doi:10.1016/S0370-1573(97)00068-9
2. Flach S., Gorbach A. V. Computational studies of discrete breathers - from basics to competing length scales // International Journal of Bifurcation and Chaos. Chaos, 2006, vol. 6, iss. 06, pp. 1645-1669. doi:10.1142/S0218127406015581
3. Flach S., Gorbach A. V. Discrete breathers: advances in theory and applications // Physics Reports, 2008, vol. 467, iss. 1-3, pp. 1-116. http://dx.doi.org/10.1016/j.physrep.2008.05.002
4. Sato M., Sievers A. J. Direct observation of the discrete character of intrinsic localized modes in an antiferromagnet // Nature, 2004, vol. 432, pp. 486-488. doi:10.1038/nature03038
5. Fleischer J. W., Carmon T., Segev M., Efremidis N. K., Christodoulides D. N. Observation of discrete solitons in optically induced real time waveguide arrays // Physical Review Letters, 2003, vol. 90, iss. 2, p. 023902. doi:https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.90.023902
6. Sato M., Hubbard B. E., Sievers A. J., Ilic B., Czaplewski D. A., Craighead H. G. Observation of locked intrinsic localized vibrational modes in a micromechanical oscillator array // Physical Review Letters, 2003, vol. 90, iss. 4, p. 044102. doi:https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.90.044102
7. Zalalutdinov M. K., Baldwin J. W., Marcus M. H., Reichenbach R. B., Parpia J. M., Houston B. H. Two-dimensional array of coupled nanomechanical resonators // Applied Physics Letters, 2006, vol. 88, p. 143504. http://dx.doi.org/10.1063/L2190448
8. Дмитриев С. В., Хадеева Л. З. Щелевые дискретные бризеры в двухкомпонентном двумерном кристалле в состоянии теплового равновесия // Физика твердого тела. 2011. Т. 53, №7. С. 1353-1358.
9. Медведев Н. Н., Старостенков М. Д., Потекаев А. И., Захаров П. В., Маркидонов А. В., Ерёмин А. М. Локализация энергии в упорядоченных конденсированных системах: сплавы состава A3B со сверхструктурой L12 // Известия высших учебных заведений. Физика. 2014. Т. 57, № 3. С. 92-100.
10. Захаров П. В., Ерёмин А. М., Старостенков М. Д., Маркидонов А. В., Луценко И. С. Квази-бризерные состояния в кристалле A3B при наличии точечных дефектов // Фундаментальные проблемы современного материаловедения. 2015. Т. 12, № 2. С. 146-152.
11. Захаров П. В., Старостенков М. Д., Дмитриев С. В., Медведев Н. Н., Ерёмин А. М. Моделирование взаимодействия дискретных бризеров различного типа в нановолокне кристалла Pt3Al // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2015. Т. 148, вып. 2. С. 252-257.
12. Старостенков М. Д., Потекаев А. И., Дмитриев С. В., Захаров П. В., Ерёмин А. М., Кулагина В. В. Динамика дискретных бризеров в кристалле Pt3Al // Известия высших учебных заведений. Физика. 2015. Т. 58, № 9. С. 136-140.
13. Захаров П.В., Ерёмин А.М., Старостенков М.Д., Маркидонов А.В. Компьютерное моделирование нелинейной локализованной колебательной моды большой амплитуды в кристалле Pt3Al с бивакансией Pt // Компьютерные исследования и моделирование. 2015. Т. 7, № 5. С. 1089-1096.
14. Захаров П.В., Ерёмин А.М., Манаков Н.А., Старостенков М.Д., Маркидонов А.В Поведение квазибризерной моды в кристалле Pt3Al при наличии точечных дефектов // Вестник Оренбургского государственного университета. №9 (184). 2015. С. 38-44.
15. Захаров П.В., Ерёмин А.М., Старостенков М.Д. Влияние межузельных атомов на квазибризерные моды в кристалле стехиометрии А3В с морзевским взаимодействием // Химическая физика и мезоскопия. 2016. Т. 18, № 1. С. 114-121.
16. Захаров П.В., Старостенков М.Д., Ерёмин А.М. Влияние упругой деформации всестороннего растяжения-сжатия на характеристики дискретного бризера в кристалле Pt3Al // Фундаментальные проблемы современного материаловедения. 2016. Т. 13, № 2. С. 223-229.
17. MacKay R. S., Aubry S. Proof of existence of breathers for time-reversible or Hamiltonian networks of weakly coupled oscillators // Nonlinearity, 1994, vol. 7, iss, 6, pp. 1623.
18. Chechin G. M., Dzhelauhova G. S., and Mehonoshina E. A. Quasibreathers as a generalization of the concept of discrete breathers // Physical Review E, 2006, vol. 74, iss. 3, pp. 036608. DOI:https://doi.org/10.1103/PhysRevE.74.036608
19. Sato M., Hubbard B. E., Sievers A. T. Nonlinear energy localization and its manipulation in micromechanical oscillator arrays // Reviews of Modern Physics, 2006, vol. 78, iss. 1, pp. 13. D0I:https://doi.org/10.1103/RevModPhys.78.137
20. Rossler T., Page J. B. Optical creation of vibrational intrinsic localized modes in anharmonic lattices with realistic interatomic potentials // Physical Review B, 2000, vol. 62, iss. 17, pp. 11460. D0I:https://doi.org/10.1103/PhysRevB.62.11460
21. Cretegny T., Dauxois T., Ruffo S., Torcini A. Localization and equipartion of energy in the b-FPU chain: Chaotic breathers // Physica D: Nonlinear Phenomena, 1998, vol. 121, iss. 1-2, pp. 109-126. doi:10.1016/S0167-2789(98)00107-9
22. LAMMPS Molecular Dynamics Simulator. URL: http://lammps.sandia.gov/ (дата обращения 14.05.2016).
23. Dmitriev S. V., Baimova Ya. A. Effect of elastic deformation on phonon spectrum and characteristics of gap discrete breathers in crystal with NaCl-type structure // Technical Physics Letters, 2011, vol. 37, iss. 5, pp. 451-454. DOI: 10.1134/S1063785011050208
24. Zhou X. W., Johnson R. A., and Wadley H. N. G. Misfit-energy-increasing dislocations in vapor-deposited CoFe/NiFe multilayers // Physical Review B, 2004, vol. 69, iss. 14, pp. 144113. D0I:https://doi.org/10.1103/PhysRevB.69.144113
STATISTICAL DATA QUASI-BREATHERS SOFT TYPE OF NONLINEARITY IN CRYSTALS STOICHIOMETRY A3B
:Eremin A. M., :Zakharov P. V., 2Starostenkov M. D.
lrThe Shukshin Altai State Humanities Pedagogical University, Biysk, Russia
2Altai State Technical University, Barnaul, Russia
SUMMARY. In this paper by method of molecular dynamics study conducted statistical characteristics of quasi-breather in the model crystal stoichiometry A3B, on the example Pt3Al. The simulation was performed using molecular dynamics package LAMMPS Molecular Dynamics Simulator. The model is a volumetric FCC crystal stoichiometry A3B. As a special case considered crystal Pt3Al, containing 50.000 atoms. Alloys stoichiometry A3B with L12 superstructure are the most numerous, searching the currently known systems with L12 structure revealed about 190 of these phases in the composition A3B. Also with this structure alloys are the most frequently chosen for the model and the fundamental research to the development of the structural and physical foundations of the creation of new structural and functional materials with a variety of unique properties. Alloys with Ll2 structure are the basis for the development of currently existing superalloys. To simulate the use of the potential of interatomic interaction produced by the method embedded atom (EAM). Excitation model quasi-breather observed rejecting Al atoms along the <100> direction. Unlike the exact discrete breathers, quasi-breathers are not strictly periodic in time of dynamic objects, although localized in space. They arise in any sufficiently small deviations from the exact breather solutions in multidimensional space of all possible initial conditions for solving the Cauchy problem for the original differential equations, since in this case there is no complete suppression of the contributions from the peripheral oscillations of the particles with their own frequencies. The weakening influence from the breather nucleus leads to the presence of a small breather solution deposits having different frequencies. These small deposits can detect vibrations in all chains of particles, in particular, and central. Therefore, there are standard deviations h(4) oscillation frequency different from the average particle breather frequency W. The larger the value h(4), the larger the breather differs quasi-exact solution from the breather solutions for which h(4) = 0 at any given time tk. Received model phonon spectrum of the crystal obtained according to the standard deviation, coefficient of variation and the average frequency of the model of quasi-breather from the time of its existence. Statistical data analysis allows us to conclude that in this model using the interatomic potential obtained by submerged atom (EAM), a quasi-breather model solution differs slightly from the corresponding exact breather. This demonstrates the stability of the resulting discrete breathers in model cells and the possibility of bringing in real alloys considered composition.
KEYWORDS: molecular dynamics, discrete breathers, quasi-breather, the standard deviation, the phonon spectrum. REFERENCES
1. Flach S., Willis C. R. Discrete breathers. Physics Reports, 1998, vol. 295, iss. 5, pp. 181-264. doi: 10.1016/S0370-1573(97)00068-9
2. Flach S., Gorbach A. V. Computational studies of discrete breathers - from basics to competing length scales. International Journal of Bifurcation and Chaos. Chaos, 2006, vol. 6, iss. 06, pp. 1645-1669. doi:10.1142/S0218127406015581
33. Flach S., Gorbach A. V. Discrete breathers: advances in theory and applications. Physics Reports, 2008, vol. 467, iss. 1-3, pp. 1-116. http://dx.doi.org/10.1016/j.physrep.2008.05.002
4. Sato M., Sievers A. J. Direct observation of the discrete character of intrinsic localized modes in an antiferromagnet. Nature, 2004, vol. 432, pp. 486-488. doi:10.1038/nature03038
5. Fleischer J. W., Carmon T., Segev M., Efremidis N. K., Christodoulides D. N. Observation of discrete solitons in optically induced real time waveguide arrays. Physical Review Letters, 2003, vol. 90, iss. 2, p. 023902. doi:https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.90.023902
66. Sato M., Hubbard B. E., Sievers A. J., Ilic B., Czaplewski D. A., Craighead H. G. Observation of locked intrinsic localized vibrational modes in a micromechanical oscillator array. Physical Review Letters, 2003, vol. 90, iss. 4, p. 044102. doi:https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.90.044102
7. Zalalutdinov M. K., Baldwin J. W., Marcus M. H., Reichenbach R. B., Parpia J. M., Houston B. H. Two-dimensional array of coupled nanomechanical resonators. Applied Physics Letters, 2006, vol. 88, p. 143504. http://dx.doi.org/10.1063/L2190448
8. Dmitriev S. V., Khadeeva L. Z. Gap discrete breathers in a two-component two-dimensional crystal in thermal equilibrium. Physics of the Solid State, 2011, vol. 53, no. 7, pp. 1425-1430. DOI: 10.1134/S106378341107033X
9. Potekaev A. I., Starostenkov M. D., Zakharov P. V., Eremin A. M., Markidonov A. V., Medvedev N. N. Energy Localization in the Ordered Condensed Systems: A3B Alloys With L12 Superstructure. Russian Physics Journal, 2014, vol. 57, no. 3, pp. 387-395. DOI: 10.1007/s 11182-014-0251 -5
10. Zakharov P. V., Eremin A. M., Starostenkov M. D., Markidonov A. V., Lutsenko I. S. Kvazi-brizernye sostoyaniya v kristalle A3B pri nalichii tochechnykh defektov [Quasi-state breather in A3B crystal in the presence of point defects]. Fundamental'nye problemy sovremennogo materialovedeniya [Fundamental problems of modern materials], 2015, vol. 12, no. 2, pp. 146-152.
11. Zakharov P. V., Eremin A. M., Starostenkov M. D., Medvedev N. N., Dmitriev S. V. Simulation of the interaction between discrete breathers of various types in a Pt3Al crystal nanofiber. Journal of Experimental and Theoretical Physics, 2015, vol. 121, no. 2, pp. 217-221.
12. Starostenkov M. D., Potekaev A. I., Dmitriev S. V., Zakharov P. V., Eremin A. M., Kulagina V. V. Dinamika diskretnykh brizerov v kristalle Pt3Al [Dynamics of discrete breathers in the crystal Pt3Al]. Russian Physics Journal, 2015, vol. 58, no. 9, pp. 136-140.
13. Zakharov P. V., Eremin A. M., Starostenkov M. D., Markidonov A. V. Komp'yuternoe modelirovanie nelineynoy lokalizovannoy kolebatel'noy mody bol'shoy amplitudy v kristalle Pt3Al s bivakansiey Pt [Computer simulation of nonlinear localized vibrational modes of large am-plitude in the crystal Pt3Al with bivacancies Pt]. Komp'yuternye issledovaniya i modelirovanie [Computer studies and modeling], 2015, vol. 7, no. 5, pp. 1089-1096.
14. Zakharov P. V., Eremin A. M., Manakov N. A., Starostenkov M. D., Markidonov A. V Povedenie kvazibrizernoy mody v kristalle Pt3Al pri nalichii tochechnykh defektov [Behavior quasi-breather mode in a crystal Pt3Al the presence of point defects]. Vestnik Orenburgskogo gosudarstvennogo universiteta [Bulletin of the Orenburg State University], 2015, no. 9(184), pp. 38-44.
15. Zakharov P.V., Eremin A.M., Starostenkov M.D. Vliyanie mezhuzel'nykh atomov na kvazibrizernye mody v kristalle stekhiometrii A3V s morzevskim vzaimodeystviem [Interstitial atoms influence on the quasi breather modes in the A3B stoichiometry crystal with morse interaction]. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics & Mesoscopy], 2016, vol. 18, no. 1, pp. 114-121.
16. Zakharov P. V., Starostenkov M. D., Eremin A. M. Vliyanie uprugoy deformatsii vsestoronnego rastyazheniya-szhatiya na kharakteristiki diskretnogo brizera v kristalle Pt3Al [Effect of elastic deformation of the full stress-strain characteristics in the discrete breathers in Pt3Al crystal]. Fundamental'nye problemy sovremennogo materialovedeniya [Fundamental problems of modern materials], 2016, vol. 13, no. 2, pp. 223-229.
17. MacKay R. S., Aubry S. Proof of existence of breathers for time-reversible or Hamiltonian networks of weakly coupled oscillators. Nonlinearity, 1994, vol. 7, iss. 6, pp. 1623.
18. Chechin G. M., Dzhelauhova G. S., and Mehonoshina E. A. Quasibreathers as a generalization of the concept of discrete breathers. Physical Review E, 2006, vol. 74, iss. 3, pp. 036608. DOI:https://doi.org/10.1103/PhysRevE.74.036608
19. Sato M., Hubbard B. E., Sievers A. T. Nonlinear energy localization and its manipulation in micromechanical oscillator arrays. Reviews of Modern Physics, 2006, vol. 78, iss. 1, pp. 13. DOI:https://doi.org/10.1103/RevModPhys.78.137
20. Rossler T., Page J. B. Optical creation of vibrational intrinsic localized modes in anharmonic lattices with realistic interatomic potentials. Physical Review B, 2000, vol. 62, iss. 17, pp. 11460. D0I:https://doi.org/10.1103/PhysRevB.62.11460
21. Cretegny T., Dauxois T., Ruffo S., Torcini A. Localization and equipartion of energy in the b-FPU chain: Chaotic breathers. Physica D: Nonlinear Phenomena, 1998, vol. 121, iss. 1-2, pp. 109-126. doi:10.1016/S0167-2789(98)00107-9
22. LAMMPSMolecular Dynamics Simulator. URL: http://lammps.sandia.gov/ (accessed May 14, 2016).
23. Dmitriev S. V., Baimova Ya. A. Effect of elastic deformation on phonon spectrum and characteristics of gap discrete breathers in crystal with NaCl-type structure. Technical Physics Letters, 2011, vol. 37, iss. 5, pp. 451-454. DOI: 10.1134/S1063785011050208
24. Zhou X. W., Johnson R. A., and Wadley H. N. G. Misfit-energy-increasing dislocations in vapor-deposited CoFe/NiFe multilayers. Physical Review B, 2004, vol. 69, iss. 14, pp. 144113. D0I:https://doi.org/10.1103/PhysRevB.69.144113
Ерёмин Александр Михайлович, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математики, физики, информатики АГГПУ им. В.М. Шукшина, тел. (3854) 33-74-38, e-mail: eam77@yandex.ru
Захаров Павел Васильевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, физики, информатики АГГПУ им. В.М. Шукшина, e-mail: zakharovpvl@rambler. ru
Старостенков Михаил Дмитриевич, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой физики АлтГТУ им. И.И. Ползунова, тел. (3852) 29-08-52, e-mail: genphys@agtu. secna. ru
