CC BY
21
УДК 681.7.068.4.08
ВЛИЯНИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ СОСЕДНИМИ НУКЛЕОТИДАМИ НА ДИНАМИКУ РАСПРОСТРАНЕНИЯ КОНФОРМАЦИОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ В МОЛЕКУЛАХ ДНК
П. П. Гаряев1, М. Ю. Маслов2, К. В. Шайтан3, В. А. Щеглов
Исследовано влияние нелинейности сахаро-фосфатных связей между соседними нуклеотидами в цепи на динамику распространения конформационных возмущений при моделировании динамики полимера ДНК. Определены начальные условия, при которых выявляется существенное отличие динамики модели с нелинейным взаимодействием соседних нуклеотидов от модели с их линейным, взаимодействием.
В [1] предложена модель, описывающая вращательно-колебательные возмущения в цепочках нуклеотидов молекул ДНК, в целях дать объяснение экспериментальным дан ны'м по водородно-тритиевому обмену в ДНК. Согласно этой модели в цепи ДНК мо1 ут возникнуть и распространяться открытые состояния в виде локализованных дислокаций (типа уединенных волн - солитонов). При этом в [1] (см. также [2, 3]) взаимодействие между соседними нуклеотидами в цепи ДНК описывалось линейным по тенциалом. В данной работе (в отличие от [1-3]) рассматривается принципиально важный случай, когда этот потенциал нелинеен.
Хорошо известно, что цепь молекулы ДНК состоит из двух скрученных в двойную спираль цепочек, содержащих нуклеотиды, в состав которых входят аденин (А),
'Институт проблем управления РАН. "Математический институт РАН. '.Московский государственный университет.
тимин (Т), гуанин (Г), цитозин (Ц). Нуклеотиды в цепочках располагаются в гене тически определенном порядке, а связь между цепочками осуществляется посредством водородных связей между комплементарными парами (А-Т, Г-Ц).
В настоящем исследовании, как и в [1 - 3], цепочки ДНК моделируются набором маятников, подвешенных на невесомом нерастяжимом стержне. Для простоты < пира лизация цепи не учитывается, а осцилляторы одной из цепочек считаются "заморожен ными".
В рассматриваемом случае гамильтониан для "активной" цепочки записывается в виде
Н = Но + Н\ + #2,
ЯоЦЕ 1ф1 Нг = \ £ *(1 - созДс^2), Я2 = £ \ф[\ - сову»,-], 1 1 = 1 1 ,"=1 1 = 1
где N - число пар оснований в цепи; Но - гамильтониан, описывающий собственные осцилляции мономеров (у?,- - углы вращения нуклеотидов в цепочке, 1 момент инер ции оснований), Н\ - гамильтониан, характеризующий нелинейно-периодическую связь между осцилляторами (К - константа упругости цепочки, Ду>,- = —у,), Н2 гамиль тониан, описывающий нелинейную связь между "активной" и "замороженной" (о, = (Л цепочками ДНК (/? - константа упругости водородных связей между комплементарными основаниями, коэффициенты Аг в уравнении (1) определяются в соответствии < прави лом: А, = 2 в случае АТ и ТА пар, Аг = 3 в случае ГЦ и ЦГ пар; /3 — 2-10~3 параметр, определенный в [4] и полученный на основе модели синус-Гордона и экспериментальных данных).
Заметим, что при малых Д^,- гамильтониан Н\ = что совпадает с со-
ответствующей частью общего гамильтониана, использованного в [2, 3]. В этом случае уравнения движения для у?,-, полученные из (1), имеют вид
фх — <¿>¿-1 ~ 2у>,- + ^.+1 ~ (2)
где произведена замена V —*
В случае А, = А, в системе (2) можно перейти к безразмерному дифференциальном\ уравнению синус-Гордона
4>и = 4>хх ~ вшу? • (3)
"непрерывному аналогу" системы (2). Это уравнение имеет солитонные решения, в частности, односолитонное решение, характеризующее динамику распространения дислокации в цепи.
В соответствии с (1) система нелинейных уравнений движения записывается в виде
Как видим, системы (2) и (4) существенно различаются. Отметим, однако, что проведенное нами численное моделирование динамики систем (2) и (4) показало следующее: если в качестве начальных условий для численного интегрирования (2) выбрать односолитонное решение его "непрерывного аналога" (3) (см. [2]), то обнаруживается принципиальное сходство в характере решений.
Однако при задании начальных условий в следующем виде
тде ср°(х) - "ступенчатая" функция с высотой ступени 27т и углом наклона уступа I. выявилось различие динамики данных систем (ср. рис. 1 и 2, 3). Более точно, системы (2) и (4) численно интегрировались методом Рунге - Кутта четвертого порядка с начальными условиями, заданными в виде (7), в интервале Т £ [0.750] с шагом А / = 0. I. Граничные условия - "квазициклические":
А, = 2 (ро1у-А-последовательность). Параметр системы /З/К — 0,1. Варьировался па раметр А (угол наклона уступа функции </>°(х)).
Численное интегрирование системы (2) (рис. 1) показало, что образуются две уединенных волны, движущихся справа налево по цепи с постоянной скоростью. Первая волна имеет форму солитона, а вторая волна имеет форму бризера (дышащего соли то на), причем скорость первой волны превосходит скорость второй. Обе волны за счеч 'квазициклических'' граничных условий, доходя до левого конца, появляются на пра вом конце без изменения своей формы. Солитон, проходя по цепи маятников, изменяем координату каждого маятника на угол 27т (маятник делает полный оборот). Поэтому, проходя по замкнутой цепи маятников К раз, он изменяет координату каждого маятника на угол К х 27г. Этим объясняется "уступообразная" форма графика на рис. 1.
(4)
0, А(х — х0) < 0
(р(х, 0) = <р°(х) = А(х- х0), 0 < А(х - х0) < 2тт,
2тг, А(х — Хо ) > 2тг
0, А(х - х0) < 0 ф(х, 0) = ф°{х) = 1, 0 < А(х - х0) < 2тг, . 0, А(х - ж0) > 2тг
Уо = 9АГ — Т, <¿>N+1 = V3! + Т, Т = -
6
Рис. 1. а) Результаты численного моделирования динамики распространения возмущении в ДНК на основе системы (2) при значении параметра А = 1. б) То же, вид сверху.
Рис. 2. а) Результаты численного моделирования динамики распространения возмущении в ЛИК на основе системы (4) при значении параметра А = 1. б) То же, вид сверху.
На рис. 2 представлены результаты интегрирования системы (4) при гех же уело виях. Из рисунка видно, что образуются те же две уединенных волны оолитом и бризер. Но принципиальное отличие от рассмотренного случая состоит в том. что со-литон в самом начале движется с отрицательным ускорением, так что в результате его скорость оказывается меньше скорости бризера. Заметим, что исследования проводи лись на однородной ро]у-А-последовательности, поэтому изменение скорости соли гона
нельзя объяснить влиянием неоднородности цепочки. Этот эффект объясняется нелинейным взаимодействием между ее мономерами.
Рис. 3. а) Результаты численного моделирования динамики распространения возмущении в ДНК на основе системы (4) при значении параметра А = 2. б) То же, вид сверху.
Рис. 3 иллюстрирует результаты интегрирования системы (4) при тех же условиях за исключением того, что А — 2. В данном случае реализуется только солитон и его отрицательное ускорение в начале движения таково, что в результа е он движется в направлении, противоположном первоначальному. При интегрировании системы (2) в аналогичных условиях также образуется только солитон. Его скорость не меняется по сравнению со случаем, показанным на рис. 1.
Отметим, в теории динамики биополимеров хорошо известно [5], что конформаци онные движения реализуются по механизму ограниченной диффузии ввиду сильного влияния диссипативных сил со стороны микроокружения. Для реализации солитонно подобных режимов необходимо выполнение условий: т кз < где Д.т и V ширина и скорость солитона, Тц33 - время диссипации. Положив Ах « 5А и и и 105 см/с (скорость звука), имеем оценку т1ц33 > 5 X 1013 с. Отметим, что характерное время диссипации за счет водных гидродинамических сил ~ Ю-12 — 10~1Ос, а время затухания, обусловливаемое процессами внутри самой молекулы, кз 10~п — 10_9с'(см., напр.. [5 - 6]).
Безусловно, эффект затухания играет определенную роль в акте образования дислокаций вдоль молекул ДНК, и этот эффект учитывается параметром вязкости А, молекул
ДНК, зависящим от присутствия структурированной воды в составе и микроокружении ДНК (исследуемые значения диссипации А, были заданы равными 0,1; 1; 2) (см. также [3]). Дислокации образуются или не образуются вне зависимости от значений А, при учитываемых диапазонах значений этого параметра. При больших величинах Л, дислокации образуются медленнее, чем при меньших. Существенно значительнее влияние степени увлажненности ДНК на поведение ДНК через другой параметр, а именно через шаг спирали полинуклеотида. Изменение концентрации молекул воды, как это следу < л из нашей теоретической модели, приводит не только к суперспирализации биополимс ра, но и к локальному расспариванию двойной спирали ДНК [3]. Отметим, что эффек 1 диссипации (трение, вязкость, диффузия) играет определенную роль при формирова нии и солитонов Рассела (глубокая вода) и солитонов Давыдова (в биомакромолекулах белков).
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты N 96-02- 18855-а и N 95-04-12197-а).
ЛИТЕРАТУРА
[1] Englander S. W. et al. Ргос. Natl. Acad. Sci. USA, 77, 7222 (1980).
[2] Salerno M. Phys. Rev. A, 44, N 8, 5292 (1991).
[3]Благодатских В. И. и др. Краткие сообщения по физике ФИАН. N 3-4. 9 (1996).
[4] Fed у an in V. К., Yakushevich L. V. Stud. Biophys., 103, 171 (1984).
[5] Шайтан К. В. Биофизика, 39, 949 (1994).
[6] Ч е р н а в с к и й Д. С. и др. Препринт ФИАН N 287, М., 1986.
Поступила в редакцию 1 октября 1996 i.
