Теоретические основы стохастической теории подобия в задачах надежности и безопасности систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Осташкевич В.А.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ В ЗАДАЧАХ НАДЕЖНОСТИ И БЕЗОПАСНОСТИ СИСТЕМ

В теории подобия имеются три фундаментальных теоремы, устанавливающие необходимые и достаточные условия подобия систем и да ют возможность преобразования функциональной зависимости между физическими параметрами в критериальное уравнение. Согласно первой теореме о необходимых условиях подобия, сравниваемые явления подобны, если они имеют одинаковые критерии подобия в сходственные моменты времени и в сходственных точках пространства. Под критериями подобия, или инвариантами подобия понимаются безразмерные комплексы физических величин, определяющих то или иное физическое явление. Для подобных явлений Ж- = 1 ^ет, Пп где пя - число критериев подобия. Кроме критериев подобия, для установления

подобия используются отношения сходственных физических величин х. и х- исследуемого и базового

хУ

явления в виде констант подобия т ——т ,которые масштабами величин или симплексами. Физическое мо-

У,

делирование использует афинное подобие, когда константы подобия т.,У — 1,п отличны друг от друга.

Вторая теорема известна под названием ж - теоремы. Эта теорема определяет, что функциональная зависимость между физическими пара метрами системы может быть представлена в виде зависимости состав ленными из них критериями подобия. Использование этой теоремы позволяет получить в отработке значительные преимущества. Во-первых, критериальное уравнение характеризует всю группу подобных систем, и поэтому использование его позволяет распространить полученные результаты единичной отработки на всю группу. Во-вторых, применение безразмерных комплексных величин уменьшает число параметров, которые входят в уравнение, что упрощает математические операции с ним. В-третьих, при проведении отработочных исследований не нужно не нужно изучать влияние каждого фактора в отдельности. Вид критериального уравнения может быть получен методом анализа размерностей, если число физических параметров функциональной зависимости превышает число основных единиц измерений не больше чем на единицу. Если физическое явление определяется п независимыми между собой размерными величинами . .хк,хк+}. ,,хп из числа, которых "К" величин х^,...,хк являются основными (имеют независимые размерности), а пя — п — К - то согласно второй теореме подобия из п величин можно образовать п независимых безразмерных комплексов:

Ж\ ~ ХК +1 ! (Х1а1 5 Х ^ 5 ■ ■ * 5 ) = 7 ^ет

7Г2=Хк+2 >х2а2 ,...,хкак^ = I С1ет

7Спп=хп{хДХг“2,...,*/*) = *' С1ет (12)

где ,&г2,...ОСк ~ показатели размерностей основных величин. Согласно второй теореме подобия на осно-

ве анализа размерностей зависимость между некоторой физической величиной у , является функцией независимых между собой п размерных величин у = ф(х1,х2,...,хк+1,...,хп) (13)

Может быть заменена соотношением между безразмерными критериальными комплексами

Ж = у(къЖ2,...,Жп_к) (14)

Здесь связи между п — К +1 размерными величинами принимают вид соотношением между критериальными комплексами ..7Гп_К . Таким образом, производится обобщение характеризующей данное явление зависимости (13), найденной отработочным (экспериментальным) или аналитическим путем и изучаемое явление сводится к рассмотрению значительно меньшего числа зависимостей между безразмерными комбинациями величин.

Условие подобия (12) может быть представлено в виде индикаторов подобия Я\=к+\ /(^*2“2 =••• = */*)= 1

^2 = **+2 > (*Л =*2“2 =• • ;Хкак ) = 1

Кпп =Хп1(х1а\Х2а2,...,ХкС'к)=1 (15)

При построении модели, подобной исследуемому явлению, требуется определить добавочные условия, которые из всех возможных решений выделяют наиболее характерные для данного случая признаки. В этих случаях потребуются шкалы измерений при исследовании безопасности и изложенные выше. В дополнение к необходимым условиям третья теорема подобия формулирует достаточные условия подобия. Согласно этой теореме подобны те явления, которые имеют одинаковые определяющие критерии подобия и подобные условия однозначности. Определяющими считаются критерии, содержащие величины, входящие в условия однозначности явления. В отличие от неопределяющих (зависимых величин) эти критерии могут быть заранее вычислены. Следовательно, при по строении критериальных моделей подобия для обобщенного анализа и использования физического моделирования в задачах исследования безопасности и надежности систем, в дополнение к зависимости, описывающим изучаемой явление, должны быть сформулированы начальные и граничные условия однозначности, связанные с понятием безопасной работоспособности системы и характеризующие временные, геометрические, социальные и физические особенности явления.

Учитывая то, что параметры характеризующие исследуемый процесс надежности и безопасности нами рассматриваются как случайные величины, тогда подобие стохастически определенных физических систем должно быть основано на равенстве функций плотностей распределения параметров, характеризующих эти системы. Критерии подобия в этом случае должны быть определены в пределах верхней и нижней границ до верительного интервала.

Классическая теория подобия для определения подобия систем сводит задачу к решению отношения вида

-гак+1 -уаК+2 лк+\ лк+2 ?

(16)

параметры вновь создаваемой

где ,...,хк - параметры существующей первой системы;

системы; ОСп^...^ОСт - экспериментальные коэффициенты.

Если соотношение (16) равно единице (ж — 1) , тогда сравниваемые системы подобны. В противном случае (если жФ1 ) системы не подобны. Так как, ж , как правило - непрерывная случайная величина, то Р(ж — 1) — 0 . Поэтому рассмотрим задачу подобия в стохастической постановке. Параметры х1,х2,.. .,хт - являются случайными величинами, имеющими функции плотностей вероятности /(хі),' — 1,т . Вопросы оценки подобия сформулируем в терминах задачи проверки статистических гипотез. Обозначим = х^1 • х^1,...іх^к и У2=4ТіЛТ2-<т • Тогда н0 - нулевая гипотеза будет состоять в том, /(У1 ) — Р(У2) . Альтернативная гипотеза Н состоит в том, что /(у1) Ф ^(У2) Из теории гипотез следует, что сравниваемые исследуемые системы подобны если жє|Ж,ж^ ,аааж,ж верхняя и нижняя границы для Ж , определяемые для достоверной вероятности у , причем 1-у уровень значимости и ж -критерий статистической гипотезыН0 . В этом заложен принцип подобия систем в стохастическом смысле. Задача определения ж и Ж при заданных у и п (п - число отработок) распадается на две: 1. определение функции плотности вероятности /(ж) случайной величины ж по функциям

плотности вероятности случайных вели ЧИН Х1,Х2,. . .

2. Определение критической области для критерия ж . Рассмотрим решение первой задачи. При этом будем полагать, что величины Xj при всех ' независимых и имеют обобщенное Г - распределение. Будем счи-

/j(^) определяется следующим образом:

Раа> 1р>

тать, что .

/ (X' )Г(Г.//?)' х-' ехр (-адрА); х> 0а'>0

г( а, /р,

^ > 0Р, > 0

(%у ) — 0 в любом другом случае.

Это трехпараметрическое распределение включает в себя почти все известные законы распределения. Установлено, что Л - момент отношения у = х^,...,х / х+1,...,хк имеет вид

мугс я{Г(!+А)'

к

х П ^Г

-—т+1

С:

к (V -1 т (а,-1

П ПГ

j=m+\ ІА) У—1 ІА)

где

(17)

м - знак математического ожидания. Когда моменты м(уп)существуют, функция плотности вероят-ти, обозначенная 8 (У) , определяется обратным преобразованием Меллина.

с+/«

8(у) — I м[(уп)]Уп~—Лп

(18)

Таким образом, результат р (18) можно использовать в случаях, когда коэффициенты а в (17) равны единице. Но это не всегда выполняется, поэтому необходимо найти распределение ж при а Ф 0 . Упрощая задачу, будем считать, что х. - имеет р - распределение с плотностью

/-(х):

Г(а +А)

X-1 (1 - х- )'

0<X-(1 ; а>1 ; Р->1 . (19)

_Г(а, )Г(Р )

Тогда її- й момент распределения величины у — ха1 *

при взаимозависимости X- имеет вид

м

(у." )-Пкм ('

_ Г(а +а")

'1 Г(а+р +а") ’

--С П

„ К Т((Ху+Ру )

где N — П-—г— . Отсюда например, получаем среднее значение У , полагая к — 1

1 г(о,)

к

г(а,+а,) М(у) — С П^-^-----^.

'—1 Г(а+р +аа)

«і а-, а

Хл 1, X, 2...............................Х„

к

к

ж —

2 г п2 2 к Г (а, + 2а,)

Дисперсия Г — М| у — М(у1 )1 ; откуда Г — С П—------------------------------г • Таким образом, приходим к решению

У—1 Г(а+Р+ 2а )

новой задачи определения функции распределения отношения двух полиномов.

ж — У\! У2,

где У2=хк+\ ’ лг+2 >'">хт • Здесь необходимо определить:

- коэффициенты • .5С1^+1,...,0С (из опыта или эксперимента);

- функцию распределения отношения ж ;

- нижнюю и верхнюю доверительные границы для неизвестного ж при заданной доверительной вероятности

У .

Рассматривая ак как коэффициенты линейной функции регрессии величины 1пж , можно использовать стандартное уравнение регрессии для их определения. Последнее выбирается таким, чтобы дисперсия условной величины У#/л — х; уи_1 — х^_2 ,была минимальной ,т.е.

и М—1 ^

М|1 Уп —ао— 'Еау,

Коэффициенты регрессии определяются с помощью стандартных программ для ЭВМ. Учитывая универсальность подхода, будем искать функцию распределения ж . Функция плотности вероятности семейства Пирсона удовлетворяет дифференциальному распределению

_-------уА + * , 120)

8 (*) а* Уо + У^ +^2 *

где коэффициенты у, — 0,1, 2 определяются следующим образом:

Г (4Р2* — 3Р2* ) Г* [р (Р2* + 3)]1/2 ^

у 2(5Р2* — 6р — 9)’У 2(5Р2* — р — 9) ’

2р* — 3р * — 6 . р -Ь( . Р -ЬyL — 3

у2 — л л ^ л9 л\ ; р1* - 3 ; р2* — 4 3 2 (5Р2 * — 6Р1 — 9) г3 Г44

где Г Ь Ьг - центальные моменты 2,3,4, порядка соответственно равные Г* — Ь* —а2 — М* ; ь — а — зм2а2+2 м3; ь — а—4м2а3+6ма — 3м4 - здесь а - начальные моменты v-го порядка для

случайной величины Z — у .

г(^+а,)

У1 — П х^ ; а, — М^] — С П Г ^ + а> .

1—1 [ ] 1—1 Г(5,° + а, + Р)

Величина X, имеет функцию плотности вероятности

г (х)_ г(а,-+р) а—1 (1—х )р

J ( У) Г(^,)Г(/?у )J ( У)

1 (21)

С — ПГ(а+р) / Г(а) (8.21*). Тогда

„ к г(8, +а,) „ .К Г( 28,+а,.)

м — N П , у 1-^ ; Г — N П , у — М'

" 1—1 г(3 +а +Р) ^ -1 г(23+а+р) ■

Отсюда определяются моментыЬ и

Г(38, +а, )

1—1 г(33 +а+Р)

к (28, + а,)

—3М С П ^ + 2м2

* (*+а+р)

к г( 4^+а,) к (38.+а) т к Г( 28.+а)

ь — С П , у ^ — 4М С П^-1-----------------------^ + 6М2С ^ — 3М4

4* ^ Г(4^ + а, +Р,) * ^—1 (33, +ау +р,) * У—1 г(28, +а, + р,) *

С помощью таблиц Г - функций найдем коэффициенты асимметрии и эксцесса Рк—3 ; а по ним и

коэффициенты у,у.

Запишем уравнение (16) в виде

£ 1п (.У) — —;

ах у + у х + у х

Отсюда 1п у 1п С0 — I-----У1 + Х-тОх — 1п С0-— 1п (у2х2 + У0 + У1х)

; У0 + У1Х + У2Х 2У2 У ’

где

1п у — 1п

Сг

/2 V

(У2 х +У0 +У1х)

1/2у2

N определим из условия

1

а

Откуда С0 • I----- 1/9

0 1 / 2 \ 2у2

0 (У2* +У1* + У0 )

или С0 —

а

( 2 \1/2У

(У2 * +У1* + У0)

В результате получим 8(У1) —

Сп

( 2 X1'

(У2.У1 + У1У1 + У0)

Аналогично находим распределение случайной величины

( Зк+\ Зк+2 Зт\

Г2=\Хк+1 'Хк+2 > — >Хт ) '

8 (У4 ) — -

Сп

(У21У22 +У11У21 + У01 )1/2У 2

где

уУ — Г1 (4р21 ~3р212) ;Г — N1 П ,Г(У1 +а-) ч;

2 (5Р21 — 6Р21 — 9) --К+1 г(8- +а- +р-)

У, Г-[Р,12(р;+ С — П г(а+р);

1 2 (5р1 — 6Р12 — 9) ’ -к1 Г (а,) ’

у1 — 2р — 3р — 6 р1 ь Р1 = Ь_

2 2(5Р'— 6р2 — 9); 1 Г13; 2 г14

г12 — а1 - М2;ь1 — а1 - 3М1 а1 + 2М3 Ь — а1 — 4Мг а1 + 6Мг а1 — 3М4

а1-начальные моменты м-го порядка для случайной величины

* — у, — П X 8 т.е.

1—К+1

Г -| , т г(8,, + а.)

*1 — м[у,]— С1 П ^;

[ ] 1—К+1 г(8-,+0+р)

+ а + р

„ т г(28- + а-) т Г(28- + а-)

Ь— 1 П , 1 ЗМС П , ^

1—К+1г (з8- +а- +р,) * г(28 + а, +р)

т Г (43+а) т Г (38 +а) т г( 23 + а,)

Ь — С1 П ^ — 4М С П ^ + 6М2С' П ^ — 3М4

-—К+1 г(48 1 +а- +р- ) -—К+1 г(23 +а, +р- ) 1—К+1 г(23- +а- +р,)

М* — С1 П

1—К+1 г(8- +0/ +р1)

г(р +0)

а*

{(у1*2 +У11 +у))1/

(22*)

Таким образом, функция плотности вероятности 8 (У1) и 8 (У2) можно определить функцию плотности веро-распределения критерия подобия ж — Ух /У2 .

ятности

Воспользуемся формулой для композиции / (ж) — IУ 2/ (У 2 , У\ ) 0^2 ,где / (У2, У1) совместная функция

0

плотности вероятности случайных величин у,у2 . При их независимости имеем / (У1> У2 )— / (У2 )• / (У1) или

/ (У1,У2 ) = ■

С0С

(22)

( 2 \1/2У2 / , 2 ! \1/2н'2

(У2У1 + У1.У1 + У0) (У2У2 + У У2 + У2)

Таким образом, функция плотности вероятности распределения критерия подобия имеет вид

___________________________

1,1 , , \1/2у'2 г

0

/ (ж) = ^С']—

(2 \ 1/ 2у'2 г / \ —11 /

У2У2 + уУ2 + У0 ) [У2 (ПУ2 ) + У1ПУ2 + У0 ]

или

0

т

Для решения задачи (22) необходима программа для ЭВМ, которая даст результаты: вычислить / (ж) и

определить среднее значение и дисперсию ж по формулам

2

да да 2

жср = |/= |/(ж)(ж~жср) (23)

О о

Для определения нижних и верхних границ критерия подобия необходимо по опытным (экспериментальным) данным найти оценку

Ж ср = У 17 У 2 • (24)

Согласно формулам, приведенным выше,

Г{ а. + 8.

Л К I 1 3

У1 = СД“^— Л г{а1 + Р1 + 81

Где а. и р- - параметры распределения х.

Л Л

аз,р - оценки этих параметров по опытным (экспериментальным) данным;

Л

8з — оценка для 8- , полученная по данным, с помощью которых устанавливается критерий ж . Аналогично определяем оценку У •

\ Л 2 Л

ГК+8

У2 =с п, /Л Л улЛ8 = ж 3=К+ г{а,+р.+8

О-,2 + О2

2 2 У,2 + У2

Л Л

где О, и о 2оценки дисперсии.

л2 * фо+а-

о = с п-т-^—х—^—у2;

1 1 Г| 2(Тз + аз+Рз

л 2 * т{2оз + аз

О2 = П —А-------------

-=*+1 Г| 2а1 + 8 + р

а для постоянных С и С даны в формулах (21) и (22*) . Учитывая сложность анализируемой задачи и ограниченность исходных данных, можно рассмотреть нормальное приближение при определении границ ж и ж - математического ожидания критерия подобия:

л И л л и л

V ,1у 1

Ж = Жср + ~!=О';Ж = жср ~^Ож где пу - квантиль распределения Стьюдента, определяемый по значениям до-

уп -уп

стоверной вероятности V = 2 у — 1 и числуп испытаний (отработок) сис темы, по которым находятся критерии подобия Ж^ Ж2??Жт г позволяющие определить подобие создаваемой системы и некоторых прототипов, находящихся в эксплуатации. Если доверительный интервал критериев подобия найден при одной и той же доверительной вероятности, тогда, если 1 е ^7Г1и7Г1 ^ , 1 е ^7Г211Ж2 . .Д е ^71п11Жп ^ и эти условия выполняются

одновременно, то исследуемые системы на надежность и безопасность можно считать подобными и объединить необходимую имеющуюся информацию о надежности и безопасности системы. Если хотя бы одно из условий не выполняется, то объединение такой информации может быть частичным, а подобие исследуемых систем (объектов) приближенным.

Изложенное позволяет сформулировать принцип подобия процессов, явлений в стохастическом смысле.

Если исследуемые объекты (системы), явления, процессы, протекающие в них, а также параметры, определяющие природу изучаемого события, имеют тождественные плотности распределения вероятности, а критерии подобия как функции распределения вероятностей, получаемые на основании равенства функций плотностей вероятности параметров, приведенных к безразмерному виду, по своей значимости находятся в пределах верхней и нижней границ доверительного интервала, определяемого единицей, то эти события принадлежат одной генеральной совокупности и их вероятностные характеристики одинаковы. Теперь на основании изложенных теоретических основ основные теоремы подобия можно представить в стохастическом виде.

По второй теореме подобия полное физическое подобие, описываемое уравнением вида

г = Ш(х1, х2,...,хп;() (25)

может быть заменено зависимостью

ж,(*1*2 ,---,г,г) = х¥'ул:1{х1,х1...,хп,г)\ жъ{х1х2,...,хп,г),...,жп_к(х1,х2,...,хп,г)

(26)

где ж - критерий подобия, составленный из параметров физического уравнения (25).

Если (25) описывает безопасную работоспособность и надежность объекта или его составных частей, то замена (25) на критериальное уравнение (26) позволяет построить модели развития, например, отказов в объекте, или умышленного повреждения их, в критериальном виде. Для этого в качестве неопределяющего крите-

т

рия 7 выбирается критерий подобия, включающий в себя временной параметр I, а в качестве определяющих

критериев подобия Ж2 ,Ж3:

п—к

критерии подобия, характеризующие физическую сущность исследуемого процесса

надежности и безопасности. В случае стохастически определенных системы выражение (2 6) является функцией случайных аргументов и построение модели развития опасности (отказы системы, включая целенаправленный вывод из строя) в критериальной форме в общем виде - достаточно сложная за дача. Однако, для многих случайных процессов изменение характеристик системы можно выделить ряд общих свойств.

- С точки зрения надежности физические процессы - это долго временные необратимые процессы изменения характеристик, которые являются основной причиной отказов технических систем.

- Оцениваемые показатели надежности количественно описывают наиболее устойчивые свойства распределения этих характеристик (математическое ожидание и дисперсию) и, случайная составляющая функции, описывающая изменение этих характеристик, играет меньшую роль.

- Математические модели таких процессов могут быть представ лены в виде случайных функций, которые имеют определенную функциональную зависимость от времени, а их случайный характер обусловливается факторами, не зависящими от времени.

- Случайные изменения характеристик, как правило, являются нормально распределенными. Выражение (26) можно представить в виде

м[я-,.(л-1,л-2,...,л-,„?•,/)] = ,

м[^3(дг1,дг2,...,х;,,к)],..,,м[я-,,г2,...,.г,,,/•)], (27)

где математическое ожидание 1-го критерия подобия может быть определено как:

Л

ММ = {М(*і) = М(*2 +-Х

(Я2 А

О Ж

■ ]=1

дх[

^ (х )+2

Лі

О ж

дхудхі

/иК [ хіхі ] (28)

Здесь и - точка, в которой хі = М(х,) , нейность функции 7ГІ , х2,..., хп, г) ) .

а последние два члена представляют собой поправку на нели-

На основании изложенного некоторые общие свойства случайных процессов изменения физических характеристик технической системы и полученные соотношения (27) и (28), можно предложить следующую статистическую трактовку 7 - теоремы. Функциональная зависимость между определяющими физический процесс характеристиками, рассматриваемыми как случайные величины, может быть представлена в виде зависимости между математическим ожиданием критериев подобия - функцией от математических ожиданий соответствующих характеристик исследуемого процесса.

Таким образом, статистическая трактовка основных теорем теории подобия применительно к вопросам отработки систем, их надежности и безопасности, позволяет установить необходимые и достаточные условия подобия исследуемых процессов, т.е. определить границы доверительного интервала для соответствующих критериев подобия, в пределах которых сохраняется подобие, установить математическую зависимость между временным параметром процесса и вероятностными характеристиками критериев подобия. Решение этих задач дает возможность использовать элементы статистической теории подобия для повышения эффективности отработки систем. В этом случае в классическую схему исследований на основе методов теории подобия и моделирования добавляются этапы, связанные с построением законов распределения критериев подобия как случайных величин, установлением границ доверительного интервала из возможных отклонений и проверкой условий статистического подобия. Схема этапов исследуемых процессов представлена на рис.2.

Пример 1. Пусть в распоряжении создателя сложной системы есть информация о проведении десяти ее разных отработок (на надежность, безопасность, устойчивость, управляемость и пр.) (п = ф), при этом имеется один отказ (д = I). Установлено, что создаваемая система подобна некоторому прототипу, который ранее отрабатывался вместе с подсистемами (агрегатами, элементами и т.д., входящими в систему) 110 раз (щ = 110), причем всего отказов было 5 раз (= 5). Тогда оценку создаваемой системы по надежности можно представить так:

Р = 1 - (d + dQ ) / п + щ = 0,9455,

Нижняя граница Р = Л (п, d ,у), где Л табулированная функция.

Рис 2. Схема этапов исследования на моделях с учетом стохастического характера исследуемых процессов

Без учета информации о состоянии создаваемой системы имеем

Р = Л1 (10,1, у),

а с учетом информации Р = Л (110,6, у) = 0, 9037

Задаваясь значением у = 0,95 и по таблицам [85], получим Р = 0,7 или 0,9 соответственно, что изменяет оценку в 1,5 раза и приводит к значительному сокращению объема отработки системы. В ряде случаев не удается сформулировать все критерии подобия, характеризующие исследуемую систему. Вместе с тем для отдельных (главных) режимов работы системы (подсистемы, агрегатов и пр.), критерии подобия можно сформулировать, или они уже имеются по прототипу. Тогда по схеме (рис.2) можно определить вероятности безопасной (безотказной) работы системы.

Пример 2. Рассмотрим задачу вероятности невозникновения акустической неустойчивости работы теплового двигателя (энергетической тепловой системы). Появление акустической неустойчивости может явиться причиной аварии в работе двигателя энерготепловой системы. Оценка вероятности невоз-никновения акустической неустойчивости при работе данного двигателя и ее нижний доверительный предел определяется как N

т + ^ т

Р=1--------Р=/ («, а ,у),

«+Е п1

I=1

где т« - число случаев возникновения акустической неустойчивости исследуемого объекта и общее число его отработки соответственно, тр{ , -число случаев возникновения акустической неустойчивости работы ана лога и общее число его отработки «,й , - эквивалентные числа неисправностей (повреждений) и выхода из строя (отказов) ; И - число рассматриваемых аналогов, / («, а, у)- табулированная функция (квантиль неполной бета - функции).

N N

« = «1 + ^ «к; а = тх + ^ тк

к=1 к=1

Если определяющие параметры исследуемого объекта являются случайными величинами, то одноименные критерии подобия должны быть статистически однородными. Предположим, что определяющие параметры исследуемого объекта получены, а именно: акустическая проводимость, геометрические размеры, ско-

рость звука в продуктах горения, плотность топлива, начальная температура топлива, плотность твердых частиц и др. Получены результаты отработки четырех однотипных тепловых двигателей, у которых отмечались случаи возникновения акустической неустойчивости при работе, приведшие к разрушению: «=780 и т =2; «2 =1220 и т2 =3; «=410 и т3 =1; «4 = 1580 и т4 =4. Геометрические параметры, харак-

теризующие отрабатываемые двигатели, идентичны. На основании численных значений определяющих параметров не обходимо:

- решить задачу получения обобщенной информации по результатам испытаний четырех однотипных двигателей, т.е. о возможности рассмотрения этих двигателей как подобных;

- оценить вероятности невозникновения акустической неустойчивости создаваемого двигателя на основании обобщенной ин формации и построить нижний доверительный предел для этой вероятности.

Пусть для конкретного исследуемого физического процесса двигателя определяющими будут десять параметров: х,1 = 1,1(0 . Размерности этих параметров приведем в табличной форме (табл. 2*).

Таблица 2*.

Параметр Размерность Показатели

И Л

хі [м] [й]3 [т]-1 1 3 -1

х2 [ Й 0 1 0

х3 [ й] 0 1 0

х4 [м] [й]-1 [т]-1 -1 -1 -1

х5 [й] [т]-2 0 1 -2

х6 [й] [т]-2 0 1 -2

х7 [ Й] 0 1 0

х8 [м] [Й]-3 1 -3 0

х9 [м] [Й]-3 1 -3 0

х10 [м] [Й]-1 1 -1 0

Методом нулевых размерностей определим критерии подобия, характеризующие протекание исследуемого физического процесса. Пред ставим исход этого процесса - акустической неустойчивости горения

обобщенной координатой л; = ..-,Хо) • Определяющие параметры х1,х2,...,х10 характеризуются тремя основными единицами измерения (массой М, длиной Ь, временем Т). Из [108], [110] следует, что можно

получить семь независимых безразмерных комплексов, характеризующих протекание рассматриваемого процесса. Эти критерии найдем методов нулевых размерностей. Выберем параметрых,X,х10 , лею в качестве основных по числу первоначальных единиц измерения и составим определитель из размерностей этих параметров:

Л ^2 0 1 0

А = И5 Л5 Т5 = 0 1 -2

И10 Л0 Г10 1 -1 0

Тогда можно перейти к безразмерным величинам

( \

х2 Х5Х10

X 1 X____________________________Х4___________х6_______________________________х_X_________Х9

а1 В1 у1 5 5 уй3уВ VУз % а4у^4уУ4 % «6 V^бу Гб 5 Г«7ГВ „УУ 5 а8 В8 Г8 ’ V «9 VА> VУ9 ’

Хг Х5 Хо Х2 Х5 х10 х2 х5 х10 х2 х5 х10 х2 х5 х10 Х2 Х5 Х{0 Х2 х5 х10

(29)

Значение коэффициентов СС^Р^У^ = 1,2,...,9) определим из условия, чтобы входящие в (29) комплексы были безразмерными. Определим , Д из условия, что размерности числителя и знаменателя выражения X

-------- должны быть одинаковыми, т.е.

«1 -гВ „ У1 х2 х5 х10

[м]-1 [Г]3 [т]1 = ([£])« ([^][т]-2)Д ([м]) [х]-1 [т]1,

Откуда Х =1/2, Д =-3/2, у =-1, показатели при [м] , [Х] , [т] - соответственно.

Подставляя полученные значения коэффициентов «, Д,у в соответствующий член уравнения (29) получим критерий подобия ж1 .

_ х

Ж1 1/2 3/2 -1

х2 х5 х10

Аналогичным способом находим остальные значения коэффициентов в уравнении

Х = 1 Д =0 у3 =0 а7 =1 Д =0 уп =0 «4 =1/2 Д4 =1/2 У4 =1 «8 =1 Д =-1 У7 =1

«6 = 0 Д6 =1 Гб =0 «9 =1 Д9 =1 ^9 =1

После подстановки этих численных значений коэффициентов в со ответствующие члены уравнения (29) получим критерии подобия, характеризующие рассматриваемый процесс. Анализируя критерий Жу найдем отношение

ж = л(1) / ж/2),

(1) (2)

где Ж ,ж значение ж для двигателя первого и второго типов, или

х1 х222 ж = 1 * *------^ ,

где х^ и х^ - характеристики первого и второго типов двигателей. По формулам (23), (24) и табЛ л

лицам находим оценку среднего значения для К среднего квадратичного отклонения К = 0,995, = 0,28.

До верительный интервал для К при значениях доверительной вероятности у =0,99,

К = 0, 9 95- (/ 4п ) 0, 2 8 = 0, 9 95- (2,7^780 )• 0, 2 8 = 0, 9 68, К = 0,995 + 0,027 = 1,022

Так как 1 ^ [0,968^1,022], первый создаваемый и второй (находя щийся в эксплуатации) двигатели по

критерию к подобны. Аналогично устанавливается подобие по остальным критериям по добия.

Вывод: статистические данные по результатам отработки этих дви гателей в отношении процесса резонансового горения могут рассматри ваться в одной генеральной совокупности. Числовая оценка вероятности невозникновения неустойчивости горения любого рассматриваемого из четырех типов двигателей определяется как

л 2 + 3 +1 + 4

Р = 1---------------------= 0,0075.

780 +1220 + 410 +1580

Нижний предел определяется с доверительной вероятностью у =0,95: Р = /(п,10,у) = 0,970 п - число отработок (испытаний).

X х0 X. х1П 12 21 51 101