Многофакторная отработка системы на надежность и безопасность в форме подобия Текст научной статьи по специальности «Математика»

Осташкевич В.А.

МНОГОФАКТОРНАЯ ОТРАБОТКА СИСТЕМЫ НА НАДЕЖНОСТЬ И БЕЗОПАСНОСТЬ В ФОРМЕ ПОДОБИЯ

Одной из основных задач создания и отработки системы (объекта) на надежность и безопасность является определение условий функционирования системы при воздействии на нее внешних и внутренних факторов (механических, климатических, магнитных, тепловых, радиационных, терроризм и т.д.). Эти факторы в реальных условиях воздействуют на систему одновременно или в определенных сочетаниях. Как известно, планирование эксперимента при исследовании сложных многофакторных процессов позволяет:

1. уменьшить число отработок при обеспечении заданной точности эксперимента;

2. установить взаимосвязь между факторами, исследовать влияние отдельных факторов на изменение выходной характеристики (отклика) и отсеять второстепенные факторы;

3. получить функциональную математическую зависимость между факторами, используемую для прогнозирования развития исследуемого процесса и оптимального планирования эксперимента.

Сложность и многофакторность отработки систем и ее комплектующих на надежность определяет необходимость декомпозиции отработки на частные задачи, такие как:

- выбор аналога (программы) из ранее созданных и лучших образцов и обоснование основных параметров системы на основе анализа его подобия базовому образцу с целью оптимизации стратегии отработки;

- определение объемов отработочных испытаний на основе анализа подобия динамики роста уровня отработанности ранее созданных систем;

- обоснование детерминированных запасов работоспособности и безопасности исходя из подтверждения надежности при испытаниях на внешние воздействия;

- подтверждение требуемого ресурса (долговечности) системы.

В такой постановке решения проблемы надежности и безопасности могут быть использованы следующие критерии: точность и достоверность характеристик и показателей надежности и безопасности. При статистической оценке характеристик системы по результатам отработки могут быть доверительный интервал, дисперсия оценок, оценки максимального правдоподобия, приемлемый риск при функционировании системы, ущерб при реализации неприемлемого события, пространственно-временные показатели, характеризующие неприемлемые (опасные) события.

Рассмотрим создаваемую систему с технической характеристикой «у» и базовую систему с характеристикой «у5», принадлежащие к одному классу по целевому назначению и физическому принципу работы, но отличающиеся конструктивным исполнением. Полагаем, что для обеих рассматриваемых систем пригодны математические модели, описывающие зависимость от параметров

X-,i = 1, n в виде

y = f(xl,x2,...,xn). (30)

В число входных параметров могут включаться первичные, независимые величины, и вторичные,

являющиеся функциями первичных. Для системы, принятую за базовую, например, аналог по целевому назначению и принципу функционирования, зависимость характеристику «у5» от параметров

Б Б Б

,х2 имеет ВИД

уБ=/Б(хБ,х2Б,...,х„Б). (31)

Номинальное значение основной технической характеристики, которое должна принимать величина «у» в процессе функционирования системы, обозначим Уном .

Системе заданы требование работоспособности в виде двусторонних границ

У < У < У (32)

min max

С учетом разбросов параметров и влияния случайных факторов условие (32) рассмотрим в стохастическом смысле - вероятность пребывания основной технической характеристики в заданных допусках [у^пУтах ] как

Р{Утт < У < Уmax} = Г (33)

Условие стохастического подобия с учетом общей закономерности функционирования систем, т.е. требования (8.33) сохранения работоспособности:

Р{Гт1п < Г < Гтах } = idem (34)

Кроме установления подобия необходимо решить задачу определения параметров . ,,х отрабатываемой системы через параметры хБ ^...^хБ аналога с известными результатами отработки (испытаний). Таким

образом, чтобы значение основной характеристики у было не хуже уБ с учетом (34) должно выполняться условие

Р{у < у < у } = р{уБ ■ < уБ < у Б}.

min max min max

Далее необходимо преобразовать параметры зависимостей (30) и (31), чтобы иметь возможность сравнивать идентичные критерии подобия и учитывать погрешности приближенного подобия.

Рассмотрим случай, когда имеется односторонняя граница допуска, например, у^ Будем характеризовать относительную величину границ интервала номинальным коэффициентом искажения. В данном случае одностороннего допуска имеем8 = y^n Iупот Отклонение математического ожидания значения «у » от Уном определяет-

ся коэффициентом искажения выходной характеристики 8=М Iуном Допущение идентичности физических принципов функционирования систем дает основание полагать, что для всех систем рассматриваемого класса, хотя имеющих конструктивное отличие, можно преобразовать зависимости (30) и (31) и привести их к общему виду, отражающему существующую закономерность функционирования систем

y = y(zvz2,...,zm) , (35)

где Zj - обобщенная j -я переменная (j = 1,m) , представляющая собой

функциональные комплексы параметров X (i = 1, п) . Исходные зависимости преобразуются таким образом,

чтобы комплексы z: и zБ , j = 1,т j i ^

имели одинаковый вид для уравнений (30) и (31) . Известно [84, 86], что функцию произвольного вида с помощью подобных преобразований можно представить в виде степенного комплекса, используя свойство условий гомогенности функций. Подобное преобразование достигается нормировкой функциональных комплексов Zy, j = 1,т . При этом вводятся новые безразмерные комплексы zj = Zj / zQj , где z0, - характерное значение комплекса z,j = 1,m , например, начальное или граничное. В обобщенной зависимости (35) можно выделить размерную составляющую [ у ], представляющую собой комплекс характерных значений параметров. Запишем (35) в преобразованном виде, учитывающем ошибки модели, искажение параметров, которые в принципе определяют приближженное подобие

m _

У = [ y\KrSxSmSz Д zj . Об)

где [ у ] - масштабная характеристика величины у; Aj - безразмерная константа, 8Х - коэффициент учета влияния разброса параметров системы (изделия); 8 - коэффициент учета неточности исходной модели (30), 8 - коэффициент искажения исходной модели в результате подобных преобразований. Введем по-

m _

нятие функционала выходной характеристики G„ Пz, . Номинальному значению выходной характеристики уис,м

1 j=1 j

соответствует номинальное значение функционала G , у = [ y\A yQymM

Таким образом, на основании комплексов получим физическое (детерминированные) критерии подобия, определяющие соответствие номинальных характеристик сравниваемых систем.

На основании использования случайных величин £ ,8 и 8Z сформулируем стохастический критерий подобия,

определяющий выполнение условия подобия по надежности и безопасности (34). Понятие детерминированного подобия может относиться к системе любых правил преобразования, взаимно-однозначно связывающих параметры исследуемой системы. При этом ограничения на правила преобразования не накладываются, так как по существу может использоваться любой оператор. Вследствие этого детерминированные критерии подобия, определяющие выполнение условия (34), должны представлять собой не комбинации параметров

Ху,1 = 1, ft, в соответствующих степенях, а комбинации функций zj, j = 1,m,ft параметров Xi,i = 1,ft . Стохастическое подобие, в данном случае дополняющее детерминированное подобие, определяет соответствие запасов надежности и безопасности сравниваемых систем по пределам изменения выходных характеристик у и

уБ . Таким образом, если системы, аналогичные по принципу работы и целевому назначению, функцио-

^ .Б Б Б

нально подобны в том случае, если между их основными выходными параметрами х1,х2,.. .,х и Xj ,х2 ,...,х в

области определения существует однозначная связь, которой соответствует изменение выходных характеристик у иуБ в области допустимых значений.

Основными признаками отличия физических величин являются их физическая размерность и физический смысл. Поэтому при построении

Комплексов z., j = 1,m , определяющих функциональное подобие систем, должна быть отражена физическая модель процесса функционирования. Если в рассматриваемую математическую модель входят несколько параметров или их функций, комбинация которых имеет одинаковый физический смысл, это дает основание соединить их в один функциональный комплекс. Число критериев подобия пяравно числу m функциональных комплексов:

7Tl=zl= idenr, 7Г2 = z2 =idem\ ...\ят = zm = idem.

При этом число т может быть произвольным, но не может превышать минимальное число критериев подобия пж согласно второй теореме подобия. Могут быть использованы различные модели оценки стохастического подобия сравниваемых систем. С учетом схожести проемов проектного анализа систем и предполагаемого метода выбора параметров по критериям подобия необходимо использовать поправочные

коэффициенты искажения. Запишем (33) в виде P^A^A^. > Ансш| = у, , получаем стохастический критерий подобия работоспособности, включающей в себя как надежность, так и безопасность создаваемой системы где:

кт+І = slng[P{ArA* ^ x}- r]

-Іпри x(0 sing x = < Опри x = 0 Іпри x)0

В случае Ят+\ система будет выполнять свое назначение с запасом надежности и безопасности (работоспособности) по отклонениям основных характеристик. При Ят+\ =0 система работоспособна, а отклонения ее характеристик соответствуют номинальным. В случае = -1 система не работоспособна по надежности и безопасности, и

необходимо искать другие пути решения (конструктивного, организационного, финансового и пр.).

Итак, условия стохастического подобия используется для обоснования параметров создаваемой системы (отработки), обеспечивающих улучшение ее характеристик по сравнению с прототипом (аналогом). Влияние погрешности на точность определения основных характеристик создаваемой системы в будем оценивать с

где

помощью коэффициентов искажения выходных характеристик создаваемой системы и аналога. В соответ-

ствии с условиями функционального подобия (37) и критериальной моделью (36) получим 8 =8

Б 8ш8г у т ^Б ^Б