CC BY
74
Осташкевич В.А.
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ И БЕЗОПАСНОСТИ МЕТОДАМИ СТАТИСТИЧЕСКОГО ПОДОБИЯ
Применение элементов статистической теории подобия связано с учетом фактора случайности физических параметров при определении критериев подобия. В этом случае критерии подобия являются функциями случайных величин.
Практическое применение статистической теории подобия связано с решением двух стохастических задач.
По известным значениям математических ожиданий M и дисперсии D{x/} случайных величин xt требуется определить математическое ожидание M {л} и дисперсию &{я} (или коэффициенты вариации р1 критериев подобия).
По известным реализациям критериев подобия Л^,..,Л получить несмещенные оценки математических ожиданий M {л} и дисперсии
Доказано, что функции распределения критериев подобия хорошо описываются логарифмически нормальным законом распределения
, , 1 (lg u — М)1
f Л(и ) =--^6ХР 9 1 (45)
&и*я 2 л 2а
Это следствие центральной предельной теоремы, согласно которой
n
у — lg л —lgXy при достаточно больших n и выполнении ряда условий, накладываемых на случай/—1
ные величины lgх. , является нормально распределенной случайной величиной. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины л могут быть представлены в виде.
М{л} — exp [M{lg л} +1 / 2D{lg л}],
9 и (46)
D{л} — М{л} exp[D{lgK}-1].
Для независимых х/ значения M{lgK} и D{lgK} связанны с параметрами распределения X- , i — 1,n соотношениями
n
M{\gK} = ^ri M{lg x},
D{lgrf—^y 2D{lg x}.
i — 1
В безразмерном виде функция распределения описывается в виде, где — 1 — exp[—u] , где u — у / М
а критерий стохастического подобия запаса работоспособности для показательного закона распределе-нияD/Му — idem. . Общий подход к построению критериев стохастического подобия запасов работоспособности системы для случая произвольного закона распределения выходного параметра «у» состоит в следующем.
Функция распределения F(у) приводится к безразмерному видуF'(u) . Значение границ допуска D вводится
в выражение для безразмерного параметра и функции распределения F (у) • В результате условие подобия имеет вид u av(D— (DE) откуда получим критерий стохастического подобия запасов сопротив
л = ом GyD) — idem.
ляемости системы
Рассмотрим типовые задачи прогнозирования надежности и безопасности систем, на основе функционально-статистических моделей отказов. Укрупнено можно выделить три класса задач, которые вытекают из структуры функционально-статистической модели отказа: прогнозирование надежности и безопасности по временному параметру, по масштабу отработки (эксперимента) или по технике воспроизведения эксплуатационных нагрузок и ситуаций. Прогнозирование по временному фактору заключается в том, что по результатам отработки системы за сокращенный отрезок времени и по динамике изменения за этот период ее основных параметров прогнозируется момент отказа (выход из строй) этой системы. Прогнозирование по масштабу заключается в том, что по результатам отработки малой выборки и по известным моделям, описывающим влияние конструктивно-технологических, технологических и эксплуатационных факторов прогнозируется надежность и безопасность всей партии как компонентов составляющих системы, так и сами системы. Прогнозирование надежности и безопасности по технике воспроизведения эксплуатационных нагрузок (воздействий) заключается в том, что по результатам отработочных испытаний, включая стендовые, достаточно представительной выборки в условиях приближенного моделирования эксплуатационных нагрузок (воздействий), описывающим влияние воздействующих факторов на надежность и безопасность системы.
Следует отметить, что в практике исследования именно надежности названные методы прогнозирования могут использоваться в разных комбинационных сочетаниях. Можно сформулировать задачу прогнозирования надежности и безопасности в общем виде как исследование надежности и безопасности систем в условиях информационной неопределенности, обобщение результатов отработки (испытаний) распространяется на все множество состояний исследуемой системы, определяемых временным параметром, конструктивнотехнологическими и эксплуатационными параметрами и воздействующими факторами. Так как обобщение результатов отработки и установление правил распространения внутри заданного класса явлений составляет содержание подобия, то целесообразно и правомочно использовать методы теории подобия для решения задач прогнозирования надежности и безопасности систем. Учитывая стохастический характер исследуемых процессов, необходимо применить элементы статистической теории подобия. Для этого функцию работоспособности
системы представим в виде
*={rW) <ау|,где — я характеристика, определяющая работоспособ-
i—1
ность системы, являющаяся случайной величиной, а( - предельное значение для характеристики Г - - выход за границы, характеризуемый отказом. Пусть известна и физическая модель отказа, описывающая за-
висимость определяющей характеристики от конструктивно-технологических и других параметров системы. При этом характеристику г можно рассматривать в виде случайного вектора с соответствующими компонентами и многомерным законом распределения
Г1 =Г\Х\ (Т)’Х2 {Т)т--’Хэ (Г)’Т(Г)}’ <47>
Где л^(У),лт2(У),...,л;Дг) ) - конструктивно-технологические параметры и параметры нагружения;
- время наработки исследуемой системы, Т - текущий параметр времени. Тогда вероятность невыхода случайных векторов г - за допустимые пределы в заданный момент Т времени, т.е. вероятность безотказной работы системы определяется как сс-[ а3
Р(Х)= /••• \/(х1,х2...,Хх)ск,ск2,...,скх ,
0 0
где /’(х15х2,.• - функция плотности вероятности многомерного распределения.
В практических действиях законы распределения параметров априорно не известны. Есть и
другие трудности, например, вычислений плотности вероятности многомерного распределения. Применение методов стохастической теории подобия во многих случаях позволяет облегчить решение задачи. С помощью
7 -теоремы в стохастической трактовке преобразуем (47) и запишем в критериальном виде
Ш1{х1(х1,х2,...,хх,г1),...,х1(х1,х2,...,хх,г1),...,
- (48)
кк (■х\=•• •=^(х1=• • •=*Д); сх,..., с(} = о
где ^ - критерий подобия, характеризующий определенные стороны исследуемого
процесса; Т) - критерий подобия, включающий в себя параметры наработки, С15...С^- некото-
рые постоянные коэффициенты.
Критериальное преобразование (48) позволяет сделать ряд важных допущений.
Во-первых, используя свойство универсального закона распределения критериев подобия как случайных величин, можно сделать вывод о том, что критерии подобия подчиняются логарифмически-нормальному закону распределения и таким образом законы распределения случайных величин известны априорно.
Во-вторых, основные критерии подобия являются безразмерными, не зависимыми параметрами, что существенно упрощает решение задачи.
В-третьих, число аргументов в (48) значительно меньше, чем в (47), так как критерия подобия - комплексные обобщенные параметры, что значительно снижает размерность задачи.
В-четвертых, (48), которое является основой прогнозирования надежности и безопасности, типично для определенного класса исследуемых процессов с точностью до неизвестных постоянных коэффициентов. При таких допущениях для вычисления вероятности работоспособности системы могут быть использованы таблицы функции Лапласа N
р( * )=ПФ{Ъ )
7=1
где /^- — ) — вектор нормированных допусков hJ = {т$J —ЪАЯ^1 <7Я , где В^. - односторонний допуск на 7 -й критерий подобия, вычисленный по заданным допускам ,Мя. и & - параметры лог-
7 7
нормального распределения 7 -го критерия подобия. Тогда алгоритмы прогнозирования надежности и безопасности системы будут заключаться в определении коэффициентов С15С25...5С^ . По выборочным значениям параметров, полученным при отработке системы (отдельных агрегатов) за время Т находятся параметры распределения критериев подобия МТ1 и &Т1 и производится пересчет этих параметров к моменту вре-
7 7л
мени Т2 • Таким образом вычисляются М^ , &Т и вероятность работоспособности (безотказности) системы р( * )Т2 которая характеризует техническое состояние системы после наработки продолжительностью
Т2 • Как видно из постановки задачи, в алгоритме прогнозирования используется (48), которое практически является моделью развития отказов системы в критериальной форме. Стохастические методы теории подобия устанавливают правила и условия пересчета определяющих параметров по критериям подобия. Последние характеризуют конструктивно-технологические особенности исследуемой системы, условия нагружения и продолжительность ее функционирования.
Чаще всего стоит комплексная задача - пересчитать экспериментальную оценку, полученную по испытаниям (эксплуатации) системы на ее надежность, живучесть, безопасность, применительно к условиям реальной эксплуатации. Эти условия соответствуют эксплуатации большой партии систем (агрегатов) с реальными воздействиям (нагрузки).
Для решения этой задачи рассмотрим критериальное уравнение
м[рт (х1лД)] = ху {м[я-! (*!, х2..., X/)]... ..м[_ж^х1,х2,...,х/)^,...м[як(х1,...,х/)\,с1,...с1:} . (49)
В исследуемой задаче прогнозирования эксплуатационной работоспособности системы (ее надежность, безопасность, живучесть) по результатам отработочных испытаний взятой из партии выборки рассматривается подобие процессов в пределах одной генеральной совокупности. В этом случае из стохастической трактовки фундаментальных теорем подобия вытекает, что для обеспечения статистического подобия исследуемых процессов достаточно равенства основных параметров распределения критериев подобия, характеризующих сущность процессов. Таки образом параметры закона распределения, вычисленные для условий «натуры» и «модели» должны быть одинаковыми (условие «натуры» - это эксплуатация, условие «модели» - это отработка, испытания). Заметим, что при решении задачи прогнозирования по временному параметру, т.е. по кри-
терию подобия Рт , допускалось, что оценки математических ожиданий критериев подобия К^ достаточно
точно отражают их фактические значения. Однако в рассматриваемой задаче, когда на испытания поставлена выборка ограниченного объема, а нагрузки производятся приближенно, принятое допущение является грубым. Итак, запишем *Н\
МЯ [я-,. (*!,.. = Мм \_Ж1 (х1,..
Он\ти^(х1,...,х^г)\ = Ом[_^(х1,...,х^г)\ .
(50)
Отработка (испытание) - это приближенная модель эксплуатации и математические ожидания, дисперсии соответствующих критериев подобия, вычисленных для условий «натуры» и «модели», будут отличаться в пределах границ доверительного интервала. Тогда требование равенства математических ожиданий и дисперсий соответствующих критериев подобия является тем условием, по которому необходимо осуществлять пересчет отработочной оценки к оценке, характеризующей эксплуатационную надежность и безопасность.
Выражение (4 9) устанавливает связь критерия подобия, учитывающее временной параметр, с критериями подобия, характеризующими конструкцию, технологию и условия воздействия нагружений. Обозначим параметры развития отказа (потеря работоспособности в условиях эксплуатации индексом «н» («натура»), а параметры модели процесса развития отказа в условиях отработки индексом «м» («модель»). Пусть имеется выборка изделий п образцов. Оценка при отработке (эксперименте, испытании) надежности и безопасности, полученная в результате отработки (испытаний) выборки, будет отличаться от фактической надежности и безопасности при эксплуатации. Следовательно, и оценка математического ожидания критерия подобия Рт будет отличаться от фактического значения.
Для определения ошибки математического ожидания критерия подобия Рт используем формулу Тейлора для
разложения (49) в ряд в окрестностях точки, характеризующей условие эксплуатации, т.е. натуру, и для примера ограничимся вторыми членами разложения. Учитывая, что текущим значением функции являются экспериментальные оценки модели, получим /гМГ
(
V
-Кіл- ]-
...,*Д] +
мН [л])2
1 к 2 Е
2 Лі
(
]
(мМ Л ] -мЯ Л > ([мМ [л ] - мЯ [л ]).
д V
Л
9м[>л ]9м|>л ]
(51)
Ошибка, которая может быть получена при использовании этой формулы, оценивается остаточными членами разложения
К = Е 3у"(^(м [ял ]“ ал )3
І=13!
где ал - низшая граница допуска параметра м|ял|, ^ -
число, лежащее между а и .
Так как в рассматриваемой процедуре прогнозирования ставится задача оценить критерий подобия Рт , учитывающий временной параметр для условия эксплуатации, то вынесем в левую часть математические ожидания этого критерия подобия Рт для условий натуры и запишем (51) в виде
Л ~ ^
/гЯГт)/.. тЛП—Л/гМГ
дц/
(
--Е 2 Е
(
' j(і
9м[Л ]
эV
(мм [л ]-м%-])2 -їКЛ ])*№& ]-мн[л- ])
(мМ Л ]-
(52)
^м[к. ]ш[к,. ]
Анализ (52) показывает, что все члены правой части могут быть определены. Математические ожидания критериев подобия и подобие Р для условий модели находятся по результатам испытаний выборки, а математические ожидания критериев подобия Кj для условий натуры на основе анализа условий эксплуатации систем и определении (измерении) конструктивных и технологических параметров систем в процессе создания (изготовления) всей партии. Таким образом (52) позволяет определить среднеквадратическое значения критерия подобия Р , учитывающего временной параметр процесса для условий эксплуатации.
По данной формуле (52) первым этапом будет прогнозирование надежности и безопасности по критериям подобия, характеризующим конструктивно - технологические особенности системы и воздействия на систему нагрузок. Второй этап прогнозирования заключается в выделении из критерия подобия Р временного параметра в качестве показателя надежности и безопасности аналогичен изложенной процедуре, где окончательная формула будет в виде:
Т =
ср
(53)
Таким образом, алгоритм прогнозирования эксплуатационной надежности и безопасности систем состоит в следующем.
1.Выборка систем (компонентов, агрегатов, элементов), взятой из партии, проходит входной контроль и соответствующие измерения, в результате чего определяют среднеквадратические значения критериев подобия для условий модели.
Н
2.По результатам отработки (испытаний) выборки находят статистические значения критерия подобия для
условий модели и неизвестные коэффициенты, и конкретный вид функции у/ .
3.С учетом пп. 1, 2 определяются среднестатистические значения критериев подобия Кj для условий
натуры.
4.Полученные исходные данные подставляют в формулу (53) и определяют оценку математического ожидания критерия подобия для условий натуры.
5.Найденную оценку математического ожидания Рт для условий натуры подставляют в формулу (53) и определяют прогнозируемую оценку эксплуатационной надежности и безопасности.
Изложенная процедура прогнозирования эксплуатационной надежности практически является методом, позволяющим объединить информацию о надежности и в определенной мере безопасности систем, полученную в результате испытаний выборки, и информацию о механизме развития отказов, формализованную методами статистической теории подобия.
Пример прогнозирования эксплуатационной надежности.
Рассмотрим процедуру прогнозирования эксплуатационной надежности на примере систем, отказы которых возникают в результате ударного изнашивания рабочих элементов.
Пусть в результате выполненных исследований сделан обоснованный выбор определяющих параметров математической модели процесса ударного изнашивания 2 = f (р;Н;Км;Ка;®;А;о), (54)
где 2 = N/U - износостойкость детали; N - число циклов срабатывания; и - износ; Р - нагрузка; Г
- площадь контакта; Н - твердость материала детали; Км - относительный износ материала детали (выпускного клапана); Ка - относительная величина, характеризующая стирающую способность контактирующего с деталью материала; © - удельная теплота рабочей среды; А - амплитуда вибраций; о - частота
вибраций.
Для определения условий подобия процесса испытаний реальному процессу эксплуатации, а также упрощения методики приведения экспериментальных оценок формализуем уравнение (54) с помощью критериев подобия. С этой целью проведем соответствующие преобразования выражения (54), процедура которых изложена выше.
Критерий подобия есть некоторая комбинация величин выражения (54) xi,1 = 1,8 ;
8
к=Пх2,
/=1
где Xi = [-^]2 [М]^ [Т] i , а [1],[М],[Т], соответственно размерности длины, массы, времени: 2,^/,^/ по-
казатели степени.
Так как критерий подобия имеет нулевую размерность, то
8 8 8
Хл-2-=0, =0, Xе-2-=0, (55)
/=1 /=1 I=1
Нетрудно показать, что ранг матрицы г , составленной из коэффициентов системы линейных уравнений (55), равен трем и систем уравнений (55) может иметь п — 3 независимых решений. Так как система уравнений (55) неопределенная, то для получения однозначного решения необходимо ввести дополнительные соотношения между неизвестными величинами. Эти соотношения можно получить исходя из физической природы исследуемого процесса. В рассматриваемой системе можно выделить три группы независимых параметров: X, х2, х3 характеризуют конструктивно-технические особенности изделий; х4, х5 характеризую свойства конструкционных материалов; х6, х7, х8 характеризуют внешние условия нагружения.
Тогда, если при решении системы уравнений (55) принять, что 2 = 1 , то 2{,1 = 4,8 однозначно должны быть равны нулю, так как решением системы уравнений является критерий подобия - независимая величина, характеризующая только определенную сторону физического процесса. Произвольность в выборе значения 2
компенсируется в выражении критерия подобия в размерностях величинх,х2,х3 . Такой подход позволяет получить однозначное решение системы уравнений (55), которое затем проверяется на его физическую адекватность .
Определим для каждой величины х. , размерность и показатели размерностей 2,^,£', результаты сведем в табл.3.
Подставив показатели размерностей 2,^,£', в уравнения (55), получим
21 +2г2 — 23 + 225 + 27 = 0,
2 + 23 = 0,
22 — 223 — 225 — 2б = 0 (56)
ТаблицаЗ.
Параметр х. Размерность Показатель Параметр х. Размерность Показатель
2 £ 2 £
Р 1МТ—2 1 1 -2 © 12Т—2 2 0 -2
Г I2 2 0 0 о т—1 0 0 -1
Н 1_1мт—2 -1 1 -2 А I 1 0 0
К / К 0 0 0 0
Система уравнений (56) решается методами теории подобия. Для этого необходимо выбрать четыре значения 2 с учетом независимости групп параметров.
1. Принимаем2 = 0,24 = 1,25 = 0,27 = 0. . Тогда из системы (56) получаем 23 = 0,22 = 0,26 = 0. . Следова-
тельно, первое решение системы нулевое. Находим критерий подобия этого решения:
ж =п Х‘ =км/ка і—1
2. Принимаем г! = 1,г4 = 0,г 5= 0,г7 = 0. . Тогда из системы (56) получаем г3 =—1,г2 = —1,= 0. Итак,
второе решение имеет вид г! = 1, г2 = —1,23 = —1, г4 = 0, = 0, = 0, г7 = 0 и соответствующий критерий подобия
ж =Р/Н-Р .
3. Принимаем г! = 0, г4 = 0, г7 = 0 . Аналогично предыдущему получаем третье решение
= 0, г2 = 1/2, г3 = 0, г4 = 0, =—1/2, г6 = 1, г7 = 0 и критерий подобия ж3 = Р1/2^/ ®1/2
4. Принимаем г! = 0, г4 = 0, = 0, г2 = 1. Аналогично предыдущему получаем четвертое решение системы
= 0, г2 =—1/2, г3 = 0, г4 = 0, = 0, г6 = 1, г7 = 1 и критерий подобия ж3 = А / р1/2 .
Вместо критерия подобия к'ъ , ж\ введем один обобщенный, который характеризует только эксплуатационные нагрузки
— Ж,, ж ,
3’ 4 ©1/2 р1/2 и®
Таким образом, критериальная обработка функциональной модели позволила установить критерии подобия, которые характеризуют качественное состояние систем (жх ,ж2) и воздействующие в процессе эксплуатации систем
нагрузки (л3) . После критериальной обработки система уравнения (85) принимает вид X = Ф(ж^^2,^3) • (87)
Критериальная обработка выражения (55) позволила значительно уменьшить число переменных, сделать их независимыми и, следовательно, упростить математическую модель ударного изнашивания.
Так как основным параметром, по которому осуществляется принятие решение о ресурсе, является число циклов наработки до отказа, то целесообразно ввести этот параметр в модель в явном виде.
В момент отказа износ рабочего элемента достигает предельного значения, при котором утечка воздуха становится больше допустимой. Износостойкость рабочего элемента испытываемой системы, как было показано в формуле (54), зависит от числа срабатываний N , т.е. от параметра, который характеризует наработку, и от износа рабочего элемента и на этот период, т.е. от характеристики, которая определяет работоспособность системы. Поэтому запишем уравнение (57) в виде и = ^',(ж1,ж2,ж3)N(/) . (58)
Выражение (58) представляет собой в общем виде математическую модель развития отказа в критериальной форме, которая устанавливает связь определяющей характеристики и с конструктивно-технологическими
параметрами ж± , ж2 , параметрами эксплуатационного нагружения ж3 и наработкой N(т) .
Отказ испытываемой системы наступает в момент достижения определяющим параметром и предельно допустимого значения. Запишем выражение (58) для момента отказа ипр 1 (ж,ж2,ж)N(/0) , или
N(*0) = у(ж1,ж2,жз)ипр •
Таким образом, время наработки системы до отказа есть функция от трех критериев подобия, характеризующих конструктивно-технологические особенности, свойства износостойкости материалов и эксплуатационные нагрузки. Величина и' является постоянной и устанавливается соответствующей нормативно-технической
документацией. Так как критерии подобия ж , ж2 являются случайными величинами вследствие случайного характера производственного процесса изготовления агрегатов, а критерий подобия ж3 - вследствие случайного
характера воздействующих на агрегаты нагрузок, то и параметр N(^) также является случайной величи-
ной.
Практика испытаний показала, что процесс ударного изнашивания хорошо описывается квазидетерминиро-ванной моделью в виде экспоненты со случайными коэффициентами:
I = схге~С2Ж2
Рассматриваемый класс изделий относится в невосстанавливаемым объектам, и надежность их оценивается средней наработкой до отказа.
В табл. 4 сведены результата расчета критерия подобия ж для ряда сочетаний контактирующих материалов по экспериментальным данным .
Таблица 4
Р112а А А-т
Контактирующие материалы *м Ка Ж1
Цементованная сталь 20 (закаленная) 1,0 0,9 1,10
Сталь 40Х (закаленная) 0,96 0,93 1,03
Цементованная сталь 20 (незакаленная) 1,0 0,95 1,06
Сталь У107А (закаленная) 0,8 0,91 0,88
Сталь 40Х (незакаленная) 0,92 0.99 0,93
Сталь У10А (незакаленная) 0,8 0,89 0,89
Как видно из таблицы, ж меняется от 0,88 до 1,1. Разбросом же ж для конкретного сочетания контактирующих материалов, зависящим от отклонений свойств материалов в выборке, практически можно пренебречь. Тогда основными параметрами, от которых зависит разброс показателя наработки и по которым его надо пересчитывать, становятся критерии подобия ж2 и ж3 . Для практического использования алгоритма
пересчета необходимо знать конкретные значения параметров модели для условий испытаний и эксплуатации, а также значения постоянных коэффициентов, входящих в модель.
Многие исследования, выполненные в области обеспечения точности изготовления и взаимозаменяемости, показали, что среднестатистические значения конструктивных параметров деталей, определенных для достаточно представительной выборки, близки к их номинальным значениям.
Допустим, что оценка математического ожидания критерия подобия для некоторого вида изделий равна
=Р0/ (НР ),
где номинальные значения параметров Р0,Н0,Р , взяты из чертежа и технических условий на исследуемый объект.
Значение математического ожидания критерия подобия ж , как показано выше, практически постоянно и для сочетания материалов сталь-сталь: = 1,03 .
Пусть на стенде проведены ресурсные испытания выборки объектов и оценка математического ожидания критерия подобия ж3 для условий стендовых испытаний равна
М® = ^=3^ = 0,180 = 0,464. жз 4®п л/298
В начале и после каждого этапа испытаний производилась проверка изделий по технологии входного контроля. Испытания каждого изделия велись до отказа. Обмер деталей после испытаний показал, что диаметры выпускного технического условия выходят за пределы допустимых значений. Это происходит из-за того, что торец выпускного клапана разбивается о торцовую часть корпуса, в результате чего происходит заклинивание выпускного клапана в направляющей и как следствие - потеря герметичности.
Приведем результаты расчета критериев подобия тг2, выполненного на основе данных предварительных измерений, и результаты ресурсных испытаний выборки за время
ж2 -10—3 0,74 0,65 0,68 0,62 0,61 0,56 0,51 0,45 0,47 0,50
/0, ч 303 355 380 430 525 527 581 672 680 708
Среднестатистические значения критерия подобия и времени безотказной работы для выборки вычисляются следующим образом 10
Ёж2;
М® '
ж2 10 10
ж0*
---= 513,1 цикла.
г 10
Для нахождения неизвестных коэффициентов с и с2 используем метод наименьших квадратов.
Решение задачи для нелинейных функций от искомых параметров сложно и трудоемко. Поэтому используем графический способ.
На основе анализа экспериментальных данных и вида функции зададимся рядом значений параметров с и с2 , которые находятся в области практически реализуемых значений, и для каждой пары найдем сумму квадратов отклонений £0 от У (ж; с2 ) :
2
с2) = 2[ ^— у (ж2/ ;с1,с2)]
2(с1, ) = Е
/=1
ж
с1~
"‘1
(59)
ж1
Данные расчетов приведены на рис.5. Тогда значения коэффициентов с и с2 для которых обеспечивается минимум минимального значения суммы квадратов отклонений Е(с,с2) , являются решением этой задачи. В результате получим модель развития отказов для исследуемых агрегатов
м = 7400М(ж2 ) -3380М(ж2)
' = М(ж1)
Используем алгоритм пересчета оценки надежности изделий, изложенный в предыдущем разделе. Подставляя в формулу приведения значения оценок математических ожиданий критерия подобия ж , ж2 , ж3 для выборки и для партии в целом, а также значения весовых коэффициентов, вычисленных по формуле (59), определим оценку показателя ресурса, пересчитанную по конструктивно-технологическим и эксплуатационным параметрам:
МН = М“ — АМ, (ж) — АМ(ж3) = 335,8,
Где АМ, (ж2) и АМ, (ж3) - составляющие, пересчитанные по конструктивно-технологическим и эксплуата-
ционным параметрам соответственно.
Для определения степени достоверности результатов прогнозирования эксплуатационной надежности используем процедуру нахождения доверительного интервала А, при заданной доверительной вероятности у .
1. Вычисляем среднее значение случайной величины , :
М(,) = ^2] / п •
2. Находим среднеквадратическое отклонение , :
X(,) = £[,,-М(1 )]2/(п — 1) .
Вычисляем среднеквадратическому отклонение М(,) ст[(М)] = (X (/)) / л/п .
I=1
или
2
п
4. Определяем по таблицам - коэффициент, зависящий от заданной доверительной вероятности у
объема выборки п .
5. Находим нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала:
М(' X =М(')- гДм(/)].
6. Доверительный интервал равен ДМ(/) = М(/)п -М(/)я.
Х( С1’ С2 )
Рис. 5
Определение коэффициентов с и С методом наименьших квадратов
Для сравнения эффективности метода прогнозирования эксплуатационной надежности выполним расчет доверительных интервалов для разных объемов испытаний п и уровней доверительной вероятности у по рассмотренной выше процедуре при оценке надежности без пересчета и с пересмотром ее по критериям подобия. Среднее значение случайной величины ( и среднеквадратическое отклонение для варианта с пересчетом оценки определяется по формулам (52) и (53).
На рис. 6 представлены обобщенные данные расчета доверительных интервалов, выполненные на основе экспериментальных данных (табл. 6*) и рассмотренной выше процедуры.
Таблица 6*
Ж2 *п Ж 2 ^п Ж 2 *п Ж 2 *п
0,5623 576 0,480 699 0,470 680 0, 610 525
0, 665 351 0, 603 424 0, 610 525 0,710 311
0, 671 420 0, 680 380 0,500 626 0, 610 501
0.740 303 0,500 708 0,520 653 0,520 550
0,510 581 0,560 528 0, 650 355 0, 630 486
0,573 4 92 0,722 348 0,546 621 0,470 680
0,472 649
Как видно из рис. 6 разработанный метод прогнозирования эксплуатационной надежности обладает значительной эффективностью, особенно при испытаниях малых выборок.
Л/У
90 -
70 -
50 "
30 -
10
1 3 5 7 9/1
Рис. 6 Зависимости доверительного интервала (АМ) от уровня доверительной вероятности (у) и объема выборки (п) . 1 - обычные испытания; 2 - испытания с прогнозирование.
