CC BY
47
- © A.B. Воловик, C.B. Ефименко, A.A. Клавдиев,
И.А. Клавдиев, В.Е. Трушников, 2014
УДК 62.192: 519.718
A.В. Воловик, C.B. Ефименко, А.А. Клавдиев, И.А. Клавлиев,
B.Е. Трушников
ОЦЕНКА СТОХАСТИЧЕСКОГО ПОДОБИЯ ОБЪЕКТОВ СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ СЛОЖНЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Предложено направление развития теории стохастического подобия для эффективного решения задач оценки и контроля качества сложных технических систем в процессе их создания и эксплуатации. Сформулированы основные теоремы подобия, сделан вывод о том, что подобие стохастически определенных физических систем должно основываться на равенстве функций распределения параметров (величин), характеризующих эти системы. Предложен, теоретически обоснован и экспериментально подтвержден критерий стохастического подобия в виде отношения функций распределения параметров (характеристик) систем. Дальнейшее развитие теории стохастического подобия позволит продвинуться в исследовании непредельных распределений, которые мало описаны в классической теории вероятностей и математической статистике. Особенно той их части, которая даст возможность манипулировать выборками малого объема и цензурированными выборками, извлекая из них максимум информации.
Ключевые слова: изделие, система, контроль, качество, испытание, стохастическое подобие, инвариант подобия, моделирование, теорема подобия, критерий.
Современное развитие техники характеризуется резким усложнением задач, решаемых при изготовлении изделий, высокими требованиями к их надежности, сжатыми сроками создания и внедрения в эксплуатацию, стремлением сократить затраты на разработку изделия при удовлетворении заданных условий.
Существующие методы оценки и контроля качества изделия по результатам испытаний оказываются часто неэффективными в условиях детерминированного эксперимента или имеющейся разнородной, ограниченной по объему статистической информации о результатах физического моделирования, макетирования и испытаний небольшого числа образцов.
Одним из решений проблемы обеспечения качества и надежности на стадии проектирования и изготовления изделий является применение теории подобия и моделирования.
Учение о подобии и моделировании начало создаваться более четырехсот лет тому назад. Леонардо да Винчи, Микеланджело, Галилеем делались попытки обосновать методы моделирования и применять их в различных областях: архитектуре, механике, геометрии, астрономии. Однако первые научные формулировки условия подобия были получены И. Ньютоном в его работе «Математические начала натуральной философии», в которой он рассматривает движение материальных тел и устанавливает законы их подобия. Им были открыты пути применения и моделирования механических систем и их критерии.
Академик М.В. Кирпичев [1] в своих работах показал, что теория подобия является теорией эксперимента и моделирования. Она указывает, каким образом нужно ставить опыт, обрабатывать опытные данные, а также обобщать и распространять полученные результаты на другие объекты.
В настоящее время актуальнейшей проблемой является развитие теории подобия применительно к задачам исследования больших, сложных и неоднородных систем и объектов.
Теория подобия имеет несколько аспектов получения и обобщения информации о свойствах сложных систем по результатам исследования аналогов и физических явлений. Она является основой для построения системных методов по обоснованию технических решений задач управления.
Несмотря на многообразие работ, посвященных методам сокращения объемов и продолжительности испытаний изделий для оценки и контроля их надежности, отсутствуют эффективные методы, базирующиеся на едином подходе к решению задач на основе объединения разнородной информации по результатам экспериментальной отработки, имеющейся в ограниченном объеме. Одним из направлений применения методов теории подобия в этих условиях является расширение информации за счет привлечения сведений об испытаниях аналогов, влияния на их качество и надежность выбранных технических решений и условий испытаний, на изменение характеристик изделий при возникновении отказов.
В целом, теория подобия показывает, что любая функциональная зависимость между физическими параметрами исследуемого объекта может быть представлена в виде зависимостей между критериями подобия, составленными из физических параметров. При этом, различают полное, неполное (частичное, локальное, функциональное), приближенное и другие виды подобия, используемые в соответствующих способах моделирования [3].
Особое место занимает стохастическое подобие, описание которого дается как в «теории стохастического подобия», так и в «стохастической теории подобия». Суть обоих постановок сводится к описанию подобия стохастических объектов методами теории вероятностей и математической статистики. Используя геометрическую интерпретацию, отметим, что речь в данном случае может идти о подобии множества многоугольников, стороны которых имеют случайные размеры.
Таким образом, объектами исследования теории стохастического подобия в рассматриваемой постановке являются выборки наблюдений случайных величин, допускающие любую физическую интерпретацию.
В обобщенном понятии подобие явлений определяется как пропорциональность друг другу всех величин, характеризующих явления, а коэффициенты пропорциональности (константы подобия) сохраняют постоянное значение во всех точках системы для определенного наименования величин, но являются различными для величин разного наименования. Подобие явлений можно также выражать и так называемыми инвариантами подобия (idem), что означает «то же самое».
Необходимо отличать понятия «константа подобия» и «инвариант подобия». Константа сохраняет постоянное значение во всех точках системы, но она будет иной, когда одна пара подобных явлений заменяется другой. Инвариант подобия, наоборот, различен для разных точек системы, поскольку он изображает одну из величин этой системы, имеющую разное численное значение
в разных точках системы. Инвариант подобия не меняется при переходе от одного явления к любому другому, подобному ему, т.е. сохраняет одно и то же значение в сходственных точках всей группы подобных явлений.
Константы подобия не являются произвольными. Связь величин, входящих в константы подобия, определяется закономерностью физического явления и выражается в виде уравнений. Наличие такого уравнения, устанавливающего зависимость между величинами, налагает определенные ограничения и на константы подобия.
Здесь прослеживается связь понятий «константа подобия» и «инвариант подобия» стохастически подобных явлений с регрессией случайных величин, характеризующих эти явления. Действительно, пусть наблюдаются два явления, характеризуемые двумя системами (векторами) случайных параметров (величин) (Хр Х2, ... , X., ..., Хп) и (Ур У2, ... , У ..., Уп) одинаковой размерности п. Нормированная корреляционная матрица имеет вид [8]
ы =
г11 . .. г1п
гп1 . .. гпп
(1)
где г.. - коэффициент корреляции между X. и У..
Тогда диагональная матрица || г.. || с элементами г.. = 0, если \ ф}, содержит коэффициенты корреляции, наилучшего приближения линейной регрессии х
на ус коэффициентами регрессии Р,3 = —, где стх и сту - среднеквадратиче-
ские отклонения случайных величин х и у соответственно [10].
Рассмотрим основные положения теории подобия.
Первая теорема подобия формулируется следующим образом [3]: у подобных явлений критерии подобия численно одинаковы (необходимые условия подобия).
Подобные явления характеризуются рядом определенных свойств.
1. Величины, определяющие явления во всех точках системы, в которых протекают процессы данного явления, относятся в сходственных точках к одноименным величинам из группы подобных явлений, как постоянные числа. Каждой величине отвечает свое число, различное для каждой пары явлений. При этом необходимо иметь в виду, что изучаемые явления протекают и в геометрически подобных системах.
2. Величины, характеризующие рассматриваемое явление, независимы друг от друга, а между ними существуют определенные связи. Если эти связи могут быть выражены в виде математических зависимостей, то последние для подобных явлений буквенно одинаковы.
Суть второй теоремы подобия (п-теоремы) заключается в переносе данных единичного опыта на все явления, подобные ему, при помощи критериальных уравнений. То есть, функциональная зависимость между характеризующими процесс величинами может быть представлена в виде зависимости между составленными из них критериями подобия.
Третья теорема подобия устанавливает признаки, по которым можно узнать, подобны ли два явления друг другу. Теорема исходит из того, что известны уравнения, которые связывают между собой величины первого явления, и эти уравнения связи отвечают также условиям существования неограничен-
ного числа подобных первому явлению, т.е. возможно существование группы подобных явлений.
Кроме того, известны следующие дополнительные положения к основным теоремам подобия [3].
1. Сложные системы подобны, если подобны соответствующие им подсистемы и равны критерии подобия, составленные из величин, не входящих в какую-либо из подсистем.
2. Условия подобия, справедливые для систем с постоянными параметрами, можно распространить и на системы с переменными параметрами при условии совпадения относительных характеристик переменных параметров.
3. Условия подобия, справедливые для изотропных (однородных) систем, могут быть распространены на анизотропные (неоднородные) системы, если анизотропия в сравниваемых системах относительно одинакова. То есть, это фактически условие объединения неоднородных стохастических объектов (выборок).
Условия подобия явлений.
1. Геометрическое подобие систем и буквенная одинаковость уравнений связи (необходимое условие).
2. Подобие условий однозначности явления, выделяющего его из группы других (необходимое условие). Если эти условия такие же, как и у первого явления, только численные значения величин, входящих в них, у второго явления другие, то эти величины называют моновалентами. Соответственно, условия однозначности называют условиями моновалентности явления. Выбор констант подобия в подобных системах не произволен, ибо существуют обуславливающие равенства, требующие, чтобы индикаторы подобия, полученные из уравнений связи, равнялись единице. Отсюда:
3. Необходимым условием подобия является равенство единице индикаторов подобия, составленных из констант величин, входящих в условие однозначности. Этому требованию отвечает равенство критериев, которые носят название определяющих, ибо их инвариантность входит в условия, определяющие подобие явлений.
Таким образом, третья теорема подобия состоит в том, что подобны те явления, которые происходят в геометрически подобных системах, подчиняются одним и тем же уравнениям связи, у которых моноваленты находятся в численно постоянном отношении и составленные из них критерии равны.
Следовательно, явления подобны, если их выраженные в относительных единицах моноваленты и моновалентные критерии одинаковы.
Представленные принципы подобия в стохастическом смысле основаны на том, что параметры, входящие в критерии подобия, являются случайными величинами, а сами критерии подобия - функциями этих случайных величин [3]. Тогда подобие стохастически определенных физических систем должно основываться на равенстве функций распределения параметров (величин), характеризующих эти системы.
Решение задачи оценки стохастического подобия двух систем, характеризующихся случайными параметрами, проводится путем проверки статистической гипотезы о равенстве функций распределений этих параметров. Для этого необходимо знать закон распределения выбранного критерия.
Таким образом, в стохастической постановке условием подобия является равенство функций распределения случайных величин (параметров). Если
сравнивать два класса объектов, для которых в результате испытаний получены оценки функций распределения их параметров, то условие приближенного стохастического подобия согласно первой теоремы подобия можно записать в виде близости выборочных критериев подобия по вероятности [4]. В соответствии с третьей теоремой подобия достаточным условием подобия двух систем является равенство любых двух соответствующих критериев подобия этих систем, составленных из их основных параметров и начальных (граничных) условий. Определяющие критерии составляются из независимых между собой величин, которые входят в условия однозначности (геометрические соотношения, физические параметры, краевые условия, начальные и граничные).
Выбрав в качестве критериев стохастического подобия функции распределения некоторых параметров, можно записать условие (критерий, индикатор) стохастического подобия в виде отношения
Рис. 1
о =
х1, Х2 ,..., ХП )
^2( Уl, У2,..., Уп)
(2)
где Р1(х1, х2, ..., хп) и F2(y1, у2, ..., уп) - функции распределения параметров (характеристик) объектов численностью п.
Отметим связи критерия (2) с существующими понятиями.
1. Выражение (2) представляет собой равномерно наиболее мощный критерий отношения правдоподобия [9].
2. При О = 1 выражение (2) вырождается в тождество, которое используется как вероятностное интегральное преобразование случайных величин из разных генеральных совокупностей. Например, на рис. 1 изображена процедура преобразования случайной величины х1 с функцией распределения F1(x1) в случайную величину х2 с функцией распределения Р2(х2).
3. При Р2(х2) = 1 выражение (2) вырождается в стохастический супер-индикатор [5], который используется для идентификации законов распределения выборок преимущественно малого объема.
Очевидно, что величина О в выражении (2) является случайной. Тогда, введя в рассмотрение функцию распределения этого отношения (критерия стохастического подобия), можно оценить критерий, используя понятие уровня значимости а, используемого для проверки статистических гипотез.
Согласно лемме [9] случайная величина Z = Р(х), где Р(х) - функция распределения, равномерно распределена в интервале [0;1]. Тогда, в соответствии с выражением (2) имеются две независимые случайные величины 2Х и г2, равномерно распределенные в интервале [0;1]. Необходимо определить закон распределения частного
q = — , при условии < г2.
(3)
2
Заметим, что условие z1 < z2 постулировано из соображений получения обозримой области распределения случайной величины q. Далее будет показано преимущество введения этого условия.
Плотность совместного распределения упорядоченных случайных величин z1 и z2 выглядит следующим образом [6]
/(Zi, Z2) = 2! fZi(zi)fZ2(z2) = 2, (4)
где fZl (z1) = 1 и 42 (z2) = 1 - плотности распределения независимых случайных величин Z1 и Z2 .
В общем виде плотность распределения отношения имеет вид [7]
0 X
g(q) = - JZ1 f(z1,qz1)dz1 + JZ1 f(Z1,qzx)dzx
-X 0 .
Подставив в это выражение формулу (4), и, отбросив первый интеграл, поскольку z1e [0;1], получим
g( q) = J Z1 f (Z1, qz1) dz1 = J2Z1 dz1 = 2 •
= 1
0 0 0 . (5)
То есть, отношение мйньшей из двух независимых случайных величин, равномерно распределенных в интервале [0;1], к большей есть случайная величина, равномерно распределенная в интервале [0;1].
Для подтверждения сказанного на рис. 2 приведена типичная гистограмма распределения случайной величины q, построенная по результатам вычислительного эксперимента.
Эмпирическая функция распределения для нее изображена на рис. 3.
Можно показать, что статистика критерия Колмогорова для проверки гипотезы о равномерном распределении случайной величины q равна
х = в4п = I max(A)| 4п = 0,07V100 = 0,7
Вероятность P(X) = 0,711, что значительно больше уровня а = 0,1. Поэтому оснований отвергнуть гипотезу о равномерном распределении случайной величины q в интервале [0;1] не имеется [8].
Для сравнения на рис. 4 приведена гистограмма эмпирического распределения простого отношения двух независимых равномерно распределенных в интервале [0;1] случайных величин.
Рис. 2
Рис. 3
i 2 4 4 5 * 7 а в .ir «
Рис. 4
Как видно из рисунка, данное распределение ничего общего с равномерным не имеет. Кроме того, у него достаточно длинный «хвост», что затруднило бы принятие решений из-за слабой различимости пороговых значений критерия на «хвосте».
Таким образом, результаты вычислительного эксперимента(имитационного моделирования) свидетельствуют о справедливости выражения (5) для описания плотности распределения критерия (2).
Теперь для проверки гипотезы о стохастическом подобии двух объектов, характеризуемых двумя выборками наблюдений, достаточно сравнить расчетное значение критерия (2) с теоретическим, проинтегрировав плот-
ность (5) по области, ограниченной уровнем значимости а. Очевидно, что для равномерного закона это не представляет никаких затруднений.
Обобщая сказанное, необходимо отметить, что теория стохастического подобия является некоторым обобщением теории вероятностей и математической статистики на теорию подобия. Она занимает промежуточное положение между полной неопределенностью и теорией вероятностей с математической статистикой (которые оперируют законами распределения и их параметрами) и позволяет делать вывод о подобии стохастических объектов в определенных условиях. Ее использование дает возможность проведения определенных манипуляций со стохастически подобными объектами. Дальнейшее развитие теории стохастического подобия позволит продвинуться в исследовании непредельных распределений, которые мало описаны в классической теории вероятностей и математической статистике. Особенно той их части, которая даст возможность манипулировать выборками малого объема и цен-зурированными выборками, извлекая из них максимум информации.
1. Кирпичев М.В. Теория подобия. - М.: АН СССР, 1953. - 213 с.
2. Чхаидзе H. Методы подобия и математического моделирования в исследовании сложных систем. - Тбилиси: Издат.дом «Технический университет», 2009. - 193 с.
3. Надежность и эффективность в технике: Справочник: Т. 4.: Методы подобия в надежности / Под общ. ред. В.А. Мельникова, Н.А. Северцева. - М.: Машиностроение, 1987. - 280 с.
4. Гухман A.A. Введение в теорию подобия. - М.: Высшая школа, 1973. - 296 с.
5. Мартыщенко Л.А., Воловик A.B., Клавдиев A.A. и др. Методы нормирования надежности сложных систем оружия. - Л.: МО, 1992. - 330 с.
_ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
6. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. Методы обработки данных. - М.: Мир, 1980. - 610 с.
7. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. - М.: Радио и связь, 1983. - 416 с.
8. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. -М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962. - 560 с.
9. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности. - М.: Наука, 1965. - 523 с.
10. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1984. - 832 с. ЕШ
КОРОТКО ОБ АВТОРАХ
Воловик Александр Васильевич - кандидат технических наук, старший научный сотрудник, e-mail: volovikal@yandex.ru, ОАО «Климов», Ефименко Сергей Владимирович - ассистент, e-mail: falcon.sergey@yandex.ru, Клавдиев Игорь Александрович - ассистент, e-mail: kss1959@mail.ru, Клавдиев Александр Александрович - кандидат технических наук, доцент, e-mail: kss1959@mail.ru,
Трутников Вячеслав Евстафьевич - доктор технических наук, доцент, e-mail: tvye@yandex.ru, Национальный минерально-сырьевой университет «Горный».
UDC 62.192: 519.718
ASSESSMENT OF STOCHASTIC SIMILARITY OF OBJECTS WITH CASUAL PARAMETERS COMPLEX TECHNICAL SYSTEMS
VolovikA.V., Candidate of Engineering Sciences, Senior Researcher, JSC «Klimov», e-mail: volovikal@yandex.ru, Efimenko A.V., Assistant, e-mail: falcon.sergey@yandex.ru, Klavdiev I.A., Assistant, e-mail: kss1959@mail.ru,
KlavdievA.A., Candidate of Engineering Sciences, Assistant Professor, e-mail: kss1959@mail.ru, Trushnikov V.E., Doctor of Technical Sciences, Assistant Professor, e-mail: tvye@yandex.ru, National Mineral Resource University «University of Mines».
In article the direction of development of the theory of stochastic similarity for the effective solution of problems of an assessment and quality control of difficult technical systems in the course of their creation and operation is offered. The main theorems of similarity are formulated, the conclusion that similarity stochastic certain physical systems has to be based on equality of functions of distribution of the parameters (sizes) characterizing these systems is drawn. The criterion of stochastic similarity in the form of the relation of functions of distribution of parameters (characteristics) of systems is offered, theoretically reasonable and experimentally confirmed. Further development of the theory of stochastic similarity will allow to promote in research of nonlimiting distributions which are a little described in classical probability theory and mathematical statistics. Especially that their part which will give the chance to manipulate selections of small volume and tsenzurirovanny selections, taking from them information maximum.
Key words: product, system, control, quality, test, stochastic similarity, similarity invariant, modeling, similarity theorem, criterion.
REFERENCES
1. Kirpichev M.V. Teorija podobija (The theory of similarity), Moscow, AN SSSR, 1953, 213 p.
2. Chhaidze H. Metody podobija i matematicheskogo modelirovanija v issledovanii slozhnyh sistem (Methods of similarity and mathematical modeling in the complex system analysis), Tbilisi, Izdat.dom «Tehnicheskij universitet», 2009, 193 p.
3. Nadezhnost' i jeffektivnost' v tehnike: Spravochnik. T. 4. Metody podobija v nadezhnosti, Pod obshh. red. V.A. Mel'nikova, N.A. Severceva ( Reliability and efficiency in engineering: Handbook. Volume 4: Methods of similarity in reliability, Mel'nikov V.A., Severcev, N.A. (Eds.)), Moscow, Mashinostroenie, 1987, 280 p.
4. Guhman A.A. Vvedenie v teoriju podobija (Introduction to the theory of similarity), Moscow, Vysshaja shkola, 1973, 296 p.
5. Martyshhenko L.A., Volovik A.V., Klavdiev A.A. Metody normirovanija nadezhnosti slozhnyh sistem oruzhija (Methods of normalizing reliability of complex weapon systems), Leningrad, MO, 1992, 330 p.
6. Dzhonson N., Lion F. Statistika i planirovanie jeksperimenta v tehnike i nauke. Metody obrabotki dan-nyh (Statistics and design of experiment in technology and science. Data processing methods), Moscow, Mir, 1980, 610 p.
7. Ventcel' E.S., Ovcharov L.A. Prikladnye zadachi teorii verojatnostej (Applied problems of the probability theory), Moscow, Radio i svjaz', 1983, 416 p.
8. Ventcel' E.S. Teorija verojatnostej (The theory of probability), Moscow, Gosudarstvennoe izdatel'stvo fiziko-matematicheskoj literatury, 1962, 560 p.
9. Gnedenko B.V., Beljaev Ju.K., Solov'ev A.D. Matematicheskie metody v teorii nadezhnosti (Mathematical models in the theory of reliability), Moscow, Nauka, 1965, 523 p.
10. Korn G., Korn T. Spravochnik po matematike dlja nauchnyh rabotnikov i inzhenerov (Handbook on mathematics for scientists and engineers), Moscow, Nauka, 1984, 832 p.
