Определение доверительных границ наработки изделий на отказ по малым выборкам наблюдений Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

© A.B. Воловик, A.A. Клавдиев, B.E. Трутников, 2013

УДК 62.192: 519.718

А.В. Воловик, А.А. Клавдиев, B.E. Трутников

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ НАРАБОТКИ ИЗДЕЛИЙ НА ОТКАЗ ПО МАЛЫМ ВЫБОРКАМ НАБЛЮДЕНИЙ

Обоснована рациональная процедура определения доверительных границ при оценке наработки изделий до отказа. Используя распределения порядковых статистик, определять границы наработки изделий до отказа можно по существенно малым выборкам наблюдений. Представляется весьма актуальным данный подход и для решения вопросов, связанных с обеспечением безопасной эксплуатации изделий, т.к. статистика по безопасности оперирует весьма малыми количествами катастроф и инцидентов.

Ключевые слова: энтропия, порядковая статистика, наработка до отказа, малая выборка, безопасность.

При проведении различного рода испытаний решается задача подтверждения неких требований к показателям, характеризующим те или иные свойства изделия. При этом, всегда актуальным является вопрос об объеме необходимых наблюдений для принятия обоснованного решения.

Проблема, как представляется, заключается в том, что для подтверждения требований по надежности (установления границы наработки изделия до отказа) при классическом подходе необходимо проводить значительное число порой дорогостоящих испытаний. Это обусловлено расположением критической области наработки на так называемом «хвосте» распределения. Что предопределяет недостаточное статистическое обеспечение для точного описания такой области. В результате, возникают трудности при использовании предельных распределений (например, ¿-статистик), которые сходятся к нормальному закону при объемах выборки п > 30. В условиях малых выборок нижняя граница критической области часто оказывается отрицательной, что противоречит физическому смыслу, т.к. время (наработка) - положительная случайная величина.

В этих условиях требуется математический аппарат, позволяющий более точно описывать критические области. Он позволит обоснованно подойти к решению ряда вопросов, связанных с объемом необходимых испытаний для подтверждения требований по надежности высоконадежных изделий, а также решать вопросы подтверждения требований по безопасности, где статистический материал ограничен еще и объективными причинами «редкости» этих событий.

Одним из подходов, активно развивающимся в последнее время, является информационный. Ключевым для него является понятие энтропии. Оно имеет значение, отличное от используемого в физике понятия.

Энтропия - мера неопределенности состояния некоторого объекта (системы) [1].

В процессе получения сведений неопределенность состояния системы может изменяться. Чем больше объем полученных сведений, чем они более содержательны, тем больше будет информация о системе, тем менее неопределенным будет ее состояние.

Естественно, поэтому, количество информации измерять уменьшением энтропии той системы, для уточнения состояния которой предназначены сведения. То есть, количество информации, приобретаемое при полном выяснении состояния некоторой физической системы, равно энтропии этой системы.

В случае, когда состояния системы обусловлены различными вероятностями, полезность информации от разных сообщений неодинакова: наибольшую информацию несут сообщения о тех событиях, которые априори были наименее вероятны. Например, сообщение о том, что 31-го декабря в Москве выпал снег, несет гораздо меньше информации, чем аналогичное по содержанию сообщение, что 31-го июля в Москве выпал снег. То есть, наибольшую информацию несут, как это ни странно звучит, именно редкие события!

Исходя из этого, представляется, что энтропийный подход может служить теоретическим обоснованием для исследований малого числа наблюдений (малых выборок). Действительно, сделав допущение о том, что информация об объекте зависит от числа наблюдений п некоторого параметра, правомерно предположить, что существует такое п, при достижении которого дальнейшее увеличение числа наблюдений не ведет к увеличению информации о состоянии объекта, т.е. наступает насыщение информационного поля и продолжение опытов не добавляет ничего нового, кроме затрат на испытания. К тому же «лишняя» информация способна «засорять» выборку, искажать оценку параметра и, более того, приводить к так называемому «эффекту большой выборки», когда ни одна гипотеза о принятии решения не может быть принята.

В подтверждение сказанного, представляется целесообразным рассмотреть вопрос об оценке границ доверительного интервала наработки изделия до отказа (одна из классических задач теории надежности).

Формализация процесса в этом случае укладывается в следующую схему. В ходе испытаний производится п наблюдений, в результате которых зафиксированы случайные значения наработки и, I = 1, п изделия до наступления отказа. По данным наблюдениям требуется оценить нижнюю границу наработки ТН изделия до отказа.

Решение данной задачи в условиях больших выборок не вызывает затруднений [2]. Однако, для выборок малого объема требуется более детальная формализация стохастического процесса. В частности, для экстремальных задач, подобных сформулированной, необходимо введение соответствующих связей, учитывающих распределение крайних членов вариационного ряда. Такие распределения еще называют распределениями экстремальных значений случайной величины (см. рис. 1).

Решение подобных задач базируется на использовании основных теорем об экстремальных распределениях [3]. Практическое приложение указанных теорем представляется целесообразным использовать при формализации основных моментов процесса испытаний, т.к. критическая область (? < ТН) для гене-

Рис. 1. Графическая иллюстрация критической области

Рис. 2. Графики функций нижней границы наработки от объема выборки

ральной совокупности трудно поддается описанию и, главное, подтверждению. В то время, как распределение крайней порядковой статистики находится не в предельной области (см. рис. 1) и в ряде случаев может быть описана в явном виде.

Так, для определения нижней границы наработки Тн изделия до отказа

представляется целесообразным воспользоваться распределением первого члена вариационного ряда случайных величин, о которых известна лишь средняя наработка до отказа. Используя принцип максимума неопределенности (максимума энтропии) можно показать, что функция квантилей в этом случае имеет вид [3]

Тн =— Г1 -(1 -а)

п -1

где Т — средняя наработка до отказа; п — объем выборки; а — уровень значимости.

В табл. 1 помещены результаты расчета нижней границы наработки некоторого изделия, о котором известна лишь средняя наработка до отказа Т, при различных объемах выборки и уровне значимости а = 0,1.

Причем, для сравнения расчеты проводились по предлагаемой зависимости (1) и теоретическим путем при постулировании экспоненциального распределения (вытекает из принципа максимума энтропии [3] при известном Т ).

Для наглядности результаты представлены в графическом виде на рис. 2.

Анализ табл. 1 и рис. 2 свидетельствует о том, что в условиях поставленной задачи при п < 3 классический способ определения нижней границы наработки не приемлем, т.к., становясь отрицательной, она теряет физический смысл. При увеличении п , начиная с 4-х, данный способ дает завышенную на более 100 % оценку по сравнению с теоретической.

Особо следует остановиться на сравнении предложенного способа с теоретическим, графики нижних границ наработки для которых представлены на рис. 3.

Рис. 3. Сравнение нижних границ наработки

Анализ рис. 3 свидетельствует, что, действительно, редкие события добавляют больше информации (см. выше), т.к. при 2 < п < 5 сходимость оценок, рассчитанных с помощью предлагаемого подхода, к теоретическим в среднем на 20 % выше. При дальнейшем увеличении числа испытаний п происходит насыщение (увеличение числа испытаний дает относительно небольшое добавление) информации и ошибка метода не превышает 5 %, что вполне приемлемо для оценочных расчетов.

Отсюда следует важный для практики вывод: оценку нижней границы наработки изделия до отказа с достаточной точностью можно производить при объеме выборки до п = 6. Дальнейшее проведение испытаний бесполезно статистически и невыгодно с экономической точки зрения. Поскольку новой информации не добавляется, то продолжение испытаний происходит скорее по инерции. Тем самым у исследователя создается психологическая иллюзия большей уверенности при обширных статистических данных.

Представляется полезным проанализировать изменение математического ожидания крайнего члена вариационного ряда, т.е. математического ожидания нижней границы наработки М(Тн). Для этого достаточно усреднить величину Тн в выражении (1) по всем возможным значениям а . То есть

Рис. 4

М Тн) = / _(1 .а)

, п -1

• ¿а = -

2п2 - 3п + 1

• Т.

(2)

График зависимости этой функции от п при Т = 1000 час, изображен на рис. 4.

Анализ рис. 4, в частности, подтверждает сделанный выше вывод о том, что, начиная с п = 6 , информация насыщается. Это видно по асимптотическому характеру изменения М(Тн) при п > 6.

Более наглядное представление о доверительных границах дают функции квантилей, изображенные на рис. 5.

1

2

Таблица 1

Результаты оценки нижней границы наработки

Ср. наработка Т, час 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000

Объем выборки п 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Уровень значимости а 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1

Нижняя граница Тн (по порядк. статистике) 102,6 101,7 101,3 101,0 100,8 100,7 100,6 100,5 100,5

Нижняя граница Тн по -1176 -88,7 181,1 314,3 397,5 455,8 499,7 534,4 562,6

1:-критерию

Нижняя граница наработки Тн (теоретич.) 105.3 105.3 105.3 105.3 105.3 105.3 105.3 105.3 105.3

Любопытно, также, оценить влияние уровня значимости а на сходимость порядковой и теоретической оценок. Для этого приравняем квантили соответствующих распределений

пТ

п -1

1 - (1 - Са)

= -Т 1п(1 -а).

Откуда коэффициент невязки уровней значимости

С = I

1 -|1 + 1п(1 -а)

а

Из рис. 5 видно, что с ростом а невязка С растет. Она растет, также, и с ростом п . Можно показать, что для практически значимых диапазонов изменения п е[2;10] и ае[0,01;0,1] невязка С не превышает 5 %. Следовательно,

при решении широкого круга задач по оценке нижней границы наработки изделий до отказа в условиях малых выборок применение формулы (1) дает расхождение с теоретическим значением не более 5 %.

Представляет практический интерес рассмотрение функции и плотности распределения случайной величины Тн. Так, подставляя очевидную замену переменной Р(Тн) = а в выражение (1), из последнего получим функцию распределения

п

РТн) = 1 -[1 - пТ1 Тн ]п-1, (3)

Рис. 5. Графическое представление квантильных функций

дифференцируя которую, несложно вывести плотность искомого распределения

1

¡Тн) = 1 [1 - Тн ) п-1. (4)

Можно показать, что функции (3) и (4) нормированы в интервале , где Т — средняя наработка до отказа.

Тн е

п -1

В частном случае, при выборке минимального объема п = 2 (наименьшая невязка С), плотность (4) представляет собой линейную зависимость

^(Тн) т 2Т2 Тн .

Функция распределения - квадратичную

Р(Т") =1 - 2Т' "

В пределе (при п ^ ж) плотность (4) принимает следующий вид

' (Тн) = 1.

И, соответственно, функция распределения Т

Г (Тн) = Т ,

что, очевидно, соответствует равномерному закону распределения (см. рис. 5).

Распределение крайнего члена вариационного ряда в общем случае двустороннее. В условиях решаемой задачи (см. рис. 1) нас интересует левая граница, которая характеризует наименьшую (экстремальную) случайную величину. Поэтому при определении нижней границы наработки изделия до отказа пола-а

гаем Г(Тн) = . Тогда для равномерного закона распределения справедливо выражение

Тн=аа Т , (5)

которое с достаточной для практики точностью аппроксимирует зависимость (1) в диапазоне а е [0;0,2].

Действительно, значения невязки

С=4

а

( I-^

1 1 -а

V V 2у

квантилей, рассчитанных по выражениям (1) и (5) при прочих равных условиях, представлены в табл. 2.

а С

0,01 1,001

0,05 1,006

0,1 1,012

0,2 1,026

0,3 1,040

Откуда видно, что в практически используемом диапазоне ае[0,01;0,1]

ошибка замены выражения (1) упрощенной зависимостью (5) составляет не более 1,5 %, что позволяет использовать изящную формулу (5) для определения нижней границы наработки изделия по меньшей из двух значений наработок до отказа из выборок минимального объема (п = 2) .

При увеличении числа наблюдений п в выборке можно воспользоваться двумя подходами:

1) нахождение квантиля Тн из выражения (1);

2)используя комбинаторные правила сочетаний выборочных значений по два, выполнить известное количество раз описанных выше процедур.

Таким образом, используя распределения порядковых статистик, определять границы наработки изделий до отказа можно по существенно малым выборкам наблюдений. Представляется весьма актуальным данный подход и для решения вопросов, связанных с обеспечением безопасной эксплуатации изделий, т.к. статистика по безопасности оперирует весьма малыми количествами катастроф и инцидентов.

- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. — М.: Госиздат физмат. литературы. — 1962. — 564 с.

2. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А. Д. Математические методы в теории надежности. - М.: Наука. — 1965. — 524 с.

3. Ивченко Б.П., Мартыщенко Л.А., Табухов М.Е. Управление в экономических и социальных системах. Системный анализ. Принятие решений в условиях неопределенности. - СПб.: «Нордмед-Издат>, 2001. - 248с. ИШ

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ -

Воловик Александр Васильевич — кандидат технических наук, старший научный сотрудник, volovikal@yandex.ru, ОАО «Климов»,

Клавдиев Александр Александрович — кандидат технических наук, доцент, kss1959@mail.ru,

Трушников Вячеслав Евстафьевич — доктор технических наук, доцент, tvye@yandex.ru, Национальный минерально-сырьевой университет «Горный».

Д._