Определение показателей надежности при экстремальных случаях выборочных наблюдений сложных технических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

- © A.B. Воловик, C.B. Ефименко,

A.A. Клавдиев, H.A. Клавдиев,

B.Е. Трушников, 2014

УДК 62.192: 519.718

A.В. Воловик, C.B. Ефименко, А.А. Клавдиев, И.А. Клавлиев,

B.Е. Трушников

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ ПРИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ СЛУЧАЯХ ВЫБОРОЧНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ СЛОЖНЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Проведен анализ н обоснован метод асимптотического представления функции квантилей порядковых статистик. Исследования предложенного метода не выявили противоречий теоретическим положениям и результатам вычислительного эксперимента. Анализ подтвердил достаточную точность его применения для экстремального случая объема выборки n = 2, что может служить основанием для практического использования предложенного подхода при подтверждении требований по безопасности и по надежности высоконадежных изделий в экстремальных случаях выборочных наблюдений, когда о характере распределения параметра неизвестно ничего, кроме математического ожидания или его оценки.

Ключевые слова: энтропия, порядковая статистика, наработка до отказа, малая выборка, показатель, экстремаль, надежность, инцидент, безопасность.

Безопасность эксплуатации сложных технических систем во многом определяется надежностью составляющих их элементов [1, 2]. Развитие теории безопасности как научного направления является схожим с осознанием и становлением надежности как науки. И, если к настоящему моменту в теории надежности сформировались предмет, цель, методы и задачи исследований, то в безопасности они находятся в стадии разработки. Такое положение обусловлено сравнительно «молодым возрастом» данного научного направления, особенностью информационного обеспечения и необходимостью разработки непредельных и экстремальных методов оценки безопасности.

Особенность информации по безопасности характеризуется самим понятием события, наступление которого составляет опасность [3]. Так, например, в авиации при классификации отказов по последствиям используются понятия:

• авиационное происшествие (катастрофа, авария);

• инцидент (нелокализованные отказы, пожары, выключение двигателей в полете, отказы агрегатов и систем, не имеющих дублирования);

• вынужденная посадка и т.п.

При этом исследования приходится проводить в условиях весьма ограниченной информации и на так называемых «хвостах» распределений. Отсюда вытекают два аспекта проблемы оценки безопасности:

• для количественной оценки необходима разработка методов, дающих возможность такой оценки по малому числу наблюдений с требуемой достоверностью;

• для интервальной оценки необходимы методы, адекватно описывающие предельные области распределений по ограниченной информации.

Вообще говоря, статистическая информация об авиационных происшествиях и инцидентах весьма ограничена и неоднородна, поскольку события, приводящие к ним, как правило, единичные или редко повторяющиеся. Поэтому оценка безопасности в настоящее время проводится на качественном уровне, т.к. для количественной оценки имеющимся математическим аппаратом информации недостаточно.

Теория принятия статистических решений по малому числу наблюдений, для многих задач которой типична неасимптотическая постановка проблем, в настоящее время еще нуждается в научном обосновании и разработке. Сложность постановки и решения задач построения наилучших оценок при данном объеме статистического материала обусловлена тем обстоятельством, что искомое решение часто в сильной степени зависит от конкретного типа распределения, объема выборки и не может быть объектом достаточно общей математической теории.

Принято считать, что начало теории малых выборок было положено в первом десятилетии XX века публикацией работы У. Госсета, в которой он поместил t-распределение. В то время Госсет работал статистиком на пивоваренных заводах. Он экспериментировал с идеей существенного сокращения числа проб, отбираемых из очень большого количества бочек, находящихся на складах пивоварни, для выборочного контроля качества портера. В итоге он опубликовал результаты своего исследования по сравнению выборочного контроля качества с использованием t-распределения для малых выборок и традиционного z-распределения (нормального распределения) анонимно, под псевдонимом «Студент» (Student - откуда и пошло название i-распределение Стьюдента).

В свое время был поднят вопрос о том, какой объем должна иметь выборка, чтобы ее можно было считать малой. Определенного ответа на этот вопрос просто не существует. Однако условной границей между малой и большой выборкой принято считать n = 30. Основанием для этого в какой-то мере произвольного решения служит результат сравнения i-распределения с нормальным распределением. Простое визуальное изучение табличных значений t позволяет увидеть, что это приближение становится довольно быстрым, начиная с n = 30 и выше. Следовательно, выборки объемом менее 30 наблюдений считаются малыми.

Однако статистика авиационных происшествий и инцидентов оперирует гораздо меньшими объемами. Речь идет, буквально, о единичных случаях. В этих условиях требуются неасимптотические методы, основанные на экстремальных распределениях. То есть, простите за каламбур, экстремальные условия, диктуют использование экстремальных методов для оценки распределений экстремальных значений случайных величин. Все это, представляется, должно быть предметом изучения экстремальной статистики [4].

Для осознания проблемы целесообразно рассмотреть постановку и возможный путь решения одной из классических задач теории надежности, имеющей самостоятельное значение в оценке безопасности объектов. В процессе эксплуатации летательных аппаратов определенного типа возникают отказы (неисправности), приводящие к авиационным происшествиям. За весь период наблюдения их насчитывается не более 3-5 случаев, но последствия - существенные (т.е. влияющие на безопасность полетов). Необходимо с заданной доверительной вероятностью оценить границу безопасной эксплуатации изделия.

/О

Рис. 1. Эмпирические плотности распределения наименьшего значения в выборке

Как видно из постановки задачи экстремальность условий заключается в том, что объем выборки не позволяет рассчитывать на приемлемое с точки зрения достоверности решение классическим способом, основанным на предельных распределениях. Наиболее предпочтительным в этом случае является информационный подход, использующий принцип максимума неопределенности (принцип Джейнса), основанный на рассмотрении энтропии Шеннона. Данный подход наименее чувствителен к исходным предположениям и в общем случае позволяет учитывать любое количество располагаемой информации [5].

Формализм принципа максимума неопределенности (максимума энтропии) постулирует, что наименее сомнительным представлением вероятностей будет такое представление, которое максимизирует неопределенность при учете всей заданной информации. При этом энтропия выступает в качестве меры неопределенности. Существенным отличием принципа максимума неопределенности является возможность получения оценок априорного распределения в информационных ситуациях, для которых известны различные ограничения в виде вероятностной меры, отдельных моментных характеристик и т.д. в форме равенств и неравенств. С математической точки зрения, при использовании принципа максимума неопределенности задание таких ограничений приводит к решению классических и неклассических задач оптимизации (задач на экстремум).

Основанием для проведения анализа явились эмпирические наблюдения. Рассмотрим эмпирические плотности распределений наименьшего (экстремального) значения в выборках различного объема п, полученных имитационным моделированием из генеральной совокупности с экспоненциальным законом распределения. Их сглаженный вид представлен на рис. 1.

Нетрудно видеть, что с увеличением объема выборки при прочих равных условиях распределение наименьшей случайной величины смещается к оси ординат.

Теоретическим обоснованием вопроса служат следующие соображения. В общем случае функция распределения наименьшего значения в выборке объемом п имеет вид [6]

= 1 -[1 - р (и)]п

а плотность, соответственно

-1

ии) = п [1 - р (и)]]1 • f (^п)

где Р (£ . ) и / (£ . ) - функция и плотность исходного распределения.

(1)

(2)

Тогда плотность распределения наименьшего значения в выборке из экспоненциально распределенной генеральной совокупности запишется следующим образом:

I Ц . )= пХе~

v т.п '

Рис. 2. Теоретические плотности распределения наименьшего значения в выборке

13 ) а в т а

Рис. 3. Функция квантилей распределения наименьшего значения для выборки из экспоненциальной генеральной совокупности

где X = т - параметр распределения; Т - математическое ожидание случайной величины t.

Физически формула (3) означает, что наименьшее значение в выборке проявляется с интенсивностью, пропорциональной объему выборки.

Графики теоретических функций плотности (3) представлены на рис. 2.

Анализ рис. 1 и 2 показывает идентичность характера эмпирического и теоретического распределений наименьшего значения в выборках из генеральной совокупности с экспоненциальным законом распределения.

Рассмотрим функцию квантилей распределения наименьшего значения для выборки из экспоненциальной генеральной совокупности. Для этого в выражение (1) подставим функцию экспоненциального распределения и найдем обратную ей функцию квантилей Т

Тшп =- - 1п(1 -а)

п

(4)

График этой функции в зависимости от п изображен на рис. 3.

Характер влияния объема выборки совместно с уровнем значимости а иллюстрируется рис. 4.

Анализируя рис. 3 и 4, можно сделать вывод о том, что, как и подобает рациональной функции вида у = 1/х, функция квантилей (4) проявляет асимптотические свойства при п >10.

/ Л д--з |-

* / /1 *

Рис. 4. Зависимость функции кванти- Рис. 5. Графики теоретической и асимп-лей от объема выборки тотической функций квантилей

При объемах выборки п < 5 неасимптотичность зависимости (4) становится ощутимой. Особенно значимой является область перегиба функции квантилей при п е [2,5]. Что касается конкретной точки п = 2, то необходимо отметить, что она лежит на краю диапазона п е [1,2,], где достаточная линейность функции (4) дает основания прибегнуть к ее аппроксимации.

Для этого, используя принцип максимума неопределенности (максимума энтропии), можно показать, что асимптотическое представление функции квантилей в случае, когда об исходном распределении известно только математическое ожидание Т случайной величины имеет вид [7] пТ

Т„,„ = -

n -1

1 -(1 -а)

(5)

Представляет практический интерес рассмотрение асимптотических свойств функции и плотности распределения случайной величины Тт1п. Так, подставляя очевидную замену переменной Р (Тт1п) = а в выражение (5), из последнего получим функцию распределения

n

F(T . ) = 1 -

* m.n '

n _ 1 I n-1

1 - n—i т . I

T* min

nT J , (6)

дифференцируя которую, несложно вывести плотность искомого распределения

1

1 ( n - 1 I n-1

f(T . ) = — 1 -^-Ь-т . I

v min' т- т- min

т У nT J . (7)

Можно показать, что функции (6) и (7) нормированы в интервале

T

0;—T

п-1

В частном случае, при выборке минимального объема п = 2, плотность (7) представляет собой линейную зависимость

{(Т . ) =1 -—- Т .

4 т 2Т 2 т'п

а функция распределения - квадратичную

F(T . ) = 1 -

min

/ 1 л2 1 - — T 2T m

В пределе (при п ^да) плотность (7) принимает следующий вид {(Т . ) =1

v т1^ т

а функция распределения Т

Р (Т ) = т1п

^ т1п ' тТ , (8)

что асимптотически соответствует равномерному закону распределения.

Распределение наименьшего значения в выборке в общем случае двустороннее. Однако, в условиях решаемой задачи нас интересует левая граница,

которая характеризует наименьшую (экстремальную) случайную величину. Поэтому полагаем

Р(Т . ) = -

v 2

Тогда для равномерного закона распределения (8) справедливо выражение Тн =-Т

2 , (9)

которое с достаточной для практики точностью аппроксимирует зависимость (4) в диапазоне а е [0;0,2].

Теоретическое значение при тех же условиях из выражения (6) примет следующий вид

тн = 2т [ 1

^ * 2). (10)

На рис. 5 представлены теоретическая и асимптотическая функции квантилей распределения наименьшей случайной величины из выборки экспоненциально распределенной генеральной совокупности. Там же показана их невязка ДТ = Т - Т , для наглядности умноженная на 10.

н н н '

Нетрудно видеть, что разница ДТн между теоретическим и асимптотическим значениями для выборки минимального объема п = 2 в практически используемом диапазоне а е [0;0,2] не превышает 3%.

Таким образом, проведенный анализ не выявил противоречия в представлении функции квантилей порядковых статистик в виде асимптотической зависимости (9) теоретическим положениям и результатам вычислительного эксперимента. Он подтвердил достаточную точность метода для экстремального случая объема выборки п = 2. Результаты исследования могут служить основанием для практического использования предложенного подхода при подтверждении требований по безопасности и по надежности высоконадежных изделий в экстремальных случаях выборочных наблюдений, когда о характере распределения не известно ничего, кроме математического ожидания случайной величины.

_ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. ГОСТ Р 27.002-2009 (ГОСТ Р 53480-2009). Надежность в технике. Термины и определения.

2. Руководство по определению надежности изделий авиационной техники при их разработке, испытаниях и эксплуатации. Часть IV. Выпуск 41000. - МАП, МГА, МО СССР, 1972.

3. Летательные аппараты и безопасность полета / Под ред. А.А. Дьяченко. - М.: ВВИА им. проф. Н.Е.Жуковского, 1987. - 625 с.

4. Мартышенко Л.А., Воловик A.B., Клавдиев A.A. и др. Методы нормирования надежности сложных систем оружия. - Д.: МО, 1992. - 330 с.

5. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. Методы обработки данных. - М.: Мир, 1980. - 610 с.

6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -М.: Наука, 1984. - C. 635.

7. Ивченко Б.П., Мартыщенко Л.А., Табухов М.Е. Управление в экономических и социальных системах. Системный анализ. Принятие решений в условиях неопределенности. -СПб.: Нордмед-Издат, 2001. - 248 с. ЕШ

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ_

Воловик Александр Васильевич - кандидат технических наук, старший научный сотрудник, e-mail: [email protected], ОАО «Климов», Ефименко Сергей Владимирович - ассистент, e-mail: [email protected], Клавдиев Игорь Александрович - ассистент, e-mail: [email protected], Клавдиев Александр Александрович - кандидат технических наук, доцент, e-mail: [email protected],

Трушников Вячеслав Евстафьевич - доктор технических наук, доцент, e-mail: [email protected], Национальный минерально-сырьевой университет «Горный».

UDC 62.192: 519.718

DEFINITION OF INDICATORS OF RELIABILITY AT EXTREME SLU-CHAYAH OF SELECTIVE SUPERVISION COMPLEX TECHNICAL SYSTEMS

VolovikA.V., Candidate of Engineering Sciences, Senior Researcher, JSC «Klimov», e-mail: [email protected], Efimenko A.V., Assistant, e-mail: [email protected], Klavdiev I.A., Assistant, e-mail: [email protected],

KlavdievA.A., Candidate of Engineering Sciences, Assistant Professor, e-mail: [email protected], Trushnikov V.E., Doctor of Technical Sciences, Assistant Professor, e-mail: [email protected], National Mineral Resource University «University of Mines».

In article the analysis is carried out and the method of asymptotic representation of function of quantiles serial the statistician is reasonable. Researches of the offered method didn't reveal contradictions to theoretical provisions and results of computing experiment. The analysis confirmed the sufficient accuracy of its application for an extreme case of volume of selection that can form the basis for practical use of the offered approach at confirmation of requirements for safety and on reliability of highly reliable products in extreme cases of selective supervision when about nature of distribution of parameter it isn't known anything, except a population mean or its assessment.

Key words: entropy, serial statistics, operating time to the full, small selection, indicator, extremal, reliability, incident, safety.

REFERENCES

1. Nadezhnost' v tehnike. Terminy i opredelenija GOST R 27.002-2009 (Reliability in engineering. Terms and definitions. State Standart R 53480-2009).

2. Rukovodstvo po opredeleniju nadezhnosti izdelij aviacionnoj tehniki pri ih razrabotke, ispytanijah i jek-spluatacii (Manual on reliability assessment of aeronautical engineering products in design, test and operation), Part IV, Issue 41000, MAP, MGA, MO SSSR, 1972.

3. Letatel'nye apparaty i bezopasnost' poleta, Pod red. A.A. D'jachenko (Airborne vehicles and flight safety, D'jachenko A.A. (Ed.)), Moscow, VVIA im. prof. N.E.Zhukovskogo, 1987, 625 p.

4. Martyshhenko L.A., Volovik A.V., Klavdiev A.A. Metody normirovanija nadezhnosti slozhnyh sistem oruzhija (Normalization principles for complex weaponry reliability), Leningrad, MO, 1992, 330 p.

5. Dzhonson N., Lion F. Statistika i planirovanie jeksperimenta v tehnike i nauke. Metody obrabotki dan-nyh (Statistics and design of experiment in the technology and science. Data processing methods), Moscow, Mir, 1980, 610 p.

6. Korn G., Korn T. Spravochnik po matematike dlja nauchnyh rabotnikov i inzhenerov (Handbook on mathematics for scientists and engineers), Moscow, Nauka, 1984, pp. 635.

7. Ivchenko B.P., Martyshhenko L.A., Tabuhov M.E. Upravlenie v jekonomicheskih i social'nyh sistemah. Sistemnyj analiz. Prinjatie reshenij v uslovijah neopredelennosti (Economic and social system management. System analysis. Decision-making under uncertainty), Saint-Petersburg, Nordmed-Izdat, 2001, 248 p.