Информационностатистические методы оценки эффективности инвестиционных проектов Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

© А.А. Клавдиев, В.Е. Трушников, Д.А. Гаранин, С.В. Ефименко,

О.В. Вдовин, 2016

УДК 62.192: 519.718

А.А. Клавдиев, В.Е. Трушников, Д.А. Гаранин, С.В. Ефименко, О.В. Вдовин

ИНФОРМАЦИОННО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ

Предложены разнообразные постановки и подходы к решению задачи по оценке эффективности инвестиционных проектов с учетом различной информационной обеспеченности. Проведен анализ следующих постановок: стохастическое осреднение дохода, учет динамики спроса и предложения, статистическая постановка. Ключевые слова: доход, спрос, эффективность, энтропия, система массового обслуживания, информация.

Известно, что прибыль фирмы в условиях конкуренции определяется разницей между общей выручкой и общими затратами. Для планирования достижения оптимального уровня производства необходимо располагать информацией об общей выручке (сумме дохода, полученной фирмой от продажи данного объема произведенной продукции) TR.

В зависимости от располагаемых исходных данных, т.е. условий решаемой задачи, можно оказаться в различных информационных ситуациях, которым соответствуют свои постановки и оригинальные решения.

Стохастическое осреднение дохода

С математической точки зрения зависимость дохода, отнесенная к единице времени, определяется следующим образом

где Р(О) — функция цены спроса; Q — объем спроса на товар в единицу времени.

Очевидно, что в условиях конкуренции и динамичного рынка цена и объем спроса проявляют себя как случайные вели-

(1)

0

чины, законы распределения которых затруднительно идентифицировать. Поэтому представляется целесообразным с вероятностной точки зрения определить вероятность получения выручки TR не меньше заданной.

Если известна полная информация о законах распределения цены и объема спроса, эта вероятность может быть оценена в результате осреднения закона распределения цены спроса с учетом плотности распределения объема спроса

Р = | С(р)ф(р)йр,

(2)

где G(p) — закон распределения объема спроса; ф(р) — плотность распределения объема спроса, выраженная в цене товара; О — область определения случайной величины р.

Однако анализ реальной ситуации на рынке не позволяет достаточно надежно определить эти законы распределения. Ситуация может характеризоваться наличием полной информации о законе распределения объема спроса и неполной о законе распределения цены спроса и наоборот или наличием неполной информации об обоих законах. С другой стороны по результатам анализа равновесного состояния рынка можно определить средние значения цены спроса тр и объема спроса т^.

Очевидно, что с помощью зависимости (2) необходимо пред-

р

предварительно выбрать модель закона и (или) | ф(р)йр . При

такой постановке задачи для выбора G(p) целесообразно воспользоваться принципом максимума неопределенности [1].

Для описания закона распределения объема спроса воспользуемся распределением Рэлея

р

ф(р) = -^у ехр

Р

2а2

(3)

где а — параметр распределения, однозначно определяемый по выборке через математическое ожидание или дисперсию.

В качестве меры неопределенности выберем энтропию Шеннона (в дифференциальной форме) [2].

( \

Н = -

г ф(рЮ(р)

I г

0|ф(р)С(р)йр

1п

ф(рЮ(р)

г

|ф(р)С(р)йр

V 0

йр

(4)

и решаем вариационную задачу, обеспечивающую максимум

функционала (4) при дополнительных условиях:

( \

j q>(p)G(p) 1д

е J ш

0

0

j q>(p)G(p)dp

g(p)G(p)

00

jq>(p)G(p)dp

V 0

dp (5)

j [1 - G(p)] dp = j g(p)dp = 1; (6)

0 0

Учитывая тот факт, что величина

СО

p = j9(p)G(p)dp

0

может изменяться в пределах [0,1], то, задавшись требуемой точностью, поставленную задачу можно решить приближенным методом в такой последовательности. На первом шаге присвоим величине P минимальное положительное значение P . .

mm

Тогда функционал (4) примет следующий вид

00

Не = -j С q>(p)G(p) ln [q q>(p)G(p)] dp, (7)

0

1

где ci = ■

min

Согласно известным теоремам вариационного исчисления для нахождения экстремали G*(p) в условиях (5) и (6) необходимо максимизировать выражение

L = -c1 q>(p)G(p) ln [c1 9(p)G(p)] - vg(p) - v2g(p)p,

где v1, v2 — неопределенные множители Лагранжа.

Для составления уравнения Эйлера предварительно определим соответствующие частные производные от функции Ла-гранжа: ^L

— = -с1 ф(р) ln [c1 q<p)G(p)] - с1ф(р); dG

dL

-Z- = -V1 - V2p . dg

Это приводит к уравнению Эйлера для экстремали

с1 ф(р) ln [с q<p)G(p)] + с1ф(р) - v2 = 0 (8)

Из уравнения (8) после очевидных алгебраических преобразований получаем искомое выражение для экстремали в следующем виде

С*(р)=

1

с1ф(р)

ехр

с1ф(р)

-1

(9)

Используя условие (5) можно определить v2. На каждом последующем шаге, осуществляя приращение параметра е{ — е;-1 + + Ае, по зависимости (9) определяем экстремаль G*(p). Затем на основании критерия

Н/ = та х {Ие/}

1=1,п 4 '

получаем искомое выражение экстремали G*(r). И, следовательно, вероятность (2) при соответствующих исходных данных может быть оценена путем вычисления интеграла вида

Р = —

с.

А Г

11

1 0

ехр

с1ф(р)

-1

йр.

(10)

Описанная статичная постановка, очевидно, малопригодна для прогнозирования и может служить лишь для оценки вариантов, экономические характеристики которых фиксированы во времени. Для решения прогностических задач рассмотрим динамическую постановку.

Учет динамики спроса и предложения

Формализация процесса динамического взаимодействия рыночных понятий «спрос-предложение» может быть осуществлена в терминах теории систем массового обслуживания (СМО). Для этого достаточно интерпретировать известные положения теории СМО к рассматриваемой задаче [3]. Так, например, положим, что процесс удовлетворения спроса предложениями представим в виде обслуживания поступающих требований. Для формализации в терминах СМО соответствующие потоки требований и обслуживаний должны удовлетворять известным требованиям:

• ординарности (события появления требований и их обслуживания проявляются «поодиночке»);

• без последействия (число событий, попадающих на любой интервал времени, не зависит от того, сколько событий попало на любой другой, непересекающийся с ним интервал);

О стационарности в данном случае речь не идет, т.к. нас интересуют именно динамические характеристики системы. Наи-

более разработанным в сформулированных условиях является аппарат систем массового обслуживания (СМО), допускающий аналитические решения в случае простейших потоков требований и обслуживания. Одной из характеристик СМО является вероятность пребывания ее в свободном состоянии. В терминах формулируемой задачи она будет означать вероятность существования неудовлетворенного спроса на продукцию данного вида. Тогда при дисциплине обслуживания «с отказами» аналитическое решение для данной вероятности может быть записано в виде [3]

где X — интенсивность спроса на товар; ц — интенсивность его удовлетворения.

Интенсивности в выражении (11) в сформулированных условиях представляют собой величины, обратные средним значениям числа спросов на товар и числа его продаж (удовлетворения), получаемых от торгующих организаций.

Зависимость (11) экспоненциальная во времени и достигает стационарного решения в установившемся режиме. Для оценки эффективности инвестиций, прежде всего, интересуют задачи прогнозного характера. Поэтому для них представляет интерес нестационарная (динамичная) область решений как функция времени.

Статистическая постановка

Как показывает практика, реалии рынка гораздо сложнее и более насыщены неопределенными факторами. Поэтому, представление процесса принятия инвестиционного решения с позиций теории математической статистики выглядит более объективным.

Традиционными критериями принятия статистических решений являются ошибки первого и второго рода. Для инвестиций, в частности, они означают последствия, выраженные в упущенной выгоде или прямых потерях вплоть до разорения.

Есть мнение, что принципиальное отличие стратегической задачи аналитических служб (в отличие от прочих подразделений инвестиционных компаний) — не увеличение прибыли, а минимизация возможных потерь.

При наличии данных о распределениях спроса и предложения имеется возможность принятия статистических решений.

Р(0 =

(11)

р(х)

Спрос

ПА

о

V

х

Статистическое принятие инвестиционного решения

Для этого достаточно представить, что инвестиционный процесс можно рассматривать в терминах статистической постановки. Пусть случайный спрос на товар характеризуется плотностью распределенияДх). В то же время, случайное предложение данного товара может быть описано с помощью плотности распределения q(x). Тогда принятие решения сопровождается некоторыми рисками, которые могут быть представлены в терминах теории принятия статистических решений. Графически такой процесс может быть интерпретирован рисунком.

Как видно из рисунка, идеальной для инвестора является ситуация, когда спрос на инвестицию и предложение по некоторому параметру или параметрам совпадают (равновесное состояние) не только в фиксированных значениях, но и по их рассеиванию. В этом случае ни одна из сторон не рискует и не терпит убытков. Две другие крайности характеризуются либо полным покрытием существующего спроса гарантированным предложением с неминуемым избытком, либо превышением спроса над предложением, порождающим дефицит.

Реальное состояние рынка характеризуется не только различным рассеиванием, но и смещением распределений спроса и предложения, что и показано на рисунке.

В соответствии с известными положениями теории принятия статистических решений, произведя финансовые вложения объемом V, инвестор рискует понести потери из-за недовложения средств с вероятностью

(12)

или из-за неучета части спроса с вероятностью

да

Р = | / (хМх . (13)

V

В статистических решениях часто приходится идти на компромисс между приемлемым уровнем ошибок первого (12) и второго (13) рода, для инвестиций означающий равновесное состояние.

Таким образом, в данной постановке решение зависит от того, насколько точно представлены законы распределения /х) и q(x).

Теория принятия статистических решений по малому числу наблюдений, для многих задач которой типична неасимптотическая постановка проблем, в настоящее время еще нуждается в научном обосновании и разработке. Сложность постановки и решения задач построения наилучших оценок при данном объеме статистического материала обусловлена тем обстоятельством, что искомое решение часто в сильной степени зависит от конкретного типа распределения, объема выборки и не может быть объектом достаточно общей математической теории.

Сформулированной проблеме в последние годы уделяется повышенное внимание. Предлагаются различные методы и подходы решения, основанные на тех или иных допущениях. Однако, более объективным следует признать направление, использующее принцип максимального извлечения информации о свойствах исследуемого объекта из имеющихся, хотя и немногочисленных, опытных данных.

В последнее время получил развитие подход к решению данной задачи, который предполагает построение ш-критериев согласия, инвариантных к параметрам законов распределения [3, 4], так как по малым выборкам практически всегда можно сформировать такую статистику, которая будет зависеть только от стандартных случайных величин (нормальных, равномерно распределенных, экспоненциальных и др.) и не будет зависеть от параметров распределения генеральной совокупности. Для иллюстрации этого положения рассмотрим пример построения ш-статистики по малым выборкам из экспоненциального распределения.

Более эффективным в сформулированных условиях является подход, основанный на применении непараметрических статистик и элементов теории стохастической индикации [5]. В его основе лежит понятие стохастического супериндикатора.

Определение. Стохастический супериндикатор S представляет собой выражение, определившее вероятность события, исход которого зависит от соотношения двух или нескольких случайных величин.

Можно показать, что решение подобных задач для других распределений генеральных совокупностей не вызывает принципиальных затруднений в том числе методом статистических испытаний. Таким образом, изложенные подходы к построению моделей оценки эффективности инвестиционных проектов охватывают широкий спектр информационных ситуаций и позволяют получать приемлемые решения в условиях высокой неопределенности при весьма ограниченной информации.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ивченко Б.П., Мартыщенко Л.А., Монастырский М.Л. Теоретические основы информационно-статистического анализа сложных систем. - СПб.: Лань, 1997. - 320 с.

2. Ивченко Б.П., Мартыщенко Л.А., Иванцов И.Б. Информационная микроэкономика. Часть 1. Методы анализа и прогнозирования. — СПб.: Нордмед-Издат, 1997. — 160 с.

3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. — М.: Наука, 1988. — 480 с.

4. Ивченко Б.П., Мартыщенко Л.А., Табухов М.Е. Управление в экономических и социальных системах. — СПб.: Нордмед-Издат, 2001. — 248 с.

5. Клавдиев А.А., Пасевич В. Адаптивные технологии информационно-вероятностного анализа транспортных систем. — СПб., СЗТУ, 2009. — С. 305. ЕШ

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ

Клавдиев Александр Александрович1 — кандидат технических наук, доцент, e-mail: kssl959@mail.ru, Трушников Вячеслав Евстафьевич1 — доктор технических наук, профессор, e-mail: tvye@yandex.ru, Гаранин Дмитрий Анатольевич2 — кандидат экономических наук, доцент, e-mail: garanin@kafedrapik.ru, Ефименко Сергей Владимирович1 — ассистент, e-mail: falcon.sergey@yandex.ru. Вдовин Олег Викторович2 — ассистент, e-mail: ovvdovin@yandex.ru,

1 Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»,

2 Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого.

UDC 62.192: 519.718

A.A. Klavdiev, V.E. Trushnikov, D.A. Garanin, S.V. Efimenko, O.V. Vdovin

INFORMATION AND STATISTICAL METHODS OF THE ASSESSMENT OF EFFICIENCY OF INVESTMENT PROJECTS

In article various statements and approaches to the solution of a task on estimates of efficiency of investment projects taking into account various information security are offered. The analysis of the following productions: stochastic averaging of income, taking into account the dynamics of supply and demand, statistical formulation.

Key words: income, demand, efficiency, entropy, system of mass service, information.

AUTHORS

Klavdiev A.A.1, Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor, e-mail: kss1959@mail.ru,

Trushnikov V.E.1, Doctor of Technical Sciences, Professor, e-mail: tvye@yandex.ru, Garanin D.A.2, Candidate of Economical Sciences, Assistant Professor, e-mail: garanin@kafedrapik.ru,

Efimenko ¿".V.1, Assistant, e-mail: falcon.sergey@yandex.ru. Vdovin O.V.1, Assistant, e-mail: ovvdovin@yandex.ru, 1 National Mineral Resource University «University of Mines», 199106, Saint-Petersburg, Russia,

1 Peter the Great St.-Petersburg Polytechnic University, Saint-Petersburg, Russia.

REFERENCES

1. Ivchenko B.P., Martyshchenko L.A., Monastyrskiy M.L. Teoreticheskie osnovy in-formatsionno-statisticheskogo analiza slozhnykh sistem (Theoretical background of infor-mation-and-statistical analysis of complex systems), Saint-Petersburg, Lan', 1997, 320 p.

2. Ivchenko B.P., Martyshchenko L.A., Ivantsov I.B. Informatsionnaya mikroekono-mika. Chast' 1. Metody analiza i prognozirovaniya (Information microeconomics. Part 1. Analysis and prediction methods), Saint-Petersburg, Nordmed-Izdat, 1997, 160 p.

3. Venttsel' E.S., Ovcharov L.A. Teoriya veroyatnostey i ee inzhenernye prilozheniya (The theory of probability and engineering applications), Moscow, Nauka, 1988, 480 p.

4. Ivchenko B.P., Martyshchenko L.A., Tabukhov M.E. Upravlenie v ekonomicheskikh i sotsial'nykh sistemakh (Management in economic and social systems), Saint-Petersburg, Nordmed-Izdat, 2001, 248 p.

5. Klavdiev A.A., Pasevich V. Adaptivnye tekhnologii informatsionno-veroyatnostnogo analiza transportnykh sistem (Adaptive technologies of information-and-probabilistic analysis of transport systems), Saint-Petersburg, SZTU, 2009, p. 305.

A

I КОРПУС ГОРНЫХ ИНЖЕНЕРОВ, ЭТО:

1. Продуманная модель устройства жизни и работы технической интеллигенции от вуза до могилы.