CC BY
3Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil
"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year
Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИМЕНЕНИЯ АЛГОРИТМОВ ФИЛЬТРА КАЛМАНА ДЛЯ ОБНАРУЖЕНИЯ ОШИБОК В АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
I
ВВЕДЕНИЕ. Сегодня технический контроль и оценка автоматических систем является одним из последовательно развивающихся научных направлений. Состояние, важность и надежность сложных технологических систем выделяются среди основных вопросов производства. Одновременно с теоретическими исследованиями в области технической анализ ведутся научные-прикладные работы по организации диагностирования разнообразных систем управления и других технических систем [1, 3, 6].
Современные системы оценки включают в себя измерительные приборы, которые
Отакулов Ойбек Хамдамович,
кандидат технических наук, доцент, Ферганский филиал Ташкентского университета информационных технологий имени Мухаммада аль-Хорезми, Фергана, Узбекистан E-mail: [email protected]
Азамхонов Баходир Саиткамолхонович,
старший преподаватель Ферганский филиал Ташкентского университета информационных технологий имени Мухаммада аль-Хорезми, Фергана, Узбекистан E-mail: [email protected]
Набиев Искандар Фарходжон угли,
студент, Ферганский филиал Ташкентского университета информационных технологий имени Мухаммада аль-Хорезми, Фергана, Узбекистан E-mail: [email protected]
предоставляют информацию об основных показателях тестируемых систем и универсальные устройства, позволяющие реализовать очень сложные алгоритмы автоматического управления.
Традиционные методы диагностирования [1] позволяют получать во многих случаях адекватные результаты решения задач управления динамическими объектами. Однако, есть большой класс решаемых задач, для которых использование только традиционных методов современной теории управления не дает решения. С этим можно столкнуться при управлении динамическими объектами, например, летательными аппаратами. Их функциональные системы подвергаются
286
Аннотация. Рассматриваются вопросы построения оптималных алгоритмы оценивание автоматических систем по последовательности фильтра Калмана. Приведенные выражения позволяют стабилизировать процедуру оптимального оценивания параметров и состояния объектов управления.
Ключевые слова: объекты управления, оптимальные оценивание параметров и состояния, фильтр Калмана
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil
"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year
Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год
отказам, и на них влияет внешняя среда [2]. Поэтому специалисты проявляют значительный интерес разрабатывая САУ- системы автоматического управления летательными аппаратами, являющимися устойчивыми к отказам. Такие системы называются отказоустойчивыми САУ [3].
Уже есть некоторый опыт в создании таких отказоустойчивых систем. Однако имеющиеся структурные и параметрические подходы к обеспечению отказоустойчивости САУ не идентифицируют системные принципы самоорганизации и полностью не используют множество разнообразных средств для сохранения работоспособности САУ когда появляются отказы в функциональных элементах. Устранить указанные недостатки можно при помощи системного подхода к обеспечению отказоустойчивости САУ, который соединяет две взаимосвязанные задачи. Первой является задача основательного диагностирования технического состояния САУ, а второй - гибкое восстановление работоспособности.
Первая задача диагностирования технического состояния САУ использует сигнально-параметрический подход, который заключается в том, что диагностирование делится на четыре подзадачи. Это обнаружение отказа, поиск места отказа, установление класса отказа и определение вида отказа. Все эти подзадачи взаимосвязаны между собой.
МЕТОДЫ. Для каждой из подзадач строят ДМ - диагностические модели. Эти методы представляют собой особый класс математических моделей, связывающих как прямые, так и косвенные признаки отказов. Затем диагностические модели объединяются в иерархию. На каждом уровне иерархии находятся определенные диагностические модели, нижний уровень содержит диагностические модели определения видов отказа, верхний уровень -диагностические модели обнаружения отказа.[1-10]
Пусть проверим линейное математическое уравнение, заданное уравнением состояния
х(к + 1) = ф(к +1, к)х(к) + в(к +1, к)Цк) ^
и измерений
г(к ) = Н (к )л(к) + у(к) ^
Предполагаем, что случайные векторы у(к)
и ) представляют собою гауссовский шум. Их средние значения и ковариации равны Е[у(к)] = 0;
Е[Ук У 0)] = е(к )з(к/); (3)
Е[у(к)] = 0; Е[у(к >т (])] = я(к )ё(к]);
Е[у(к >т (] )] = 0, (4)
где
e
оператор статистического • S(kj )-
усреднения; T -знак транспонирования дельта-функция Кронекера: il, k = 1,
S(kj) =
Здесь
0, k ф j.
(5)
р(к /к -1) = Ф(к, к - 1)р(к -1 /к - 1)ФТ (к, к -1)+о(к, к -1рт (к,к -1) . (6)
р(к -1 / к -1)-где ковариационная матрица
ошибок оценок на предыдущем шаге. Оценка вектора состояния
(к / к )
и
P(k / k )
матрица ошибок оценок р к / к могут быть найдены с помощью моделью Калмана следующего вида [5]:
Х(к / к ) = Х(к / к -1) + К (к )д(к) ^
К (к) = Р(к / к - 1)НТ (к )[Н (к )р(к / к - 1)НТ (к) + я(к )]-1 , 8)
Р(к / к) = [I - К (к)Н (к)]Р(к / к -1) (9)
где К (к) матричный коэффициент усиления фильтра Калмана; 1 - единичная матрица.
С целью обнаружения отказов удобнее использовать нормализованную обновляющую последовательность [3,4]
287
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil
"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year
Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год
~(k ) = [H (k )p(k / k -1)ht (k )+R{k )]-&(k )
(10)
потому что в этом случае E[~(k )~T (j )] = P& = Iô(kj )
(11)
Методы проверки соответствия
последовательности белому шуму и выявления изменения ее математического аппарата рассмотрены в [5]. С целью проверки матрицы
обновляющей модели ~) в [3,4] предлагается использовать след выборочной матрицы
5 =
1
M -
M — —
[Щ-
1 k=1
к=1 (12) РЕЗУЛЬТАТЫ. В рассмотрим метод проверки матрицы последовательности восстановления, в которой отсутствует указанная ошибка, и несколько рекомендаций по максимально быстрому обнаружению ошибок.
С этой целью предлагается использовать параметру вида [6]:
1ГРП
л =
(13)
LTA-'L
где
A = (M -1)5 -
матрица Ушарта;
L -
любой фиксированный вектор. Так как матрицы P ~
~ и A положительно определены и A
имеет
[A<X)W ( P M )] ;
распределение Ушарта А , то л
У
M - s+1
распределена по закону м 4+1 для любого фиксированного вектора Ь [6,9]. Этот результат позволяет свести исследование многомерного распределения Ушата к рассмотрению
одномерного - распределения.
В качестве вектора Ь используем
I/ =(1,1,...,1) т единичный вектор 4 4 '. Т огда
I TP -11
S s 2 -~ y
J T д-1 J AM-s+1
(14)
Учитывая,
что
IsTP&Is = S
и
HA-'I, -££
i=1 j=1
a. .. -
где, i j элементы матрицы
A 1, проверку ковариационной матрицы сведем к проверке статистики
II
M - s +1
a .
ij
i =1 j =1 В случае ковариационная матрица
(15)
отказа выборочная A / (M -1) не будет
соответствовать единичной матрице и
yM -
s+1
стремится превысить табличное значение для заданного уровня значимости.
Необходимые условия максимума величины
Х(Ь) :дЯ(Ь) / дЬ = 0. Как известно [28], для
симметричной матрицы У обратная к ней У 1 также симметрична. Если У положительно
V-1
определена, то это же верно для матрицы 1 .
Так как А и А симметричные и положительно определенные матрицы, то из
„-1 рД1 -
сказанного следует, что матрицы А и А тоже симметричны и положительно определены. Тогда, дифференцируя (1) по Ь, с учетом
Рд1 л-1
симметричности матриц А и А получим
2DP-1L - 2CA lL
DT
где L A-1 L = D ■
5
Отсюда
= 0
LTP-L = C
(16)
(17)
DP -1L - CA- L = 0
&
(18)
Учитывая, что D ф 0, перепишем (14 ) в виде уравнения
P~L -(C/D)A-'L = 0
(19)
288
s s
s
2
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil
"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year
Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год
Выражение (15) (являющееся и достаточным условием) определяет оптимальный L
вектор
, для которого
X(L ) = X =
V опт / max
lLP-L.
опт д опт
тТ
опт
lta-l
( - л
ID J
Тогда (15) можно записать в виде P-L = ÄA-'L X = X
Д X Xmax
(20)
Уравнение (16) перепишем в эквивалентной
форме:
AP -L = XL
(21)
Модель однородных нелинейных уравнений (17) имеет нетривиальное решение при
AP - -XI
д
= 0
(22)
Корни уравнения (22) Х,.",Х являются
собственными числами матрицы
AP -1
Для каждого собственного числа из
(16) может быть найден собственный вектор 11,..., к
причем
LTP-1L =XLT A-lL
i Д i II i
L
a
Наилучший вектор опт есть собственный
АР
вектор матрицы А (в данном случае матрицы Р~ = Iч
, поскольку А ) соответствующий
максимальному собственному значению этой матрицы.
Р
Так как матрицы А и А - симметрические
АР -
и положительно определенные, то матрица А имеет вещественные собственные векторы и вещественные собственные значения. Отсюда следует, что из уравнений (17) - (18) можно найти аналитически или численно оптимальный вектор
копт, обеспечивающий максимум отношения двух квадратичных форм 13.
ВЫВОДЫ. В данном статье рассмотрены вопросы обнаружения неисправностей в автоматических системах при различных помеха-
сигнальных условиях их функционирования. Известны различные способы дифференцирования приближенно заданной функции. В [9] приводятся алгоритмы численного дифференцирования с использованием алгебраических многочленов наилучшего приближения, а также устойчивых формул максимального порядка. Получили распространение в задаче численного дифференцирования также алгоритмы, основанные на разложении искомого решения по собственным функциям дифференциального оператора, применении дискретного преобразования Фурье, приближении экспериментальной информации кубическими сплайн функциями, а также различные способы сглаживания исходных значений функции.
Для устойчивого дифференцирования приближено заданной функции можно использовать также идеи «шаговой регуляризации» [8]. Приведенные выражения позволяют стабилизировать процедуру
устойчивого оценивания параметров и состояния нелинейных объектов управления по модели Калмана. Приведенные алгоритмы оказываются эффективными при обнаружении изменений, сильно влияющих на статистические характеристики обновляющей
последовательности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Мироновский Л.А. Функциональное диагностирование динамических систем: Научное издание / С.Пб., 1998. -266 с.
2. Пельцвергер С.Б. Алгоритмическое обеспечение процессов оценивания в динамических системах в условиях неопределенности. -М.: Наука, 2004. - 126 с.
3. Жирабок А.Н. Алгоритмы диагностирования линейных автоматических систем// Электронное моделирование. 1992. №6. -С.57-60.
289
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil
"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year
Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год
4. Фомин В.Н. Оптимальная и адаптивная фильтрация. СПб.: Издательство Санкт-Петербургского университета, 2003.- 410 с.
5. Синицын И.Н. Фильтры Калмана и Пугачева. -М.: Университетская книга; Логос, 2006. - 640 с.
6. Джиган В.И Адаптивная фильтрация сигналов: теория и алгоритмы. -М.: Техносфера, 2013 -528 с.
7. Измаилов А.Ф., Третьяков А.А. Регулярные решения нелинейных задач. Теория и численные методы. Издательство: Физико-математическая литература, 1999 г.
8. Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи, М.: Наука, 1995. -308 с.
9. Simon D. Optimal State Estimation Kaiman, H-infinity and Nonlinear Approaches. Hoboken, NJ: Wiley, 2006. -526 pp.
10. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы. - М., 2003. -278с.
290
