Sobolevning fazosida Abel umumlashgan integral tenglamasini yechish uchun optimal koeffitsiyentlar va optimal kvadratur formulaning normasi Текст научной статьи по специальности «Математика»

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год

L(2V o t )

Sobolevning 2 v ' 7 fazosida Abel umumlashgan integral tenglamasini yechish uchun optimal koeffitsiyentlar va optimal kvadratur formulaning normasi

B.S. Daliev,

Toshkent axborot texnologiyalari universiteti Farg'ona filiali

bahtiyordaliyev@gmail .com

Annotatsiya Ushbu maqolada Sobolev fazosidagi Abelning umumlashgan integral tenglamasini taqribiy yechish uchun vaznli murakkab optimal kvadratur formula qurilgan. Bu kvadratur formulaning optimal koeffitsiyentlari topilgan. Bundan tashqari, qurilgan vaznli murakkab optimal kvadratur formulaning normasi topilgan.

Kalit so'zlar: Integral tenglama, optimal kvadratur formula, xatolik funksionali, norma, optimal koeffitsiyentlar

Kirish

Umumlashgan Abel integral tenglamasi birinchi turdagi Volterra chiziqli integral tenglamasining xususiy holidir. Umumlashgan Abel tenglamasi bevosita fizika, mexanika va boshqa fanlarning biror aniq masalasiga olib keluvchi integral tenglamalardan biridir. Differentsial tenglamalarga oid ko'pgina masalalarni integral tenglamalarning qiymatlaridan keltirib chiqarish mumkin. Bugungi kunda tabiatshunoslikning ko'pgina sohalarida Abel tipidagi chiziqli integral tenglamalarni yechishga olib keluvchi masalalar keng tarqalgan. Abel tipidagi tenglamalarga har doim alohida e'tibor berilgan. Bir qator ishlar ushbu sinf tenglamalari yechimlarining mavjudligi, yagonaligi, turg'unligiga bag'ishlangan. Bugungi kunga kelib Abel tipidagi birinchi tur integral tenglamalarni sonli yechishga bir qator yondashuvlar ishlab chiqilgan va keng qo'llanilmoqda.

Shuni ta'kidlash joizki, S.L.Sobolev, V.L.Vaskevich va H.M.Shadimetov [1-3] larning ishlarida panjarali kvadratur va kubatur formulalarni optimallashtirish masalasi ko'rib chiqilgan. V.V. Ivanov [4,5] ning ishlarida singulyar integrallarni hisoblashni optimallashtirish masalalari ko'rib chiqilgan. Regulyar va singulyar integrallarni taqribiy hisoblash uchun optimal formulalarni qurish B.G.Gabdulxaev [6], I.V.Boykov [7], M.I.Israilov, H.M.Shadimetov, A.R.Hayotovlarning ishlarida davom ettirilgan[8-9].

Ushbu maqolada umumlashgan Abel integral tenglamasini taqribiy yechish uchun optimal kvadratur formula qurish va ularning xatolik funksionallarini differensiallanuvchi funksiyalar sinflarda normalarini hisoblangan.

Ma' lumki ushbu

/(x)

= f

J 0

<p(s)ds (x-s)a>

0 < a < 1

tenglama Abelning umumlashgan integral tenglamasi deyiladi. Bu yerda f ( x) -mahlum funksiya, s) esa integral ostidagi nomahlum funksiya.

L(2)(0 t)

2 v ' J fazoda optimal koeffitsiyentlar optimal kvadratur formulaning normasi

Ushbu bo'limda P = 0 va m = 1 holida topilgan optimal koeffitsiyentlar, yahni

va

C(0)[0] = —4

ta h

-( (t - h)a+1 - ta+1 ), a a(a + 1)v 7 ^^

с (0)[/?] = —- [(/ -Kß+\ )Г+1 - 2{t - hßT1 + (t- Kß -1 )Г+1 ],

rvl /-V _1_ M L -I

a(a +1)

(2)

ß = 1,2,...,N -1.

С(0)[ЛГ| =

ha

a(a +1)

(3)

46

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год

formulalar bilan aniqlanuvchi

koeffitsiyentlarni ushbu formulaga qo'yib,

I ¡NI Éf y- {-miiS&'W'm-iy GT'xp-я -

ß=0 ß'=0 r=0 r'=0

N p

-2ZZ(-!)VC {V\ß]f!n\ß] + Km ]

ß=0v=0 (4)

xatolik funksionali normasining kvadrati uchun hosil qilingan ifodani P ^ va w — 2 holida

C [ßl ^ = 0^v..,Nkoeffitsiyentlar bo'yicha minimumlashtiramiz.

Bu holda biz quyidagi kvadratur formulani qaraymiz

1

1 p(x)dx о (t - x)l~a

N

X c{\ß](p[ß}+c{lXßwm

ß=0 V

(5)

U holda (4) xatolik funksionali normasi kvadratining ko'rinishi quyidagicha bo'ladi

N N 1 1

^ I42' II

P'=0ß=0v=0v'=0

N 1

t

2a+3

-2XX(-1)V C {v)[ß]f(v)[ß] + _ „

ß-OPO [a + 3]!(2a + 3)

(6)

Bu yerda

3—v—v'

G(v+y,)( x ) = ^-Slgnx-

2(3 -v — v ' )!'

v '^ „Л _ (hß - hß)3-v-v ' sign(hß - hß)

G2v+v )[ß-ß ] =

2(3 -v-vf )!

f?\ßl=- I (-1)V+ (hß)3 V ■ (t - hß)

3-v+a

(7)

2 j0 (3- j-v)![a + j]! [a + 3-v]!

[a + 3] ! = a(a + 1)(a + 2)(a + 3),

[a + j ]! = a(a + 1)...(a + j ),

[a + 3 - v] ! = a(a + 1)...(a + 3 - v),

Bu holda

(lN(x),xk) = 0, k = 0,1,...,m -1

shartlar quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi

N

Г

a

ß=0

(8)

N

N

,a-v 1

ß=0

ß=0

a(a +1)

(9)

N

a+1

ß=0 ( ) ni hisobga

olsak

N

Sc(V] = o.

(10)

С (0)г вл

Shunday qilib, J (6) norma kvadratini

C (1)[ß]

(10) shart asosida koeffitsiyentlar bo'yicha

minimumlashtiramiz. Buning uchun, odatdagidek Lagranj funksiyasini tuzamiz

A(C(1)[/?UHKJ42)||2 +2 Л

N

Yfil)[ß]- о

Kß=° J

Xususiy hosilalarni hisoblab va nolga tenglab, quyidagini topamiz

ал (C (1)[ßU)

dC (1)[ß]

= 0, ß = 0,1,...,N,

ал (C (1)[ßU) _

d\

= 0

СШГ/Л ;

Bu tengliklar bizga va Л1 larni

aniqlash uchun chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini beradi

a^\hß~hß'\ , Âi = + ^ с '»'[^j V'ß - hß'fsignjhß - hß') ^

47

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год

N

Ec",[/S]=о.

ß=0

Belgilash kiritamiz

ß=0

(11)

bu yerda

f^m = 1f(-1) (hß) Jta+J , (t - hß)2+a

f LßJ 2(2- j)![a + j]! [a + 2]! ,

Cm[ß], £ = 0,1,...,N

lar esa (1)-(3)

formulalardan aniqlanadi.

kßtm, da с'»t/?]=o deb olib)

sistemani svyortka tenglama ko'rinishda yozamiz

С (1)[ß] * ^^ + Äi= FJß], ß = 0,l

hß

2

(12)

C(1)[ß] = 0, h߀[0,t],

(13)

N

Sc(V] = o.

ß=0 (14)

Belgilash kiritamiz

Ma' lumki

V[ß] = Fß hß e[0,t].

Endi [0, t] kesmadan tashqarida V[ß] ni

aniqlaymiz. hß < 0 olib

hß\

bo'lsin, u holda (14) ni hisobga

j Jf .. 1 N ..

nßl = --Zc mirW - + Л: = -£c n\rWir) + Л: = er-,

2 у=0 2 у=0

hß > t bo'lsin, u holda (14) ga asosan

1 N , 1 N о

ПР\ = -ZC '11ЬШ - hy) + Лг = -£c111y](hy) + Л: = ,

2 у=0 2 у=0

Shunday qilib

V [ß]

a-, ири hß < 0, F[ß], ири hß e[0,t], a+, ири hß > t,

buyerda va lar noma'lumlar.

о

сп>г/л

koeffitsiyentlar quyidagi formula bo'yicha aniqlanadi

(13) shartga ko'ra

hDß * V[ß] = 0, hß g [0,t].

(15) Ushbu

0, | ß |> 2, D[ß] = \h "2, l ßl=1, -2h"2, ß = 0.

operatordan hisoblaymiz

foydalanib, svyortkani

D[ß] * V[ß] = h~zV[ß -1] - 2h V[ß] + h~zV[ß +1]

- +

Bundan 0 va 0 larni aniqlash uchun (15) ga asosan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz

V [-2] - 2 V [-1] + V [0] = 0, V [ N ] - 2V [ N +1] + V [ N + 2] = 0.

Bu yerda

V [-2] = a-, V[-1] = a-, V[0] = FJ0], V[ N ] = F[N ], V[ N +1] = a0+, V [ N + 2] = a+,

U holda a- = FJ0L a+ = FJN]. Soddalashtirishlardan so'ng

48

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год

F[0] =

2[a + 2]! Z 4 , (16)

a+2 n (О):

F[ N ] =

+Z

2[a + 2]! Z

с'лтгг

4

(17)

Bu yerdan quyidagi kelib chiqadi

_ a+ + a- _

Ca\ß]

2 (18)

hß G[0, t] optimal

koeffitsiyentlarni hisoblashga o'tamiz. u holda

iz ß = 0

bo'lsin,

c(1)[0] = Ä(A[-iF[-i]+A[0F[0]+A[iF[i])

= h ( h2 F[0] - 2h-2 F[0]+h2 F [ 1 ]) = h-1 ( F[1] - F[0]), Shunday qilib

C(1)[0] = r1(F1[l]-F1[0]).

(19)

Shuningdek

С11 »[TV] = h(Dl[-W[N +1] + Dj[0]F[7V] + Д [1]F[7V -1]) =

= h (hr2F[N] - 2hr2F[N] + h-2F[N -1]) = h- (F [N -1] - F[N]). Bundan (16) va (17) larga asosan

С W[N] = h~l (F\N -1] + FJO]).

(20)

Cw[ß] ß = 1,2,...,7V-1

?

koeffitsiyentlarni hisoblaymiz:

optimal

С a\ß] = hD№*nß] = Л(Д[-1]Г[/? +1] +Д[0]Г[/?] + Д[1]Г[/? -1]) =

h"1 ( F[ß +1] - 2 F[ß] + F[ß-1]) Shunday qilib

С( V] = h~l {Fx[ß +1] - 2 F№ + Fx[ß -1]). (21)

Biz quyidagi lemmani isbotladik. L(2)(0 t)

1-lemma. 2 v ' J fazoda ushbu yagona optimal kvadratur formula mavjud

p(x)dx

0 (t - x) (22)

. f{c *XßMß] + с( W[/?]

ß=0 1

bu formulaning ^ va ^

ß = 0,1,...,N koeffitsiyentlari (1)-(3) va (19)-(21) formulalardan aniqlanadi.

С (1)Г01 С (1)ГАП

va optimal koeffitsiyentlar

uchun oxirgi ifodani olish uchun 4[1] va F1[ N 1] larni qiymatlarini hisoblaymiz.

(11) formuldan,

ß = 1

bo'lganda

Z

2 j=0(2-j)![a+j]! [a + 2]! ß=0

1 -tft* hta

2 2a a(a + 1) a(a + 1)(a + 2)

. + С |0|[0]—- -Vc m[ß%h - hß')2.

[a + 2]! []2 4 Z ß]( ß)

Bu yerdan

TV о

Ec"V]=-

ß=0 a

w „

Xc(0}[ß](hß) ß=0

formulalardan soddalashtirishlardan so'ng

t

a+1

a(a +1) foydalanib,

ayrim

fi{ i]--^___

a(a +1) 2[a + 2]! [a + 2]! 2a(a +1) 4 ß=0

U holda (16) va (19) larga asosan

С (1)[0] = h~l yoki

(t - h)2+a - ta+2 h((t - h)a+1 + о

[a + 2]!

2[a + 1]!

49

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год

(Dr^_{t-h)2+a -ta+1 , (t-h)a+l+ta+l

h[a + 2]!

2[a +1]!

Cu;[0] = (23)

Lopital qoidasini qo'llab, quyidagigi ega bo'lamiz

о r j. 1 \2+a ,a+ 2 f. ] \a+l , ,a+1 /. i \a+l ,a+1

h[a + 2]! 2[a +1]! ь^ч [a +1]! [a +1]!

Demak

HmC(1)[0] = 0

N 1]ifodani soddalashtirishga o'tamiz. (11) formulaga asosan, ß N 1 bo'lganda

m l]_1^(-1)J+1(h(N -1))2-Jta+J | (t - h( N - 1))a+2 +

' j=0

(2 - j)![a + j]!

[a + 2]!

+ -

N n

£ С. m[ß%h(N -1 ) - hß')2 sign(h(N -1 ) - hß').

4 ß=0

sign(h(N -1) - hß') ishorani ni hisobga olib

va

h =

N

F[ N -1] =

-(t - h)2ta ^ (t - h)t

a+1

+a+2

2a

[a +1]! [a + 2]!

+

Ua+2 7 2 0 1 N о

+—--^C M[N] + ^ E C (0)[№ -h-hß')

2

[a + 2]! 2 Bu yerdan

Ci0)[N] =

ß'=0

hc

N

N

a(a +1)

a+1

I с'"[/?]=-,

ß=0 a

ß=0 a(a +1)

formulalarga asosan

f [ n -1] = -

ha

2(a + 1)(a + 2) 2[a + 2]! 4 ß=0

,a+2 1 N

1 с <yp]{hß-y.

(16) ga asosan , (20) formulani quyidagi ko'rinishda yozamiz

С(1)[ЛГ] =

(24)

Ko'rish mumkinki

h

a+1

2(a + 1)(a + 2)

limC(1)[^] = 0.

Endi (21) ifodani soddalashtiramiz. Buning uchun (12) formulani quyidagicha yozamiz

Fß = f2(1)[ß] + Aß], (25)

bunda ß = 1,2,...,N -1. Bu yerda

1

N

Aß] = t Z C {°\ß,W - hß')2sign(hß - hß').

4 ß=0

Ushbu ifodani qaraymiz

1 N

A[ß +1] - 2A[ß] + A[ß-\] = -TC m[ß'VKß +1 ) - hß'fsigiiOKß +1) - hß') ~

4 /?'=n

N

-- Z C {0\ßW - hß'fsign{hß - hß')

2 ß=0

i +

1

N

+7 Z C (CV'] W -1) - hß')2sign(h(ß -1) - hß').

4 ß=0

Bu yedan signx ishorani hisobga olib, ayrim soddalashtirishlardan so'ng

A[ß +1] - 2 A[ß] + A[ß-1] =

h1 " \ ß "

= --C m№ + -ZC ,0,[Л((Л(/? +1 )-hß'f -2(hß-hß'f +(h(ß~ 1 )-hß'f)-

2 2 ß '=0

1 N с

--Yc^ß^iHß + v-hß'f-iihß-hß'f+iHß-V-hß')1). 4 ß=0

Ko'rish mumkinki

(h(ß +1) - hß')2 - 2(hß - hß')2 + (h(ß -1) - hß')2 = 2h2. U holda

ß=0

ß=0

Bundan (8) ga asosan

A[ß +1] - 2 A[ß] + A[ß-\] = -'^-C w[ß] + h2 £ С «"[Я -

2 ß=0 2a

sodda almashtirishlardan so'ng

50

1

a

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год

h2 У Cm[ß'] =--- (? -h(ß +1))"+1 - (t -hßf+1 -(t -h)a+1 + ).

ß=0 a(a + 1)v '

U holda

h2 ' h2 " h2ta A[ß +1 ] -2A[ß] + A[ß-l] = -^-C w\ß] + <0)[0] -

2 2 2a

h

-((t - h(ß + 1))a+1 - (t - hß)a+1 - (t - h)a+1 + ta+1 ).

Cw[0] va C{0)[ß], ß = l,2,...,N-l

h'ta 2a '

a(a +1)

O(0,[0] va C<°>[

larni o'rniga (35) va (36) formulalardan aniqlanuvchi ifodalarini qo'yib, quyidagini hosil qilamiz

ß1] - 2 Aß] + Aß-1] = -^- - ^

a(a +1) 2 2

(26)

Endi ushbu ifodani soddalashtiramiz

f(1)[ß + 1] - 2f2(1)[ß] + f2(1)[ß- 1] =

1 h^t a

= Ï-™ [(t - hß + 1))a+2 - 2(t - hß)a+2 + (t - hß - 1))a+2 ] - —.

[a + 2]!L J 2a

(27)

(25), (26) va (27) formulalardan foydalanib

F[ß +1] - 2Fß] + F[ß -1]= h [(t - h(ß + 1))a1 - (t - h(ß - 1))a1 ] + 2a(a +1) L ]

Г (t - hß + 1))a+2 - 2(t - hß)a+2 + (t - hß - 1))a+2 ].

[a + 2]!L ]

Bu yerdan (21) formula quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi

ca\ß]=-

h-

1

2a(a +1)

Г (t - h(ß+1))a+1 - (t - h(ß- 1))a+1 ]+

+T-™[(t-h(ß + 1))a+2 -2(t-hßa + (t -h(ß- 1))a+2], ß = 1,2,...,N -1.

[a + 2]!L J

Ko'rish mumkinki

HmC(1)[/?] = 0, ß = \X...,N-\.

Biz quyidagi teoremani isbotladik. 1-teorema. Ushbu

1 p(ç}dx_ s Z(C<«)[ß]p[ß] + C">ß]p'ß])

ß=0

L(2)(0 t)

kvadratur formulalar ichida 2 v ' 7 fazoda koeffitsiyentlari quyidagicha aniqlanadigan yagona optimal kvadratur formula mavjud

С П)[0] =---Г (t - h)a+2 - ta+21 +---Г (t - h)a+l + ta+l

T ■ ] 2[: + 1]!l

h[a + 2]!L (28)

Ca\ß] =

[(t - hß + 1))a+2 - 2(t - hß)a+2 + (t - h(ß - 1))a+2], [a + 2]!L ]

(29)

ß = 1,2,...,N -1,

1

2[a +1]!

(t - h(ß +1 ))a1 - (t - h(ß-1 ))a1 ]

+

C(1)[7V] = -

h

a+1

h = i-, N = 1,2,...,

2(a + 1)(a + 2) N (30)

[a + 2]! = a(a + 1)(a + 2).

(10) tenglikni hisoblash orqali keltirib chiqarish mumkin, yahni

N о

Ic'V]=o.

ß=0

Belgilash kiritamiz

1 N -1

T = Tt-riï Z[(t - h(ß + 1))a+1 - (t - h(ß - 1))a1],

2[a +1]! ß=1

h-1 n-1

T =—-Z[C - h(ß + 1))a+2 - 2(t - hß)a+2 + (t - h(ß - 1))a

[a + 2]! ßiL

Bu yerdan

1,2,...,N -1

ß

ni o'rniga ketma-ket

larni qo'yib, ayrim

soddalashtirishlardan so'ng

1 2[a +1]!

1-( ha+1 - ta+1 - (t - h)a+1 )

±ni\ 4 ' >

T = T2

h

-1

-[-(t - h)a+2 - ta+2 - ha+2 ].

[a + 2]!'

U holda (28)-(30) formulalarga asosan

51

0

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год

N ° h~l 1 +—1— ГН-+1 - а - (t - ну*11+—— (-(t - ну*1 -ta+2 - на+2 )--—-.

2[а +1]!L J [а + 2]!v ' 2(а + 1)(а +1)

Bu yerdan quyidagi kelib chiqadi

N о

Sc'V]=o.

ß=0

Ushbu teorema o'rinli

2-teorema. (5) ko'rinishdagi optimal kvadratur

L(2)*(0 t)

formula normasining kavdrati 2 v ' J fazoda quyidagi ko'rinishga ega

-hй' |3_ _ с «'[/?] ^ß-^'^ß-H

N N „

11'142,Т=ЕЕс,0Ис|0|[/?]1 ß'=0ß=0

12

ß=o v

(31) Bu

[а + 3]!(2а + 3) yerda

л m с ißi с(ш ß=o,i,...,N

lar (1)-(3),(7),(28)-(30) formulalardan aniqlanadi.

Isboti.

Shunday qilib, C'\ß], ß = 0,\,...,N optimal koeffitsiyentlar (12) tenglamalar sistemasini qanoatlantiradi, u holda bu tenglikdan foydalanib va (18) ga asosan (6) formula bilan aniqlanuvchi normaning kvadrati uchun ayrim soddalashtirishlardan so'ng (31) ko'rinishga ifodani hosil qilamiz. Bu esa 2-teoremani isbotlaydi.

Sonli natijalar

1-misol. Quyidagi umumlashgan Abel integral tenglamasini yeching

128 11 rx 1

x 4 = J-1- (p(t )dt.

231

(X -1)4 1

128 v

а = —, f (x) =-x4

Bu yerda 4 231 .

Ma'lumki, yechim p(X) X ko'rinishda

bo'ladi.

m = 2 da optimal kvadratur formulalar usuli bilan olingan sonli natijalar

ti Лг = 1 N = 10 .V-100 Aniq yechim Xatolik ^ .-"il

0.1 0.00990S24305 0.00999992984 0.00999999985 0.009999999996 1.40(-10)

0.2 0.03963297222 0.03999971946 0.03999999651 0.03999999998 3.47(-9)

0.3 0.0891741S742 0.08999936856 0.08999998960 0.08999999995 1.035(-8)

2-misol. Quyidagi umumlashgan Abel integral tenglamasini yeching

432 17

-x6

935

(•x 1

= J0-Г p(t )dt.

( x -1 )6

1 432 -

а = —, f (x) =-x6

Bu yerda 6 935 .

Ma'lumki, yechim p(x) x ko'rinishda bo'ladi.

m = 2 da optimal kvadratur formulalar usuli bilan olingan sonli natijalar

ti Л' - 1 N = 10 N -100 Aniq yechim Xatolik '^ V I v

0.1 0.009959506131 0.009999975974 0.01000000002 0.01000000000 2.0(-l 1)

0.2 0.03983802453 0.03999990388 0.03999999874 0.04000000001 1.27(-9)

0.3 0.08963555512 0.08999978366 0.09000000367 0.08999999998 3.69(-9)

3-misol. Quyidagi Abel integral tenglamasini

yeching

e

1=i '

Jo

— p(t )dt.

( x -1 )2

1

а = —.

Bu yerda 2 Ma'lumki,

f (x) = ex -1

yechim

É?x 2 x

p( x) = erf (yfx ), erf ( x) = —j= Ï e " tdt

ko'rinishda bo'ladi.

m = 2 da optimal kvadratur formulalar usuli bilan olingan sonli natijalar

t, N = \ .V 10 N = 100 Aniq yechim Xatolik

0.1 .215290815747 .215290502289 .215290502149 .215290502149 l.H-14)

0.2 .325887541756 .325884078022 .325884076323 .325884076323 5.64(-13)

0.3 .427579571413 .42756566510 .427565657564 .427565657562 2.44 If-12)

52

1

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год

Xulosa

Qaralayotgan kvadratur formulalarning xatolik funksionali normasining kvadrati hisoblangan. Bu normaning kvadratini koeffisientlar bo'yicha minimallashtirib, qaralayotgan kvadratur formulaning

L(2)(0 t)

optimal koeffisientlarini topilgan. 2 v ' } fazoda optimal kvadratur formulalar qurilgan va ushbu formula normasining kvadrati hisoblangan. Sonli eksperimentlar o'tkazilgan.

Adbiyotlar

l.Sobolev S.L. Vvedenie v teoriyu kubaturnqx formul . -M.,1974,808s.

2.Sobolev S.L., Vaskevich V.L. Kubaturnqe formulq . Novosibirskoe izdatelg'stvo SORAN , 1996,448s.

3.SHadimetov X.M. Optimalg'nqe reshetchatqe kvadraturnqe i kubaturnqe formulq v prostranstvax Soboleva. Tashkent, 2019, s.224.

4.Ivanov V.V. Ob optimalg'nqx metodov vqchisleniya singulyarnqx integralov. // DAN SSSR , 1972, t.204 № 1.

5.Ivanov V.V. Ob optimalg'nqx algoritmax chislennogo resheniya singulyarnqx integralg'nqx uravneniy. -M .,1972

6.Gabdulxaev B.P. Ob optimalg'nqx kvadraturnqx formulax dlya singulyarnqx integralov. //Izvestiya VUZov. Matematika,1972,№3

7.Boykov I.V. Ob optimalg'nqx algoritmax vqchisleniya kratnqx singulyarnqx integralov .// DAN SSSR , 1974, t.204 № 1

8.Shadimetov, K., & Daliyev, B. (2021, July). Composite optimal formulas for approximate integration of weight integrals. In AIP Conference Proceedings (Vol. 2365, No. 1, p. 020025). AIP Publishing LLC.

9.Shadimetov, K. M., & Daliev, B. S. (2022). Optimal formulas for the approximate-analytical solution of the general Abel integral equation in the Sobolev space. Results in Applied Mathematics, 15, 100276.

53