Abelning umumlashgan integral tenglamasini yechish uchun Sobolev fazosida optimal kvadratur formulalar Текст научной статьи по специальности «Математика»

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 4 | 2023-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 4 | 2023 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 4 | 2023 год

Abelning umumlashgan integral tenglamasini yechish uchun Sobolev fazosida optimal kvadratur

formulalar

Daliyev Baxtiyor Sirojiddinovich

Toshkent axborot texnologiyalari universiteti Farg'ona filiali

e-mail : [email protected]

Annotatsiya: Ushbu maqolada Sobolev funksional fazosidagi Abelning umumlashgan integral tenglamasini taqribiy analitik yechish uchun vaznli murakkab optimal kvadratur formula qurilgan. Bu kvadratur formulaning optimal koeffitsientlari topilgan. Bundan tashqari, qurilgan vaznli murakkab optimal kvadratur formula yordamida Abelning umumlashgan integral tenglamasiga doir misollarning sonli natijalari olinib, aniq yechim bilan taqqoslangan.

Kalit so'zlar: Sobolev fazosi, optimal kvadratur formulalar, xatolik funksionali, norma, optimal koeffitsientlar.

Kirish. Umumlashgan Abel integral tenglamasi Volterra birinchi tur chiziqli integral tenglamasining xususiy holi hisoblanadi. Umumlashgan Abel tenglamasi fizika, mexanika va boshqa fanlarning qandaydir konkret masalalariga bevosita olib keladigan integral tenglamalardan biridir. Bugungi kunda tabiatshunoslikning ko'plab sohalarida Abel tipidagi chiziqli integral tenglamalarni yechishga olib keladigan masalalar keng tarqalgan. Abel tipidagi tenglamalarga doimo alohida e'tibor berilgan. Bir qator ishlar ushbu sinf tenglamalari yechimlarining mavjudligi, yagonaligi va turg'unligiga bag'ishlangan [1, 5, 6, 7, 8, 9, 10]. Bugungi kunga kelib, birinchi tur Abel tipidagi integral tenglamalarning sonli yechimlarini olish uchun bir qator yondashuvlar ishlab chiqilgan va keng qo'llanilgan. Turli xil hisoblash algoritmlarining umumiy ko'rinishini, masalan, [1, 2, 3, 4] ishlarda topish mumkin. Ushbu maqolada Sobolev funksional fazosidagi Abelning

umumlashgan integral tenglamasini taqribiy analitik yechish uchun vaznli murakkab optimal kvadratur formulalar usulini yaratish bilan shug'ullanamiz. Bundan tashqari, qurilgan vaznli murakkab optimal kvadratur formulalarni kasr integrallarni taqribiy hisoblash uchun qo'llash mumkin. Bizga ma'lumki ushbu

f ( *)=J

p( s)ds

0 (x - s)a

0<a < 1

tenglama Abelning umumlashgan tenglamasi

deyiladi. Bu yerda f (x) -noma'lum funksiya.

ma'lum funksiya,

P(s)

esa

44(0, t )

optimal kvadratur formula

L(m)(0 t)

Ushbu kvadratur formulani 2 v ' ' Sobolev fazosida qaraymiz

r p(x)dx N z

(t x) ß=0v=0

, (1)

с tv)[ ß]

bu yerda [ß] - kvadratur formula

koeffitsientlari,

[ß] = hß, h = —, N = 1,2,..., 0< a <1, t > 0.

N

m = 1 holda (1) kvadratur formula xatolik funksionali normasi ushbu ko'rinishda bo'ladi [11]

I14"'ll2= 1 hß hß'Kifcvwrm-K,

ß=0ß'=0

ß=0

(2)

Bu yerda

f1(0)[ß]=J

_ f | x - hß\ dx _hßta (t - hß)

a+1

a+1

2(t - x )'■

Kx=-

2a a(a +1) 2a(a +1)

,a+1

a(a + 1)(2a +1) , ,, ih(x), xk) = 0, k = 0,1,...,m-1

Bu holda N shartlar ko'rinishi quyidagicha

8

0

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 4 | 2023-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 4 | 2023 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 4 | 2023 год

Yf nß]= L.

ß=0 a

(3)

Endi (3) shartlar asosida (2) ni minimumlashtiramiz. Buning uchun Lagranj funksiyasini tuzamiz

А(С(0)[^]Д0)=||/, II2 +2Д-,

y ß=o &

ÔA ÔA

ôC [ß] ^ дЛ0 xususjy hosilalarni hisoblab va

C(0> Г/?1 ;

bu hosilalarni nolga tenglab, f [ß] va л noma'lumlarni topish uchun quyidagi sistemani olamiz

r=0

2

2a a(a +1) 2a(a +1)

(4)

ß=0

a

hrmt] da C{0Xr] = 0 deb olib5 ya

(5)

ni

Г =..., -3, -2,-1 va r = N +1, N + 2,...

(4) va (5)

sistemani svyortka tenglama ko'rinishda yozamiz

Gx[ßYCm[ß] + U = fulfil [J3]e[0,t]

c{0\ß]=о, [ß]mt]

Tc \ß\

(6)

(7)

ß=0

a

(8)

Bu yerda

G[ß] _ l hß\_ (hß)sign(hß) _ [ß]sign[ß] [ß] = hß

2 (9)

2

2

,(P)r*, _ta[ß^ (t -[ß])a+1

z+1

/1(0)[ß] = -

2a a(a +1) 2a(a +1) (ю)

1

h = —, N = 1,2,..., Л0

N - noma'lum parametr.

iW = G№*c«Xß\+b o belgilash

kiritamz. (6) dan [0,t] kesmada U[ß] = /(°)[ß] diskret funksiya ekanligi kelib chiqadi, ya'ni

u[/3]=tarn+(t - [ß])a+1

2a a(a +1) 2a(a +1)

[ß] e[0, t].

EndiU[ß] ni [0, t] kesmadan tashqarida

aniqlaymiz, ya'ni hß * [0,t]. hß <0 bo'lsin yoki

ß 1,-2,-3,..., u holda (7) va (9) formulalarga asosan

2 r=0 2 r=0

bundan (8) ni hisobga olib, quyidagiga ega bo'lamiz

Tnm tahß -U [ß] = + a 0,

2a (11)

bu yerda

■ic(0)[#r)+i о.

r=0

(12)

Xuddi shunday U[ß] ni hß >t da topamiz,

ya'ni ß = N + 1 N + 2,....

Tnm tahß + U [ß] = + a0+, 2a

(13)

bu yerda

1

N

<=--SC(0)№/) + A 0.

2 r=0

(14)

(12) va (14) dan

9

1

a0 =

a

t

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 4 | 2023-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 4 | 2023 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 4 | 2023 год

_ a0 + a0 А0--1-

(15)

Demak ße Z butun sonlar to'plamida, U[ß] ni ko'rinishi quyidagicha bo'ladi

U [ß] =

tahß 2a

+ a-, ß <0,

tahß (t - hß)a

2a a(a +1) 2a(a +1) tahß

ß = 0,1,..., N,

2a (16)

- + a+, ß> N.

Endi a° va a0 .noma'lum koeffitsientlarni aniqlaymiz. Buning uchun ma'lum svyortka operatoridan foydalanamiz [12]

D[ ß ] =

0, \ß \> 2, h2, \ ß |=1, -2Г2, ß = 0.

(17)

Bu operator ushbu tenglikni qanoatlantiradi

hD[ß]*\Jhil = S[ß],

2 (18)

bu yerda ^[ß ] -diskret delta funksiya

[1, ß = 0, Sß] = U ß o,

l0, ß* 0. (19)

Bundan va U [ß] ning ta'rifidan

С (0)[/?] = Щ [ß] * U[ß], ß = 0,1,..., TV.

(20)

Biroq bo'lganda С= 0

shartlardan quyidagi kelib chiqadi

Dj [ß] * U[ß] = 0, hß g[0, t]

(21)

(21) da svyortkani hisoblaymiz va (17) dan foydalanib, ushbuni hosil qilamiz

D1 [ß] * и[ß] = £ D[ß- r]U[T] = h-2u[ß -1] - 2h-2U[ß]+h-2u[ß+1].

Bundan (21) ga asosanß

ß = -1 va ß = N +1

bo'lganda a<0 va a<0 noma'lum koeffitsientlarni topish uchun quydagi chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz

\U [-2] - 2U [-1] + U [0] = 0, lU [ N ] - 2U [ N +1] + U [ N + 2] = 0.

(22)

(16) dan tah

tah

a+1

U[-2] = + a-, U[-1] = — + a-, U[0] = —--,

a 2a 2a(a +1)

U[N ] =

2(a+1)

U [ N + 1] =

_ (t + h)t

+ a+, U[N + 2] = (- + h) — + a+ 2a 2 a

U holda (22) sistemaning ko'rinishi quyidagicha bo'ladi

a0 - 2a0 +

2a(a +1) ta+' 2a(a +1)

= 0,

= 0.

Bundan

a0 =

2a(a +1)

, a0 = -

2a(a + 1)

(23)

Bu yerdan va (15) ga asosan

Ло =0. L(1)(0, t )

(24)

Endi 2 ( , ) fazoda (1) ko'rinishdagi kvadratur formula koeffitsientlarini bo'lganda

hisoblashga o'tamiz. bo'lganda №

optimal koeffitsientlar quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi

r—

t

10

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 4 | 2023-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 4 | 2023 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 4 | 2023 год

C^Xß^hD^ßyUiß^hlLD^ß-YViYl at ß = 0,l,...,N

ß 0 va ß N bo'lganda optimal koeffitsientlar alohida hisoblanadi.

ß = 0 bo'lsin, u holda

С (0)[0] = Ä (Dj [ -1 ]i/[ -1 ] + Д [0]U[0] + Д [ 1 ]t/[ 1 ] ). (16) va (24) dan

.ai .a+1 ,a+1 .a i <-. i \a+1 ,a+1

U[-1] = LJh + -, U[0] = -^-, U[1] = tah + -(t - h) t

2a 2a(a + 1) 2a(a + 1) 2a a(a + 1) 2a(a + 1)

Demak

c<°>[o] = L+У-Л1—

a ha(a +1) ß = N bo'lsin, u holda

С ,0)[7V] = h (Д [-1 JJ[N-+1 ] + Д [0]t/[JV] + Д [l]t/[7V-1 ]). Shunga o'xshash (16) va (24) dan

tah ta* a a tah ha

U[N + 1] = — + —-, U[N] = —-, U[N-1] = —-:— — + -

2a 2(a + 1) 2(a +1)

2(a +1) 2a a(a + 1)

Bundan optimal koeffitsientlar ushbu formula bo'yicha hisoblanishini hosil qilamiz

С (0\N] = ■

ha

a(a +1)

Endi (1) ko'rinishdagi kvadratur formula

koeffitsientlarini P = 0va ß = 1,2,...,N-1 bo'lganda hisoblashga o'tamiz:

с,0,[/?] = л2^д[/?-гмГ] = л(д[-1м/?+1]+д[ом/?]+д[1м/?-1]). Demak

U[ß] = / «»[ß] = Ml* (2zMfl--Г

2a a(a+1) 2a(a +1)'

ß = 0,1,..., N,

U holda ayrim soddalashtirishlardan so'ng quyidagini hosil qilamiz

с (0I[/?] =

h-1

a(a + 1)

[(t - h(ß + 1))a+1 - 2(t - hß)"*1 + (t - h(ß - 1))a+1 ], ß = 1,2,..., N -1.

Shunday qilib biz quyidagi teoremani isbotladik.

L( '(0 t )

1-teorema. 2 v ' ' fazoda (1) ko'rinishdagi

optimal kvadratur formulani koeffitsientlari P =0 bo'lganda quyidagicha aniqlanadi

c(0)[0] =—+ h ' ((¿-/?r+1-r+1),

a a(a + 1)v '

(25)

<0>r /?1 — .

Cw[ß] (26)

h~

a(a +1)

[ (t - h(ß + 1))a*1 - 2(t - hß)a+1 + (t - h(ß - 1))a+1 ],

ß = 1,2,..., N -1.

С (0\N] =

ha

a(a +1)

(27)

Yana 1-teoremani quydagicha ifodalash mumkin.

2-teorema. Sobolevning

L^(0, t )

fazosida

C koeffitsientlari (25)-(27) formulalar bilan aniqlanuvchi ushbu yagona optimal kvadratur formula mavjud

{(t - x)1-a Y

(28)

(28) optimal kvadratur formulani qurishda, bu formulaning konstantaga aniqligi kerak bo'ladi, ya'ni (5) shartning bajarilishi.

Endi biz (28) optimal kvadratur formulaning x birxadga aniqligini isbotlaymiz.

1-lemma. (28) optimal kvadratur formula x birxadni va konstantani aniq integrallaydi, ya'ni ushbu tengliklar o'rinli

11

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 4 | 2023-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 4 | 2023 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 4 | 2023 год

N

a (29)

ß=0

Y^c^mhß)

t

■i+1

ß=0 a(a +1) (30)

Lemmaning isboti.

h = L

(25)-(27) formulalardan foydalanib va N ni hisobga olib, yig'indini quyidagi ko'rinishga keltiramiz

N , ja N-1

X 'С10 \ß\ = —-- [1 + Yj,(N- ( ß + :1 )Г - :2(N- ßr1 +(N-(ß-1 )f+I )] +

ß.0 a(a + 1) ß=1

ta ha(N - 1)a +— +

a+1 ,a

taN

a a(a +1) a(a +1) Yig'indi tartibini o'zgartiramiz

N-1

£ [(N - (ß + 1))a+j - 2(N - ß)a+l + (N - (ß-1))a+1 ] =

ß=1

= £(n - ß)a+1 - 2£(n - ß)a+1 + £(n - ß)a

ß=2 ß=1 ß=0

= Na+1 - (N - 1)a+1 -1.

U holda

±c n^]=-ir ^

ß=0 a(a +1) a a(a + 1) a(a + 1) a

Bu (29) formulaning to'g'riligini ko'rsatadi. Endi (30) tenglikni isbotlashga o'tamiz. Buning uchun

h = L

(25)-(27) formulalardan foydalanib va N ni hisobga olib, quyidagini hosil qilamiz

£C (0\ß](hß) = /z£C (0\ß]ß + tC (0)[Ж] =

ß=0 ß=1

a+1 ^й+1 n-1

- + -- [£((N-ß-1f+1 - 2(N-ßr1 + (N-ß + lf*1 )ß].

Naa(a +1) N a(a +1) ß=1

Ko'rish mumkinki

N-1

£( ( N-ß-1

ß=1

(N-ß-1)a+j -2(N-ß)a+j + (N-ß + 1)a+j)ß

= £( N-ß)a+\ß-1) - 2£( N-ß)a1ß+£( N-ßT+ß1):

ß=2 ß=1 ß=0

£(N - ß)a+j ß - 2£(N - ß)a+j ß + £(N - ß)a+j ß

ß=2 ß=1 ß=0

N-2

£(N -ß)a+j + £(N -ß)a+j = Na+ - N.

ß=2 ß=0

Olingan tenglikka ko'ra

,aTi .a + 1

t -- ( Na+1 - N)= t

ß=0 N aa(a +1) N a+1a(a+1)

a(a +1)

Bu (30) formulaning to'g'riligini ko'rsatadi. Biz 1-lemmani to'liq isbotladik.

L('(0 t)

3-teorema. 2 v ' ^fazoda (28) o'timaal kvadratur formulaning xatolik funksionali normasining kvadrati ushbu tenglik bilan aniqlanadi

1

a(a +1)

,2a+1

ß=0 2a+ 1

Bu yerda C (25)-(27) formulalar bilan aniqlanadi.

Isboti.

(24) ga asosan (4) ni quyidagicha yozamiz

ß'=0

2

(31)

bu yerda

tahß , (t - hß)a+j

2a a(a +1) 2a(a +1)

U holda normaning kvadrati (2) ifoda uchun quyidagiga egamiz

12

a

N

N-1

N

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 4 | 2023-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 4 | 2023 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 4 | 2023 год

N N

IК*14*112 = -XXс(0)[Яс(0)[яXhß +

ß'=0ß=0

2a+1

iV „ f

+2 , ' n ß=0 a(a + 1)(2a +1)

N r_ ,2a+\

Ic'WtAl- , ' n

ß=0 a(a + 1)(2a +1)

Zc'V]

ß=0

tahß + ( t - hß)a+1 ta

2a a(a +1) 2a(a +1) ) a(a+1)(2a+1)

Bundan (29) va (30) ga asosan, quyidagini hosil qilamiz

,(t - hß)

a+1

,2a+1

II ll2=yc(0)[ß]-

a(a +1) a(a + l)(2a + l)

Bu esa 3-teoremani isboti.

Sonli natijalar

1-misol. Quyidagi umumlashgan Abel integral tenglamasini yeching

128 11

231

rx 1

j0-t <P(t )dt-

( x -1 )4

1 128 Ц

a = —, f (x) =-x4

Bu yerda 4 231

Mahlumki, yechim

P(x) - x 2 ko'rinishda

bo'ladi.

m =1 da optimal kvadratur formulalar usuli bilan olingan sonli natijalar

ti N 11 N = 10 N = 100 Aniq yechim Xatolik ^ N=100

0.1 0.01097528461 0.01001266007 0.01000014441 0.009999999996 1.44(-7)

0.2 0.04390113845 0.04005064032 0.04000057578 0.03999999998 5.75(-7)

0.3 0.09877756149 0.09011394066 0.09000129110 0.08999999995 1.29(-6)

Jadvallardan ko'rish mumkinki, taqribiy yechim x = 0.1, 0.2 va 0.3 lar uchun mos ravishda maksimal sonli 1.44(-7), 5.75(-7) va 1.29(-6) xatoliklar bilan olingan.

2-misol. Quyidagi umumlashgan Abel integral tenglamasini yeching

432 17

935

Îx 1

0-Г P(t )dt.

( x -1 )6

1

a = — , Bu yerda 6

432 17 f (x) - 432 x6

Mahlumki, yechim

935

p(x) - x2

ko'rinishda

bo'ladi.

m =1 da optimal kvadratur formulalar usuli bilan olingan sonli natijalar

ti N = 1 N = 10 N = 100 Aniq yechim Xatolik ^ N =100

0.1 0.01071505487 0.01001008169 0.01000012197 0.01000000000 1.2(-7)

0.2 0.04286021946 0.04004032676 0.04000048652 0.04000000001 4.86(-7)

0.3 0.09643549377 0.09009073517 0.09000109981 0.08999999998 1.09(-6)

Bu yerda taqribiy yechim x = 0.1, 0.2 va 0.3 lar uchun mos ravishda maksimal sonli 1.2(-7), 4.86(-7) va 1.09(-6) xatoliklar bilan olingan.

3-misol. Quyidagi Abel integral tenglamasini

yeching

rx 1

ex -1 = jQ-r p(t)dt.

( x -1 )2

a = -, f (x) = ex-1 Bu yerda 2

13

N

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 4 | 2023-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 4 | 2023 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 4 | 2023 год

Ma'lumki, yechim

P( х) = erf (4х ), ko'rinishda bo'ladi.

2 х

erf (х) = —j= I e 'dt

m =1 da optimal kvadratur formulalar usuli bilan olingan sonli natijalar

'i N = 1 N = 10 N = 100 Aniq yechim Xatolik ^ N =100

0.1 .21543196 69327 .215292176 4170 .215290519 7120 .215290502 1493 1.76(-8)

0.2 .32672800 14382 .325894187 8189 .325884182 5865 .325884076 3232 1.062(-7)

0.3 .43001942 38321 .427595430 2070 .427565971 0321 .427565657 5623 3.13(-7)

Bu yerda ham taqribiy yechim x = 0.1, 0.2 va 0.3 lar uchun mos ravishda maksimal sonli 1.76(-8), 1.062(-7) i 3.13(-7) xatoliklar bilan olingan.

Xulosa. Abel tipidagi singulyar integrallarni taqribiy hisoblash uchun murakkab optimal kvadratur

formulalari aniq qurilgan. Bu yerda murakkab kvadratur formulaning

¿2°(o, ' )

fazoda optimal

L(1)(0 t)

koeffitsientlari ham to'ilgan. Keyin, 2 v ' ' fazoda optimal kvadratur formulalarning xatolik funksionali normasining kvadrati hisoblangan.

Sobolev fazosida Abel tipidagi singulyar integrallar uchun qurilgan yangi optimal kvadratur formulalarning sonli yaqinlashishini tasdiqlovchi sonli natijalar keltirilgan. Olingan sonli natijalar aniq natijalar bilan taqqoslangan.

Adabiyotlar

1. GorenfloR., VessellaS. Abe lintegral equations. Analysis and applications. — Berlin: Springer-Verlag, 1991.

2. Anderssen R. S. Application and numerical solution of Abel-type integral equation // Technical Summary Report № 1787, September 1977.—

Madison: University of Mathematics Research Center.

Wi sconsin-Madison,

3. Преображенский Н. Г., ПикаловВ. В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы. — Новосибирск: Наука, 1982.

4. Воскобойников Ю. E., Преображенский H. Г., Седельников А. И. Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике. — Новосибирск: Наука, 1984.

5. Бухгейм A. JI. "Уравнения Вольтерра и обратные задачи. — Новосибирск: Наука, 1983.

6. Vessella S. Stability results for Abel equation // Journal of Integral Equations. 1985. - Vol. 9. - P. 125135.

7. Грынь В. И. О существовании, единственности и устойчивости решений уравнения Абеля // Рукопись деп. в ВИНИТИ 09.06.1995, № 1715-В95.

8. Gorenflo R., Yamamoto M. Operator Theoretic Treatment of Linear Abel Integral Equations of First Kind // Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics.-1999.-Vol. 16.-P. 137-161.

9. Baker C.T. H. A perspective on the numerical treatment of Volterra equations // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2000. — Vol. 125.-P. 217-249.

10. Minerbo G. N., Levy M. E. Inversion on Abel's integral equation by means of orthogonal polynomials // SIAM Journal on Numerical Analysis. — 1969. — Vol. 6, JV* 4.-P. 598-616.

11. Шадиметов Х.М., Далиев Б.С. Экстремальная функция квадратурных формул для приближённого решения обобщённого интегрального уравнения Абеля // Проблемы вычислительной и прикладной математики. -Ташкент, 2019. - № 2. -С. 88-96.

12. K. M. Shadimetov, A. R. Hayotov, and F. A. Nuraliev, "Optimal interpolation formulas with

l(m)(0 1)

derivative in the space 2 v ' '" Published by Faculty of Sciences and Mathematics,University of Nis, Serbia , 5661-5675 (2019).

14