CC BY
3Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil
"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year
Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год
TRIGONOMETRIK VAZNLI OPTIMAL KVADRATUR FORMULALARNI KOMPYUTER TOMOGRAFIYASI TASVIRLARINI QAYTA TIKLASHGA TATBIQI
Bozarov Baxromjon Ilxomovich,
fizika-matematika fanlari bo'yicha falsafa doktori, PhdD Muxammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali
b.bozarov@mail .ru
Annotatsiya: Trigonometrik vaznli optimal kvadratur formulalar Fure koeffitsientlarini hisoblashda, geomatematika, yadro fizikasi, signallarni qayta ishlash, kompyuter tomografiyasi va boshqa ko'plab amaliy masalalarda uchragan trigonometrik vaznli integrallarni taqribiy hisoblash uchun tatbiq etish mumkin.
Kalit so'zlar: kubatur formulalar, kvadratur formulalar, xatolik funksionali, xatolik funksionali normasi, optimal koeffisiyentlar, Fure integrallari.
Kirish. Ushbu ishda trigonometirik vaznli integrallarini taqribiy hisoblash uchun qurilgan
1 N
J sin(2 cx)ç( x)dx = ^ C [ßMß]
va
ß=0
N
Jcos(27ccx)ç(x)dx = ^ C [ßMß]
ß=0
(1)
(2)
optimal kvadratur formulalarni kompyuter tomografiyasi tasvirlari filtrlab orqaga proeksiyalash usuli yordamida qayta tiklashga qo'llanilishini ko'rib chiqamiz.
Bizga ma'lumki, signallarni tahlil qilish va tasvirlarni qayta ishlash kabi amaliy masalalar Fure integrallarini hisoblashga olib kelinadi. Masalan Radon almashtirishi bilan kompyuter tomografiyasida tasvirlarni qayta tiklash masalasini ko'rishimiz
mumkin. Bunda bo'lganda quyidagi
ko'rinishdagi
i
I (ç) = J e2mccxç( x)dx
(3)
integrallarni taqribiy hisoblash talab etiladi. Bu turdagi integrallarda kuchli tebranuvchi funksiyalarning integrallarini har doim ham aniq qiymatini topib bo'lmaydi. Shuning uchun, ularni taqribiy hisoblash maqsadga muvofiqdir. Taqribiy hisoblashning standart usullari doimo yaxshi natija bermaydi. Demak, kuchli tebranuvchi funksiyalarning integrallarni taqribiy hisoblash uchun maxsus metodlar
ishlab chiqish talab etiladi. Birinchi bo'lib, Faylon 1928 yili effektiv hisoblash usulini taqdim etgan. Keyingi yillarda kuchli tebranuvchi funksiyalarni integrallarini hisoblashni boshqa turli usullari rivojlandi. Masalan Faylon usuliga asoslangan usullar, Klenshov-Kurtis-Faylon usuli, Levin usuli, asimtotik
( m )
W
(m ,m-1)
yoyish usuli. Oxirgi yillarda 2 va 2 Gilbert
fazolarida œ G ^ qiymatlarida X.M.Shadimetov, G.V.Milovanovich, A.R.Hayotov va N.D.Boltaevlar Fure koeffitsientlarini hisoblash uchun optimal kvadratur formulalar qurish bo'yicha ilmiy izlanishlar
L m)[0 1]
olib borishgan [7,9]. Sobolevning 2 L ' J fazosida (3) ko'rinishidagi integral uchun ushbu
1 N
J e27"cxç( x)dx = £ C[ßMß]
ß=0
(4)
optimal kvadratur formula Ch.-O.Li, S.Jeon, X.M.Shadimetov, A.R.Hayotovlarning ishlarida qurilgan [8]. Bu kvadratur formulaning Sard ma'nosidagi koeffitsientlari uchun quyida trigonometrik vaznli optimal kvadratur formulalarning koeffisiyentlari nomli bo'limida tasdiq berilgan.
Trigonometrik vaznli optimal kvadratur formulalarning koeffisiyentlari.
2nœx
Ma'lumki e vaznli optimal kvadratur formulalar uchun ushbu teoremani keltiramiz. Bu teorema [8] ishda keltirilgan va isbotlangan.
24
0
1
0
0
0
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil
"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year
Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год
Lm Т0 11
Teorema 1. Sobolevning 2 l ? j fazosida
N + 1 > m ]jq 'Jganda va barcha haqiqiy (J) va
Cûh $ Z qjymatlar uchun (4) optimal k\>adratur formulaning koeffitsientlari quyidagicha
C[0] = h
2niah jyT
e K„
1
+e
■ 1 2niah k=i
k
V 4k
q + b, qk
w
qk -1 1 - q,
k //
C[ß1 = h [ e^K^ + E( aqß + bkq^) |, ß = 1,2,..., N -1
2nia TT 2
e K _ e
C[ N1 = h
1 - e2
2niah
+E
k л k 1
1 - qk qk -1
Л л
bu yerda a,c va bk lar quyidagi tenglamalar
sistemasidan aniqlanadi
m -1
E ak
k=1
J qk a ' 0J
e=1 (qk - 1)i+
m -1
E b.
k =1
J qN+' A' 0J /1 v+1
t=1(1 - qk )
J !
ielmcohK A' 0J
E—^-г^—r-, J = 1,2,...,m -1,
(2niah)J+1 1=1 (e2mah - 1)'+1
m-1 J n'\'C\J
E-1 a Г ET q*A0__E h
E kL E(1 - qk )M E
„N1
+E к [ E
a-j
Г v л
vaz
a nN+'A'0a y qk A 0 1
E(1 - qk )'+11
m-1 . j qNk +1A' 0J
k=1 *=1 (qk - 1)i+1
E h a-J
vay
E
qk A * 0 a
(q, -1)*
(2niah) J+1
a • I Inirn
-E ha
(- 1)aJ!e
( j -a)!(2niah)a+1 1 - elna
E |A' 0J
1 2, 1 - e
K e1™ j
+
2 niah
- e a=1
E ha
f j \ a f e2nimh Y
a
1 - e2
4k lar
ko'pxadining ildizlari, 1 1 va
E2m-2 (X)
i I qk l<1
A'0a, j = 1,2,...,m -1, Eyler-Frobbenius
K =
sin nah nah ,
(2m -1)!
2E aa cos[2nah(m -1 - a)] + am4
a.
E (-1)J
j=0
(5 +1 - j)2m-1 Eyler-Frobbenius
Bu yerda J 0 ^ J ^
lar 2m — 2 -darajili Em-2(x) ko'phadining koeffitsientlari.
Shu bilan birga qurilgan (4) optimal kvadratur formula kompyuter tomografiyasi tasvirlarini qayta tiklashga qo'llanilgan [8].
Biz [1-6] ishlarda keltirilgan va
cos(2^zöx) vaznli optimal kvadratur formulalarning koeffitsientlari uchun quyidagi tasdiqlarni eslatib o'tamiz.
Lm)(o 1)
Teorema 2. Sobolevning 2 v ' 7 fazosida (1) ko'rinishdagi Sard ma'nosida optimal kvadratur
formulaning,
со e
va
©iZ
bo'lganda,
koeffitsientlari uchun quyidagi tengliklar o'rinli 1
C [01 = h
C[ß1 = h C [ N1 = h
2moh
- K
cos(nah) .m-1 ms.k4k - П ,k4k
2sin(nah)
E-
K„,a sin(2na[ß1) + E ( msqß + nqTß )
cos(2no) cos(2no - nah) ^ m-1
qk -1
, ß = 1,2,...N -1
m q + ns,k4k q -1
bu yerda
2nah m,a 2sin(nah)
[ß1 = hß , qk lar (2m-2) - darajali E
2m-2(x) ning 1 qk l< 1
Eyler - Frobenius ko'phadi shartni qanoatlantiruvchi ildizilari,
(2 - 2cos(2nah))m • (2m -1)!- (-1)
K =■
m-2
(2nah)lm j 2Eat,2„-2
k=0
a
k ,2m-2
lar
cos(2nah(m -1 - k)) + a^ ;
E, ,( x )
2 m-2
ko'phadning
m n
koeffitsientlari, s ,k va s ,k lar quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasidan aniqlanadi
n j
- ms,k4k -(-1)Jns,kqk+' (-1)J,j-!cos(Y)
E (4 -1)J+1 J-1(4k ) (2nah)J+1
(1 + ( 1)J)Km,ae2mah e^(enh), J = 1,2,...,m -1,
2 niah 1\j+1 j -
2i(e2niah -1)'
2m
a=0
25
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 I Son: 2 I 2024-yil
"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year
Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год
m-1 mSk À
h-
N+1 s. kq k
(l - qk )
(-1)Jn q . ч j!cos(27c + 7j) ( ) S^E-_l(qk ) = 2
j+l
(2ncoh)
j+l
/ 2жс . /_ i \j 2nich
(e + ( l) e )Km, ce rr / 2ncah,\ • 1 о 1
-. . , . , .-E. .(e ).j = 1.2.....m -1.
2i(1 - e2тоЛ ) j+l j
LL m)(0 1)
Teorema 3. Sobolevning 2 v ' ' fazosida
(2) ko'rinishdcigi Sard ma'nosida optimal k\'adratar
formulaning,
со e
va
СО £.
bo'lganda,
koeffitsientlar uchun quyidagi tengliklar o 'rinli
C[0] = h
K
h"
1 mc.kqk - \ q
C[ß] = h
cxm=h
2 k=l qk -1
Kmccos(2—®[ßj) + h(mclqß+ ncq-ß) 1. ß = 1 .2.....N-1
k=1
sin(2-c) Km.c sin(2nco-ncoh) , m-1 -mc.k€ + псЛ
2ncah
sin(-coh )
- + h-
4k -1
bu yerda
[ßl = hß q
Eyler - Frobenius ko'phadi shartni qanoatlantiruvchi ildizilari,
, lar (2m-2) - darajali , E2m-2(x) . I qk |< 1
ning
K=
(-l)m (2m - l)!(e27ch -1)2m (2-cDh)2m e277,cohE2m_ 2(e2mcoh )
a E ( x)
k 2m-2 lar 2m-2V 7 ko'phad koeffitsientlari,
mc.k va n<:.k lar quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasidan aniqlanadi
ж 1
у meq -(-1)jnetf* (-l)jj!sin(T)
h (q -1)j+l j-l(4k ) (27(oh)j+l
(1 - (-1)j ) Km. ce2
2 nirnh iy+1 j
E (e2Mch) . j = 1 .2.....m -1 .
2(e 7ich -1)'
- rnc kqN+1 - (-1) Jnc q j !sin(27c + 7L)
h c.k ^ , j c.k Ej_l(qk) =--
k=1
(l - qk )
(e27ic- (-1) J e"2n7c) Kme
(2xcoh)
j+l
2i (1 - e¿ 7ic )
2 niœh^j+1
E._x(e ). j = 1.2.....m -1.
Sobolev fazosida Sard ma'nosida optimal kvadratur formulalar qurish va xatoliklarini baholash bilan ushbu [1-12] ishlarda ham tanishish mumkin.
Shu bilan birga yuqorida qurilgan optimal kvadratur formulalar yordamida kompyuter tomografiyasiga tadbiqlarini qarab chiqamiz. Kompyuter tomografiyasiga tadbiqi. Yuqorida berilgan Teorema 2 va Teorema 3 lardan Teorema 1 ni koeffitsientlarini kelib chiqishini ko'rish qiyin emas. Ya'ni,
CCT = C [0l + iCs [0l,
C[ßl = C[ßl + íCs[ßl. ß = 1 .2 .... .N -1 .
C[Nl = C [Nl + iC [Nl.
Bundan tashqari Teorema 1 da keltirilgan ak va
bk lar uchun olingan tenglamalar sistemasini ham yuqoridagi Teorema 2 va Teormea 3 larda aniqlangan
mü.k, nü.k, mc.k va n.k lar uchun olingan tenglamalar sistemalaridan kelib chiqishini ko'rish mumkin.
Kompyuter tomografiyasida tasvirlarni qayta tiklash uchun quyidagi algoritm berilgan. P(t в )
1. (m. k) sinogrammaning diskret shakli
tm e[a .bl .ве[0 . 77 ] lar uchun berilgan.
2. Taklif etilgan optimal kvadratur formula yordamida Fure koeffitsientlarini hisoblash:
M o
S (со,в) = S(co,ek) = АХ
»2=0
3. Taklif etilgan kvadratur formula yordamida teskari Fure almashtirishlarining koeffitsientlarini hisoblash:
N o
0(t,0) = Q(t,ek) = А) I .
n=0
4. KT da orqaga proeksiyalash usuli bilan tasvirlarni qayta tiklash:
K-1
f ( x. у)=г Q(t . 6)de=7h Q(t . вк ).
K k =0
k =1
26
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil
"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year
Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год
Result of conv-FBP
Result of OOF (tn=2)
Result of OOF (m=3)
© © ©
Rasm 1. Chapda fft va ifft dan foydalanib FBP yordamida, ikkinchi tartibli optimal kvadratur formula bilan (o'rtada) va uchinchi tartibli kvadratur formula bilan (o'ngda) tasvirlarni qayta tiklash natijalari barilgan.
Shepp-Logan without noise Shepp-Logan with noise
conv-FBP fft and iß OQF m = 2 OQF m = 3 conv-FBP fft and p OQF m-2 OQF m - 3
£ -■-max 0.3458 0.3526 0.3307 0.3722 0.3634 0.3472
MSE 7.9648e-04 7.2111e-04 6.5084e-04 7.9088e-04 7.4509c 01 6.499Ûe-04
PSNR 30.9883 31.4200 31.8652 31.0189 31.2779 31.8715
Jadval 1. Yuqoridagi rasm 1 da berilgan KT da tasvirlarni qayta tiklashning sonli natijalari.
Xulosa
Qurilgan trigonometrik vaznli optimal kvadratur formulalar yordamida kompyuter tomografiyasida tasvirlarni qayta tiklash masalasi uchun tatbiq etildi. Yuqoridagi (4) optimal kvadratur formulaning m=2 bo'lgandagi hol uchun olingan optimal kvadratur formulalar bilan kompyuter tomografiyasida Shepp - Logan tasvirlarni qayta tiklab, FBP usulida olingan natijalar bilan taqqoslandi va olingan natijalarda tasvir aniqligi yaxshilangan ekanligi ko'rsatildi.
Minnatdorchilik
Bu masalani qo'iyilishida va yechishda o'z takliflarini bergan professor X.M.Shadimetov va professor A.R.Hayotovlarga katta minnatdorchilik bildiraman.
Adabiyotlar ro'yxati
1. Bozarov B.I. An optimal quadrature formula with weight function in the Sobolev space // Uzbek Mathematical Journal. - Tashkent, 2019, no 4, pp 4753. 2. Bozarov B.I. Optimal quadrature formulas with the trigonometric weight in the Sobolev space // Bulletin of the Institute of Mathematics, V.I.
Romanovskiy Institute of Mathematics. - Tashkent, 2020. no 4. pp.1-10.
3. Hayotov A.R., Bozarov B.I. An optimal quadrature formulas with the trigonometric weight in the Sobolev space // AIP Conference Proceeding, 2365, 020022 (2021), 16 July.
4. Bozarov B.I. An optimal quadrature formula in the Sobolev space // Uzbek Mathematical Journal. -Tashkent, 2021, no 3, pp 46-59. (01.00.00; №6).
5. Hayotov A.R., Bozarov B.I. Optimal quadrature formula with cosine weight function //Problems of Computational and Applied Mathematics. - Tashkent, 2021, no 4, -pp. 106-118.
6. Shadimetov Kh.M., Hayotov A.R., Bozarov B.I. Optimal quadrature formulas for oscillatory integrals in the Sobolev space. Journal of inequalities and applications. Springer. Article number: 103 (2022).
7. Boltaev N.D., Hayotov A.R., Milovanovic G.V., Shadimetov Kh.M., Optimal quadrature formulas for numerical evaluation of Fourier coefficients in Journal of Applied Analysis and Computation, 2017, Vol 7, Issue 4, 1233-1266.
8. Hayotov A.R., Soomin Jeon, Chang-Ock Lee, On an optimal quadrature formula for approximation of Fourier integrals in the space // Journal of Computational and Applied Mathematics. 372. July 2020. 112713.
9. Boltaev N.D., Hayotov A.R., Shadimetov Kh.M., Construction of optimal quadrature formulas for Fourier coefficients in Sobolev space, Numerical Algorithms, Springer, (2017), 74: 307-336, DOI 10.1007/s11075-016-150-7.
10. Babaev S.S., Hayotov A.R. Optimal
w (m,m-1)
interpolation formulas in the space 2 // Calcolo, 2019. - 56:23.
11. Шадиметов Х.М. Оптимальные решетчатые квадратурные и кубатурные формулы в пространствах Соболева. - Ташкент: Фан ва технология, 2019.
12. Daliyev, B., Tukxtasinov, D., Bozarov, B., Sabirov, S., Abdullayev, J., & Ruzimatova, M. (2024, November). Optimal quadrature formulas in Sobolev space for solving the generalized Abel integral equation. In E3S Web of Conferences (Vol. 508, p. 04007). EDP Sciences.
27
