INTERPOLYATSIYA MASALALARINI YECHISH VA TAHLIL QILISHDA LAGRANJ USULI Текст научной статьи по специальности «Математика»

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год

INTERPOLYATSIYA MASALALARINIYECHISH VA TAHLIL QILISHDA LAGRANJ USULI

Umarov Xasan Abdullayevich

Mirzo Ulug'bek nomidagi O'zbekiston Milliy universitetining Jizzax filiali(PhD),dotsent

Annotatsiya: O'zbekiston iqtisodiyotida neftni qayta ishlash sanoatlarida mahsulot tannarxini aniqlashda oqilona boshqaruv qarorlari qabul qilish maqsadida samarali mamlakatlararo elektron tizimlari xamda ishlab chiqarish xarajatlarini xisobini ichki standartlar asosida yuritishni yо'lga qо'yish. Neftni qayta ishlash korxonalari faoliyatini boshqaruv tizimini takomillashtirish, xо'jalik yurituvchi subyektlar raqobatbardoshligini oshirishga moslashtirilgan eng munosib mahsulot tannarxi aniqlash sxemalarini izlash, ishlab chiqarish tannarxiga ta'sir etuvchi omillarni ekonometrik modellashtirish va bashoratlash, daval xomashyosi muomalalari xizmatlari sifatini oshirish va takomillashtirish dolzarb masalaga aylandi.

II Kalit so'zlar: Signallarga ishlov berish, Splayn funksiyalar, Interpolyatsiyalash, Lagranj

Kirish

Signal deganda biz uzatilayotgan yoki qandaydir axborot ko'rinishidagi vaqt bo'yicha har qanday fizik o zgaruvchini tushunamiz. Bugungi kunda quydagi tipdagi signallarga asosiy e'tibor berilmoqda:

-nutqiy signallar, misol uchun kundalik hayotda ishatiladigan(telefonda gaplashish, radio eshitish);

-beomedik signallar(elektroensefalogramma, miya signallari);

-ovozli va audiosignallar; -video va telerasmlar;

-radar signallari(berilgan diapazonda malum bir maqsadga yo'naltirilgan izlanishlarda qollaniladigam). [1]

Tabiatda uchraydigan ko'pgina signallar ozining analogli formasiga ega bo'lib, vaqt bo'yicha uzluksiz ozgaradigan va misol uchun ovozli tolqin korinishida fizik kattaligi bo'yicha tariflanadi. Odatda raqamli signallarni qayta ishlashda, anolog signallar bir xil oraliqli vaqt intervalida raqamli ko'rinishga keltiriladi.

Signallarga raqamli ishlov berishdan maqsad turli o zgartirishlar orqali ularni samaradorlik bilan uzatish, saqlash va axborotni ajratib olishdan iborat. [12]

Signallarga raqamli ishlov berisning qollanilish sohalariga quydagilarni keltirish mumkin. -tasvirni tanish;

- mashinali o'qitish;

- tasvirlarni sifatini yaxshilash; -faksimile va h.k

Asosiy qism

Ko'pgina amaliy masalalarda uchraydigan egri chiziqlar va sirtlar ko'pincha juda murakkab shaklga ega, shuning uchun ular odatda bir yoki ikki o'zgaruvchili elementar funksiyalari bilan tavsiflangan oddiy silliqlovchi funksiyalar to'plami bilan yaqinlashtiriladi.[4]

Bu esa funksiyalarning o'xshashlik xarakterga ega bo'lishini talab qiladi.

Quyda bazi splaynlarni qurish jarayoni ko'rib chiqilgan.

Splaynlar yordamida hisoblash

matematikasining quyidagi muammolarini hal qilishda foydalanish mumkin:

1. Funksiyaning taqribiy ifodalanishi masalasi

2. Taxminiy funksiyani tiklash muammosi

3. Funksiyani tekislash vazifasi

4. Funksiyalar va operatorlar funksiyasi yordamida taqribiy hisoblash masalasi

Bu yerda tiklash va silliqlash masallari uchun ko'p qo'llaniladigan splaynlarni qurish ko'rib chiqiladi.[4-5]

Splayn uzluksiz bo'laklarga bo'lingan funksiya bo'lib, uning har bir qismi (segmenti) chegaraviy nuqtalardan tuzilgan oddiy funksiya xisoblanadi. Ko'p hollarda splayn silliqlovchi funksiya bo'lib,

140

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год

fragmentlar sifatida algebraik polinomlar qo'llaniladi.[4]

Hozirgi vaqtda interpolyasiyalash tushunchasi juda keng ma'noda tushuniladi.

Interpolyasiya masalasining mohiyati quyidagidan iborat: Faraz qilaylik, [a, b] oraliqda y = f (x) funksiya berilgan yoki hyech bo'lmaganda uning f(x0),f(x1), ...,f(xn), qiymatlari ma'lum bo'lsin.[3] Shu oraliqda aniqlangan va hisoblash uchun qulay bo'lgan qandaydir funksiyalar {P(x)} sinfini, masalan, ko'phadlar sinfini olamiz. Berilgan y=f(x) funksiyani [a, b] oraliqda interpolyasiyalash masalasi shu funksiyani berilgan sinfningshunday P(x) funksiyasi bilan taqribiy ravishda f(x) « P(x) almashtirishdan iboratki, P(x) berilgan Xq, XV .••, Xft nuqtalarda f(x) bilan bir xil qiymatlarni qabul qilsin:

P(xt) = f(Xi) i = °n Bu yerda ko'rsatilgan Xq, XV .•• , Xft nuqtalar interpolyasiya tugunlari yoki tugunlar deyiladi, P(x) esa interpolyasiyalovchi funksaya deyiladi. Agar {P(x)} sinfi sifatida darajali ko'phadlar sinfi olinsa, u holda interpolyasiyalash algebraik deyiladi.

Biz asosan algebraik interpolyasiyalash bilan shug'ullanamiz. Masalaning qo'yilishi quyidagichadir. Darajasi n dan yuqori bo'lmagan shunday ko'phad qurilsinki, u berilgan (n+1) ta x0, x1,..., xn nuqtalarda berilgan f(x0),f(x1),.,f(xn), qiymatlarni qabul qilsin. Bu masalani geometrik ta'riflash ham mumkin: darajasi n dan ortmaydigan shunday P(x) ko'phad qurilsinki, uning grafigi berilgan ( n+1) ta

Mk(xk,f(xk)) к = °n nuqtalardan o'tsin.

Demak, Cm koyeffisiyentlarni shunday aniqlash kerakki,

P(x)=c0 + c1x + —+ cnxn (1)

ko'phad uchun ushbu

P(xk)=f(xk) к = 0,1.....n (2)

tengliklar bajarilsin. Bu tengliklarni ochib

yozsak, Cm(m = °n ) larga nisbatan ( n+1) noma'lumli ( n+1) ta tenglamalar sistemasi hosil bo'ladi:

c0 + C1X0 + + cnx0 = f(x0) Cq + C1X1 + ••• + cnxl = f(Xi)

(3)

•Cq + ^1xn + •" + Cnxn f(xn) Bu sistemani yechib, Cm larni topib (1) ga qo'ysak, P(x) ko'phad aniqlanadi. U holda

Ln(x)=lrl=Qf(xj)Qnj(x) (4)

izlanayotgan interpolyaiion ko'phad bo'ladi. Haqiqatan ham, barcha i=0,1,2,...,n uchun

Ln(xi )=Tj=of (xj)Qnj(xi) = Tj=Qf(xi)si =

f(xi)

va ikkinchi tomondan Ln(x),n - darajali ko'phaddir.

Endi Qnj(x)ning oshkor ko'rinishini topamiz, j Ф i bo'lganda Qn,j(.xd = 0, shuning uchun ham Qnj(x) ko'phad j Ф i bo'lganda x — xi ga bo'linadi. Shunday qilib, n - darajali ko'phadning n ta bo'luvchilari bizga. ma'lum, bundan esa Qnj(x)= С Uj*i(x — Xi) kelib chiqadi. Noma'lum ko'paytuvchi C ni esa

Qnj(xlj) = c — Xi) = i

shartdan topamiz; natijada:

Qnj(x) = nU^

Bu ifodani (4) ga qo'yib, kerakli ko'phadni aniqlaymiz:

Bunda Qn,j(x) =

(5)

Bu ko'phad Lagranj interpolyasion ko'phadi deyiladi,[4]

Usulning yoritilishi: Aytaylik biror f(x) funksiyaning qiymatlari jadval ko'rinshida berilgan bo'lsin.

x xo x1 x2 x3 x4 x5 xn

y yo y1 y2 УЗ У4 У5 Уп

Darajasi n dan katta bo'lmagan shunday L„(x) ko'phad topilishi keraki, uning xk nuqtalardagi qiymatlari jadval ko'rinishida berilgan funksiyaning qiymatlariga mos kelsin, ya'ni Ln(xk) = yk, k=0,...,n.

141

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год

Misol.

berilgan:

f(x) funksiya jadval ko'rinishida

x 1 2 3 5

y 5 6 7 1

Yechish. Yuqorida keltirilgan (5) formuladan foydalanib xususiy hollarini ko'raylik: n=1 bo'lganda. Lagranj ko'phadi ikki nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq formulasini beradi:

(Х-Х1)(Х-Х2)(Х-Хз)

L-M = Уо

(Хо-Хц)(Xo -X2)(Xo -X3)

+ У1 ■

(Х-Хо)(Х-Х2)(Х-Хз) (Х-Хо)(Х-Х1)(Х-Хз)

--+ У 7 •--+ Уч '

S 2 f V _ V Л fv _ V Л fv _ V Л У 3

(Х1-Хо)(Х1-Х2)(Х1-Хз)

(Х-Хо)(Х-Х1)(Х-Х2) (Хз-Хо)(Хз-Х1)(Хз-Х2)'

(Х2-Хо)(Х2-Xi)(X2-Х3 )

Ya'ni

(1-2)(1-3)(1-5)

(x-1)(x-3)(x-5) п (х-1)(х-2)(х-5) л ■+!•-,-г;-——— + 1

(2-1)(2-3)(2-5) (х-1)(х-2)(х—3) (5-1)(5-2)(5-3У

(3-1)(3-2)(3-5)

L3(x) = - — + 2^ х2 - 14-—+31.

3К J 3 4

Natijalar

Xosil bo'lgan funksiyaning bir xil qadam bilan kubik ko'phad va kubik splayn asosida interpolyasiyalashni Matlab muhitida qarab chiqamiz.

>> y=-((x.A3)/6)+2*x.A2-14.75*x+31;

>> p=polyfit(x,y,3);

fa=polyval (p,x);

subplot(3,1,1), plot(x,y,'-o'), grid, title('y=-x3/3+2x2-14,75x+31), hold on;

subplot(3,1,2), plot(x,fa,': *'),

title('polinom'), hold on; error=abs(fa-y); subplot(3,1,3), title('Oshibka'), hold on; stem(x,error) Natija:

plot(x,error,'--p'),

grid, grid,

Xulosa

Ushbu maqolada signalarga raqamli ishlov berishda splayn usullari yordamida interpolyatsiyalash usullaridan bir Lagranj interpolyatsiyalashni ko'rib chiqdik. Interpolsion ko'pxadning umumiy ko'rinishdagi turli ifodalanishlari mavjud: Nyuton, Lagranj, Gauss, Sterling, Bessel va boshqalar. Nyuton, Lagranj formulalari hisoblashlarda qulay bo'lib EHMda va qo'lda hisoblashlarda aniqlikni nazorat qilishni ta'minlaydi, qolgan boshqa formalar interpolyasiya tugunlari joylashishining xususiy xollarida o'rinli hisoblanadi.

Foydalanilgan adabiyotlar

1. Задорожный Александр Геннадьевич Киселев Дмитрий Сергеевич. построение сплайнов с использованием библиотеки opengl Учебное пособие.. Изд. № 358/18. Заказ № 163

2. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. Изд. 2-е, испр. — М.: Техносфера, 2007- 856 с

3. Смит Стивен. Цифровая обработка сигналов.— М.: Додэка, 2008. — 718 с

4. Зайнидинов Х.Н. Сплайны в задачах цифровой обработки сигналов //Ташкентский университет информационных технологий -Т.: Фан ва технология, 2015, 208 стр.

5. Dyakonov V. P. MATLAB 6.5 SP1/7 + Simulink 5/6 v. Обработка сигналов и фильтрация проекций.. - M.: Solon_R, 2005.

142