CC BY
3Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil
"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year
Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год
Алгоритмы синтеза адаптивных систем управления нестационарными системами при
неполной информации
Сотволдиев Х.И.,
PHD, Ферганского филиала Ташкентского университета информационных технологий имени Мухаммада ал-Хорезми
Абдурахимова М.И.,
Студентка Ферганского филиала Ташкентского университета информационных технологий имени Мухаммада ал-Хорезми
Аннотация: В статье представлены алгоритмы синтеза адаптивных систем управления для нестационарных систем и проводится их анализ при неполной информации. Разрабатываются модели, методы идентификации параметров и адаптивные законы управления, обеспечивающие устойчивость и высокую точность. Основные результаты показали эффективность предложенных методов.
Ключевые слова: нестационарные системы, адаптивные системы управления, алгоритмы синтеза, неизвестные параметры, вектор состояния, математическая модель объекта.
ВВЕДЕНИЕ. Современные
нестационарные системы управления играют ключевую роль в различных областях техники и науки, включая робототехнику, авиацию, энергетику и др. В реальных условиях работы таких систем часто сталкиваются с изменяющимися динамическими
характеристиками и неполной информацией о текущем состоянии и внешних воздействиях. Эти факторы требуют разработки эффективных алгоритмов синтеза адаптивных систем управления, которые способны обеспечивать устойчивость и оптимальность работы при изменяющихся условиях.
Адаптивные системы управления представляют собой класс систем, которые могут изменять свои параметры в ответ на изменения во внешней среде и во внутреннем состоянии объекта управления. В частности, для нестационарных систем характерны сложности, связанные с их временной изменчивостью, что требует разработки специализированных алгоритмов, способных адекватно реагировать на такие изменения.
Основной целью данной статьи является разработка и анализ алгоритмов синтеза
адаптивных систем управления для нестационарных систем в условиях неполной информации. Рассматриваются различные подходы к моделированию и идентификации нестационарных систем, а также методы адаптивного управления, которые могут эффективно функционировать в условиях неопределенности.
В работе особое внимание уделяется: Построению математических моделей нестационарных систем, которые позволяют учитывать изменения в динамике системы; разработке алгоритмов идентификации параметров системы на основе неполной информации; синтезу адаптивных законов управления, способных обеспечить устойчивость и желаемое поведение системы в изменяющихся условиях.
Результаты исследования имеют важное практическое значение и могут быть применены в различных областях, где требуется надежное управление сложными динамическими объектами в условиях неопределенности и неполной информации.
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ. Методы идентификации и управления нестационарными
6
"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific Электронный научный журнал "Потомки Аль-
journal of Fergana branch of TATU named after Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени
Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252
Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil
динамическими объектами позволяют решать широкий спектр задач. Помимо задач регулирования, они включают в себя определение оптимальных условий работы системы, управление объектами в быстроменяющихся условиях и эффективное управление при наличии помех [1,2].
Адаптивные системы управления обычно делятся на идентификационные и безидентификационные. В их разработке часто применяются системы с внутренней моделью, системы с эталонной моделью и системы экстремального регулирования. При построении робастных систем обычно используются алгоритмы робастного модального управления, робастного интервального управления и системы с внутренней моделью [3-7].
Теория идентификации и управления нестационарными динамическими объектами находится в настоящее время в стадии своего развития. Здесь много разных точек зрения, направлений и методов. Полученные алгоритмы носят приближенный характер, но для линейных законов являются точными. Хотя строгое обоснование и оценка скорости сходимости этих алгоритмов отсутствуют, численные примеры свидетельствуют о работоспособности и эффективности предложенных алгоритмов.
Задаче идентификации посвящено множество исследований, различающихся по типам объектов и используемым методам и алгоритмам. Значительное внимание в этих работах уделяется идентификации линейных динамических объектов, описывающихся дифференциальными или разностными
уравнениями с неизвестными коэффициентами. Среди множества алгоритмов идентификации, предназначенных для оценки коэффициентов уравнений на основе наблюдаемых данных, наибольшее распространение получили рекуррентные алгоритмы. Эти алгоритмы позволяют проводить идентификацию в режиме нормальной эксплуатации объекта.
Принципы разработки алгоритмов идентификации тесно связаны с выбором
уравнения, которое использует наблюдаемые данные для аппроксимации уравнения объекта, выбором критерия качества этой аппроксимации (функции потерь) и методом оптимизации выбранного критерия. До недавнего времени эти принципы были в значительной мере произвольными и зависели в основном от исследователя. Они формировались и утверждались на основе различных эвристических соображений, таких как удобство работы с выбранными уравнениями аппроксимации, критериями и алгоритмами [1,2,8].
Задача идентификации систем, то есть определение их структуры и параметров на основе наблюдений, является одной из ключевых задач современной теории и техники автоматического управления. Она возникает при изучении свойств и особенностей объектов для последующего управления ими, а также при создании адаптивных систем, где оптимальные управляющие воздействия разрабатываются на основе идентификации объекта.
Наиболее распространенным подходом является идентификация в режиме нормальной работы. Параметры настраиваемой модели подбираются на основе наблюдаемых входных воздействий и выходных величин объекта, чтобы достичь экстремума определенного критерия, характеризующего качество идентификации. Изменение параметров модели осуществляется с помощью адаптивных устройств, реализующих алгоритмы идентификации [2,8].
Практика применения адаптивных алгоритмов идентификации показала, что алгоритмы простейшей формы, такие как стохастическая аппроксимация, часто оказывались неэффективными. Оценки параметров
настраиваемой модели, полученные с их помощью, нередко зависели от выбора начальных значений, а сходимость алгоритмов часто была очень медленной. [9,10]. Попытки улучшить или оптимизировать эти алгоритмы путем замены скалярного коэффициента усиления на матричный и подбора элементов этой матрицы, как это
7
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil
"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year
Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год
делается в рекуррентной форме метода наименьших квадратов, не всегда были успешными. Хотя такие оптимальные алгоритмы теоретически демонстрировали сходимость и минимальность асимптотической дисперсии, на практике они часто не сходились. Такое поведение адаптивных алгоритмов идентификации часто связано с несоответствием условиям, характеризующим конкретные задачи
идентификации. Например, алгоритмы типа стохастической аппроксимации слишком универсальны и не учитывают имеющуюся априорную информацию о помехах и параметрах объекта. Однако оптимальные алгоритмы рекуррентной формы метода наименьших квадратов не всегда соответствуют априорной информации о помехах и диапазоне параметров идентифицируемого объекта. В результате, выбранные алгоритмы идентификации часто не обеспечивали надежные и обоснованные результаты, так как они, по сути, были случайными.
Поэтому стоит важная задача обоснованного выбора или формирования алгоритмов идентификации. Решение этой задачи тесно связано с возможностью учета априорной информации в настраиваемых моделях, критериях качества и алгоритмах идентификации. Поскольку адаптивные алгоритмы идентификации зависят от выбранной настраиваемой модели и критерия качества, обеспечивающего соответствие модели и объекта, однозначный выбор алгоритма возможен только при определенном выборе модели и критерия. Таким образом, задача обоснованного и однозначного формирования адаптивного алгоритма сводится, прежде всего, к выбору настраиваемой модели и критерия идентификации.
Предположим, что система линейных стохастических дифференциальных уравнений, описывающая модель объекта управления, имеет вид
х(г) = А (г) х(г) + В (г )и(г) + Г (г )д(г), х(г0) = х0 (1)
здесь х(г)е к" > и(г)е кт > Ж)е -
являются векторами, которые задают состояние, управление и внешние возмущения. Имеется в виду аддитивность внешних возмущений и задание их вектором, компоненты которого имеют нормальное распределение (гауссовские случайные величины) с заданными характеристиками
М{д(г)} = д(г), М{(д(г) - д (г))(д(т) - д (т))т } = 0(г )8(г - т)
А (г), В (г), Г(г) - являются матрицами, описывающими соответственно динамические свойства, влияние управляющих воздействий и влияние внешних возмущений.
Применение цифровых технологий выдвигает требования необходимости построения дискретной модели объекта [11,12]. Положим, что
Аг - является шагом дискретизации, который совпадает с периодом квантования для
управляющего сигнала. Пусть и(г) и д(г) -кусочнопостоянные непрерывные слева функции, имеющие вид:
и(г) = и(гк), д(г) = д(гк), гк < г < гк+х, гк+х = г0 + ш, к =
Тогда для (1) разностное уравнение будет иметь вид:
х(к +1) = А(к) х(к) + В(к )и(к) + Г (к )д(к), х(0) = х0 здесь
А(к) = 1п + АгА (гк), В(к) = А гВ (гк), Г (к) = ТАГ (гк), 1п -
является единичной матрицей порядка п' д(к) -векторы с компонентами, являющимися последовательностью гауссовских случайных величин, имеющих характеристики М{д(г)}= д (г), М{(д(г) - д (г))(д(]) - д (]))т }= 0(к)Зк,}
При независимости от времени всех
элементов матриц А (г)' В (г)' Г (г) модель объекта оказывается стационарной. Модель будет нестационарной, если среди элементов матриц
А (г)' В (гX Г (г) есть элементы, которые зависят от времени [12]. Построить такую модель можно так:
8
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil
"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year
Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год
г., i = 1, s
задать число моментов времени 1 , для
A (t), B (t), F (t)
будут
которых элементы матриц
зависеть от времени.
Необходимо построить вектор, имеющий
размерность 5, для каждого элемента, который
зависит от времени. В результате получают
а , Ъ и, /г, „
]а ]ъ - векторы, которые содержат 5
элементов. Таким образом, в матрицах
А X В (УX Р (У) будет содержаться конкретное число элементов, которые зависят от времени. То
есть, значения ^а, ^Ъ, 11 различны, следовательно,
каждая из матриц А (^ В Римеет свой набор векторов. Число таких векторов будет определено
значениями , ^Ъ, 11 .
Используя многочлен Лагранжа [13] по
т,, г1, 1 = 1,5
можно вычислить
t, к = IN
значениям
конкретный элемент матрицы в момент "к
я я I-т
Ц (,т, = £ ^П-^
г=1 ]=1 т1 - т] ] *1 ,
здесь 1 - является элементом одного из а , Ъ А, /V
векторов ]а ]Ъ 1 для конкретного значения ]а, ]Ъ, 1/ .
При проведении синтеза управляющих воздействий, поступление информации о состоянии объекта происходит с измерительного комплекса, содержащего довольно часто ошибки измерений. Предположим, что измерительный комплекс имеет математическую модель у(к) = х(к) + г (к) ,
(2)
У (к) е Я.
г (к) -
здесь
В (2) - гауссовские
последовательности, имеющие характеристики М{г(к)}= 0, М{г(к)гт(/)}= Я5к ], М{д(к)гт(/)} = 0
Информация, которая поступает с измерительного комплекса, не всегда может быть
полной. Это происходит, например, при отказе некоторых из датчиков. Тогда математическая модель измерительного комплекса примет вид у (к) = Нх(к) + Нг (к)
здесь
H
- является матрицей канала измерений, имеющая размерность 'х п , которая состоит из нулей и единиц. Нулевые столбцы матрицы Н будут соответствовать тем из компонентов вектора состояния, которые недоступны для измерения.
В конкретных условиях управление объектом может производиться по реальным результатам измерений, которые имеют погрешности, а также могут быть такие компоненты вектора состояния, которые являются недоступными для измерения. Поэтому в математической модели объекта необходимо рассматривать и наличие неизвестных параметров [14]. Математическая модель примет вид:
х(к +1) = А(к, в(к)) х(к) + В(к, в (к ))и(к) + Р {к)ц(к), х(0) = х0
, (3)
здесь в(к)-и является вектором неизвестных параметров, имеющим размерность
N.
Таким образом, для создания управляющих воздействий построим, используя дискретные
моменты времени по текущей информации - у (к), оценку для вектора состояния и параметров
х(к), в (к) . Поэтому предположим, что для
х„ в(0)
вектора 0 и вектора их предварительные
распределения являются гауссовскими
распределениями:
М {х0 }= Xo, М {(х0 - х0)(х0 - х0)Т }= Рх ,
Р Р
где х' в - являются ковариационными матрицами, содержащими ошибки начальных условий. Оценки будем строить с использованием дискретных параллельных фильтров Калмана [15].
Реккурентный алгоритм оценки вектора состояния имеет вид:
9
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil
"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year
Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год
x(k +1) = x(k +1/ к) + K (k )[y(k +1) - Hx(k +1 / к)],
x(k +1/ к) = л(к, в(к)Х(к) + в(к, 0(k))u(k) + F(k)q(k), x(0) = Xa,
K (k) = P (k +1/ k )HT [нр (k +1/ k )HT + HRHT ]-1, P (k +1/ к) = л(к, в(к )рх (к) Лт (к, в(к))+ F (к )Q(k) FT (к), Px (к +1) = [I„ - K (к)H]PX (к +1/ к), Px (0) = р.
(4)
здесь x(k +1/ к) -оценка вектора состояния
x(k + 1, которая является экстраполированной, P (к +1/к)
xK ' -является прогнозом дисперсионной
P (к )
, который строится на один шаг
матрицы вперёд.
Алгоритм для оценивания параметров модели также является рекуррентным и имеет следующий вид
9(к +1) = 9(к) + Ь(к)[у(к +1) - НФ(х(к), и(к))9(к) - Н/(х(к), и(к))} 9(0) = 90, Ь(к) = р (к)Фт (х(к), и (к)М
М (к) = НФ( х(к), и(к ))р (к )Фт (х(к), и(к ))Нт + ИГ (к)0(к )Гт (к )Нт + НЯНт, ре(к +1) = [^ -Ь(к)НФ(х(к),и(к))]ре(к), ре(0) = р.
(5)
-э Ф(-) е ЯпШк
Здесь получить матрицу 4' и
г(.) е т?п
вектор ■' () можно представив систему (3) в следующем виде:
х(к +1) = Ф(х(к), и (к ))9(к) + / (х(к), и (к)) + Г (к )д(к), х(0) = х0.
Чтобы построить управляющие воздействия
и( ) будем минимизировать математическое ожидание локального квадратичного критерия
[15]:
3(к) = М{(х(к +1) - х(к))тС(х(к +1) - хг(к)) + ит (к)Би(к)}
, (6) С
здесь С - весовая матрица, которая неотрицательно определена, О -весовая матрица,
которая положительно определена, х(к) -состояние, которое отслеживается и может быть представлено или постоянным или изменяющимся во времени.
Адаптивное управление для модели (3), учитывая оптимальность критерия (6), записывается в следующем виде
u (к) = -[bt (к, 9(к))сВ(к, в(к))+ d\BT (к, 9(к))с \л(к, 9(k)]x(k) + F(к)q (к) - xz (к)]
здесь - x(k) ) оценки состояния и параметров соответственно, которые получены с помощью фильтров Калмана (4), (5), в матрицах
л(к,9(к)} в(к,9(к)) вместо точных значений параметров указываются их оценки. Весовые матрицы критерия (6) определяют качество функционирования системы управления. Для
определения весовых матриц с и D локального критерия решают алгебраическое уравнение Риккати [9,12,16] по следующей итерационной схеме
si+1 = [at (0)SA(0) - Л (0)s B(0)(Bt (0)SB+D)-1 BT (0)SA(0)+с - s J^+s,
i = 0,1,2...., S0 = C
C
матрица C полагается равной матрице при исполнении условия
C
+1
\\Si+i - Si
'i+1
Проводя синтез управлений, обычно на величину управляющего воздействия накладывают ограничения. Часто эти ограничения задают в форме следующих неравенств:
итш, (к) < u (k) < Um3x, (k), i = im
Следовательно, с учетом ограничений
имеем
Umm i (k), u, (k) < Umaxi (k), U (k) = \ U, (k), UmaX, (k) < U (k) < Umax, (k), Umax, (k), U (k) > Umax, (k).
V
Ограничения, которые задаются для вектора состояния, должны указать максимальную величину отклонения от состояния, которое отслеживается, и определить качество, с которым функционирует управляемый объект. При удовлетворении всех компонентов вектора состояния заданным ограничениям, имеем
10
"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific Электронный научный журнал "Потомки Аль-
journal of Fergana branch of TATU named after Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени
Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252
Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil
управление, обеспечивающее требуемое качество функционирования объекта.
РЕЗУЛЬТАТЫ
Исследование подтвердило, что разработанные алгоритмы синтеза адаптивных систем управления представляют собой эффективные инструменты для управления нестационарными системами при ограниченной информации. Предложенные методы
моделирования, идентификации и адаптивного управления обеспечивают необходимую точность и стабильность работы, что делает их перспективными для применения в различных областях техники и науки.
Были изучены различные алгоритмы синтеза адаптивных систем управления, предназначенные для нестационарных систем при ограниченной информации. Были предложены модели, учитывающие временные изменения параметров системы. Эти модели продемонстрировали высокую точность в описании динамики нестационарных процессов, что позволило создать основу для дальнейшей разработки адаптивных алгоритмов управления. Эти алгоритмы идентификации параметров показывают высокую эффективность в условиях ограниченной и неполной информации. Использование методов фильтрации и оценивания состояний позволило значительно повысить точность оценок параметров, что, в свою очередь, улучшило качество управления.
Были синтезированы адаптивные законы управления, которые показали способность поддерживать устойчивость системы и обеспечивать требуемые динамические характеристики даже при значительных изменениях внешних условий. Алгоритмы управления продемонстрировали устойчивость к возмущениям и изменениям параметров. При изменения условий и параметров системы адаптивные алгоритмы управления обеспечивают стабильность и высокое качество управления, что подтверждает их применимость в реальных системах.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В статье были рассмотрены актуальные проблемы синтеза адаптивных систем управления для нестационарных систем при неполной информации. Исследование показало, что разработка таких систем требует комплексного подхода, включающего математическое моделирование, идентификацию параметров и синтез адаптивных законов управления.
Основные результаты показали
эффективность предложенных методов. Разработанные математические модели подходят для описания динамики нестационарных систем, а алгоритмы идентификации параметров позволят получить точные оценки даже при ограниченной информации. Адаптивные законы управления обеспечивают устойчивость и желаемые динамические характеристики системы в различных условиях. Алгоритмы синтеза адаптивных систем управления показывают способность эффективно справляться с изменениями параметров и внешних условий, что делает их перспективными для использования в робототехнике, энергетики и т.д.
Предложенные в работе алгоритмы и методы представляют собой важный шаг в области управления нестационарными системами. В будущем планируется дальнейшая оптимизация предложенных решений на реальных объектах, что позволит улучшать их производительность и расширять области применения. Планируется исследование возможностей интеграции предложенных подходов с современными методами искусственного интеллекта и машинного обучения для дальнейшего повышения адаптивности и эффективности систем управления.
Использованная литература
1. Yang, Jian-Bo; Li, Duan Normal Vector Identification and Interactive Tradeoff Analysis Using Minimax Formulation in Multiobjective Optimization./.In: IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics Part A:Systems
11
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil
"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year
Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год
and Humans., Vol. 32, No. 3, 05.2002, p. 305319.
2. Igamberdiyev H.Z., Sotvoldiev H.I., Mamirov U.F. Stable control algorithms for non-stationary objects based on game methods // ICMSIT-III-2022 Journal of Physics: Conference Series 2373 (2022), Page: 16177-16181.
3. Sergeev V.L., Kalayda V.T., Polishchuk V.I. "Models and algorithms of non-stationary signal identification in conditions of uncertainty" 2016 International Siberian Conference on Control and Communications (SIBCON), 2016, - p. 1-4.
4. Руденко О., Бессонов О., Лебедев О., Сердюк Н. Робастная идентификация нестационарных объектов с негауссовой интерференцией. Eastern-European Journal of Enterprise Technologies 2019, 44-52 с.
5. Janusz P. Paplinski An evolutionary algorithm for identification of non-stationary linear plants with time delay: ICINCO 2004 - Intelligent Control Systems and Optimization p. 64-69.
6. Дат В.К., Бобцов А.А. Управление по выходу линейными нестационарными системами с использованием методов параметрической идентификации. Мехатроника, автоматизация, управление. 2020, 21(7), 387393 с.
7. Igamberdiev H.Z., Yusupov E.A., Sotvoldiev H.I., Azamxonov B.S. Sustainable algorithms for the synthesis of a suboptimal dynamic object management system // Advances in Intelligent Systems and Computing, 2020, Prague, Czech Republic. -PP. 902-907.
8. Карабутов Н.Н. Адаптивная идентификация систем: Информационный синтез. Изд. стереотип. 2016, - 384 с.
9. Бобцов А.А., Николаев Н.А., Оськина О.В., Низовцев С.И. Идентификация нестационарного параметра незашумленного синусоидального сигнала Автоматика и телемеханика, 2022, вып. 7, 137-151 с.
10. Rudenko O. et al. Analysis of convergence of adaptive singlestep algorithms for the Identification of nonstationary objects //Eastern-
European Journal of Enterprise Technologies. -2019, - Т. 1. - №. 4. - p. 6-14.
11. Erypalova M.N. Simulation of non-stationary object control system with constant settings in the software environment Simulink Bulletin of the South Ural State University. Ser. Computer Technologies, Automatic Control, Radio Electronics. 2017, vol. 17, №. 1, p. 134-139.
12. Ji-Zhen Liu, Shu Yan, De-Liang Zeng, Yong Hu. A dynamic model used for controller design of a coal fired oncethrough boiler-turbine unit. The International Journal Energy, Volume 93, Part 2, 15 December 2015, p. 2069-2078
13. Бобцов А.А., Пыркин А.А. Адаптивное и робастное управление с компенсацией неопределенностей. Учебное пособие. -СПб.: НИУ ИТМО, 2013, -135 с.
14. Игамбердиев Х.З., Сотволдиев Х.И., Гафуров Ю.И. Алгоритмы устойчивого оценивания параметров настроек регуляторов в адаптивных системах управления с эталонными моделями // "Контроль и управление химической технологией" Международный научно-технический журнал ТГТУ, №1, 2015, 71-74 с.
15. Azamhonov B.S., Sotvoldiev H.I., Yusupov E.A. Identification algorithm and diagnosis in problems suboptimal control of transient objects / Seventh world conference on intelligent systems for industrial automation, WCIS - 2014, p. 274-276.
16. Сотволдиев Х.И. Синтез адаптивного субоптимального управления нестационарными объектами // "Информатика и проблемы энергетики" Журнал Узбекистана №1, 2022., 10-16 с.
12
