Fisher statistikasida markaziy limit teoremalardan foydalanish Текст научной статьи по специальности «Математика»

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год

Fisher statistikasida markaziy limit teoremalardan foydalanish

Saidov Mansurjon Inomjonovich,

Muxammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali

"Tabiiy fanlar" kafedrasi assistenti, E-mail: mansursaidov785@gmail.com

Annotatsiya: Ushbu maqolada matematik statistika bo'limida Fisher statistikasi uchun markaziy limit teoremalardan foydalanish yoritilgan.

Kalit so'zlar: Matematik statistika, taqsimot, zichlik funksiya, eksponensial taqsimot, tanlanma, tanlanmaning hajmi.

Kirish.

Bizning asosiy maqsadimiz Fisher statistikasi uchun markaziy limit teoremani isbotlash va bu teoremadagi qoldiq hadning bahosini topishdan iborat. Buning uchun standart eksponensial taqsimotdan

1 kesmadagi tekis taqsimotdan tashkil topgan variatsion qator elementlarini, ya'ni tartiblangan statistikalarning elementlarini musbat bog'lanmagan tasodifiy miqdorlar yig'indisi shaklida ifodalash masalasi asosiy o'rin egallaydi. Shu sababli biz isbotlaydigan tasdiqlarni boshqa natijalar bilan taqqoslash maqsadida ayrim ilmiy natijalarni keltiramiz.

Aytaylik

Z1 < Z2 < Z3 < - < Z

(1)

n - hajmli tanlanma uchun eksponensial taqsimotdan olingan

f (z) = e"z, (0 < zi < z2 < z3 <... < zn) (2)

zichlik taqsimotiga ega bo'lgan tartiblangan statistika bo'lsin. Bu holatda birgalikdagi taqsimot zichligi

n!exp

SZr , (0 < Zi < z2 < Z3 < ... < Zn <«)

V r =1 J

(3)

ko'rinishida bo'ladi. (17) ifodani

n!exp

-£ (n - r +1)(^ - zr-1)

r=1

(4)

ko'rinishida ham yozish mumkin. Bu erda isbotlagan.

Z = 0

0 . Yuqoridagilarni 1937-yilda Suxatme

Agar

Л = (n + r + 1)(Z(r) - Z(r-1))' r = 1,2,3r-, n

(5)

deb olinsa va har bir Уг miqdor (0' œ) oraliqda taqsimlanganligini e'tiborga olsak, ko'rsatish

mumkinki, Уг -statistikalar umumiy zichlik funksiyasi (2) ko'rinishida bo'lgan bog'liqsiz miqdorlardir.

Bu natija umr davomiyligini tekshirish masalalarida muhim ahamiyatga ega. Masshtab Z

aniqligida qaralsa (r) ni n ta bir vaqtda sinovga qo'yilayotgan predmetlarni ifodalaydi. Bu erda har bir

predmetni umr vaqti X = AZ (A > 0)

eksponensial taqsimotga ega va matematik kutilmasi

A ga teng. U holda 2 ta o'lim vaqti orasidagi farq orliqlari

X(r) - X(r-1),

AZ

n - r + 1

(6)

Z

kabi taqsimlangan. (5) ifoda (r) ni

Z(r ) =S (Z(.)- Z(i-1) )=£ i=1

y.

i=1 n - i +1 (7)

ko'rinishida ifodalash imkonini beradi. Bundan kelib chiqadiki, Z(r) ni har bir j < r lar uchun

Z = Z

U) U) hodisaning ehtimolligi

28

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год

7 = z

Z(r-1) z(r-1)

(8)

hodisaning ro'y berish ehtimolligi bilangina aniqlanishi kelib chiqadi.

Boshqacha aytganda,

7 • 7 • 7 • • 7

7(1)' 7(2) ' 7(3)' •••' 7(n) (9)

ketma-ketlik Markov zanjirini tashkil etadi (Reni, 1953 y). Ushbu maqolada (7) munosabatni uzluksiz taqsimotga tegishli taqsimot funksiyasi qat'iy o'suvchi bo'lgan

X(1) - X(2) - X(3) - ••• - X(n) (10)

tartiblangan statistikani qaraymiz. U holda

u = P (x)

(11)

Xt.

Kolmogorov-Smirnov almashtirishi (r) ni

U (r = 1 n) (r) tartiblangan statistikaga almashtiradi

va almashtirilgan statistika R (0' 1) da tekis

taqsimotga ega. z = logu funksiya u ga nisbatan

kamayuvchi va logU qiymat (2) ko'rinishdagi eksponensial taqsimotga ega bo'lgani uchun

'( r )

- log U(n-r+1). r = 1 n

(12)

kabi aniqlangan miqdor tartiblangan statistikadir va u (15) variatsion qator bilan ustma-ust

X

tushadi. Shuning uchun (n - r+1) ni (7) ifodani e'tiborga olgan holda

X(n-r+1) = p-1 (U(n-r+1) ) = P-1 (^7(r) ) =

= P

t Y Y

expl — + —— +,,, + -

Y

n n -1 n - r + 1 J_ ko'rinishida yozish mumkin. U holda

(13)

X(n-r) = P-1 \ exp

log P(X(n-r+1) )-

Y

r+1

n -1

(14)

X Y

ifoda o'rinli va unda (n-r+1) va (r+1)

bog'liqsizligi va (13) ifodaning bog'liqsizligini e'tiborga olgan holda

X(n)' X(n-1)' X(n-2)' •••' X(1)

(15)

miqdorlar Markov zanjirini tashkil etadi. Yuqoridagi natijalardan quyidagi muhim tasdiq kelib chiqadi:

1-teorema. n - hajmli uzluksiz taqsimotdan

X

olingan tasodifiy tanlanmadan tashkil topgan (s) tartiblangan statistikaning shartli taqsimoti

X(r ) = X( r )

(n - r) - hajmli o'sha taqsimotdan tuzilgan

X X(r) nuqtadagi chapdan qirqilgan - r) -tartiblangan statistikaning taqsimoti bilan ustma-ust tushadi.

Bu teoremadan ba'zi natijalarni olishda foydalanamiz.

Fisher statistikasida natijalar olish. Y•Y • 'Y

Aytaylik, v 2'""' n n tao'zaro bog'liqsiz, bir

xil taqsimlangan va qat'iy uzluksiz o'suvchi F(y) taqsimotga ega bo'lgan tasodifiy miqdorlar ketma-

ketligi bo'lsin.

Y • Y • • Y

tasodifiy miqdorlarni

Y • Y • • Y

quyidagicha aniqlaymiz. " 2'"""' n tasodifiy miqdorlarning o'sish tartibida quyidagicha aniqlaymiz. Qisman

Y„ = min Y n ' Y2. n ' • ■ • 'Yn,n }

va

Yn, n = maX{Y1, n ' Y2,n ' • • • ' Yn, n }

Y - Y - • . . - Y Y • ko'rinib turibdiki, 1 2 n , i i

tartibli, tartiblangan statistika deb ataladi. Quyidagi tanlanmani

(Y1 ' Y2 ' • • • ' Yn ) (Y1,n ' Y2,n ' • • ' ' Yn,n )

(Y • Y • • Y ) n hajmli v 2'""' n> ning tartiblangan

statistikalar to'plami deb ataladi.

Umumiylikni yo'qotmagan holda quyidagi

soddalashtirishlarni kiritamiz. Aytaylik

Xt = F Y ), i = 1' 2' 3' • . . ' n

X

va X i tasodifiy miqdorlarning taqsimotini topamiz:

29

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год

P{X < x} = P{F(Y) < x} = P{Y < F_1(x)} = = F(F l (x)) = x, 0 < x < 1, г = 1; 2;... ; n (16)

Bu erda F 1 funksiya yagona ravishda aniqlangan F funksiyaga teskari funksiya. Endi

0 < F(y) < 1 bo'lgani uchun

P {X < х} = |0'

0, agar x < 0

agar x> 1 г — 1; 2; (17) ga ega bo'lamiz. Shunday qilib (16) va (17)

X,.

[ 0,1 ]

larga asosan i tasodifiy miqdor 0' 1 oraliqda i ning har qanday qiymatlari uchun F taqsimotni qat'iy o'suvchanligiga bog'liqmas ravishda tekis taqsimlangan bo'lar ekan. Shuni e'tiborga olish

{Y }

kerakki i'n orasida tartiblar

Xi = F (Y )

almashtirishda o'zgarmaydi. Shuning uchun kelgusida

X,_ < X < _ < X

(18)

tartiblangan statistikani o'rganamiz va

u [ 0'1 ]

X ' X ■ ' X

oraliqda tekis taqsimlangan 15 2'""' n tasodifiy

X ; X ; ... ; X miqdorlardan tuzilgan. 1,n 2,n n orasida

(18) munosabatni bajarilganligi ularning bog'liqsiz

ekanligini ko'rsatadi. Oldin bularning birgalikdagi

taqsimot funksiyasini yoki aniqrog'i taqsimotini

topamiz.

Bu taqsimotni f (х1'X2'.'Xn) ko'rinishida belgilaymiz. Quyidagi sonlar ketma-ketligini

0 < x < X < . < хи < 1 , • ,

12 n va kichik orttirmalar

h2'...' h,n ni shunday tanlaymizki, ularning

( x1 ' x1 + h1); ( X2 ' X2 + h2);. '( xn ' xn + hn) intervallari kesishmasin. U holda bularning birgalikdagi taqsimoti

Xn+hn Xn _1 + hn _1 X1 + h

j j _ j f (X1 ' X2 ' _ ' Xn ) dX1 dX2 _ dXn

Xn Xn-1 X1

= P)X, < X < X, + h' i = 1'2' _'n} =

V 1 i ' n 1 1 J

= SP{x, < Xia < Xi + h ' i = 1'2'...'n} =

ае^Ц 2'___' n}

n

= SПP{Xi < X^ < Xi + h} = SПh = n\KK _hn

a i=1 a i=1

(19)

ga teng. Bu erda tekis taqsimotni bog'liqsizligi

va o'rin almashtirishlar n! ga teng ekanligi e'tiborga olindi. (19) dan kelib chiqadiki, tartiblangan

Xn'X2'n '_'X„'n statistika birgalikdagi taqsimoti quyidagiga teng:

n !, agar 0 < x^ < x2 <... < xn < 1 v 0, aks holda

(20)

Xuddi shu narsani [0' 1] oraliqda tekis taqsimlanganligi uchun quyidagicha ko'rsatish mumkin:

/{XjjXT,...,^,,} —

/{ад;...;*„;} = <

n!

(b - a)! 0' aks holda

, agar a < xx < <... < xn < b

(21)

(20) taqsimotni Puasson jarayonini o'rganishda quyidagicha talqin mavjud, ya'ni, {Y(t)' 0 < t < 1}

Puasson jarayoni, bunda har bir t e[0,1 ] uchun Y (t ) diskret tasodifiy miqdor va

Pk (t) =

-At

(At )k

, agar к = 0;1;2;...

0' aks holda

A-

Bu yerda haqiqiy parametr.

Fisher statistikasida natijalar olishni markaziy limit teoremalar bilan taqqoslash.

Aytaylik Y(0) = 0 bo'lsin. U holda Y(1) = n

ekanligidan [ 01 ] oraliqda n ta vaqtli nuqtalar

30

n

2'И

n'n

e

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год

tasodifiy

mavjudligi kelib chiqadi va bu nuqtalarda sakrash mavjud bo'lib, bu nuqtalardagi holatlar t{T2,• . . • Tn (T <T2 <• . .<Tn)

miqdorlarga bog'liq.

Quyidagi tasdiq mavjud: Y(1) = n bo'lganda T • T • • T

1 2 n tasodifiy miqdorlar tartiblangan statistikalar to'plami kabi taqsimlangan. Buning isboti olingan natijalardan kelib chiqadi.

Shartli momentlar va tartiblangan statistikalar orasidagi munosabatlar turli xususiyatlar mavjudligini tasdiqlaydi.

X • X • • X

Masalan: Aytaylik 1 2,nn n -

hajmli tanlanmaning tartiblangan statistikasi bo'lsin.

X • X • • X

Biz shuni tasdiqlaymizki, 1 2-"'"'' k-1, n

miqdorlar birgalikdagi shartli taqsimoti

Xk, » = ck ' Xk+1, » = ck+1; • • • 'x«, » = c« qiymatlarda

X • X • • X

k-1 taqsimot bilan ustma-ust tushadi. Buni tekshirish uchun Puasson jarayoni terminida masalani keltiramiz.

Aytaylik Y (1) =n shartida Y (t)

Puasson jarayoni yuzaga kelish momentlari

0 - T - T - - T - 1

1 2 n bo'lsin. Qo'shimcha

Xk = Ck 'Xk+1 = Ck+1 ' • • • ' Xn = cn shartda

T • T • •. .• T

^ г'"'' k-1 miqdorlarning birgalikdagi taqsimotini

deb

aniqlaymiz. Xk Ck yoki Y (Ck s) k 1

olinsa,

T T ' • . . T

, ± k-1

haqidagi barcha ma'lumot shu

. t 'T ' • . . '

shartga bog'liq bo'lib qoladi. Lekin ^ ' 2'""' k1

(k -1) - hajmli tartiblangan statistika kabi

X ' X ' ' X

taqsimlangan. Shuning uchun '' 2''"' k-1

miqdorlarning

birgalikdagi

Xk, « Ck ; Xk+1,« Ck+i;- • • ; X«, « c« shartdagi

taqsimoti

(k -1) -

hajmli

[0, Ck ]

oraliqdagi tekis

taqsimlangan tartiblangan statistika taqsimoti bilan ustma-ust tushadi. Bunga to'g'ri keladigan shartli zichlik funksiyasi

f jxj, x2,..., xkl Ick , ck+l, ck+2

, aSar 0 < Xj < x2 < ... < x, , < ck

Ck

0, aks holda

f { Xk+1 ' Xk+ 2 ' ' ' ' ' Xn |C1 ' C2 ' • ' ' > Ck } '

(.n-k)\

(22)

ga, L ~k7 J oraliqda esa

¡-k

cigar ck<xk+l<xk+2<...<xn<\

(1 ~ck)

0, aks holda

(23)

bilan ustma-ust tushadi. (22) va (23) formulalar

c

birgalikdagi shartli zichlik funksiyasini k ga bog'liq ekanligini va

ci ; i = k +1; k + 2; • . . ; n, i = 1;2; • . . ; k - 1larga

bog'liq emasligini ko'rsatadi. Bu esa

V • v • • v y -Y •• Y

X 1, n ' X 2, n '•••' Лk-\, n va Xk +1, n ' Xk+2, n '•••' Xn, n larning

yagona

X, = c

kk

shartda birgalikdagi zichlik taqsimoti

f {x!, x2,..., xk lck} —

——, agar 0<xl<x1<...<xk_l<ck ck

0, aks holda

(24)

va

f {XA-+1 ' Xk+2 ' • • • ' XnCk } ~~

(n-k)\

--—F, agar ck < xk+1 < xk+2 < ... < x„ < 1

0, aks holda (25)

ga teng ekanligini bildiradi.

(22) va (23) formulalar (24) va (25) formulalar bilan birgalikda yana shuni qayta

ko'rsatadiki

X ' X ' • . . ' X,

1, n J 2, n

va

Xt_ = c,r

X ' X ' ' X =

k+i,n• k+2,n • •••• n,n statistikalar yagona X,n Ck

shartda bog'liqsizdirlar.

X ' X ' ' X Bundan tashqari ikkita 1n' 2nk-1,n

va

У Y ■ Y

Xk+1, n ' Xk+2, n ' X n, n

(i < k) to'plam shartli bog'liqsiz bo'ladi va ular aniq

31

— <;

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год

Xi+1'« Xi+1' Xi+1' « Xi+2;_;Xk ' « Xk qiymatga ega bo'ladi.

Bundan foydalanib, ixtiyoriy sondagi tartiblangan statistika uchun birgalikdagi zichligini topish mumkin. Demak,

X1'n ' X2'n ' _ ' Xi'n ' _ ' Xk +1' n ' Xk+2'n ' _ ' Xn, n

(i < k)

shartdagi birgalikdagi taqsimoti

f {x15 x2' xk 5 Xk+1 ' _' Xn Xi+1 ' Xi+2 ' _' Xk } = _ f {x1' X2' — ' Xn } f {xi+1' Xi-+2' _' Xk }

(26)

Boshqa tarafdan, yuqorida keltirilgan tasdiqqa asosan tenglikning chap tarafi

/ {X1 ; X2 ' • • • ' Xi |X;+1 ' Xi+2 ' • • • ' Xk } = = f {XÄ-+1 ' Xk+ 2 ' • • • ' Xn |X;+1 ' X;+2 ' ' ' ' ' Xk } = = / {X1 ? X2 ' • • • ' Xi |X;+1 } ' / {XA-+1 ' XÄ + 2 ' ' * • ' Xn \Xk } =

i\ (n-k)\

X i+1 (1 Xk)

ga teng.

Bundan va (26) hamda (20) munosabatdan

0 < i < k < n lar uchun

f {X;+l'X;+2'---'Xir} =

• x;+1(l-xk)"-k,agar 0< xM < xj+2 <...<xn < 1

i\(n-k)\ 0' aks holda

(27)

Xususan (27) munosabat i +1 = k bo'lganda

X

k uchun marginal zichlikni beradi va u beta taqsimotga mansubdir.

f { Xk } =

n!

(k -1)!( n - k )! 0' aks holda

xk-1(1 - Xk)n-1' agar 0 < x« < 1

(28)

X ' X ' ' X

Tartiblangan 1'2'n''"' n'n statistika

[ 0'1 ^nni (n + 1)

oraliqni

ta kesishmaydigan oraliqlarga

bo'ladi. Ularning uzunligi

= X1 ,„ > U2 = x2 n - Xl n ;... ;

Un = Xn'n - Xn-1'n ' Un+1 = 1 - X„'n

ga teng.

Ko'rinib turibdiki U1' U2' _ ' Un ' U"+1 miqdorlar bog'liqsiz tasodifiy miqdorlar, chunki

n +1

S+1U, = 1

i =1

Agar (X1 'x2'_'xn) va (u1 'u2'_'un) almashtirishni bajarib

— X| + X2

un = X1 + X2 _ Xn-1 + Xn (29)

va bu almashtirish yakobianini hisoblasak, u 1

ga tengdir hamda birgalikdagi {U 1' U2' _ ' Un}

miqdorlarning g(u1' u2 ' _ ' un ) zichlik taqsimotni hisoblash mumkin, ya' ni

n

n\,agar il > 0 (/ = 1;2;...;«), ^il < 1

1=1

0' aks holda

g{u{, к,;...; un) = <

(30)

Shunday qilib {U1' U2'_' U« } tasodifiy miqdorlar

n

Ui > 0, i = 1;2;3;_;n, Sиг < 1

¿=1

sohada tekis taqsimlangan ekan. Bu

{U1' U2' — ' Un 'Un+1 }

tasodifiy miqdorlar taqsimoti

n+1

U > 0, i = 1;2;3;_;n;n +1, SU = 1

i=1

sohada aniqlanishini tasdiqladi. Endi {U1' U2' _ ' Un ' Un+1} taqsimotni

32

ui — Xi

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год

Y Y

1п . Yn+1

YY

YL-Y?.- _ _

5 ' 5 ' ' ' ' ' 5 ' 5

taqsimot bilan ustma-ust tushishini ko'rsatamiz. Bu erda

5 = Y1 + Y2 + • . . + y. + Yn+1

Y

1 lar esa standart eksponensial taqsimlangan. Bu natija masalani Puasson jarayoni talqinida yangicha tahlil qilish asosida isbotlanadi. Buning uchun

Y + Y + + Y + Y

Y1 + 1 2 + ••• + Yn + Y«+1

miqdorlarning zichlik taqsimotini

n+1

Ä"+1 exp(-;i^ У,. ), y = 0, / = 1 ; 2 ; ... ; и ; и +1

/{у;у2;...;у„+1} =

i=1

0, aks holda

ko'rinishida olamiz va quyidagi У1

У1 + У2 + •• + Уп + Уп+1

У 2

У1 + У2 + • • • + Уп + Уп+1

Уп

У1 + У2 +• • • + Уп + У n+1 Vn+1 = У1 + У2 + • • • + Уп + У n+1 almashtirish qilamiz. Teskari almashtirish

У1 = v1 • Vn+1

У2 = v2 • Vn+1

v = v • v ,

n n n +1

У n+1 = Vn+1 -[1 - (v1 + V2 +• • • + vn )]

ko'rinishga ega. Bu almashtirishning yakobianini hisoblasak:

0 v„_

J =

00

00

- v , - v , - v

n+1 n+1 n-

0 0

0 v.+1 0

00

0 0 0

0 0 0

kelib chiqadi. Shunday qilib

Yl. YL. .Yl.ç

5 ' 5 ' * * * ' 5 '5

= v„

miqdorlarning birgalikdagi zichlik taqsimotini

f {vi' v2 ' • • • ' vn ' vn+1 } =

n+1

2n+1exp(-2-v.+i)• vn+i, v, >0, i = 1' 2' • . .'n'n +1, £v,, = 1

i=1

0, акс холда

Y Y Y

Y_- Yl- ■ Yn

' n ' ' ' ' '

ga teng. Bundan esa 5 va 5 5 5 tasodifiy miqdorlar bog'liqsiz va marginal zichligi quyidagicha

>+1

f (v«+i) = ^

n !

exP(-l^ v«+1) • vnn+1, v«+1 > 0

0, акс холда

va

f {vi' v2' • • • 'v« } =

n+1

!, v, > 0, i = 1' 2' • . .' n, £ v, - 1

i=1

0, акс холда

(31)

33

0

v

v

0

v

2

0

v

v

3

v

v

n

0

1

v2 =

0

0

0

v

v

0

0

v

2

0

v

v

= :

0

v

v

- vn+1 1 - vi - v2 - • - --vn

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 2 | 2024-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 2 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 2 | 2024 год

Xulosa.

Bulardan quyidagicha xulosaga kelamiz mumkin ya'ni Fisher statistikasida natijalar olishda boshqa taqsimotlarda ishlatilgan oddiy usullardan ko'ra markaziy limit teoremalardan foydalansak ancha ijobiy natijalar olamiz.

Ma'lumki (31) munosabat (30) munosabat bilan birligi mavjud va

Y Y Y Y

Yl_|_i Yn ! Yn+1

S S _ S S ~

ekanligidan

Y Y Y Y

Y1 .2. ,1n.1n+1

(Ui'U2;-; U; un+i) va ^' ^^' ^

miqdorlar taqsimoti tengligi kelib chiqadi.

Adabiyotlar ro'yxati:

1. Е.С.Вентцель "Теория вероятностей", Учеб. для вузов. М.: Высш. шк., 2006 г, 575-c.

2. Н.Ш.Кремер "Теория вероятностей и математическая статистика", Учеб. пособие/ Под ред. В.И.Ермакова. - М.: ИНФРА-М, 2011 г, 287-с.

3. Sheldon Ross. "A first course in Probability", Eight Edition, Univer. Of Southern California, 2010, pp.303.

4. А.А.Боровков "Математическая статистика", учебник, М.: Наука, 2013 г, 314-с.

5. С.Х.Сирожиддинов, М.Маматов "Эх,тимоллар назарияси курси", Т. Ук;итувчи, 1980 й.

6. У.К.Колде "Практикум по теории вероятностей и математической статистике", М. "Высшая школа", 1991 г.

7. В.А.Колемаев, В.Н.Калинина "Теория вероятностей и математическая статистика", Учебное пособие, М.: Инфра-М, 1997 г.

34