TASODIFIY MIQDORLAR YIGINDISINING YUQORI TARTIBLI MOMENTLARINI XARAKTERISTIK FUNKSIYALAR METODI ORQALI ANIQLASH Текст научной статьи по специальности «Математика»

Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences

Research BIB / Index Copernicus

(E)ISSN: 2181-1784 4(6), June, 2024 www.oriens.uz

TASODIFIY MIQDORLAR YIGINDISINING YUQORI TARTIBLI MOMENTLARINI XARAKTERISTIK FUNKSIYALAR METODI ORQALI

ANIQLASH

Dushatov N.T.,

Obloqulov S.Z.

Islom Karimov nomidagi Toshkent davlat texnika universiteti

Olmaliq filiali n_dushatov@rambler.ru

ANNOTATSIYA

Мацолада xarakteristik funksiyalar metodi yordamida tasodifiy miqdorlar yig'indisining к - tartibli momentini aniqlash masalasi o'rganilgan. £, £ ,...,£ bo 'gliqsiz va a parametr bilan ko 'rsatkichli qonunga bo 'ysinuvchi tasodifiy miqdorlar yig'indisining к - tartibli momenti topilgan.

Kalit so'zlar: tasodifiy miqdor, zichlik funksiya, ko'rsatkichli taqsimot, xarakteristik funksiya, к - tartibli momenti.

ABSTRACT

The problem of determining the order moment of the sum of random variables using the method of characteristic functions is studied in the article. к - order moment of the sum of independent random variables £, £,...,£ subject to the exponential law with the a parameter is found.

Key words: random variable, density function, exponential distribution, characteristic function, к - order moment.

АННОТАЦИЯ

В статье исследуется задача определения момента k-го порядка суммы случайных величин методом характеристических функций. Найден момент k-го порядка суммы независимых случайных величин £, £,...,£ , подчиняющихся экспоненциальному закону с параметром a.

Ключевые слова: случайная величина, функция плотности, показательное распределение, характеристическая функция, момент k-го порядка.

1-Tarif. [1] £- tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi deb haqiqiy t argumentning ushbu

<X)

f (t) = Meitx = J eitxdP = J eitxdF^ (x) (1

Q -да

funksiyasiga aytiladi.

Oriental Renaissance: Innovative, (E)ISSN: 2181-1784

educational, natural and social sciences 4(6), June, 2024

Research BIB / Index Copernicus www.oriens.uz

Agar q diskret taqsimotga ega bo'lsa, u holda xarakteristik funksiya

f (t) = X eitXkP(% = Xk ) = X eitxkp(xk ) (2)

tenglik orqali ifodalanadi. Agar % tasodifiy miqdor absolyut uzluksiz taqsimotga ega bo'lib, p(x) uning zichlik funksiyasi bo'lsa, u holda

œ

f (t ) = J eitxp( x)dx

bo'ladi, yani absolyut uzluksiz tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi p( x ) zichlik funksiyaning Fure almashtirishidan iborat.

1-Teorema. [1] fq(t)- \ tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi bo'lsin.

U holda

1. f(o) =1 , IfM^1;

2. Ixtiyoriy a va b o'zgarmas haqiqiy sonlar uchun fa+bq(t) = eiat fq(bt) tenglik o'rinli;

3. Ut ) = f(—1 ) = fjt );

4. Agar \ o'zoro bog'liqsiz tasodifiy miqdorlar bo'lsa, u holda

f%i(t ) = fi(t ) • hM ) ••• \ (t ) tenglik o'rinli;

5. fq (t) xarakteristik funksiya R = (—œ, œ) da tekis uzluksiz;

6. f (t) xarakteristik funksiya haqiqiy bo'lishi uchun % tasodifiy miqdorning Fq ( x) taqsimot funksiyasi simmetrik bo'lishi zarur va etarli.

ik

2-Teorema. [1] Agar E\\\ < œ bo'lsa, f(t) xarakteristik funksiya k-tartibli uzluksiz hosilaga ega bo'lib, quyidagi munosabatlar o'rinli:

œ

fP(t) = iv JxveltxdF\(x), v = 1,2,...,k, (3)

—œ

fv)(0) = iv E\v, (4)

k (jt)v

W) = X(-f E%v+ °(tk ), t ^ 0. (5)

v=0 V!

2-Ta'rif. [1] (Q, A,P) ehtimollar fazosida aniqlangan tasodifiy miqdor va k>0 biror son bo'lsin. Agar M\\k matematik kutilma mavjud bo'lsa, u holda ak = M\k

—œ

Oriental Renaissance: Innovative, (E)ISSN: 2181-1784

educational, natural and social sciences 4(6), June, 2024

Research BIB / Index Copernicus www.oriens.uz

songa | tasodifiy miqdorning k-tartibli boshlang'ich momenti, mk = M||k songa esa,

uning k-tartibli absolyut momenti deyiladi.

Agar |, Ibo'gliqsiz va a parametrli ko'rsatkichli taqsimotga bo'ysinuvchi tasodifiy miqdorlar bo'lsa, uning taqsimoti P(|< x) = 1 - e a, x > 0, i = 1,2,... [2].

Lemma. Agar |, |bo'gliqsiz va a parametr bilan ko'rsatkichli qonunga bo'ysinuvchi tasodifiy miqdorlar bo'lsa, u holda ihtiyoriy k, n = 1, 2,... uchun

e z \k n(n + 1)(n + 2)...(n + k -1)

M I + | + ... + In ) = "---P-¿

a

bo'ladi.

Isboti. Ko'rsatkichli taqsimot xarakteristik funksiyasi f (t) = a . Endi

1 a- it

Tin=I+I2 +... + | kabi belgilash kiritamiz. Asosiy masala M^nk ni topishdan iborat. (4) munosabatga ko'ra M^nk =1 f^\0) . Xarakteristik funksiyaning 1-teorema 4-punktidagi xossasiga ko'ra:

n

f„, (t)=n fj )=

/ ли ' а л

J=1 \а~ it у

Uning k-tartibli hosilasini topamiz:

fVn (t) = an (-я)(а - it)-n-1 (-i) = annl(a - it)-n-1,

f (t) = ann(-n - l)i (а - it)-n-2 (-i) = ann(n + 1)i2 (а - it)-n-2

f^) (t) = ann(n + 1)(n + 2)...(n + к - 1)ik (а - it)-n-k,

(k_ a"n(n + 1)(n + 2)...(n + к - 1)ik f_ (t) _ '

4n y ' +k

(а - it)

t=0 nuqtadagi qiymatini hisoblaymiz

(к) = n(n + 1)(n + 2)...(n + k - 1)ik J* (0) ak

Demak,

л л 1 t n(n + 1)(n + 2)...(n + k - 1)ik _n(n + 1)(n + 2)...(n + k -1)

M^n = Jj1n (0) = J--^ = ^ ■

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR (REFERENCES):

1. Боровков А.А. Математическая статистика. М.: Наука. 1984.

2. Б.А.Севостьянов, В.И.Чистяков, А.М.Зубков «Сборник задач по теории вероятностей», Москва, «Наука», 1989 г.