Теоретические основы представления аналоговой, цифровой и аналого-цифровой технологии обработки Текст научной статьи по специальности «Математика»

Пальченков Ю. Д.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АНАЛОГОВОЙ, ЦИФРОВОЙ И АНАЛОГО-ЦИФРОВОЙ ТЕХНОЛОГИИ ОБРАБОТКИ

Можно утверждать, что технологии непрерывной (аналоговой), дискретной (цифровой) и аналоговоцифровой обработки являются междисциплинарным научным направлением, соединяющим математику и динамические системы, представляющие модели физического мира.

Междисциплинарный характер технологии проявляется в исследовании вычислимой теории функций действительных переменных. Один путь исследования связан с заменой дискретных операций, таких как примитивная рекурсия, на непрерывные операции, к которым относятся дифференциальная рекурсия и линейное интегрирование.

Первый путь исследования ассоциируем с универсальным аналоговым компьютером Шеннона (УАК), который является изящной моделью аналогового вычисления в непрерывном времени.

Дальнейшие исследования первого пути связаны с введением УАК - вычислимой функции и преодоление ограничений УАК - вычислимой функции (ВФ). УАК Шеннона не может реализовать итерацию, неравенства и дифференцирование, поэтому появился расширенный аналоговый компьютер, который может реализовать трансцендентные функции.

Усилиями многих ученых мира, в первую очередь американских, французских, финских, израильских, были введены и исследованы УАК+ р - вычислимые функции, УАК+ 0k - вычислимые функции, R -рекурсивные функции, - вычислимые функции и другие.

Второй путь исследования связан с представлением аналого-цифровой технологии обработки с помощью динамической системы. Этот подход был сформулирован в институте математики Польской академии наук и доложен на первом международном симпозиуме «Математические основы вычислительной техники» (MFCS) в 1972 году. Основным моментом этого подхода является определение понятия простой непрерывной машины (ПНМ) (стационарная динамическая система), и управляемой непрерывной машины (УНМ) (нестационарная динамическая система)

ПНМ вычисляет т - вычислимые функции, в дальнейшем были предложены более сложные (Z,Q) -

машины и (□,С) - системы. (Z, Q) - машина вырабатывает на выходе (Z ,Q) - вычислимые функции. (□ ,С )

- система есть обобщение (Z ,Q) - машины на многовходовый случай.

(Z,Q) - машина является единой абстрактной математической моделью для описания трех типов

машин: аналоговых, цифровых и аналого-цифровых.

Существенным в определении (Z, Q)- машины является то, что введено понятие «длины памяти».

Интерпретируя память как аналоговую, можно формализовать АВМ для решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с постоянными коэффициентами.

Представляя память как цифровую, можно прийти к машине Фон Неймана и их совокупности.

Междисциплинарный характер технологии аналого-цифровой обработки доказывается представлением с

помощью т - ВФ, (Z,Q)- ВФ, (С,□ ) - ВФ, таких казалось бы разных понятий, как: пространственно -

временная развертка графа алгоритма, машина Тьюринга (МТ), безусловный конвейерный вычислитель (БКВ), гибридный процессор для решения статических и динамических задач (ГП), сигнальные процессоры (СП), определение объема растущих деревьев и бревен, получение стали с помощью вагранки, станки с программным управлением, волновой СБИС - процессор для цифровой обработки сигналов, оптические внешние запоминающие устройства (ОВЗУ).

Кроме сказанного с помощью вычислимых функций действительных переменных (ВФДП) можно описывать квантовые и нейронные вычисления.

Использование ВФДП для формализации основных понятий АВМ, ГП, БКВ, СП, МТ, ОВЗУ и других приведены в работах [1-5].

Сравнение моделей аналоговых вычислений

Приведен обзор моделей аналоговых вычислений. Представлена классификация аналоговых вычислительных машин и функций, которые они вычисляют. Показано использование вычислимых функций действительных переменных при проектировании гибридных систем и нейронных сетей.

В 1972 году под эгидой международного центра математики имени Стефана Банаха в Варшаве, института математики Польской академии наук состоялся первый международный симпозиум по математическим основам вычислительной техники (MFCS-I).

В материалах симпозиума были представлены доклады, в которых предлагалось использовать динамическую систему для представления машин с запоминаемой программой и аналоговых компьютеров [1, 2, 3, 4].

Под непрерывной динамической системой обычно подразумевается n - мерная система обыкновенных дифференциальных уравнений вида [5]

§ - ю, (1)

где: f: ^ n - это поле, определяющее систему. Если поле f достаточно гладкое, тогда система

(1) определяет уникальную траекторию, поток динамической системы в , то есть такую функцию

Ф : ^п+1 , что для любого x effi ,Ф(х,0) = х , и для всех т е^

d(Ф(х,0 \,=т= f(0(x,T)).

dt

Другим способом динамическую систему можно представить таким образом у =K(x,у) , где K -матрица рациональных функций [6].

Динамическая система может быть использована для моделирования машины Тьюринга.

Лента машины Тьюринга сначала представляется как два противоположных стека и затем содержимое этих двух стеков кодируется каким-либо способом как два реальных числа, что ведет к представлению

состояния системы как точки в R2 (обычно заключенной в интервале [0,1] .

Машину Тьюринга можно представить как показано на рисунке 1.

Г

(

Головка

W

Рисунок 1. Представление машины Тьюринга тремя счетчиками Ь, И и И

Головка машины имеет конечный набор Б внутренних состояний.

Ь - счетчик для представления левой половины ленты;

И. - счетчик для представления правой половины ленты;

И - счетчик, работающий на сложение

Мгновенная конфигурация машины Тьюринга представлена как пара целых чисел ( ), кодирующая

содержимое ленты.

Целые числа для кодирования дают некоторую устойчивость против небольших возмущений.

Тогда Хт

Е и системные уравнения имеют вид:

dx, dxR

— = -xl+Jl(xl,xr) — = -xr+Jr(xlixr) at at

Переменные состояния новые значения. В [б]

xR не сохраняют свои «старые» значения,

то время как вычисляются

эта проблема решена с помощью переменных состояния xLixRE$ir временной

переменной Т G 55 и введением двух периодических функций «часов».

Каждую точку (х,у) в единичном квадрате свяжем (ассоциируем) бинарные цифры его координат х и у с правой и левой половинками ленты машины Тьюринга. Если лента это г то

х = 0, и у = 0, а0,а1?а2,... . Тогда сдвигание головки ленты налево, эквивалентно делению

наполовину х, удвоению у и перемещения самой значимой цифры а0 из у в х [б] .

Можно записывать символы на ленте путем добавления констант к х и у и представить внутреннее состояние машины либо при помощи конечного числа выделенных квадратов в плоскости, либо путем поглощения состояния машины в ленту и прочитывания нескольких участков ленты одновременно.

По другому способу любая машина Тьюринга может быть превращена в кусочно-линейное преобразование на плоскости с конечным числом прямоугольных компонент, каждая из которых

испытывают родственную трансформацию (аффинное преобразование).

Преобразование на плоскости, о котором шла речь выше, можно внедрить в поток i?3 в качестве бильярдной или оптической лучевой следящей системы или в качестве точечной частицы, движущейся в бесконечно видоизменяющемся потенциальном поле.

Похожее преобразование может быть внедрено в динамику периодической нейросети с кусочно-

линейными активациями, или гибридной системы с кусочно-постоянными производными.

Обзор моделей аналоговых вычислений начинаем с универсального аналогового компьютера (УАК), предложенного Шенноном. Считается, что этот УАК является изящной моделью аналогового вычисления в непрерывном времени.

УАК - схема представлена на рисунке 2. УАК вычисляет дифференциально-алгебраические функции (ДА) . Функция f (х) является ДА, если ее производная удовлетворяет равенству:

P(x,f(x),f'(x),...,fk(x)) = 0,

для некоторого многочлена Р с рациональными коэффициентами. Не - ДА функции называются

трансцендентными. Трансцендентные функции могут быть разделены на два класса. Первый класс

называется гипертрансцендентным (гамма - функция Эйлера

Г{п) = jxn le Xdx\ о

дзета-функция Римана

к=

Рисунок 2. УАК К. Шеннона, который вычисляет Sint. Ее начальные условия (состояния) -sin(0) = 0 и

cos(О) = 1 . Вывод со модуля интегратора J подчиняется dco =udu , где и и о - его верхний и нижний

вводы.

Второй класс - алгебраической трансцендентной функцией от х. К нему относятся показательные и логарифмические, тригонометрические, гиперболические и обратные им.

Функции Бесселя, эллиптические функции, интегралы и функция вероятности. ДА функции в свою очередь называются иррационально алгебраическими (ИА) и рациональными алгебраическими (РЦ). К ИА

относятся хт , где т - рациональная дробь, решения алгебраического уравнения, выраженного через параметр. К РЦ относятся частное от деления многочленов; целые аг хг х2 и другие многочлены. Трансцендентные функции реализуются расширенным аналоговым компьютером (РАК), предложенный JI. Рубелем.

Основным вопросом вычислительной теории является вопрос о том, закрывается ли итерация УАК. Из функции f (к) получается функция то есть f применяется к х Ь раз для £ е ТУ .

С практической точки зрения для УАК не ясен вопрос реализации неравенств и операций дифференцирования. К. Шеннон дал определение УАК вычислимой функции от т независимых

переменных X = (х^...,хт} . В 1974 году была предпринята попытка уточнить это понятие М. К. Роиг-Е1 [5,6]. Уточненное определение выглядит следующим образом: Определение (Шеннон, Поур-Ел)

«Реально - значимая функция >□ от т - независимых переменных Х = (х1у..ухт) есть УАК -

вычислима на замкнутом подмножестве О из IIт , если там существует реально - значимая функция у(Х) = у1(х),...,уп(х) для некоторого п и начальным условием у(х0') = у0, где х0еП так что:

1. у(Х) = у1(Х),

2- У = (у1,-,у„) - уникальное решение для Б системы частных дифференциальных уравнений вида:

А(х,у)у = В(х,у) , (2)

удовлетворяющее начальному условию У(х()) = Уо? гДе А,В - это пхп и тхт - матрицы производных у' относительно X.

Рисунок 3. Разбиение стандартной теории рекурсивных функций на три основные части

3. (Х0,у0) имеют область генерации, то есть решение (2) остается однозначным (уникальным) при

достаточно маленьких изменениях начального условия (состояния).

Векторная функция у\'Ст —, для к >1 - УАК - вычислимая, если УАК - вычислимым является каждая из ее компонентов. Здесь У\>У2*--->Уп приставляю'1' внутренние состояния компьютера, где у = у1

- выходная, а у2,...,уп ~ дополнительные переменные.

Рисунок 4. Модули, реализующие аналоговые схемы

На рисунке 5 изображена УАК - схема для определения интегрирования, предложенная К. Муром [5,6] .

Рисунок 5. УАК - схема для определения интегрирования, используемая К. Муром [5,6], где

КХо) = /(х), Л/1(х, у) = g(x, у, К)

Следующий фундаментальный результат, который доказали Шеннон, Поур-Эл, Лившиц, Рубель говорит, что УАК - вычислимые функции одной переменной точно совпадают с ДА- функциями. Основное математическое понятие в теории рекурсивных функций называется функциями алгебры, то есть является наименьшим классом функций, содержащих множество базовых функций и закрываемое

посредством определенных операций. На рисунке 3 представлено разбиение стандартной теории

рекурсивных функций на три основные части.

На рисунке 4 изображены аналоговые схемы, реализующие дифференциальные уравнения; операции сложения и умножения; неравенства и итерации.

УАК - схема К. Шеннона, УАК - схема К. Мура обобщает простая непрерывная машина Б. Кониковской

(ПНМ). На рисунке 6 представлена простая непрерывная машина Б. Кониковской.

^ (т> 0)(/ е ПМ)(М(/0\[0;т) = /0) V

(т = 0)(Ух е ПМ){М(х(0) = х))

2_ (V/ е ЯМ)(Уа > 0)(/ е ЕМ)

ПНМ позволяет реализовать операции итерации, неравенства и дифференциальные уравнения [1-4].

Суммарные результаты статьи представлены в виде соотношений между вычислимыми функциями класса N класса R и класса N-R. Результаты статьи изображены на рисунке 7.