Теоретические основы представления аналого-цифровой технологии обработки в совместном исследовании структуры решаемых задач, алгоритмов и архитектуры вычислительных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Пальченков Ю.Д. , Джазовский Н.Б. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АНАЛОГО-ЦИФРОВОЙ ТЕХНОЛОГИИ ОБРАБОТКИ В СОВМЕСТНОМ ИССЛЕДОВАНИИ СТРУКТУРЫ РЕШАЕМЫХ ЗАДАЧ, АЛГОРИТМОВ И АРХИТЕКТУРЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

К новым технологиям обработки относятся молекулярные вычисления, искусственный интеллект, нейронные сети, квантовые вычисления.

Молекулярные вычисления являются одним из направлений развития молекулярных компьютеров в будущем.

Хотя создание молекулярного компьютера остается пока мечтой, тем не менее, элементы его будут в сотни раз мощнее нынешних кремниевых аналогов.

Искусственный интеллект позволяет моделировать и воспроизводить отдельные функции творческой деятельности человека, решать проблемы представления знаний и построения баз знаний.

Квантовый компьютер позволяет решать различные задачи с огромной скоростью и его можно использовать для расшифровки криптосистемы.

В качестве математических основ изучения совместного исследования структуры решаемых задач, алгоритмов и архитектуры выбран новый класс вычислимых функций действительных переменных [1,2].

Универсальной формой представления задачи, алгоритма и архитектуры вычислительной системы является направленный граф.

Совместное исследование структуры решаемых задач алгоритмов и архитектуры вычислительных систем отождествляется с объектно-ориентированным проектированием. Основные положения объектноориентированного проектирования представлены в работе Г. Буча [1].

Наш подход совместного исследования аналого-цифровой технологии обработки основывается на моделях трех уровней: информационной, функциональной и структурной [3].

Информационная модель аналого-цифровой технологии обработки представляется в виде информационного графа, вершинами которого являются информационные процессы, а дугами обозначены связи межу ними. В качестве информационных процессов вводятся: формирование, передача, хранение, преобразование,

переработка, распределение и управление.

На информационной модели можно выделить процессы, которые свойственны только аналоговой и цифровой технологии обработки. Хотя в настоящее время в сигнальных процессорах и микроконтроллерах присутствуют аналого-цифровые преобразователи (АЦП) и цифро-аналоговые преобразователи (ЦАП) информации.

Структурная схема многопроцессорной непрерывно-дискретной вычислительной системы (НДВС) представлена на рис. 1.

Аналого-цифровое

преобразование

Аналоговые

данные

Датчики

Физический

процесс

Аналоговое

преобразова

ние

таг

Аналоговый

мултиплекс

ор

ЦАП

Цифро-аналоговое

преобразование

Память

Цифровой процессор

Линии связи '

Хост процессор

у

Программный дисплей пользователя

Рис. 1. Структурная схема непрерывно-дискретной вычислительной управляемой системы Взаимосвязь трех моделей проектирования представлена на рис. 2. В моделях проектирования выделяется статический и динамический аспект.

X

Информационная

модель

Функциональная

модель

Структурная модель

Т

Рис. 2. Взаимосвязь моделей проектирования

Если мы укрупним структурную схему непрерывно-дискретной системы, как показано на рис 1 (пунктирные линии), то получим укрупненную структурную схему, изображенную на рис. 3. В практическом случае любой физический процесс - аналоговое вычисление его собственного поведения.

|ые

Рис. 3. Укрупненная структурная схема непрерывно-дискретной системы

Датчики и физический процесс представляется непрерывной динамической системой. Цифровой процессор, хост процессор, память, дисплей и программа обозначены дискретной динамической системой. Остальные узлы структурной схемы названы интерфейсом между дискретными и аналоговыми вычислениями (рис. 3.)

Основные модели вычислений представлены на рис. 4.

Рис. 4. Основные модели аналоговых, дискретных и аналого-цифровых вычислений

Информационная модель НДВС позволяет рассматривать три принципа представления данных системы.

Первый принцип представления данных с точки зрения пользователя (внешняя схема представления данных) сводится к отображению данных на экране пользователя.

Второй принцип представления данных с точки зрения компьютера (внутренняя схема представления), то есть определение данных в терминах структур файлов в которых эти данные хранятся и обновляются.

Третий принцип представления данных используется для идеальной среды управления данными и состоит в концептуальной схеме представления данных, которая сводится к единому (интегрированному) определению данных в рамках одной системы.

Концептуальная схема представления данных не связана ни с каким конкретным их использованием и не зависит от способа хранения данных и доступа к ним. Важнейшая цель концептуальной схемы представления данных - непротиворечивая интерпретация данных и взаимодействие между ними.

Под функциональной моделью понимается функционирование НДВС, в котором информационные процессы представлены совокупностью операторов и функций.

Однако в [3] был представлен алгоритмический подход к любой задаче и системе.

В настоящее время используется объектно-ориентированный подход к описанию сложных систем и применение его к языкам программирования. Объектный подход (в данной работе он назван совместным исследованием структуры решаемых задач, алгоритмов и архитектуры вычислительных систем) позволяет решать проблему сложности в больших системах. Сложную систему правильнее разделять и по алгоритмам и по объектам. Хотя сначала необходимо разделять по объектам, а потом по алгоритмам. Другими словами, к структурной схеме НДВС (рис. 1) была применена алгоритмическая декомпозиция, а на рис. 3 выделены более сложные классы и объекты, то есть представлена объектная декомпозиция.

На рис 4. изображены основные модели аналоговых и дискретных вычислений. Сравнение моделей аналоговых вычислений более подробно рассмотрено в предыдущей работе автора [2].

Для сторонников аналогового компьютера, цифровая модель, которая может только обрабатывать информацию, преобразованную и закодированную в наборе из двух состояний - не была подходящей, чтобы представить определенные виды непрерывных изменений, что помогло бы определить функции мозга [7,8].

Технология аналоговых машин достигла существенного уровня развития перед войной, а цифровая технология стремительно совершенствовалась. В частности цифровая технология предоставила более эффективный способ управления точностью вычислений.

Следует отметить, что все описания непрерывных машин базируются на известной модели универсальной аналоговой вычислительной машины (УАВМ), предложенной К. Шенноном в 1941 году.

Сравнить модель вычислительных машин и систем можно, если исследовать их вычислительную сложность. Сложность вычислений для различных моделей определяется нижними границами для возможных соотношений между пространством и временем.

Несмотря на различия в способах описания существует удивительная степень общности, которая позволяет объединить все способы описания в небольшое число классов.

В качестве общности выступает вид вычислимой функции. На самом нижнем уровне находятся дифференциально-алгебраические функции (ДА), которые являются уникальными решениями полиномных дифференциальных уравнений. Этот набор функций включает так же простые функции как показательные и тригонометрические, а так же их суммы, произведения и составы их решений дифференциальных уравнений, сформулированных из них.

Функция f (х) является ДА, если ее производные удовлетворяют равенству

Р((х), f (х), f'(х),..., f(к)(х)) = 0 , для некоторого многочлена Р с рациональными коэффициентами (рациональное число это есть отношение целого числа к натуральному и последнее не равно 0) Не - ДА функции называются трансцендентными.

Аналоговая модель К. Шеннона не может вычислять больше чем машина Тьюринга, хотя вводит и выводит реальные числа.

УАВМ состоит из контуров, содержащих «черные ящики», которые умножают, суммируют, интегрируют, инвертируют за время работы * . Реальные числа недостаточны для того, чтобы выполнить какой-либо вид гипервычисления, поэтому их называют аналоговым вычислением [7,8].

УАВМ не является универсальной в смысле дискретной машины фон Неймана. УАВМ не может выполнять итерацию, дифференцирование и неравенства.

Трансцендентные функции могут быть разделены на два класса. Первый класс называют гипертрансцен-

дентным (гамма-функция Эйлера Г(п) , дзета-функция Римана &)) [1,2].

Второй класс - алгебраический трансцендентной функцией от х . Трансцендентные функции реализуются расширенным аналоговым компьютером (РАК), предложенным Л. Рубелем [2].

Несколько слов об Анализе и теории вычислений, которая является новой областью математики. Теория вычислений зародилась более ста лет назад, но она никогда не станет такой же глубокой как Анализ с его 400-летней историей [1,2].

С точки зрения Анализа вычислимости, мы не можем вывести из УАВМ К. Шеннона, для определенной архитектуры интеграторов, цифры прерывающего числа [7,8].

УАВМ К. Шеннона, рекурсивная схема К. Мура [4] обобщает простая непрерывная машина Б. Коников-ской [1,2].

Введем определение простой непрерывной машины (ПНМ) Б. Кониковской.

Определение 1. Для любого т> 0 под ПНМ памяти длиной т мы понимаем каждый оператор М еИт , что

(т > 0) л (у/0 е ОМ) • (М (/0 )[0,т] = / ) V (1)

v(т = 0) л (Ух е ОМ)((М (х))(0) = х);

(У/ е ЯМ ) • (Уа > 0)-( / е ЯМ ), (2)

где КМ - множество вычислений машины М и каждый элемент этого множества называется вычислением машины; Иг - множество частичных функций вида А : ^Р ,

Р = Х[0Т;Р = Х[°,"*,

где Х - произвольное множество (в нашем случае Х=Я ); Я - множество действительных чисел; ИМ -

область определения оператора М .

* *

Запишем /а вместо ( Л [а, <х)) и /а а+т вместо (/ [а, а + т)) ;

* - операция сдвиг, которая определяется следующим образом:

/а,а+т (*) = У (а + т) для 0 ^ t ^ т

/а (*) = У (а + *) для t > 0.

ПНМ позволяет реализовать операции итерации, неравенства и дифференцирования [1,2].

В качестве абстрактной модели всех трех типов машин: аналоговых, цифровых и гибридных - выбираем

обобщение ПНМ - понятие ^,<2 - машины и ее обобщение на многовходовой случай - понятие ('%-

системы [2].

При соответствующей интерпретации памяти т можно перейти к адресной, регистровой и аналоговой памяти.

Определение 2. Под аналого-цифровой памятью понимается множество частичных функций

Р = Х[°,"* ,

если выполняются следующие условия:

1.[0, м)пХ#0,

2.(У/ е Р) (в О/ можно выделить счетное (конечное) число вложенных интервалов),

3. (УГ е Р) [0,т)е О/,

где 0 - пустое множество; О/ - область определения функции У; Х - произвольное множество, рав-

ное для аналоговой памяти множеству действительных чисел.

Тогда, с еХА и Я с Z[0,т] ,

где X , ^ - множество букв входного алфавита адресной и регистровой памяти; А - множество адресов и А = /и Ы; с (I) - содержимое счетчика команд; N - число регистров за исключением регистра

команд (г) и счетчика команд (/) ; т - число разрядов регистра.

В каждый момент времени /. следующее состояние адресной памяти определяется таким образом:

с'( х) = Т(с ) = Ф [ с (с (I ))](сЬ

где с'(х) - следующее состояние адресной памяти с адресом х ; с(/) - содержимое счетчика команд;

с(с(1)) - содержимое адресной памяти; ф[с (с (1 ))] = г* - команда машины фон Неймана (МФН); Ф - функ-

ция кодирования, г (с) = с,

N = N1 и N2 ,

где N2 - число каналов от датчиков непрерывных величин и запоминающих элементов аналоговой памяти.

Для модели, которая имеет совокупность МФН или микропроцессоров, рассматриваем множество счетчиков команд Д,...,/п и регистров команд г,...,гп .

Следующее состояние адресной памяти определяется по формуле:

с'(х) = т (с)=Ф [[(с (А)) ,с (с (1^),..с (с (4)) ](с)

где Ф[с (с [)Хс(с(12)),. . с (с (1п))] ] и г* (с) = с .

В случае аналоговой памяти, выделение интервала [0,т) равносильно заданию структуры аналоговой

памяти. Укажем здесь некоторые особенности кодирования частичных функций / еР аналоговой памяти,

определенных на интервалах [0,т),[0,го) для т> 0 . Из практики известно, что оператор над аналоговой

памятью для постоянного запаздывания т можно представить в виде передаточной функции

В = е2 , где 2 = —рт или - sт ;

ВТ = {В|В : Р ^ Р}

где р - оператор дифференцирования, 5 - в общем случае комплексное число, тем самым оператор В -

отождествляется со структурой оператора М и переход к В осуществляется функцией кодирования, как в регистровой и адресной памяти.

Известно, что экспоненту можно представить в виде пределов, степенным и дробным рядом Паде:

(ехр)2

(і - 22 п)п

Ю у

(ехр)2 = 22

ю

'Ґ" 'п\

п=0

Переход к дифференциальным уравнениям осуществляется довольно просто.

Напомним, что ПНМ Б. Кониковской может начинать работать не только с начального интервала [0,т), но и произвольного интервала [а,а + т] , где а > 0 .

Пример 1. Рассмотрим дифференциальное уравнение вида у = у , которое получается из ау'+ Ьу = с при а = 1,Ь = —1,с = 0 .

Множество всех решений этого уравнения обозначим

А = {у (х) е Я[0,“);у (х) = 0 V у (х) = рех, р е я}

Кроме того, р может быть как больше нуля (положительное), так и меньше нуля (отрицательное). Тогда можно записать

А1 = {у(х) е Я[0,“);у(х) = рех лр е Я лр > 0},

А = {у(х) е Я[0,“);у(х) = рех лр е Я лр < 0},

Аз = { у (х )е я[0,") ; у (х ) =0}.

Пусть у(1),у(2) е А . Рассмотрим один случай у(1) = рех и у(2) = qеx, р,q еЯ ир,^ > 0 .

Тогда

у(2) (х) = у(2) ^ 1п — + х^ = qе д = рех = у(1) (х)

Для любого X є Я

Отсюда у(2) = у(1) , и если в этом случае

ІП—

Я

[ у™ ]* =[ у '”]■.

Я —

так как е * = —,

Я

то более подробно

у(2)^ 1" 22 + 22 = че 2ех = рех = у(1)(і) .

(2) Р (2)

Таким образом, при сдвиге графика решения у( ) на величину ІП— к началу координат у( ) совмеща-

ч

(і)

ется с у

Рис. 5. Взаимное расположение графиков решений , у(2) для у ’ = у , р > 0 и д > 0

А можно рассматривать как множество вычислений ПНМ, у которой непрерывная лента принимается равной) множеству Я+ , а начальный интервал стягивается в одну точку и обозначается {0} [1,2].

Пользуясь терминологией Б. Кониковской, непрерывную машину обозначим ({0}, Я+) - машина.

Пространственно-временную развертку графа алгоритма можно представить ПНМ. Граф О = (У,Е) , задан, если заданы непустое множество вершин V и множество ребер Е . Граф изображается в виде некоторой схемы на плоскости или пространстве. При этом вершины графа V изображаются точками (см. рис. 6), а пары точек и,О , для которых существует ребро (и,о) соединяются непрерывной линией.

Рис. 6. Геометрическое представление графа алгоритма.

Момент выполнения j-й операции на BC обозначим через tj.

Вектором временной развертки назовем t — (t1,t2,...) , обозначим через hj время, необходимое для реализации j-й операции, и назовем вектор h — (h, h,.-) вектором реализации. Тогда время начала j-й операции определяется как координата вектора t - h.

По временной развертке алгоритма время T(t) реализации алгоритма определяется выражением

T (t) — max tj - min(tj - hj) )

j J

Параллельной формой алгоритма называется разбиение вида к

V = \JV,'

/=1

где V ,V ,...,V - непересекающиеся подмножества, которые называются ярусами параллельной формы. Число к называется высотой.

|V| называется шириной i-го яруса, а максимальное из этих чисел - шириной параллельной формы.

Никакие две вершины одного яруса не могут быть соединены дугой. Дуги всегда идут от вершины с меньшим номером яруса к вершине с большим номером яруса.

Если Vi и V2 - два непересекающихся подмножества V, то ориентированным разрезом (Vi, V2) называется совокупность дуг, которая идет из подмножества V1 в подмножество V2.

Ввиду того, что операции одного яруса не зависят друг от друга, их можно выполнять параллельно (одновременно), если имеется необходимое количество физических устройств.

Обычно алгоритм начинает реализовываться в нулевой момент времени t = 0 и заканчивается в t = T. В промежутке 0 < t < T выполняется хотя бы одна операция. Исследование графа алгоритма удобнее проводить по временным разверткам. Из рис. 6 видно, что координаты описываются следующими соотношениями.

tj>maxtf +hj , если gj^0r

3 ¿Єgj J J

t- > S. , если g.

(1)

J ~ J '

где д^ - множество номеров вершин, из которых идут дуги в вершину с номером 0 - пустое множество.

Вершины графа будем рассматривать как точки метрического пространства и считать, что все они расположены в области О с достаточно гладкой границей. Тогда любую временную развертку можно задать как функцию определенную на дискретном множестве точек на О .

Координаты £ . (1) разбиваются на две группы. Одна группа составляет координаты, для которых

Координаты второй группы задают моменты ввода исходной информации.

Координаты первой группы определяются однозначно после задания координат второй группы.

gj *

max Ц означает момент окончания подачи в вершину последнего данного. Таким образом, выполняется izgj

условие готовности любого оператора к реализации. Нестрогое равенство (>) означает, что промежуточный результат должен запоминаться в памяти, если же промежуточный результат непосредственно подается к другой вершине, то неравенство переходит в равенство (—) .

Зная моменты включения - выключения операторов, граф алгоритма можно преобразовать в параллельную форму и определить время реализации алгоритма и другие его характеристики [1,10].

На рис. 7 изображено логическое представление пространственно-временной развертки графа алгоритма.

Рис. 7. Логическое представление пространственно-временной развертки графа алгоритма На рис. 8. представлен фрагмент графа алгоритма из двух вершин.

Рис. 8. Фрагмент графа алгоритма из двух вершин

Длина дуги из вершины j в вершину n имеет наглядный смысл[10]. Она означает длину интервала времени, которая равна сумме hj и т. . Если результат оператора j запоминается в памяти на время T- , то t. больше правой части следующего выражения

U > max t + h

j ¡eg1 j

Если же результат не запоминается в памяти, то Т-=0 и t, = max t, + h,

j legj l j

Под структурной моделью НДВС понимается представление системы в виде совокупностей преобразователей информации, связанных в пространстве и времени.

Пример 2. Использование модели ПНМ для безусловного конвейерного вычислителя (БКВ). Граф БКВ представлен на рис. 9.

4

Рис. 9. Граф Безусловного конвейерного вычисления.

рис. 10 дана развертка графа БКВ

£ Я

Ш ©

t ——

Рис. 10. Развертка графа Безусловного конвейерного вычисления

В этом примере Т =3 и, начиная с этого момента времени, развертка графа становится периодической и, если осуществлять сдвиг развертки влево на начало координат, то вторая часть полностью покроет первую часть (0 < t ^т) .

Как показывают примеры 1, 2, функция, вычислимая ПНМ, является периодической.

Ранее отмечалось, что новые архитектуры будут выглядеть как гиперкубы и решетки, которые обладают симметрией (параллельные переносы) . В связи с этим модель ПНМ ( Z,Q - машины, - системы)

можно использовать при проектировании гибридных и цифровых систем.

ЛИТЕРАТУРА

1. Пальченков Ю. Д. Основы теории вычислимых функций действительных переменных и их применение в проектировании гибридных систем и нейронных сетей. Ч. 1.: Монография. - Пенза: 2003. 176с.

2. Пальченков Ю. Д. Теоретические основы представления аналоговой, цифровой и аналого-цифровой технологии обработки. Надежность и качество. Труды международного симпозиума. - Пенза: Изд-во Пенз. гос. Ун-та. 2005, стр. 409 - 414.

3. Пальченков Ю. Д. Об одном подходе к проектированию многопроцессорных непрерывно-дискретных вычислительных систем. Цифровые модели в проектировании и производства РЭС: Межвуз. сб. научн. тр. - Пенза: Изд-во Пенз. гос. техн. ун-та. 1995. - Вып. 7. - стр. 64-74.

4. Moore Cristofer. Recursion theory on the real and continuous time computation. Theoretical Computer Science. № 102, 1996 - p. 23-44.

5. Mycka Jerzy, Costa Jose Felix. The computational power of continuous dynamic systems. LNCS, №3354,Springer - Verlag, 2005. - p. 163-174.

6. Bournez Olivier, Cosnard Michel. On the computational power and super-Turing copabilities of dynamical systems. Ecole Normale Superieure de Lyon, France. Research Report №95-30, 1995. -38 p..

7. Cooper S. Barry, Odifreddi Piergiorgio. Incomputability in Nature. Computability and Models, in S. Barry Cooper and S. Gonchard (eds), Kluwer Academic. 2003, - p. 137-160.

8. Costa Jose Felix. Computability and Physics: Barry Cooper and Piergiorgio Odifreddi on hypercomputation, Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, 85, February 2005. - 23 p.

9. Graca D. S., Compagnolo M. L., Buescu J. Robust simulation of Turing machines with analytic maps and flows. In B. Cooper, B. Löwe and L. Torenvliet, editors, Proceedings of GiE'05, New Computational Paradigms, volume 3526, Springer-Verlag, LNCS, 2005. - p. 169-179.

10. Воеводин В. В. Теория параллельных алгоритмов и программ. - М. ОВМ АН СССР, 1987. - 127 с.