CC BY
45
УДК 681.3.25: 621.382
Ю. Д. Пальченков
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АНАЛОГО-ЦИФРОВОЙ ТЕХНОЛОГИИ ОБРАБОТКИ В СОВМЕСТНОМ ИССЛЕДОВАНИИ СТРУКТУРЫ РЕШАЕМЫХ ЗАДАЧ, АЛГОРИТМОВ И АРХИТЕКТУРЫ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНОЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
Предлагаются подход к совместному исследованию структуры решаемых задач, алгоритмов и архитектуры непрерывно-дискретной вычислительной системы, преобразование простой непрерывной машины в машину фон Неймана и пространственно-временную развертку графа безусловного конвейерного вычислителя.
Введение
В качестве математических основ исследования структуры решаемых задач, алгоритмов и архитектуры выбран новый класс вычислимых функций действительных переменных (ВФДП). Универсальной формой представления задачи, алгоритма и архитектуры вычислительной системы является направленный граф.
ВФДП, в отличие от классической теоретической информатики, основывается на операциях дифференциальной рекурсии, интегрирования, бесконечных пределах, преобразованиях Фурье и Лапласа. Основной идеей ВФДП является идея однозначного продолжения (расширения) функции, определенной на интервале [0,т) или [а,а + т) на весь интервал [0,, где т>0, а > 0. Используя эти операции и преобразования, можно построить модели вычислений, равносильные машинам Тьюринга.
Теоретическое обоснование применения аналого-цифровой технологии обработки непрерывно-дискретной вычислительной системы (НДВС) для решения динамических операторов (системы обыкновенных дифференциальных уравнений), статических операторов (алгебраические преобразования), нелинейных и тригонометрических преобразований является актуальной задачей, т.к. позволяет, с одной стороны, расширить область применения аналого-цифровой технологии обработки для обрабатывающей компоненты нейросетей, с другой - разработать единую методику проектирования аналогоцифрового компьютера и обрабатывающей компоненты нейросетей.
1. Структурная схема НДВС и модели вычислений
В первом разделе статьи разработана теория НДВС на основе моделей трех уровней, укрупненной ее структуры и основных моделей аналогоцифровых вычислений.
Совместное исследование структуры решаемых задач, алгоритмов и архитектуры вычислительных систем отождествляется с объектно-ориентированным проектированием.
Наш подход к совместному исследованию аналого-цифровой технологии обработки основывается на моделях трех уровней: информационной,
функциональной и структурной [2]. Взаимосвязь трех моделей проектирования представлена на рисунке 1. В моделях проектирования выделяются статический и динамический аспекты.
Рис. 1 Взаимосвязь моделей проектирования
Информационная модель аналого-цифровой технологии обработки представляется в виде информационного графа, вершинами которого являются информационные процессы, а дугами обозначены связи между ними. В качестве информационных процессов вводятся: формирование, передача, хранение, преобразование, переработка, распределение и управление.
На информационной модели можно выделить процессы, которые свойственны только аналоговой и цифровой технологиям обработки. Хотя в настоящее время в сигнальных процессорах и микроконтроллерах присутствуют аналого-цифровые преобразователи (АЦП) и цифроаналоговые преобразователи (ЦАП) информации.
Структурная схема многопроцессорной непрерывно-дискретной вычислительной системы представлена на рисунке 2.
Если мы укрупним структурную схему непрерывно-дискретной системы, как показано на рисунке 1 (штриховые линии), то получим укрупненную структурную схему, изображенную на рисунке 3. В практическом случае любой физический процесс - аналоговое вычисление его собственного поведения.
Датчики и физический процесс представляются непрерывной динамической системой. Цифровой процессор, хост-процессор, память, дисплей и программа обозначены дискретной динамической системой. Остальные узлы структурной схемы названы интерфейсом между дискретными и аналоговыми вычислениями (рис. 3).
Информационная модель НДВС позволяет рассматривать три принципа представления данных системы.
Первый принцип представления данных (внешняя схема представления данных) сводится к отображению данных на экране пользователя.
Второй принцип представления данных (внутренняя схема представления) - определение данных в терминах структур файлов, в которых эти данные хранятся и обновляются.
Цифроаналоговое
преобразование
Рис. 2 Структурная схема непрерывно-дискретной вычислительной управляемой системы
Рис. 3 Укрупненная структурная схема непрерывно-дискретной системы
Третий принцип представления данных используется для идеальной среды управления данными и состоит в концептуальной схеме представления данных, которая сводится к единому (интегрированному) определению данных в рамках одной системы.
Концептуальная схема представления данных не связана ни с каким конкретным их использованием и не зависит от способа хранения данных и доступа к ним. Важнейшая цель концептуальной схемы представления данных - непротиворечивая интерпретация данных и взаимодействие между ними.
Под функциональной моделью понимается функционирование НДВС, в котором информационные процессы представлены совокупностью операторов и функций.
На рисунке 4 изображены основные модели аналоговых и дискретных вычислений. Сравнение моделей аналоговых вычислений более подробно рассмотрено в предыдущей работе автора [2].
Рис. 4 Основные модели аналоговых, дискретных и аналого-цифровых вычислений
Технология аналоговых машин достигла существенного уровня развития с 40-50-х гг. XX в. В настоящее время интерес к аналоговым вычислениям возрос в связи с развитием аналоговой элементной базы на СБИСах [6].
В качестве общности описания вычислительных машин выступает вид вычислимой функции. На самом нижнем уровне находятся дифференциальноалгебраические функции (ДА), которые являются уникальными решениями полиномных дифференциальных уравнений. Этот набор функций включает также простые функции как показательные, так и тригонометрические, а также их суммы и произведения.
Функция / (х) является ДА, если ее производные удовлетворяют равенству Р/х), /(х), М(х), ..., /^) (х)) = 0, для некоторого многочлена Р с
рациональными коэффициентами (рациональное число есть отношение целого числа к не равному нулю натуральному). Не - ДА функции называются трансцендентными.
Трансцендентные функции реализуются расширенным аналоговым компьютером (РАК), предложенным Л. Рубелем [6].
2. Преобразования простой непрерывной машины
Введем определение простой непрерывной машины (ПНМ) Б. Кони-ковской.
Определение 1. Для любого т> 0 под ПНМ памяти длиной т мы понимаем такой оператор М еУт, что
(т>0) а(У/0е БМ)•(/(/)|[0,т]) = /0 V
у(т = 0)а(Ухе БМ)(м(х)(0) = х); (1)
(У/е ЯМ)-/а>0)•(/ е ЯМ), (2)
где ЯМ - множество вычислений машины М и каждый элемент этого множества называется вычислением машины; ит - множество частичных функций вида А: ^ ^ F ,
^т = X[0, т); F = X[0, ~},
где X - произвольное множество (в нашем случае X = Я); Я - множество действительных чисел; БМ - область определения оператора М.
* *
Запишем /а вместо /|[а,тс)) и /аа+т вместо (/|[а,а + т)) ; * -операция сдвиг, которая определяется следующим образом:
/а, а+т/ ) = / (а + т) для 0 < 1 <т ;
/а (1 ) = / (а +1) для 1 > 0.
Представление простой непрерывной машины на основе непрерывновременной динамической системы позволяет, с одной стороны, расширить ее до классической машины фон Неймана и обрабатывающей компоненты нейросети, с другой, генерировать вычислимые функции как решения обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Цель второго раздела статьи заключается в разработке теории по преобразованию ПНМ и переходу от ее памяти к адресной, регистровой и аналоговой памяти, а также анализ взаимного расположения графиков решений дифференциального уравнения у = ку при их сдвиге.
При соответствующей интерпретации памяти т можно перейти к адресной, регистровой и аналоговой памяти.
Определение 2. Под аналого-цифровой памятью понимается множество частичных функций Т = X[0,^], если выполняются следующие условия:
1. [0,^ о X ^ 0,
2. (У/ е Р) (в Б/ можно выделить счетное (конечное) число вложенных интервалов);
3. (у/ е Р) [0,т)е Б/,
где 0 - пустое множество; Б/ - область определения функции /; X - произвольное множество, равное для аналоговой памяти множеству действительных чисел.
Тогда
с е IА и Я с 2[0т],
где Е , 2 - множество букв входного алфавита адресной и регистровой памяти; А - множество адресов и А = I и N; N - число регистров за исключением регистра команд (г) и счетчика команд /); т - число разрядов регистра.
В каждый момент времени 1{ следующее состояние адресной памяти определяется таким образом:
с(х ) = ¥(с ) = ф [с м м )] (с ),
где c'(x) - следующее состояние адресной памяти с адресом x; c(l) - содержимое счетчика команд; c(c(l)) - содержимое адресной памяти;
Ф [с (с(1 ) ) = г*-команда машины фон Неймана (МФН); Ф - функция кодирования, г* (c) = c,
N = Ni u N 2,
где N2 - число каналов от датчиков непрерывных величин и запоминающих элементов аналоговой памяти.
Для модели, которая имеет совокупность МФН или микропроцессоров, рассматриваем множество счетчиков команд li,...,ln и регистров команд
г1,...,гп .
Следующее состояние адресной памяти определяется формулой
c'(x ) = ¥(c ) = ф [c (c (li )) c (c (l2 )),..., c (c (ln ))] (c ),
где Ф [c (c (li )), c (c (l2 )),..., c (c (ln )) = г* и г* (c ) = c.
В случае аналоговой памяти выделение интервала [0, т) равносильно заданию структуры аналоговой памяти. Укажем здесь некоторые особенности кодирования частичных функций f G F аналоговой памяти, определенных на интервалах [0, т), [0,^) для т> 0. Из практики известно, что оператор над аналоговой памятью для постоянного запаздывания т можно представить в виде передаточной функции
В = ez,
где z = —рт или -st ;
Вт = { B|B : F ^F},
где р - оператор дифференцирования; s - в общем случае комплексное число, тем самым оператор В отождествляется со структурой оператора M и переход к B осуществляется функцией кодирования, как в регистровой и адресной памяти.
Известно, что экспоненту можно представить в виде пределов, степенным и дробным рядом Паде:
(exp)z = lim ( + z/) ; (exp)z = lim -i----Z2n)_ ; (eXp)z = E ^/.
n^^\ '’4 n^“(i — у )n n=0
Переход к дифференциальным уравнениям осуществляется довольно просто.
Напомним, что ПНМ Б. Кониковской может начинать работать не только с начального интервала [0,т), но и произвольного интервала
[a, a + т], где a > 0.
Пример 1. Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
У= У (У = ку), которое получается из ау' + Ьу = с при а = 1, Ь = -1, с = 0. Множество всех решений этого уравнения обозначим А.
Рассмотрим один случай у= рех и у(2) = дех , р, д е Я и р, д > 0.
Тогда
ч
для любого х є Я+ .
Таким образом, при сдвиге графика решения у(2) на величину 1п — к
ч
началу координат у(2) совмещается с у(1) (рис. 5).
Рис. 5 Взаимное расположение графиков решений у(1), у(2) для у' = у (у' = ку), р > 0 и ч > 0
3. Преобразование НИМ в пространственно-временную развертку графа алгоритма
Пространственно-временную развертку графа алгоритма можно представить ПНМ. Граф О = (У, Е) задан, если заданы непустое множество вершин V и множество ребер Е . Граф изображается в виде некоторой схемы на плоскости или пространстве. При этом вершины графа V изображаются точками (рис. 6), а пары точек и, и, для которых существует ребро (и, и), соединяются непрерывной линией.
Момент выполнения 7-й операции на вычислительной системе (ВС) обозначим через ц.
Вектором временной развертки назовем ї = (^, ї2,...), обозначим через к] время, необходимое для реализации 7-й операции, и назовем вектор к = (кі, к2,...) вектором реализации. Тогда время начала 7-й операции определяется как координата вектора ї - к.
Теоретическое обоснование представления ПНМ на основе непрерывновременной динамической системы и разработка методики проектирования гибридного компьютера, обрабатывающей компоненты нейрокомпьютера, является актуальной задачей, т.к. позволяет, с одной стороны, провести аналогию алгоритма работы ПНМ и пространственно временной развертки графа алгоритма НДВС, с другой, унифицировать аналоговую и цифровую технологии обработки информации.
Цель третьего раздела статьи заключается в разработке теории для преобразования с помощью ПНМ графа безусловного конвейерного вычислителя (БКВ) в пространственно-временную развертку БКВ, которая является периодической.
По временной развертке алгоритма время T(t) реализации алгоритма определяется выражением
T(t) = max tj - min(t j - hj). j j
Параллельной формой алгоритма называется разбиение вида
k
V = U V-,
/=1
где Vi,V2,...,Vk - непересекающиеся подмножества, которые называются ярусами параллельной формы. Число k называется высотой.
Обычно алгоритм начинает реализовываться в нулевой момент времени t = 0 и заканчивается в t = T. В промежутке 0 < t < T выполняется хотя бы одна операция. Исследование графа алгоритма удобнее проводить по временным разверткам. Из рисунка 6 видно, что координаты описываются следующими соотношениями [8]:
tj > max ti + hj, если g j Ф 0 ;
legj
tj > Sj , если gj =0 , (3)
где gj - множество номеров вершин, из которых идут дуги в вершину с номером j; 0 - пустое множество.
Координаты tj (3) разбиваются на две группы. Одну группу составляют координаты, для которых gj ^0. Координаты второй группы задают
моменты ввода исходной информации. Координаты первой группы определяются однозначно после задания координат второй группы. max ti означает
legj
момент окончания подачи в вершину последнего данного. Таким образом, выполняется условие готовности любого оператора к реализации. Нестрогое равенство (>) означает, что промежуточный результат должен оставаться в памяти, если же промежуточный результат непосредственно подается к другой вершине, то неравенство (>) переходит в равенство (=).
Зная моменты включения-выключения операторов, граф алгоритма можно преобразовать в параллельную форму и определить время реализации алгоритма и другие его характеристики [8].
На рисунке 7 изображено логическое представление пространственновременной развертки графа алгоритма.
Рис. 7 Логическое представление пространственно-временной развертки графа алгоритма
На рисунке 8 представлен фрагмент графа алгоритма из двух вершин.
Длина дуги из вершины j в вершину n означает [10] длину интервала времени, равную сумме hj и т j . Если результат оператора j остается в памяти
на время тj , то tj больше правой части следующего выражения:
t j > max ti + hj.
Если же результат не остается в памяти, то т j = 0 , и
t; = max ti + h;.
J 1 J
l^gj
Под структурной моделью НДВС понимается представление системы в виде совокупностей преобразователей информации, связанных в пространстве и времени.
Пример 2. Использование модели ПНМ для безусловного конвейерного вычислителя (БКВ). Граф БКВ представлен на рисунке 9.
Рис. 9 Граф безусловного конвейерного вычислителя
На рисунке 10 дана развертка графа БКВ. В этом примере т = 3 и, начиная с этого момента времени, развертка графа становится периодической,
и, если осуществлять сдвиг развертки влево на начало координат, то вторая часть полностью покроет первую часть (0 < t < т).
Как показывают примеры 1, 2, функция, вычислимая ПНМ, является периодической.
Ранее отмечалось, что новые архитектуры будут выглядеть как гиперкубы и решетки, которые обладают симметрией (параллельные переносы). В
связи с этим модель ПНМ, (X,Q )-машины, 0>) -системы можно использо-
вать при проектировании гибридных и цифровых систем, а также обрабатывающей компоненты нейросети.
Заключение
Основным результатом статьи является создание научных основ современных аналого-цифровых технологий обработки информации, разработка математических моделей и построения структуры и алгоритмов работы непрерывно-дискретной вычислительной системы.
В результате теоретических исследований можно сделать следующий вывод. Вычислимые функции, генерируемые простой непрерывной машиной (т-ВФ), (Z, Q )-машиной (Z, Q - ВФ), (Z, Q)-системой (, Q - ВФ), можно использовать при разработке методики проектирования гибридного процессора, обрабатывающей компоненты нейросети для аппроксимации непрерывной функции (универсальный аппроксиматор). Учитывая многозначный и неточный характер значений функций на интервалах [0,т), [a,а + т), [0,го),
[а,го), где т> 0, а > 0 , можно обобщить множества, используемые в статье, и применять нечеткие множества [9].
Список литературы
1. Пальченков, Ю. Д. Об одном подходе к аналоговой, цифровой и аналогоцифровой технологии разработки / Ю. Д. Пальченков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2007. - № 3. - С. 257-271.
2. Пальченков, Ю. Д. Об одном подходе к проектированию многопроцессорных непрерывно-дискретных вычислительных систем / Ю. Д. Пальченков // Цифровые модели в проектировании и производства РЭС : межвуз. сборник научных трудов. - Вып. 7. - Пенза : Изд-во Пенз. гос. техн. ун-та, 1995. - С. 64-74.
3. Шеннон, К. Математическая теория дифференциального анализатора / К. Шеннон // Работы по теории информации и кибернетике : пер. с англ. - М. : Иностранная литература, 1963. - С. 709-728.
4. Moor, C. Dynamical recognizers real - time language recognition by analog computers / C. Moor // Theoretical Computer Science. - 1998. - № 201. Р. 99-136.
5. Konicowska, B. Formalization of the Notion of an Analog Computer Described by Linear Differential Equation with Constant Coefficients / B. Konicowska // Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci/ Math. Astronom. Phys. - 1972. - V. 20. - № 12. - P. 1015-1020.
6. Rubel, L. A. A survey of transcendentally transcendental functions / L. A. Rubel // Amer. Math. Monthly. - 1989. - № 96 (9). Р. 777-788.
7. Крылов, С. М. Модели универсальных дискретно-аналоговых вычислительных машин на основе машины Тьюринга / С. М. Крылов // Электронное моделирование. - 1982. - № 3. - С. 6-10.
8. Воеводин, В. В. Теория параллельных алгоритмов и программ / В. В Воеводин. - М. : ОВМ АН СССР, 1987. - 127 с.
9. Рутковская, Д. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы / Д. Рутковская, М. Пилиньский, Л. Рутковский ; пер. с польск. И. Д. Рудинского. -М. : Горячая линия - Телеком, 2006. - 452 с.
10. Bournez, O. On the computational power and super-Turing copabilities of dynamical systems / O. Bournez, M. Cosnard // Ecole Normale Superieure de Lyon, France. Research Report. - 1995. - № 95-30. -38 p.
11. Stankiewicz, E. Some basic properties of the (Z,Q) -systems / E. Stankiewicz,
W. Zakowski // Bull. Acad. Polon. Sci, Ser. Sci. Math. Astronom. Phys. - 1978. -V. 26. - № 6. - P. 537-561.
